基本运算类
1、A B C ?中,45,60,10,A B a === 则b 等于( )
A 3
答案:D
2、在△ABC 中,已知8=a ,B=060,C=075,则b 等于
A.64
B.54
C.34
D.
3
22
答案:A
3、已知ABC ?中,c b a 、、分别是角C B A 、、的对边,
60,3,2==
=
B b a ,则A =
A. 135
B. 45
C. 135或 45
D.90
答案:B
4、在△ABC 中,a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ?=?=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边
长为( )
A .4
6 B .
3
22 C .
3
62 D .
4
2
答案:C
5、在ABC ?中,B=30?,C=45?,c=1,则最短边长为( )
A 3
B .
2
C .
12
D 2
答案:B
6、在ABC ?中,若边4a c ==,且角4
A π
=,则角C= ;
答案:30
7、在A B C ?中,已知8a =,60B =?,75C =?,则b 的值为( )
A. B.
C.
D.
323
答案:C
8、在A B C ?中,15a =,10b =,60A =?,则cos B =( )
A.3
B.
3
C.
4
D.
4
答案:B
9、在ABC ?中,已知0
45,1,2===
B c b ,则
C = .
答案:30°
10、在A B C △中,3
A π∠=
,3B C =,A B ,则C ∠=
A.4
π或
34
π B.
34
π C.
4
π D.
6π
答案:C
11、在△ABC 中,0045,30,2A B b ===,则a 边的值为 .
答案:
12、在ABC ?中, 若2
1cos ,3-
==A a ,则ABC ?的外接圆的半径为( )
A .3
B .32
C .2
1 D .2
3
答案:A
13、△ABC 中,30,8,A a b === 则此三角形的面积为( )
A B 16 C 或16 D 或
答案:D
14、已知锐角A B C ?的面积为4B C =,3C A =,则角C 大小为
(A )30
(B )45
(C )60
(D )75
答案:C
15、已知ABC ?的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且5
4cos ,3,2=
==B b a ,则A sin 的值
为 .
答案:5
2
16、A B C △中,若537AB ===,AC ,BC ,则A 的大小为( )
A .150
B .120
C .60
D .30
答案:B
17、在A B C ?中,若1b =,c =23
C π=
,则a = .
答案:1
18、在△ABC 中,若2
22
c a b ab =++,则∠C=( )
A. 60°
B. 90°
C. 150°
D. 120°
答案:D
19、在A B C ?中,222a c b ab -+=,则C =( )
A.60?
B.45?或135?
C.120?
D.30?
答案:A
20、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( ).
A .7
1- B .
7
1 C .
14
11 D .
14
1
答案:B
21、若ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且222a b c bc =+-,则角A 的大小为 ( )
A .
6
π
B .
3
π
C .
3
2π D .
3
π
或
3
2π
答案:B
22、在ABC ?中,A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知bc c b a ++=222,则A 等于( )
A.
120 B.
60 C.
45 D.
30
答案:A
23、在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =
3
π
, 3=a , 1=b ,则=c ( )
A. 1
B. 2
C. 3-1
D. 3
答案:B
24、在A B C △中,若120c b B === ,则a 等于 ( )
A .
B .2
C .
D
答案:D
25、在ABC ?中,2=a , 30=A , 120=C ,则ABC ?的面积为( )
A.2
B. 22
C. 3
D.2
13+
答案:C
26、在ABC ?中,,,,23230===AC AB
B 那么ABC
?的面积是 ( )
A.32
B.3
C.32或34
D.3或32
答案:D
27、在ABC ?中,5,7,8AB BC AC ===,则ABC ?的面积是 ;
答案:
28、A B C ?中,120,2,ABC A b S ?=== a 等于 。
答案:29、在△ABC 中,已知04,6,120a b C ===,则sinA 的值是
A.19
57 B.
7
21 C.
38
3 D.19
57-
答案:A
30、已知三角形ABC 的面积222
4
a b c
S +-=
,则角C 的大小为
A. 030
B.045
C.060
D.075
答案:B
31、在2,5,7,3
A B C A A B B C A B C π?∠=
==?中,若则的面积=
;
答案:
4
315
32、.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b , c ,若
4,2
2
2
=?+=+AB AC bc a c b 且,则△ABC 的面积等于 .
答案:32 33、在△ABC 中,B=
3
π
中,且3
4=?BC
BA ,则△ABC 的面积是_____
答案:6
34、在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为
A.
2
23 B.
2
33 C.
2
3 D.33
答案:B
35、若ABC ?的面积为
3
,O 60,2==C BC ,则边长AB 的长度等于 .
答案:2
边角互化基础训练
36、在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,
若c o s
c o s
a b B A
=
,则ABC ?的形状一定是 ( )
A .等腰三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形或直角三角形
D .等腰直角三角形
答案:C
37、△ABC 中,若2cos c a B =,则△ABC 的形状为( )
A .直角三角形
B .等边三角形
C .等腰三角形
D .锐角三角形
答案:C
38、在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,且A b a sin 3=,则=B sin
(A )3 (B )3
3 (C )
3
6 (D )3
6-
答案:B
39、在ABC ?中,a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边,且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-,则角C 等
于( ) A .6
π
B .
