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正弦定理余弦定理的基本练习题

基本运算类

1、A B C ?中,45,60,10,A B a === 则b 等于( )

A 3

答案:D

2、在△ABC 中,已知8=a ,B=060,C=075,则b 等于

A.64

B.54

C.34

D.

3

22

答案:A

3、已知ABC ?中,c b a 、、分别是角C B A 、、的对边,

60,3,2==

=

B b a ,则A =

A. 135

B. 45

C. 135或 45

D.90

答案:B

4、在△ABC 中,a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ?=?=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边

长为( )

A .4

6 B .

3

22 C .

3

62 D .

4

2

答案:C

5、在ABC ?中,B=30?,C=45?,c=1,则最短边长为( )

A 3

B .

2

C .

12

D 2

答案:B

6、在ABC ?中,若边4a c ==,且角4

A π

=,则角C= ;

答案:30

7、在A B C ?中,已知8a =,60B =?,75C =?,则b 的值为( )

A. B.

C.

D.

323

答案:C

8、在A B C ?中,15a =,10b =,60A =?,则cos B =( )

A.3

B.

3

C.

4

D.

4

答案:B

9、在ABC ?中,已知0

45,1,2===

B c b ,则

C = .

答案:30°

10、在A B C △中,3

A π∠=

,3B C =,A B ,则C ∠=

A.4

π或

34

π B.

34

π C.

4

π D.

答案:C

11、在△ABC 中,0045,30,2A B b ===,则a 边的值为 .

答案:

12、在ABC ?中, 若2

1cos ,3-

==A a ,则ABC ?的外接圆的半径为( )

A .3

B .32

C .2

1 D .2

3

答案:A

13、△ABC 中,30,8,A a b === 则此三角形的面积为( )

A B 16 C 或16 D 或

答案:D

14、已知锐角A B C ?的面积为4B C =,3C A =,则角C 大小为

(A )30

(B )45

(C )60

(D )75

答案:C

15、已知ABC ?的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且5

4cos ,3,2=

==B b a ,则A sin 的值

为 .

答案:5

2

16、A B C △中,若537AB ===,AC ,BC ,则A 的大小为( )

A .150

B .120

C .60

D .30

答案:B

17、在A B C ?中,若1b =,c =23

C π=

,则a = .

答案:1

18、在△ABC 中,若2

22

c a b ab =++,则∠C=( )

A. 60°

B. 90°

C. 150°

D. 120°

答案:D

19、在A B C ?中,222a c b ab -+=,则C =( )

A.60?

B.45?或135?

C.120?

D.30?

答案:A

20、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( ).

A .7

1- B .

7

1 C .

14

11 D .

14

1

答案:B

21、若ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且222a b c bc =+-,则角A 的大小为 ( )

A .

6

π

B .

3

π

C .

3

2π D .

3

π

3

答案:B

22、在ABC ?中,A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知bc c b a ++=222,则A 等于( )

A.

120 B.

60 C.

45 D.

30

答案:A

23、在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =

3

π

, 3=a , 1=b ,则=c ( )

A. 1

B. 2

C. 3-1

D. 3

答案:B

24、在A B C △中,若120c b B === ,则a 等于 ( )

A .

B .2

C .

D

答案:D

25、在ABC ?中,2=a , 30=A , 120=C ,则ABC ?的面积为( )

A.2

B. 22

C. 3

D.2

13+

答案:C

26、在ABC ?中,,,,23230===AC AB

B 那么ABC

?的面积是 ( )

A.32

B.3

C.32或34

D.3或32

答案:D

27、在ABC ?中,5,7,8AB BC AC ===,则ABC ?的面积是 ;

答案:

28、A B C ?中,120,2,ABC A b S ?=== a 等于 。

答案:29、在△ABC 中,已知04,6,120a b C ===,则sinA 的值是

A.19

57 B.

7

21 C.

38

3 D.19

57-

答案:A

30、已知三角形ABC 的面积222

4

a b c

S +-=

,则角C 的大小为

A. 030

B.045

C.060

D.075

答案:B

31、在2,5,7,3

A B C A A B B C A B C π?∠=

==?中,若则的面积=

答案:

4

315

32、.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b , c ,若

4,2

2

2

=?+=+AB AC bc a c b 且,则△ABC 的面积等于 .

