届高三数学二轮复习：数列专题及其答案
2０18届高三第二轮复习——数列
第１讲等差、等比考点
【高考感悟】
从近三年高考看,高考命题热点考向可能为：
1．必记公式
（１）等差数列通项公式:a n=a1＋（ｎ－1)ｄ.
(2)等差数列前n项和公式：Sｎ＝错误!=ｎa1+错误!.
(３)等比数列通项公式：a nａ１ｑn-1.
（4)等比数列前n项和公式:
S n=错误!.
(5)等差中项公式：2a n＝aｎ－1+ａn＋１(n≥２).
(６)等比中项公式：ａ错误!=a n－1·aｎ+1（n≥2).
(7)数列{a n}的前n项和与通项a n之间的关系:a n＝错误!.
2．重要性质
(１）通项公式的推广:等差数列中,aｎ=ａm＋(n-m）d;等比数列中，aｎ=ａmｑn-ｍ.
(2）增减性：①等差数列中,若公差大于零，则数列为递增数列;若公差小于零，则数列为递减数列．
②等比数列中,若a１＞0且q＞1或ａ1<0且０<ｑ＜１，则数列为递增数列;若a1>０且0
3．易错提醒
(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件．
（2)漏掉等比中项:正数a，b的等比中项是±＼ｒ(ａb),容易漏掉-ａｂ.
【真题体验】
1．(２015·新课标Ⅰ高考)已知｛ａn}是公差为1的等差数列，Ｓｎ为{ａn}的前n项和.若Ｓ8＝4S4，则ａ１０=()
A.错误!Ｂ.错误!C．10 D.１2
2.(２015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n ｝满足a 1=错误!，a 3a 5=4(ａ4-1)，则a 2＝( ）
A.2 Ｂ.1 C.＼ｆ(1，2） Ｄ.＼f (1,８）
3.(２０1５·浙江高考)已知｛ａn }是等差数列，公差d 不为零.若ａ2,a 3,ａ7成等比数列，且2a 1+ａ２＝1,则ａ
1=____＿____＿,ｄ=________.
4．(2０１6·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111
==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，,. (Ｉ)求{}n a 的通项公式；(II ）求{}n b 的前n 项和.
【考 点 突 破 】
考点一、等差（比)的基本运算
1.(2015·湖南高考）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a １＝1，且3Ｓ1，2Ｓ2,S 3成等差数列，则a n ＝＿_____＿＿.
2．(2015·重庆高考）已知等差数列{a n }满足a 3=２,前3项和S 3＝9
2
．
（1)求｛a ｎ}的通项公式;
(2)设等比数列｛b n ