高考—圆锥曲线知识点总结
2019年高考专题-圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122
22=+b
x a y （0a b >>）（焦点在y 轴
上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2
2
2
b a
c =-；
②在22221x y a b +=和22221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2
x 和2y 的分
母的大小。例如椭圆
22
1x y m n
+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程22
221x y a b
+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，
2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2
2
2
2222||||||OF B F OB =-，即222
c a b =-；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=
叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时
椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222
x y a +=。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。
注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；
21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射
线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。
①范围：从标准方程122
22=-b
y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。即
22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
②对称性：双曲线122
22=-b
y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
是双曲线122
22=-b
y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所
以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122
22=-b
y a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
图上看，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2
2
≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。
⑥注意191622=-y x 与22
1916
y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2
p x -= ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22
-=，py x 22
=，py x 22
-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性
x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e =
1e =
1e = 1e =
点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。
（一）椭圆的定义：
1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。
o F
x
y l
o
x
y
F l
x
y
o
F l
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：
22
22
2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b
+=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2
2
2
a c
b =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）
和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的焦点在 x 轴上?标准方程中x 2
项的分母较
大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2
项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质：
椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关
的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要22
22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质
中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出22
22y x 1(a b 0)a b
+=>>的有关性质。总结如下：
几点说明：
（1）长轴：线段12A A ，长为2a ；短轴：线段12B B ，长为2b ；焦点在长轴上。 （2）对于离心率e ，因为a>c>0，所以0 由于222 21c a b b e a a a -===-，所以e 越趋近于1，b 越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b 越趋 近于a ，椭圆越圆。 （3）观察下图，22||,||OB b OF c ==，所以22||B F a =，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF 2B 2 知识点一：椭圆的定义 第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=. 注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； ②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=；③椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -； 知识点三：椭圆的第二方程 1. 椭圆122 22=+b y a x 的参数方程 ? ??==θθ sin cos b y a x （θ为参数） 2. 椭圆的第二定义 到F （c ，0）的距离和到直线l ：c a x 2=的距离之比为常数a c （0>>c a ）的点的轨迹为12222=+b y a x 。 3. 焦半径P （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x 上，F 1（c -，0）、F 2（c ，0）为焦点 ?? ?-=+=0 20 1ex a PF ex a PF 例题讲解 （三）直线与椭圆： 直线l ：0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0） 椭圆C ：22 22x y 1(a b 0)a b +=>> 那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭 圆交点的情况。方法如下： 222201Ax By C x y a b ++=?? ?+=?? 消去y 得到关于x 的一元二次方程，化简后形式如下 20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ?=- （1）当0?>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当0?=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0?<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的长度（即弦长）为 ||AB =k ， 可得：||AB = =12|x x -，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理 求出。 ［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－23，2 5） ； （3）焦点在坐标轴上，且经过点A （3，－2）和B （－23，1） 分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a 、b 即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。 解析：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为2222b y a x +＝1（a ＞b ＞0） ∵2a ＝10，2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4 ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42 ＝9 所以所求的椭圆的标准方程为9 252x y +2＝1 （2）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为222b x a y +2＝1（a ＞b ＞0） 由椭圆的定义知， 2a ＝10210211023)225()23()225()23(222=+=-+-+++-2 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6 所以所求的椭圆的标准方程为6 102 2x y +＝1 （3）解法一：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为222b x a y +2＝1（a ＞b ＞0） 由A （3，－2）和B （－23，1）两点在椭圆上可得： ???????=+-=-+11)32(1)2()3(22 2 222 22b a b a 解之得???==51522b a 若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为222 b x a y +2＝1（a ＞b ＞0），同上可解得???==15522b a ，不合题意，舍去。 故所求的椭圆方程为5 52 2y x +＝1 解法二：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1（m ＞0，n ＞0且m ≠n ）。 由A （3，－2）和B （－23，1）两点在椭圆上可得 ?????=?+-?=-?+?1 1)32(1)2()3(222 2n m n m 即???=+=+1 12143n m n m ，解得??? ??? ?== 51151n m 故所求的椭圆方程为5 1522y x +＝1 点评：（1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a 、b 。 （2）第（3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1（m ＞0，n ＞0），不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？ ［例2］已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程。 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由△ABC 的周长等于16，|BC |＝6可知，点A 到B 、C 两点的距离的和是常数，即|AB |＋|AC |＝16－6＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。 解析：如图所示，建立坐标系，使x 轴经过点B 、Ｃ，原点Ｏ与BC 的中点重合。 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6，有|AB |＋|AC |＝10，即点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且2c ＝6，2a ＝10， ∴c ＝3，a ＝5，b 2＝52－32 ＝16。 由于点A 在直线BC 上时，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是16 2522y x +＝1（y ≠0）。 点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。 ［例3］一动圆与已知圆O 1：（x ＋3）2＋y 2＝1外切，与圆O 2：（x －3）2＋y 2 ＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。 分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。 解析：两定圆的圆心和半径分别为O 1（－3，0），r 1＝1；O 2（3，0），r 2＝9 设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10 由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3。 ∴b 2＝a 2－c 2 ＝25－9＝16 故动圆圆心的轨迹方程为16 2522y x +＝1。 点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R ，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ［例4］已知P 是椭圆16 2522y x +＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积。 分析：如图所示，已知∠P ＝30°，要求△PF 1F 2的面积，如用 2 1|F 1F 2|·|y P |，因为求P 点坐标较繁，所以用S △ ＝ 2 1|PF 1|·|PF 2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF 1|·|PF 2 |，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30° 角的两边的乘积。 解析：由方程16 2522y x +＝1，得a ＝5，b ＝4， ∴c ＝3，∴|F 1F 2|＝2c ＝6 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10 ∵∠F 1PF 2＝30° 在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° 即62＝|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－3·|PF 1|·|PF 2| （2＋3）|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2 －36＝100－36＝64， ∴|PF 1|·|PF 2|＝ 3 264 +＝64（2－3） ∴2 1PF F S ?＝2 1|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝2 1·64（2－3）·2 1＝16（2－3） ［例5］椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝22，且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为 2 2，求椭圆方程。 分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a 、b 之值即可 解析：由???=+=+1 1 22y x by ax 得（a ＋b ）x 2－2bx ＋b －1＝0 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则 x 1＋x 2＝b a b +2，x 1x 2＝b a b +-1 ∴|PQ |＝211+24)(21221=-+x x x x ·b a b b a b +-?-+14)2( 2 ＝2222=+-+b a a b b a ∴ab b a -+＝a ＋b ① 又PQ 的中点C （ b a b +，1－b a b +），即C （ b a b +，b a a +） ∴k OC ＝22= =++b a b a b b a a ② 由①②得a ＝31，b ＝32 ∴所求椭圆方程为3 23 22 y x + ＝1 ［例6］中心在原点的椭圆C 的一个焦点是F （0，50），又这个椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标是 2 1，求该椭圆方程。 分析：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。 解析：据题意，此椭圆为焦点在y 轴上的标准形式的椭圆，设其方程为2 2 22b x a y +＝1（a ＞b ＞0） 设直线l 与椭圆C 的交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有： 221221b x a y +＝1，122 2 222=+b x a y 两式相减得： 2 21212 2121))(())((b x x x x a y y y y -++-+＝0 ∴)() (212 2122121y y b x x a x x y y +-+=-- 即3＝) 1(122-?-?b a ∴a 2＝3b 2 ① 又因为椭圆焦点为F （0，50） ∴c ＝50 则a 2－b 2＝50 ② 由①②解得：a 2＝75，b 2＝25 ∴该椭圆方程为25 7522x y +＝1 ［例7］设P 是椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2=90°，求证：椭圆的离心 率e ≥. 22 证明：∵P 是椭圆上的点，F 1、F 2是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=2a ① 在Rt △F 1PF 2中， 2 222122214)2(||||||c c F F PF PF ===+ 由①2 ，得2 2221214||||||2||a PF PF PF PF =++ ∴|PF 1|·|PF 2|=2（a 2 －c 2 ） ② 由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF 1|·|PF 2|是方程z 2－3az +2（a 2－c 2 ）=0的两根， 则△=4a 2－8（a 2－c 2 ）≥0， ∴（ a c ）2≥2 1 ，即e ≥22 一、选择题： 1、到x 轴和到y 轴的距离之比等于2的点的轨迹方程是（ ） A ．y = 2x B. y=2|x| C. |y| = 2 |x| D. |x| = 2 |y| 2、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ） A ． 21 B.31 C.4 1 D.42 3、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是3 16 - =y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.17162 2=+y x C. 116922=+y x D.116 72 2=+y x 4、直线x = 2 被椭圆)0(16 2 2 >=+ααy x 截得弦长等于32，则α的值是（ ） A ．22 B.8 C.10 D.28 5、方程y = |x| 和42 2 =+y x 对应的两曲线围成的图形的面积等于（ ） A ． 4 π B.43π C. π D.23π 6、椭圆12 2 2 2 =-ay x a 的一个焦点是（ -2，0 ），则a 等于（ ） A ． 431- B.451- C.431± D.4 5 1± 7、在直角坐标平面上，点集M = { （x , y ）| y = 216x -,y ≠0 } , N = { ( x , y ) | y = x + b } , 当 φ≠N M I 时，b 的取值范围是 （ ） A ．[]24,24- B. []24,4- C.()24,4- D.() 24,0 二、填空题： 1、由椭圆 116 92 2=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。 2、不论k 为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x 轴的椭圆152 2=+β y x 总有公共点，则β的取值范围是： 。 3、与椭圆且短有相同的焦点，y x 14 92 2=+轴长为2的椭圆方程是： 。 三、解答题： 1、 求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P （ 4，3- ），Q （ 3,22 ）两点的椭圆方程。 2、 已知圆C 与直线3x – 4y –11 =0 及x 轴都相切并且经过点M （ 6，2 ），求圆C 的方程。 3、 经过点A （2，4）的直线l,被圆014222 2=-+-+y x y x 截得弦长为32，求直线l 的方程。 4、 已知椭圆19 42 2=+y x 和抛物线m x y -=2有四个不同的交点。 （1）试确定 m 的取值范围；（2）证明这四个交点都在同一圆上。 5、点P 在圆4 1)2(2 2 =-+y x 上运动，点Q 在椭圆442 2=+y x 上运动，求PQ 最大值。 6、 已知椭圆110 402 2=+y x 内部一点A （4，1-）过A 作弦PQ ，使A 恰为PQ 中点，M 为椭圆上任一点，求MPQ S ?的最大值。 7、 P 、Q 为椭圆141622=+y x 上两点，O 为原点，4 1-=?OQ OP k k ，求证：202 2=+OQ OP 参考答案 选择题： 1、（ C ）2、（ A ）3、（ D ）4、（ B ）5、（ C ）6、（ B ）7、（ B ） 填空题： 1： 5 24 2 ：51<≤β。 3、 1622=+y x 解答题： 1解：设椭圆方程为12222=+b y a x ，将P ，Q 两点坐标代入，解得15,202 2==b a 故 115 202 2=+y x 为所求。 2解：设圆C 方程为()() 2 2 2r b y a x =-+-，由|b|=r, ,5 11 43r b a =--()()22 2 26r b a =-+-,解得 a= 2 , b = r = 5 或 a = -2 ,b=r=17 故()()()()28917225522 2 2 2 =-++=-+-y x y x 或为所求。 3解：设圆心()3,2-，半径 r = 4.，弦长为32 ，弦心距13=d ，设),2(4:-=-x k y l 由131 2412=+-++= k k k d ，解得,2 3 ,3221-== k k 故01423,0832=-+=+-y x y x 为所求。 4、解：m x y -=2 代入1942 2=+y x ，得()0364894224=-+-+m x m x ①，由椭圆与抛物线有四个交点知，关于2 x 的方程有两相异正根。解不等式组?????>-<->-=?0 3640890 1446572m m m 得16733< ,036554422=-+++m y y x 故四交点共圆。 5、解： 圆心A （0，2） Q （αcos 2，αsin ） 8sin 4sin 3)2(sin )cos 2(2222 +--=-+=ααααAQ 3 28)3 2(sin 32 + +-=α ∴ 2132328max ==QA 2 12132max +=PQ 6、解： 中点弦公式 ∴ PQ l ：05=--y x 2405110402 2=??? ???=--=+ PQ y x y x 设M （αcos 40，αsin 10） 2/5sin 10cos 40),(--=ααl M d 5)sin(502 2 -+??= ?α ∴ 1)sin(-=+?α 22 5 5max +=d ∴ )12(10)22 55(2421max +=+??=?S 7、解： P （αcos 4，αsin 2）Q （βcos 4，βsin 2） 4 1 -=?OQ OP k k ∴ 41cos cos 16sin sin 4-=??βαβα ∴ 0sin sin cos cos =+βαβα 即0)cos(=-βα ∴ 2 2π πβα± =-k 20)sin (sin 4)cos (cos 1622222 2=+++=+βαβαOQ OP 课后作业 1. 如果方程x 2 ＋ky 2 ＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A. （0，＋∞） B. （0，2） C. （1，＋∞） D. （0，1） 2. 已知椭圆9 2522y x +＝1，F 1、F 2分别为它的两焦点，过F 1的焦点弦CD 与x 轴成α角（0＜α＜π＝，则△F 2CD 的周长为 A. 10 B. 12 C. 20 D. 不能确定 3. 椭圆31222y x +＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 A. ±43 B. ±23 C. ±4 2 D. ±43 4. 设椭圆20 4522y x +＝1的两焦点分别是F 1和F 2，P 为椭圆上一点，并且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||等于 A. 65 B. 25 C. 35 D. 3 52 5. 直线y ＝x 与椭圆4 2 x ＋y 2 ＝1相交于A 、B 两点，则|AB |等于 A. 2 B. 554 C. 5104 D. 5108 6. 