答案:32 33、在△ABC 中,B=

3

π

中,且3

4=?BC

BA ,则△ABC 的面积是_____

答案:6

34、在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为

A.

2

23 B.

2

33 C.

2

3 D.33

答案:B

35、若ABC ?的面积为

3

,O 60,2==C BC ,则边长AB 的长度等于 .

答案:2

边角互化基础训练

36、在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,

若c o s

c o s

a b B A

=

,则ABC ?的形状一定是 ( )

A .等腰三角形

B .直角三角形

C .等腰三角形或直角三角形

D .等腰直角三角形

答案:C

37、△ABC 中,若2cos c a B =,则△ABC 的形状为( )

A .直角三角形

B .等边三角形

C .等腰三角形

D .锐角三角形

答案:C

38、在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,且A b a sin 3=,则=B sin

(A )3 (B )3

3 (C )

3

6 (D )3

6-

答案:B

39、在ABC ?中,a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边,且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-,则角C 等

于( ) A .6

π

B .

3

π

C .

56

π D .

23

π

答案:B

40、ABC ?中,若C A C B A sin sin sin sin sin 222=+-那么角B =___________

答案:

3

π

41、在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则

C

B sin sin 的值为 .

答案:5

3

42、在ABC ?中,a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边,且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-,则角C 等

于( ) A .

6

π

B .

3

π

C .

56

π D .

23

π

答案:B

43、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()

C a A c b cos cos 3=-,则=A cos

3

44、△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a , b ,

c ,a A b B A a 2cos sin sin 2

=

+,则=

a b

( )

A ..

答案:A

45、已知:在⊿ABC 中,

B

C b c cos cos =,则此三角形为

A. 直角三角形

B. 等腰直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰或直角三角形

答案:C

46、

在△ABC 2sin b A =,则

B 等于( )

A. 30

B. 60

C. 60或 120 D 30或 150

答案:C

47、已知,,A B C 是A B C ?的内角,并且有222sin sin sin sin sin A B C A B +=+,则C =______。

答案:

3

π

48、在ABC ?中,如果sin A C =, 30=B ,2=b ,则ABC ?的面积为 .

49、在ABC 中,,,a b c 分别是,,A B C 所对的边,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-,则角A 的大

小为__________.

答案:

3

π

50、在△ABC 中,已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7, 此三角形的最大内角的度数等于________.

答案:1200

余弦定理应用

51、在A B C ?中,3

B π

∠=

,三边长a ,b ,c 成等差数列,且6a c =,则b 的值是( )

A B .

C D

答案:D

52、在A B C ?中,若

cos cos 2B b C

a c

-=

+

(1)求角B 的大小 (2

)若b =4a c +=,求A B C ?的面积

答案:解:(1)由余弦定理得

c a b ab

c

b a a

c b

c a +-=-+-+2222

222

2

2

化简得:ac b c a -=-+222

∴2

122cos 2

2

2

-

=-=

-+=ac

ac ac

b

c a B

∴B=120°…………………6分 (2)B ac c a b cos 2222-+= ∴)2

1

(22)(132

-?--+=ac ac c a

∴ac=3 ∴4

33sin 2

1=

=

?B ac S ABC …………………………………6分

53、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,cosB=

35

,且AB BC ?

=—21.

( I )求△ABC 的面积; ( II )若a=7,求角 C 。

答案:

54、在ABC △中,内角A B C ,,对边的边长分别是a b c ,,,已知2c =,3

C π=

.(I )若ABC △的

a b ,;(II )若sin 2sin B A =,求ABC △的面积.

答案:解:

(Ⅰ)由题意,得22

2cos 4,3

1sin 23a b ab ab ππ?+-=????=?? 即224,4,a b ab ab ?+-=?=? ………………6分

因为2

2

2

()3()34()124,a b ab a b a b +-=+-?=+-= 所以4,a b +=

由4,4,

a b ab +=??

