【新教材】-新人教A版必修一 函数模型及其应用 学案

2019—2020学年新人教A版必修一函数模型及其应用学案

1．几类函数模型

2。三种函数模型的性质

知识拓展

1．解函数应用题的步骤

2．“对勾”函数

形如f(x）＝x＋错误!(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

（1）该函数在(－∞，－a]和[错误!，＋∞)上是增加的,在［－错误!，0）和（0，错误!]上是减少的．

（2）当x>0时，x＝错误!时取最小值2错误!，

当x〈0时，x＝－错误!时取最大值－2错误!.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）

（1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10％出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×）

(2）函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．（×）

（3)不存在x0，使0x a

(4)在(0，＋∞）上，随着x的增大，y＝a x（a>1）的增长速度会超过并远远大于y＝x a（a〉0)的增长速度．(√）

(5)“指数爆炸"是指数型函数y＝a·b x＋c（a≠0,b>0，b≠1）增长速度越来越快的形象比喻．(×)

题组二教材改编

2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）

A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1

B．结余最高的月份是7月

C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D．前6个月的平均收入为40万元

答案D

解析由题图可知,收入最高值为90万元，收入最低值为30万元,其比是3∶1，故A正确；由题图可知,7月份的结余最高，为80－20＝60(万元），故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确;由题图可知，前6个月的平均收入为错误!×（40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45（万元），故D错误．

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x2＋2x＋20（万元)．一万件售价为20万元,为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．

答案18

解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－错误!（x－18）2＋142,

当x＝18时,L（x)有最大值．

4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．

答案3

解析设隔墙的长度为x（0〈x〈6),矩形面积为y,

则y＝x×错误!＝2x（6－x)＝－2（x－3）2＋18，

∴当x＝3时，y最大．

题组三易错自纠

5．国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版一本书,共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为(）

A．2 800元B．3 000元

C．3 800元D．3 818元

答案C

解析由题意，知纳税额y(单位：元）与稿费（扣税前)x(单位：元）之间的函数关系式为y＝错误!

由于此人纳税420元，

所以800〈x≤4 000时，令(x－800）×0.14＝420，

解得x＝3 800，

x〉4 000时，令0。112x＝420，解得x＝3 750（舍去)，

故这个人应得稿费(扣税前）为3 800元．

6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．

答案错误!－1

解析设年平均增长率为x，则（1＋x）2＝(1＋p)（1＋q)，

∴x＝错误!－1.

题型一用函数图像刻画变化过程

1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h）的大致图像是（）

答案B

解析v＝f（h）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B。

2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（）

答案B

解析由运输效率(单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大,故函数的图像应一直是下凸的，故选B.

3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（)

A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

答案D

解析根据图像所给数据，逐个验证选项．

根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错；以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油，故选项C错;最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．

思维升华判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

题型二已知函数模型的实际问题

典例（1)（2017·石家庄质检）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．

答案3。75

解析根据图表，把(t,p）的三组数据(3,0。7），（4，0.8）,(5，0.5）分别代入函数关系式，联立方程组得错误!

消去c化简得错误!

解得错误!

所以p＝－0.2t2＋1。5t－2＝－1

＋错误!，所以当t＝错误!

5错误!＋错误!－2＝－错误!错误!2

＝3.75时,p取得最大值，即最佳加工时间为3。75分钟．

(2）某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x（单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b（e＝2。718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

答案24

解析由题意得错误!∴e22k＝错误!＝错误!，

∴e11k＝错误!，∴x＝33时,y＝e33k＋b＝(e11k）3·e b

＝错误!3·192＝错误!×192＝24（小时）．

思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点

（1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

跟踪训练（1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f（m)＝1。06(0。5［m]＋1）给出，其中m>0，[m］是不超过m的最大整数（如［3］＝3，[3。7］＝3，［3.1］＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．

答案4。24

解析∵m＝6。5，∴[m］＝6，则f（6。5）＝1.06×（0。5×6＋1）＝4.24.

（2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－错误!Q2,则总利润L(Q）的最大值是________万元．

答案 2 500

解析L（Q）＝40Q－错误!Q2－10Q－2 000

＝－错误!Q2＋30Q－2 000＝－错误!(Q－300)2＋2 500。

则当Q＝300时，L(Q）的最大值为2 500万元．

题型三构建函数模型的实际问题

命题点1构造一次函数、二次函数模型

典例（1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg）与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

答案19

解析 由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0,解得x ＝19. （2）将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个,已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元． 答案95

解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝（x －80)·[400－(x －90)·20］＝－20[(x －95)2－225］． ∴当x ＝95时，y 最大．

命题点2 构造指数函数、对数函数模型

典例一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的错误!，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的错误!。 (1）求每年砍伐面积的百分比；

(2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 （1）设每年降低的百分比为x （0〈x <1), 则a (1－x )10＝错误!a ，即(1－x )10＝错误!， 解得x ＝1－错误!

1

10

.

(2)设经过m 年剩余面积为原来的错误!, 则a （1－x )m ＝错误!a ，即错误!10

m ＝错误!12

，

即错误!＝错误!，解得m ＝5.

故到今年为止,该森林已砍伐了5年． 引申探究

本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始，以后砍了n 年, 则n 年后剩余面积为错误!a （1－x )n .

令错误!a （1－x ）n ≥错误!a ，即（1－x ）n ≥错误!, 错误!

10

n ≥错误!32

，即错误!≤错误!，解得n ≤15.