3
π
C .
56
π D .
23
π
答案:B
40、ABC ?中,若C A C B A sin sin sin sin sin 222=+-那么角B =___________
答案:
3
π
41、在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则
C
B sin sin 的值为 .
答案:5
3
42、在ABC ?中,a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边,且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-,则角C 等
于( ) A .
6
π
B .
3
π
C .
56
π D .
23
π
答案:B
43、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()
C a A c b cos cos 3=-,则=A cos
3
44、△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a , b ,
c ,a A b B A a 2cos sin sin 2
=
+,则=
a b
( )
A ..
答案:A
45、已知:在⊿ABC 中,
B
C b c cos cos =,则此三角形为
A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
答案:C
46、
在△ABC 2sin b A =,则
B 等于( )
A. 30
B. 60
C. 60或 120 D 30或 150
答案:C
47、已知,,A B C 是A B C ?的内角,并且有222sin sin sin sin sin A B C A B +=+,则C =______。
答案:
3
π
48、在ABC ?中,如果sin A C =, 30=B ,2=b ,则ABC ?的面积为 .
49、在ABC 中,,,a b c 分别是,,A B C 所对的边,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-,则角A 的大
小为__________.
答案:
3
π
50、在△ABC 中,已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7, 此三角形的最大内角的度数等于________.
答案:1200
余弦定理应用
51、在A B C ?中,3
B π
∠=
,三边长a ,b ,c 成等差数列,且6a c =,则b 的值是( )
A B .
C D
答案:D
52、在A B C ?中,若
cos cos 2B b C
a c
-=
+
(1)求角B 的大小 (2
)若b =4a c +=,求A B C ?的面积
答案:解:(1)由余弦定理得
c a b ab
c
b a a
c b
c a +-=-+-+2222
222
2
2
化简得:ac b c a -=-+222
∴2
122cos 2
2
2
-
=-=
-+=ac
ac ac
b
c a B
∴B=120°…………………6分 (2)B ac c a b cos 2222-+= ∴)2
1
(22)(132
-?--+=ac ac c a
∴ac=3 ∴4
33sin 2
1=
=
?B ac S ABC …………………………………6分
53、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,cosB=
35
,且AB BC ?
=—21.
( I )求△ABC 的面积; ( II )若a=7,求角 C 。
答案:
54、在ABC △中,内角A B C ,,对边的边长分别是a b c ,,,已知2c =,3
C π=
.(I )若ABC △的
a b ,;(II )若sin 2sin B A =,求ABC △的面积.
答案:解:
(Ⅰ)由题意,得22
2cos 4,3
1sin 23a b ab ab ππ?+-=????=?? 即224,4,a b ab ab ?+-=?=? ………………6分
因为2
2
2
()3()34()124,a b ab a b a b +-=+-?=+-= 所以4,a b +=
由4,4,
a b ab +=??
=? 得 2.a b == ……………………………………………6分
(Ⅱ)由sin 2sin B A =得,2b a =. ………………………………………………7分 由余弦定理得,2222
12(2)2232
a a a a a =+-???=,
∴
33
a b =
= ……………………………………………10分
∴
11sin 2
23
3
23
ABC S ab C =
=?= …………………………12分
55、已知A B C △的面积是30,内角A B C 、、所对边分别为a b c 、、,1213
cos A =
,若1c b -=,则a
的值是 .5
答案:5
56、已知:在ABC ?中, 120=A ,8,7=+=c b a .
(1)求b,c 的值;(2)求B sin 的值.
答案:解:(1)根据题意??
???=+-=-+=
8
2
1
2cos 2
22c b bc a c b A ,???=+=815c b bc 解得:??
?==5
3c b 或??
?==35c b
(2)根据正弦定理
A
a
B b
sin sin =
,
当??
?==5
3c b 时,14
33sin =
B ,当??
?==3
5c b 时,14
35sin =
B
57、在△A B C 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2a =,3c =,1cos 4
B =
.
(I ) 求b 的值; (II )求sin C 的值.
答案:解:(I)由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= ………………………………2分
得104
1322322
2
2
=?
??-+=b . ………………………………3分
10=
∴b . ………………………………5分
(II)方法一:
由余弦定理得 ab
c
b a C 2cos 2
2
2
-+=
………………………………7分
8
1010
229104=??-+=
. ………………………………9分
C 是ABC ?的内角,
8
63cos 1sin 2
=
-=∴C C . ………………………………10分
方法二:
4
1cos =
B 且B 是AB
C ?的内角,
415cos 1sin 2
=
-=∴B B , ………………………………7分
根据正弦定理C
c B
b sin sin = ………………………………9分
得8
6310
4153sin sin =?=
=
b
B c
C . ………………………………10分
58、已知ABC ?的周长为)12(4+,且A C B sin 2sin sin =
+.
(1)求边长a 的值;
(2)若A S ABC sin 3=?,求A cos 的值.
答案:解 (1)根据正弦定理,A C B sin 2sin sin =
+可化为a c b 2=+.
