初二数学因式分解技巧

因式分解技巧方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；

例.已知a b

c ，，是ABC ?的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2

2

2

2

2

2

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++

222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(2

2

ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+

例4、分解因式：2

222c b ab a -+- 解：原式=2

2

2

)2(c b ab a -+- =2

2

)(c b a --

=))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 22

22---

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

（3）18169622

2

-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++- （5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

2

2

2

44+--

（7）2

22y yz xz xy x ++-- （8）

122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33

33-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ?=- >0而且是一个完全平方数。 于是98a ?=-为完全平方数，1a =

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2

?+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2

--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：101132

+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102

+-x x （4）101162++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：2

21288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -?+-++ =)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2

26b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2

2

672y xy x +- 例10、232

2

+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）2

24715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

综合练习10、（1）1783

6--x x （2）22151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a （5）2

2

2

2

65x

y x y x -- （6）

2634422++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2

222)(10)(23)(5b a b a b a ---++ （9）1036442

2

-++--y y x xy x （10）

2

2

2

2

)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(20052

2

---x x

（2）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(2

2

=))(1(a x ax -+

=)2005)(12005(-+x x

（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=2

2

2

)65)(67(x x x x x +++++

设A x x =++652，则x A x x 2672+=++ ∴原式=2

)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2

)(x A +=2

2

)66(++x x

练习13、分解因式（1）)(4)(2

2

2

22

y x xy y xy x +-++

（2）90)384)(23(2

2

+++++x x x x （3）2

2

2

2

2

2

)3(4)5()1(+-+++a a a

例14、分解因式（1）2622

34+---x x x x

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)1162(222x x x x x +-

--=[]6)1

()1(2222-+-+x x x

x x

设t x x =+

1，则21

222-=+t x x ∴原式=[

]6)2222

---t t x （

=()10222--t t x =()()2522+-t t x =??

? ??++??? ??-+215222x x x x x =??? ??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()122522

2+++-x x x x

=)2)(12()1(2

--+x x x

（2）144234+++-x x x x

解：原式=22241(41)x x x x x -++

+=???

???+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21

222+=+y x x

∴原式=22(43)x y y -+=2

(1)(3)x y y --

=)31)(11(2----x

x x x x =()()1312

2----x x x x

练习14、（1）673676234+--+x x x x

（2）)(2122

234x x x x x +++++

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）4323+-x x

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x

=)1)(1(3)1)(1(2

-+-+-+x x x x x =)44()43(2

++--x x x x =)331)(1(2

+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2

+-+x x x =)44)(1(2

+-+x x x =2

)2)(1(-+x x =2

)2)(1(-+x x

（2）33

69-++x x x

解：原式=)1()1()1(3

6

9

-+-+-x x x

=)1()1)(1()1)(1(3

3

3

3

6

3

-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3

3

6

3

+++++-x x x x =)32)(1)(1(3

6

2

++++-x x x x x

练习15、分解因式

（1）893+-x x （2）4

224)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++

（5）4

44)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++

七、待定系数法。

例16、分解因式61362

2-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项2

26y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++

解：设61362

2

-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++

∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

2

∴

613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622

对比左右两边相同项的系数可得??

?

??-==-=+6

13231

mn m n n m ，解得???=-=32n m

∴原式=)32)(23(+--+y x y x

例17、（1）当m 为何值时，多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必

为))((b y x a y x +-++

解：设652

2

-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++

则652

2

-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2

2

比较对应的系数可得：?????-==-=+65ab a b m b a ，解得：?????==-=132m b a 或??

?

??-=-==132m b a

∴当1±=m 时，原多项式可以分解；

当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x

（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。

解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++

则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2

3

+++++

∴?????=+=+=82323c c b c a 解得???

??===4147c b a ， ∴b a +=21

练习17、（1）分解因式291032

2-++--y x y xy x

（2）分解因式675232

2

+++++y x y xy x

（3） 已知：p y x y xy x +-+--146322

2

能分解成两个一次因式

之积，求常数p 并且分解因式。 （4） k 为何值时，25322

2

+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全 经典一： 一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3-4m= . 3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____. 4、分解因式：2

44x x ---=___________ ______。

5.将x n

-y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .

6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，22

22x y +=__________。

二、选择题

7、多项式

32223

15520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、2

5mn 8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )

A 、()()2339a a a +-=-

B 、()()22a b a b a b -=+-

C 、()2

4545a a a a --=-- D 、

23232m m m m m ?

?--=-- ?

?? 10.下列多项式能分解因式的是（ ）

(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+4 11．把（x －y ）2

－（y －x ）分解因式为（ ）

A ．（x －y ）（x －y －1）

B ．（y －x ）（x －y －1）

C ．（y －x ）（y －x －1）

D ．（y －x ）（y －x ＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（ ） A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ） B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）

C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）

D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）

13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）

A.2

B.4

C.2y 2

D.4y 2

三、把下列各式分解因式：

14、nx ny - 15、2

294n m -

16、()()

m m n n n m -+- 17、322

2a a b ab -+

18、

()2

22

416x x +- 19、

22)(16)(9n m n m --+；

五、解答题

20、如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径

45d cm =，外径75D cm =，长3l m =。利用分解因式计算浇制一节这样

的管道需要多少立方米的混凝土？(π取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

()()()()()()()()()()()()()()

24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _________________________________________________x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=++++-

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321

=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()

()()

()()()

解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-

=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244

2

2

2211111121111()()()

()()()[()]()()()

2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有

原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 32222

2

242222212()

()()()()()()()

解二：将常数-4拆成--13，则有

原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 3222

2

1331113314412()

()()()()()()()()

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：()()x x x 2241021100--++

=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100

272310051456100

22

设y x x =-25，则

原式无论取何值都有的值一定是非负数

=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440

4102110022

222Θ

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B

∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()

()()()

A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333

322333

223333332

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2

证明：Θa b c ab bc 222166100--++=

∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a c b

2222226910250350820

880202即，即于是有即()()()()Θ

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2. 已知：x x x x +

=+=121

33，则__________ 解：x x x x x x 3321111

+=+-+()()

=++--=?=()[()]

x x x x

11

21212

2

说明：利用x x x x 22

2

1

12+=+-()等式化繁为易。

题型展示

1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。 解：100)4)(3)(7(2

----x x x Θ

=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]

()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 723210051456100

58516540734100

2222222

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2.

将

a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

解：a a a a 22221++++()()

=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 2222

222

22

21211()()()()

∴++=++==6742366143184922222() 说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1. 分解因式：

（）（）131083108233315

54322

2

x x x x x a a a a ---+++-++-()()

（）（）323352476

223

x xy y x y x x --+-+-+

2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。

3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。

4. 求证：n n 35+是6的倍数。（其中n 为整数）

5.