点P 是椭圆64 10022y x +＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为___________。 7. △ABC 的两顶点B （－8，0），C （8，0），AC 边上的中线BM 与AB 边上的中线CN 的长度之和为30，则顶点A 的轨迹方程为___________。 8. F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则M 点的轨迹是___________。 9. 以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P （ 53，－4）和Q （－5 4，3） ，则此椭圆的方程是___________。 10. 在椭圆4 1622y x +＝1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。 11. △ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是－9 4，求顶点A 的轨迹方程。 12. 在面积为1的△PMN 中，tan M ＝2 1，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点并且过点P 的椭圆方程。 [参考答案] 1. 解析：将方程x 2＋ky 2＝2化为椭圆的标准方程为k y x 222 2+＝1，又焦点在y 轴上， ∴ k 2>2，解之得0 3. 解析：由椭圆的标准方程易知c ＝3，不妨设F 1（－3，0）、F 2（3，0），因为线段PF 1的中点在y 轴上，由中点坐标公式知x P ＝3，由椭圆方程3 122 2 y x +＝1解得y p ＝± 23，故M 点纵坐标为±4 3。 4. 解析：从方程中可得a ＝35，b ＝25，c ＝5 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝65，∴（|PF 1|＋|PF 2|）2 ＝180 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝180 由已知PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2c ）2 ＝100代入上式得2|PF 1|·|PF 2|＝80 ∴（|PF 1|－|PF 2|）2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20 ∴||PF 1|－|PF 2||＝25 答案：B 5. 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 由方程组?????+=2 24 y x x y 得245x ＝1 ∴x ＝±,552y ＝±5 52， 即A （552,552），B （－552，－5 52） 由两点间距离公式可得|AB |＝5 104 6. 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理有m 2＋n 2－2mn cos60°＝|F 1F 2|2＝122，即m 2＋n 2－mn ＝144 ① 由椭圆定义知m ＋n ＝20，则m 2＋n 2＋2mn ＝400 ② 由②－①得，3mn ＝256，故mn ＝ 3 256 因此，3 3642332562160sin 212 1=??=?= ?mn S PF F 7. 解析：如图所示，设B 、C 为B ′C ′的两个三等分点，则B ′（－24，0），C ′（24，0），连接AB ′，AC ′， 设A （x ，y ），BM 、CN 又分别为△ACB ′与△ABC ′的中位线。 ∴|AB ′|＝2|BM |，|AC ′|＝2|CN | ∴|AB ′|＋|AC ′|＝2（|BM |＋|CN |）＝60 由椭圆定义，动点A 到两定点B ′、C ′的距离的和为定长60，所以点A 在以B ′、C ′为焦点，中心在原点的椭圆上运动。 ∵2a ＝60，∴a ＝30 由|B ′C ′|＝48，得c ＝24 ∴b 2＝a 2－c 2 ＝900－576＝324 则点A 的轨迹方程是324 90022y x +＝1（y ≠0） 8. 解析：尽管动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6，但2a ＝|F 1F 2|，∴M 点轨迹应为F 1、F 2两点间的线段。 答案：F 1、F 2两点间的线段 9. 解析：设此椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1（m >0，n >0，m ≠n ），把P （53，－4），Q （－54，3）代入得???????=+=+1 925 16116259 n m n m 解得m ＝1，n ＝ 251，故椭圆方程为x 2＋25 2y ＝1。 10. 解析：设弦的两端点分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有4162 12 1y x +＝1，4162 22 2y x +＝1 两式相减得 4 ))((16))((2121 2121y y y y x x x x -+-=-+ ∴ 2 1 21644)(16)(421212121-=?-?=+-+=--y y x x x x y y 即弦所在直线的斜率为－ 2 1，又弦过（2，1）点，故弦所在直线的方程是x ＋2y －4＝0 11. 解：设顶点A 的坐标为（x ，y ），由题意得：9 466-=+?-x y x y ∴顶点A 的轨迹方程为：36 812 2 y x +＝1（y ≠±6） 12. 解：以直线MN 为x 轴，以线段MN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示。 圆锥 曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为： 22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或 122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位 置，只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原 点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴ 01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。 注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支； 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。 （2）双曲线的性质 圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<ｅ越小，椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁 ? 二、双曲线 １、定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 三、抛物线 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆 椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角. 2. PT 平分APFiF?在点P 处的外如，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除公 长轴的两个端点. 3. 以議点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切. 5. 若&(%,儿)在椭圆匚+ — = 1上，则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1. n b a b 6. 若P D (A -0,V 0)在椭圆^+2T =1外，则过Po 作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线 a b 方程是年+臂=1. a h 2 Q 7. 椭岡3 + S = l (a>b>0)的左右焦点分别为F 】，F2，点P 为椭圆上任恿一点乙FfF 厂y ,则椭恻 a b 的焦点角形的面积为S“ =h 2tan^? 1 z 2 2 2 8. 椭圆冷+冷=1 b>0)的焦半径公式： 异b 2 I MF X 1= a +? J MF 2 1= a - (F,(-c,0) , F 2(c,0) M(x 0> j a )). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 为点，A 为椭圆长轴匕一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭恻交于两点氏Q,A f . A?为橢圆k 轴上的顶点，A|P 和A?Q 交丁点皿 A?P 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. F y 2 h 2 AB 足椭圆—+ —= 1的不平行于对称轴的弦，儿)为AB 的中点，则k aM ^k Ali =- — a ■方- a" 即K 舶学。 a 几 则被Po 所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛. a b a b 椭圆一(会推导的经典结论) 10. 11. 12. 若P 0(A 0,儿)在椭圆鼻+士 = 1内, a 13. 若尸畑儿)在椭圆 则过Po 的弦中点的轨迹方程是 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θππ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α) 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 圆锥曲线知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或1 22 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置， 只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n + =（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±， y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点 (,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =， 2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a = 叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 圆锥曲线 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两 点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线 交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准 方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 2 2 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ， 因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没 有交点. 二、圆： 1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程：①当22 40D E F +->时，一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方，将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时，方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ?点M 在圆C 内，||MC r =?点M 在圆C 上，||MC r >?点M 在圆C 外，其中||MC = （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定. 圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质 2．双曲线的性质 3．抛物线中的常用结论 ①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p ②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2 ③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是 直线AB恒过定点(2p，0) (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时， 是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线． 4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来） (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所 在的直线方程 (4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称） 5．二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。 高三圆锥曲线知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 2 22 b a b y a x =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴 上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 B A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于2 0π θ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线： c a x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归 结起来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α) §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212 1 2121 2121 ,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：) 0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：) 0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程： 1 2 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于2 0π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2 ± =或c a y 2 ± =. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，2 1,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，2 1,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()( ),0()(0002 2 002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+ =归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：) , (22 2 2 a b c a b d -= 和) , (2 a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 ) 0(12 22 2 b a b y a x =+ 的离心率是) (2 2 b a c a c e -= = ，方程 t t b y a x (2 22 2=+ 是大于 0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：1 2 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 22 1 =+可得）. 若 12, PF PF ⊥此三角形面积为2 b ； 若是双曲线，则面积为 2 cot 2 θ ?b . ? -=+=02 01 ,ex a PF ex a PF ? -=+=02 01,ey a PF ey a PF圆锥曲线知识点总结版
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