故今后最多还能砍伐15年．

命题点3 构造y ＝x ＋错误!(a >0)型函数

典例 (1)(2018届中原名校质检）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为错误!，则同学们认为最适宜的教室应在(） A ．2楼B ．3楼 C ．4楼D ．8楼 答案B

解析 由题意知同学们总的不满意度 y ＝n ＋错误!≥2错误!＝4错误!，

当且仅当n ＝错误!,即n ＝2错误!时等号成立，

又∵当n ＝3时,不满意度y 的值比n ＝2时不满意度y 的取值小, ∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．

（2)(2017·南昌模拟）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9错误!平方米，且高度不低于错误!米．记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x ＝________.

答案2错误!

解析由题意可得BC＝错误!－错误!，

∴y＝错误!＋错误!≥2错误!＝6错误!.

当且仅当错误!＝错误!（2≤x〈6），

即x＝23时等号成立．

命题点4构造分段函数模型

典例（2017·山西孝义模考）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．

(1）求函数y＝f(x)的解析式;

（2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多?

解(1）当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115>0，解得x〉2。3，

∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z。

当x>6时，

y＝[50－3（x－6）］x－115＝－3x2＋68x－115。

令－3x2＋68x－115〉0,有3x2－68x＋115〈0，结合x为整数得6〈x≤20,x∈Z.

∴y＝错误!

(2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，y max＝185;

对于y＝－3x2＋68x－115＝－3错误!2＋错误!（6〈x≤20，x∈Z）,当x＝11时，y max＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多．

思维升华构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．

跟踪训练(1）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元）与x(件）的函数关系式为______________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资）

答案y＝错误!（x∈N＋）16

解析当0

故y＝｛－x2＋32x－100，0〈x≤20，

(x∈N＋）．

160－x，x〉20

当0〈x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－（x－16)2＋156，

当x＝16时,y max＝156.

而当x〉20时，160－x<140,

故当x＝16时取得最大年利润．

(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x的关系是R(x)＝错误!则总利润最大时，该门面经营的天数是________．答案300

解析由题意，总利润

y＝错误!

当0≤x≤400时，y＝－错误!（x－300)2＋25 000，

所以当x＝300时，y max＝25 000；

当x〉400时，y＝60 000－100x<20 000,

综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．

函数应用问题

典例（12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）＝错误!

(1）写出年利润W（万美元）关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．

规范解答

解(1）当0

＝－6x2＋384x－40，[2分］

当x>40时,W＝xR（x）－（16x＋40）

＝－错误!－16x＋7 360.

所以W＝错误!［4分]

(2)①当0

所以W max＝W(32)＝6 104；［6分］

②当x〉40时，W＝－错误!－16x＋7 360，

由于错误!＋16x≥2错误!＝1 600，

当且仅当错误!＝16x,即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，

所以此时W的最大值为5 760.［10分］

综合①②知，

当x＝32时，W取得最大值6 104万美元．[12分]

解函数应用题的一般步骤：

第一步：（审题)弄清题意,分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：（建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型;

第三步：（解模）求解数学模型，得到数学结论；

第四步：（还原）将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：（反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

A.y ＝2x －2 B ．y ＝错误!（x 2－1） C ．y ＝log 2x D ．y ＝log 1

2x

答案B

解析 由题中表可知函数在（0，＋∞）上是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B 。

2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％）,仍可获利10％(相对进货价），

则该家具的进货价是（）

A．118元B．105元C．106元D．108元

答案D

解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a,解得a＝108.

3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p％，超过280万元的部分按（p＋2)％征税，有一公司的实际缴税比例为（p＋0。25)%，则该公司的年收入是（）A．560万元B．420万元

C．350万元D．320万元

答案D

解析设该公司的年收入为x万元（x〉280),则有

错误!＝（p＋0.25)%，

解得x＝320。故该公司的年收入为320万元．

4．（2018·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考）某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1。12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）(）

A．2017年B．2018年

C．2019年D．2020年

答案D

解析设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×（1＋12%)n≥200,则n≥错误!≈错误!＝3。8，由题意取n＝4，

则n＋2 016＝2 020。故选D.

5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为(）

A．13 m3B．14 m3

C．18 m3D．26 m3

答案A

解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元,由题意得y＝错误!

则10m＋（x－10)·2m＝16m,

解得x＝13。

6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为y1＝4。1x－0。1x2，在B地的销售利润(单位：万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是（）

A．10。5万元B．11万元

C．43万元D．43。025万元

答案C

解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x）辆,所以可得利润

y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1错误!2＋0.1×（10.5）2＋32。

因为x∈[0,16］且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．

7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t 表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

答案2ln 21 024

解析当t＝0。5时，y＝2，∴2＝

1

2

e k，

∴k＝2ln 2，∴y＝e2t ln 2，

当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.

8．“好酒也怕巷子深"，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数），广告效应为D＝a错误!－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)

答案错误!a2

解析令t＝错误!(t≥0）,则A＝t2,

∴D＝at－t2＝－错误!2＋错误!a2，

∴当t＝错误!a，即A＝错误!a2时，D取得最大值．

9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为________m.

答案20

解析设内接矩形另一边长为y m，

则由相似三角形性质可得错误!＝错误!,

解得y＝40－x,

所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400（0

所以当x＝20时，S max＝400.

10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以v km/h的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于错误!2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h（车身长度不计）．

答案12

解析设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了错误! km所用的时间，因此，t＝错误!≥12，

当且仅当错误!＝错误!,即v＝错误!时取“＝”．

故这些汽车以错误!km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少，最少时间为12 h.

11．已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位:分钟)的变化规律:θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m〉0）．

（1）如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度;

（2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

解(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2错误!，

当θ＝5时，2t＋错误!＝错误!，