已

知

：

a

、

b

、

c

是

非

零

实

数

，

且

a b c a b c b c a c a b 2221111111

3++=+++++=-，()()()，求a+b+c 的值。

6. 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。

经典三：因式分解练习题精选 一、填空：（30分）

1、若16)3(22

+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、2

2

)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、2

3

2y x 与y x 6

12的公因式是＿

4、若n m y x -=))()((4

222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式2

3

5

3515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22

+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2

++=++x x x x 8、已知,0120052004

2

=+++++x x

x x Λ则.________2006=x

9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()2

2

)3(__6+=++x x x ， ()2

2

)3(9___-=++x x

11、若2

29y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442

-+x x 的值为0，则51232

-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152

-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,42

2

=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042

=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分）

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a --

2、若2

2)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）

A 、m=—2，k=6，

B 、m=2，k=12，

C 、m=—4，k=—12、

D m=4，k=12、 3、下列名式：4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公

式分解因式的有（ ）

A 、1个，

B 、2个，

C 、3个，

D 、4个 4、计算)10

11)(911()311)(211(2232----

Λ的值是（ ） A 、

21 B 、20

11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、2

34352x x x -- 2 、 2

633x x -

3 、 2

2

)2(4)2(25x y y x --- 4、22

414y xy x +--

5、x x -5

6、13

-x

7、2

ax a b ax bx bx -++--2

8、81182

4

+-x x

9 、2

4369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x

四、代数式求值（15分） 1、 已知3

12=-y x ，2=xy ，求 4

3342y x y x -的值。

2、 若x 、y 互为相反数，且4)1()2(2

2

=+-+y x ，求x 、y 的值

3、 已知2=+b a ，求)(8)(2

2

2

22

b a b a +--的值

五、计算： （15） （1） 0.7566.24

3

66.3?-

? （2） 2000

2001

2121??

? ??+?

?

? ??-

（3）2

2

44222568562?+??+? 六、试说明：（8分）

1、对于任意自然数n ，2

2

)5()7(--+n n 都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

初二数学经典因式分解题目

经典因式分解题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一. 填空题 1. 的公因式是___________ 2. 分解因式：__________ 3. 若，则_________ 4. 若是完全平方式，则t ＝________ 5. 因式分解：_________ 6. 分解因式：_________ 7. 若，则x ＝_______，y ＝________ 8. 若，则_________ 9. 计算________ 10. 运用平方差公式分解：－_______＝（a ＋7）（a －_____） 11. 完全平方式 12. 若a 、b 、c ，这三个数中有两个数相等，则 _________ 13. 若，则__________ 分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2x y 4416-x y xy 33-()x y x --3422252034322m m m n m n --+-()()()()x x 2221619---+分解因式164129222a b bc c -+-1218323x y x y -2183x x -=A x y B y x =+=-353，A A B B 222-?+=x x t 26-+944222a b bc c -+-=a c a bc ab c 32244-+=||x x xy y -+-+=214022a b ==9998，a ab b a b 22255-+-+=12798 012501254798....?-?=a 249222 x y -+=()a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=a b ab +==-514，a a b ab b 3223+++=

初二数学因式分解超级经典专题讲解

初二数学因式分解超级经典专题讲解

因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)） 1 基本方法 1.1提公因式法☆☆☆ 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式 1.2 公式法☆☆☆ 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 补充公式: 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； 立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)； 完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a±b) 3． 公式：a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca) 例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。 (注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。) 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 1、把a ax -2分解因式的结果是 . 2、在实数范围内分解因式：a a 1623-= ． 3、把多项式2221a ab b -+-分解因式，结果是 4、分解因式：a a +34=___________． 5、因式分解：2221x x y ++-= ． 6、已知2=+b a ，求代数式b b a 422+-的值； 7、分解因式 x(x －1)－3x+4= ． 8、求证：两个奇数的平方差一定能被8整除。 9、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy 3 + x 3y 的值。 10、下列因式分解：①324(4)x x x x -=-；②232(2)(1)a a a a -+=--；③222(2)2a a a a --=--；④2211()42 x x x ++=+.

初二数学因式分解技巧

因式分解技巧方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

人教版初二数学上册因式分解复习

长郡雨花外国语学校教案

二、课前演练 1 ?计算(x+2)2的结果为/+□ x+4，则“□”中的数为( ) A.—2 B. 2 C ? - 4 D ? 4 1 2 ?分解因式：-a3+a 2b-? 2 3. 计算：2000 —1999 X 2001= . 4. 十字相乘法 (1)分解因式：X2-6X+8= (2)分解因式：2a2-a-6= . 三、例题分析 例1分解因式： 2 2,/、 /~/、2 2 2、2, 22 (1) mn(m- n)-4mn(n-m); (2) (x+y)+64-16(x+y); (3) (x +y ) -4 x y ; 练习.长沙中考基础 （1）（2016年长沙）分解因式：x2y-4y= （2）（2014长沙）分解因式：a2-4b2= . （3）（2013 长沙）分解因式：x2+2x+1= . 长沙中考因式分解拓广 （2015年?长沙25题） 在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。（1）求函数y = 3x 2的图像上所有“中国结”的坐标 k ⑵求函数y =一（k工0, k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与 X 相应“中国结”的坐标. ⑶若二次函数y =（k2-3k 2）x2（2k2-4k 1）x k2-k（k 为常数） 的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？ 因式分解：（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k