联立方程组?????=++=++a
c b c b a 2)
12(4,解得4=a .
(2)A S ABC sin 3=? ,A A bc sin 3sin 2
1=∴
6=∴bc .
又由(1)可知,24=+c b , 由余弦定理得
∴3
122)(2cos 2
22
2
2
=
--+=
-+=
bc
a
bc c b bc
a
c b A
59、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,
(1)若,cos 2)6sin(A A =+π
求A 的值; (2)若c b A 3,3
1cos ==,求C sin 的值.
答案:(1)
sin()2cos ,sin ,cos 0,tan 06
3
A A A A A A A A π
π
π+
=∴=
≠=
<<∴=
(2)在三角形中
,2
2
2
2
1cos ,3,2cos 8,3
A b c a b c bc A c a =
=∴=+-==
由正弦定理得:sin sin c
A
C
=
,而sin 3
A ==
1sin 3
C ∴=
.(也可以先推出直角三角形)
(
也能根据余弦定理得到1cos 0sin 3
3
C C C π=
<=
)
60、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -=
(1)求cos B 的值;
(2)若2=?BC BA ,且22=b ,求c a 和的值.
答案:1(I )解:由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===,
,
0sin .cos sin 3sin ,
cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则
因此.3
1cos =
B …………7分
(II )解:由2cos ,2==?B a BC BA 可得,
,
,0)(,
12,cos 2,
6,3
1cos 2
22
2
2
2
c a c a c a B ac c a b
ac B ==-=+-+===即所以可得由故又
所以.6==c a …………14分
61、已知ABC ?中,角,,A B C 所对的边,,a b c ,已知2a =,3c =,1cos 4
B =
;(1)求边b 的值;
(2)求sin C 的值。
答案:222
12cos 49223104
b a
c ac B =+-=+-???
=………………
3
b =
……………………………………………………………………
5 2
2
2
cos 28
b a c
C ab
+-==
=
……………………………
8
sin 8
C ?=
10
62、在?ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知
cos A -2cos C
2c-a =
cos B
b
.
(I )求
sin sin C A
的值;
(II )若cosB=14
,5b ABC 的周长为,求的长.
答案: (I )由正弦定理,设
,sin sin sin a b c k A B
C =
=
=
则
22sin sin 2sin sin ,sin sin c a
k C k A C A
b k B B ---=
=
所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B
--=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=,
所以sin 2sin C A = 因此
sin 2.sin C A = (II )由
sin 2sin C
A
=得
2.c a =
由余弦定得及1cos 4
B =
得
2
2
2
2
2
2
22cos 1444
4.
b a
c ac B a a a a =+-=+-?=
所以2.b a = 又5,a b c ++= 从而1,a = 因此b=2。
63、在?ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知
cos A -2cos C
2c-a =cos B
b
.
(I )求
sin sin C A
的值;
(II )若cosB=14
,b=2,A B C ?的面积S 。
答案: (I )由正弦定理,设
,sin sin sin a b c k A B C =
=
=
则
22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A
C A
b
k B
B ---=
=
所以
cos 2cos 2sin sin .cos sin A C
C A
B
B
--=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=, 所以sin 2sin C A = 因此
sin 2.sin C A
=
(II )由
sin 2sin C A
=得2.c a =
由余弦定理
2
2
2
2
2
2
12cos cos ,2,
4
144.
4
b a
c ac B B b a a =+-==+-?
及得4=a
解得a=1。 因此c=2 又因为1cos ,.4
B G B π=
<<且
所以sin 4
B =
因此11sin 122
2
4
4
S ac B =
=
???
=
64、在ABC ?中,角C B A ,,所对的边为c b a ,,,已知b c A b a 3,sin 2==
(1)求B 的值;
(2)若ABC ?的面积为32,求b a ,的值
答案:解:(1)A b a sin 2=,?=A B A sin sin 2sin 2
1sin =
B ,
30=B 或
150,b c >,所以 30=B ……………………6分
(2)由
30cos 2222ac c a b -+=
解得?=+-0322
2a ab b b a =或b a 2=…………① …………9分
又?==
?3230
sin 2
1
ac S ABC 38=ac …………②
b c 3=
…………③
由①②③???==2
4b a 或22==b a …………14分
略
65、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,满足2a c b +=,
且2cos 28cos 5B B =-,(1)求角B 的大小; (2)若2a =,求△ABC 的面积。
答案:解:(Ⅰ)∵2cos2B =8cos B -5,
∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.
∴4cos 2B -8cos B +3=0,即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =
12
或cos B =
32
(舍去).
∵0
3
π.
(Ⅱ)法一:∵a +c =2b .∴2
2
2
222
12cos 222
a c a c a c
b B a
c ac +??
+- ?+-??
===,
化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c . ∴△ABC 是边长为2的等边三角形. ∴△ABC 的面积等于3 法二:∵a +c =2b , ∴ sin A +sin C =2sin B =2sin 3
π= 3.
∴sin A +sin(23π-A )=3, ∴sin A +sin
23
πcos A -cos
23
πsin A = 3.
化简得32
sin A
2
cos A
sin(A +6
π)=1.