=? 得 2.a b == ……………………………………………6分

(Ⅱ)由sin 2sin B A =得,2b a =. ………………………………………………7分 由余弦定理得,2222

12(2)2232

a a a a a =+-???=,

33

a b =

= ……………………………………………10分

11sin 2

23

3

23

ABC S ab C =

=?= …………………………12分

55、已知A B C △的面积是30,内角A B C 、、所对边分别为a b c 、、,1213

cos A =

,若1c b -=,则a

的值是 .5

答案:5

56、已知:在ABC ?中, 120=A ,8,7=+=c b a .

(1)求b,c 的值;(2)求B sin 的值.

答案:解:(1)根据题意??

???=+-=-+=

8

2

1

2cos 2

22c b bc a c b A ,???=+=815c b bc 解得:??

?==5

3c b 或??

?==35c b

(2)根据正弦定理

A

a

B b

sin sin =

当??

?==5

3c b 时,14

33sin =

B ,当??

?==3

5c b 时,14

35sin =

B

57、在△A B C 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2a =,3c =,1cos 4

B =

(I ) 求b 的值; (II )求sin C 的值.

答案:解:(I)由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= ………………………………2分

得104

1322322

2

2

=?

??-+=b . ………………………………3分

10=

∴b . ………………………………5分

(II)方法一:

由余弦定理得 ab

c

b a C 2cos 2

2

2

-+=

………………………………7分

8

1010

229104=??-+=

. ………………………………9分

C 是ABC ?的内角,

8

63cos 1sin 2

=

-=∴C C . ………………………………10分

方法二:

4

1cos =

B 且B 是AB

C ?的内角,

415cos 1sin 2

=

-=∴B B , ………………………………7分

根据正弦定理C

c B

b sin sin = ………………………………9分

得8

6310

4153sin sin =?=

=

b

B c

C . ………………………………10分

58、已知ABC ?的周长为)12(4+,且A C B sin 2sin sin =

+.

(1)求边长a 的值;

(2)若A S ABC sin 3=?,求A cos 的值.

答案:解 (1)根据正弦定理,A C B sin 2sin sin =

+可化为a c b 2=+.

联立方程组?????=++=++a

c b c b a 2)

12(4,解得4=a .

(2)A S ABC sin 3=? ,A A bc sin 3sin 2

1=∴

6=∴bc .

又由(1)可知,24=+c b , 由余弦定理得

∴3

122)(2cos 2

22

2

2

=

--+=

-+=

bc

a

bc c b bc

a

c b A

59、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,

(1)若,cos 2)6sin(A A =+π

求A 的值; (2)若c b A 3,3

1cos ==,求C sin 的值.

答案:(1)

sin()2cos ,sin ,cos 0,tan 06

3

A A A A A A A A π

π

π+

=∴=

≠=

<<∴=

(2)在三角形中

,2

2

2

2

1cos ,3,2cos 8,3

A b c a b c bc A c a =

=∴=+-==

由正弦定理得:sin sin c

A

C

=

,而sin 3

A ==

1sin 3

C ∴=

.(也可以先推出直角三角形)

(

也能根据余弦定理得到1cos 0sin 3

3

C C C π=

<

)

60、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -=

(1)求cos B 的值;

(2)若2=?BC BA ,且22=b ,求c a 和的值.

答案:1(I )解:由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===,

,

0sin .cos sin 3sin ,

cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则

因此.3

1cos =

B …………7分

(II )解:由2cos ,2==?B a BC BA 可得,

,

,0)(,

12,cos 2,

6,3

1cos 2

22

2

2

2

c a c a c a B ac c a b

ac B ==-=+-+===即所以可得由故又

所以.6==c a …………14分

61、已知ABC ?中,角,,A B C 所对的边,,a b c ,已知2a =,3c =,1cos 4

B =

;(1)求边b 的值;

(2)求sin C 的值。

答案:222

12cos 49223104

b a

c ac B =+-=+-???