四、巩固练习 1. 若实数x、y、z满足（X —z)2—4( x - -V 6/h 日( 、y）（ y z） =0，则下列式子定成立的是（） A. x+y+z=O B.x+y-2 z=0 C. y+z-2 x=0 D. z+x-2 y=0 2. 因式分解： “八 3 八2 ⑴ a —6a b+ 9ab; ⑵2 3 介2 2 “c、， “ x -8 x y+8xy ；(3)-4( 2 2 x-2 y) +9( x+y); 3. （2015大庆）已知a、b 、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ab 2 2 3 2 2 + bc =b +a b+ac , 判断△ ABC的形状. 五、作业： 全效 教 学 后 记

新人教版八年级上数学因式分解练习题精选(含提高题)

因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=-_______。12、若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +--

(完整)初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.

初二数学因式分解提高训练

初二数学因式分解提高训练 一、选择题： １、 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） A 、))((b a b a -+- B 、()()11-+-x x C 、)3 1)(31(x y y x - + D 、()()11+--x x ２、下列各式计算正确的是（ ） A 、222 916141312 1b ab a b a +-=??? ??- B 、()()842232-=++-x x x x C 、()222b a b a -=- D 、()()116141422-=++b a ab ab 3、下列变形是因式分解的是（ ） A 、a (x + y) =a x + a y B 、x 2－4x+4=x(x －4)+4 C 、10x 2－5x=5x(2x －1) D 、x 2－16+3x=(x －4)(x+4)+3x 4、分解因式1032--x x 的结果应为（ ） A 、)5)(2(--x x B 、)5)(2(-+x x C 、)5)(2(+-x x D 、)5)(2(++x x ５、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ６、下列四个多项式是完全平方式的是（ ） A 、22y xy x ++ B 、222y xy x -- C 、22424n mn m ++ D 、224 1b ab a ++ ７、把4224y x y x -分解因式，其结果为（ ） A 、()()2222xy y x xy y x z -+ B 、()2222y x y x - C 、()()y x y x y x -+22 D 、()()22xy y x y x xy -+ ８、()()1333--?+-m m 的值是（ ） A 、1 B 、－1 C 、0 D 、()13+-m 二、填空： １、22)3)((a a --＝ ；_______872=?+?a a a a ；_____________)(32=+y x xy x ； 224)(_______)2(y x y x -=- a m ·a n ·（ ）=a 2m+2 ２、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____；若229y k x ++是完全平方式，则k=______。 3、若代数式1322++a a 的值为6，则代数式5962++a a 的值为 . 4、3=x a ，则=x a 2 ；=++229124b ab a （ ）2 ５、22)(n x m x x -=++， 则m =____n =____ _____))(2(2(_____)2++=++x x x x

八年级数学上册《因式分解》教案

八年级数学上册《因式分解》教案 1、理解运用平方差公式分解因式的方法。 2、掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。 3、进一步培养学生综合、分析数学问题的能力。 运用平方差公式分解因式。 高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。 我们数学组的观课议课主题: 1、关注学生的合作交流 2、如何使学困生能积极参与课堂交流。 在精心备课过程中，我设计了这样的自学提示: 1、整式乘法中的平方差公式是___，如何用语言描述?把上述公式反过来就得到_____，如何用语言描述?

2、下列多项式能用平方差公式分解因式吗?若能，请写出分解过程，若不能，说出为什么? ①-x2+y2 ②-x2-y2 ③4-9x2 ④ (x+y)2-(x-y)2 ⑤ a4-b4 3、试总结运用平方差公式因式分解的条件是什么? 4、仿照例4的分析及旁白你能把x3y-xy因式分解吗? 5、试总结因式分解的步骤是什么? 师巡回指导，生自主探究后交流合作。 生交流热情很高，但把全部问题分析完已用了30分钟。 生展示自学成果。 生1: -x2+y2能用平方差公式分解，可分解为(y+x)(y-x) 生2: -x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)

师:这两种方法都可以，但第二种方法提出负号后，一定要注意括号里的各项要变号。 生3:4-9x2 也能用平方差公式分解，可分解为(2+9x)(2-9x) 生4:不对，应分解为(2+3x)(2-3x)，要运用平方差公式必须化为两个数或整式的平方差的形式。 生5: a4-b4可分解为(a2+b2)(a2-b2) 生6:不对，a2-b2 还能继续分解为a+b)(a-b) 师:大家争论的很好，运用平方差公式分解因式，必须化为两个数或两个整式的平方的差的形式，另因式分解必须分解到不能再分解为止。…… 反思:这节课我备课比较认真，自学提示的设计也动了一番脑筋，为让学生顺利得出运用平方差公式因式分解的条件，我设计了问题2，为让学生能更容易总结因式分解的步骤，我又设计了问题4，自认为，本节课一定会上的非常成功，学生的交流、合作，自学展示一定会很精彩，结果却出乎我的意料，本节课没有按计划完成教学任务，学生

初二数学人教版因式分解_讲义

初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且

，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：

八年级数学上册因式分解拔高题型

八年级数学（上）周末辅导资料 一、知识点梳理： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：222b ab a ++=()2b a +和)(b a b ab a -=+-2222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,, a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 二、典型例题： （1）如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、 15 B 、 ±5 C 、 30 D ± 30 （2）若215(3)()x mx x x n --=++ 则m=_____，n=______。 （3）计算 29982+2998×4+4= 。 （4）若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 例2：分解因式： 22288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，2522=+b a 求ab 和a+b 的值。

三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 . 2、观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是______________________。 3、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2(n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求655222-+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ??-2222211......511411311211n 6，已知a 为任意整数，且()22 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。

初二数学因式分解知识点经典总结

初二数学因式分解知识点经典总结 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和字相乘法，待定系数法，双字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a22ab＋b2＝(ab) 2；

初二数学因式分解讲解

十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其

八年级数学上册《因式分解》练习题

因式分解巩固与提高 一、本节课的知识要点： 1、平方差公式分解因式的公式：a 2-b 2= ； 平方差结构特点： （1）多项式的项数有 项； （2）多项式的两项的符号 ； (3) 多项式的两项能写成 的形式。 2、完全平方公式法分解因式的公式：（1）a 2+2ab+b 2= ; (2) a 2-2ab+b 2= . 完全平方式的特点： (1)、必须是 项式； (2)、有两个 的“项”； (3)、有这两平方“项”底数积的 或 。 二、本节课的课堂练习： （一）选择题： 1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（ ） A ．－x 2－4y 2 B ．9 x 2+4y 2 C ．－x 2+4y 2 D ．x 2+（－2y ）2 2、化简33)(x x -?的结果是（ ） A 、6x - B 、6x C 、5x D 、5x - 3、下列运算正确的是（ ） A 、a b a b a 2)(222++=+ B 、222)(b a b a -=- C 、6)2)(3(2+=++x x x D 、22))((n m n m n m +-=+-+ 4、2 3616x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．48 B ．24 C ．－48 D ．±48 5、已知a 、b 是△ABC 的的两边，且a 2＋b 2=2ab ，则△ABC 的形状是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、锐角三角形 D 、不确定 6、下列四个多项式是完全平方式的是（ ） A 、22y xy x ++ B 、222y xy x -- C 、22424n mn m ++ D 、224 1b ab a ++ 7、把（a+b ）2 +4(a+b)+4分解因式得（ ） A 、（a+b+1）2 B 、（a+b-1）2 C 、（a+b+2）2 D 、（a+b-2）2

八年级数学因式分解拓展提高练习汇总

八年级数学因式分解拓展提高练习汇总 板块一：换元法 例1．分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 例2．分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4 +++++是一个完全平方数. 234 x y x y x y x y y 例4分解因式2 (25)(9)(27)91 +--- a a a 【巩固】分解因式22 ++++- (32)(384)90 x x x x 例5分解因式：2222 x x x x x x --+--+- 4(31)(23)(44) 【巩固】分解因式：2 +-+-+- (2)(2)(1) a b ab a b ab

例6分解因式：272)3()1(4 4 -+++x x 【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++- 板块二：因式定理 因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p c q = 的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】分解因式：65432 ++++++ x x x x x x 234321 【巩固】分解因式：3223 x x y xy y -+- 92624 例8分解因式：32 x a b c x ab bc ca x abc -+++++- ()() 【巩固】分解因式：32 +++-+---+ ()(32)(23)2() l m x l m n x l m n x m n

初二数学因式分解100题

提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选 100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)2 24914b ab a ++- (D) 13 292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） (A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ） (A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 9.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －a B a 2 –a －2=a(a －1)－2 C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b) D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ） A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x) B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2) C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y) D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A ． x 2－y B ． x 2＋2x C ． x 2＋y 2 D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ） A ． (a －b)2(2a －2b ＋1) B ． 2(a －b)(a －b －1) C ． (b －a)2(2a －2b －1) D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ） A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2 B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2 C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2 D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ） A ．(100－1)2 B ．(100＋1)(100－1) C ．(99＋1)(99－1) D ． (99＋1)2 17 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）

八年级数学(下)第四章《因式分解》提高题

八年级数学（下）第四章《因式分解》提高题 1.将下列各式分解因式： （1）2294n m -； （2）22)(16)(9n m n m --+； （3）4416n m -； 2.分解因式（1） 25)(10)(2++++y x y x ； （2）4224817216b b a a +-； 3.用简便方法计算： (1)57.6×1.6+28.8×36.8－14.4×80 (2)39×37－13×34 4.试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。 5. 将下列各式分解因式 ),(3127123且均为自然数n m b a a n n m n m >--- 131********-+-+-+++n n n n n n y x y x y x

22222)(4b a b a +- 2222224)(b a b a c --- 222222)1()1()1)(1(-----b a b a ))((2)()(22bx ay by ax bx ay by ax -++-++ 222222222)()()(z y x z y x +---+ 44)(625b a b -- 222222)(4)(xy ab a y b x ---+-

6.写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解). 7.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是________，共应用了_______次. (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是________ (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数). 8.若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。探索△ABC的形状，并说明理由。 9.阅读下列计算过程： 99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104 1．计算： 999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________； 9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。 2．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？写出计算过程。

初二数学因式分解专题讲解

因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)） 1 基本方法 1.1提公因式法☆☆☆ 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项都是时，公因式的系数应取各项系数的；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式 1.2 公式法☆☆☆ 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； ：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 补充公式: 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

数学八年级上册因式分解练习题及答案

因式分解练习题 一、选择题 1．已知y my ++216是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．8 B ．4 C ．±8 D ．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．x x --269 B ．a a -+21632 C ．x xy y -+2224 D ．a a -+2441 3．下列各式属于正确分解因式的是（ ） A ．x x +=+221412（） B ．a a a --=--22693（） C ． m m m +-=-2214412（） D ．x xy y x y ++=+222（） 4．把x x y y -+42242分解因式，结果是（ ） A ．x y -4（） B ． x y -224 （） C ．()() x y x y ??+-??2 D.x y x y +-22（）（） 二、填空题 5．已知 x xy k -+296是完全平方式，则k 的值是________． 6．________a b a b ++=-22292535（）（） 7．______________x xy -++ =-22 44（）（） ． 8．已知a a ++=2144925 ，则a 的值是_________． 三、解答题 9．把下列各式分解因式： ①a a ++21025 ②m mn n -+22 1236 ③xy x y x y -+32232 ④ x y x y +-22222416（）

10．已知x=-19，y=12，求代数式x xy y ++224129 的值． 11．已知│x -y+1│与x x ++2816互为相反数，求x xy y ++22 2的值． 四、探究题 12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解． 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？ ①x y x y +-++2 2221（）（） ②a b a b +-+-241（）（）