=………………

3

b =

……………………………………………………………………

5 2

2

2

cos 28

b a c

C ab

+-==

=

……………………………

8

sin 8

C ?=

10

62、在?ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知

cos A -2cos C

2c-a =

cos B

b

(I )求

sin sin C A

的值;

(II )若cosB=14

,5b ABC 的周长为,求的长.

答案: (I )由正弦定理,设

,sin sin sin a b c k A B

C =

=

=

22sin sin 2sin sin ,sin sin c a

k C k A C A

b k B B ---=

=

所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B

--=

即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=,

所以sin 2sin C A = 因此

sin 2.sin C A = (II )由

sin 2sin C

A

=得

2.c a =

由余弦定得及1cos 4

B =

2

2

2

2

2

2

22cos 1444

4.

b a

c ac B a a a a =+-=+-?=

所以2.b a = 又5,a b c ++= 从而1,a = 因此b=2。

63、在?ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知

cos A -2cos C

2c-a =cos B

b

(I )求

sin sin C A

的值;

(II )若cosB=14

,b=2,A B C ?的面积S 。

答案: (I )由正弦定理,设

,sin sin sin a b c k A B C =

=

=

22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A

C A

b

k B

B ---=

=

所以

cos 2cos 2sin sin .cos sin A C

C A

B

B

--=

即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=, 所以sin 2sin C A = 因此

sin 2.sin C A

=

(II )由

sin 2sin C A

=得2.c a =

由余弦定理

2

2

2

2

2

2

12cos cos ,2,

4

144.

4

b a

c ac B B b a a =+-==+-?

及得4=a

解得a=1。 因此c=2 又因为1cos ,.4

B G B π=

<<且

所以sin 4

B =

因此11sin 122

2

4

4

S ac B =

=

???

=

64、在ABC ?中,角C B A ,,所对的边为c b a ,,,已知b c A b a 3,sin 2==

(1)求B 的值;

(2)若ABC ?的面积为32,求b a ,的值

答案:解:(1)A b a sin 2=,?=A B A sin sin 2sin 2

1sin =

B ,

30=B 或

150,b c >,所以 30=B ……………………6分

(2)由

30cos 2222ac c a b -+=

解得?=+-0322

2a ab b b a =或b a 2=…………① …………9分

又?==

?3230

sin 2

1

ac S ABC 38=ac …………②

b c 3=

…………③

由①②③???==2

4b a 或22==b a …………14分

65、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,满足2a c b +=,

且2cos 28cos 5B B =-,(1)求角B 的大小; (2)若2a =,求△ABC 的面积。

答案:解:(Ⅰ)∵2cos2B =8cos B -5,

∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.

∴4cos 2B -8cos B +3=0,即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =

12

或cos B =

32

(舍去).

∵0

3

π.

(Ⅱ)法一:∵a +c =2b .∴2

2

2

222

12cos 222

a c a c a c

b B a

c ac +??

+- ?+-??

===,

化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c . ∴△ABC 是边长为2的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于3 法二:∵a +c =2b , ∴ sin A +sin C =2sin B =2sin 3

π= 3.

∴sin A +sin(23π-A )=3, ∴sin A +sin

23

πcos A -cos

23

πsin A = 3.

化简得32

sin A

2

cos A

sin(A +6

π)=1.

∵0

π=

2

π.

∴A =

,C =

3

π

,又∵a=2

∴△ABC 是边长为2的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于3.

66、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知:

sin c sin sin sin a A C C b B +-=。 (Ⅰ)B ;(Ⅱ)若75,2A b =?=,求△ABC 的面积

答案:

将其带入sin c sin sin sin a A C C b B +-=得整理:222

c a b +-= 4分

∴2

2

2

2

c c 2cos cos 452

a a ac B B B +-=+-?=

?=

…………………6分

(2) 75,2,45A b B =?== ,60C ∴= ,……………….8分

由正弦定理有:22sin 60sin 45

sin 60

sin 45

c c =

?=

=

..10分

113

sin 2752

2

2

ABC S bc A +∴=

=??=

…..12分

注:此题也可以求a ,在求面积

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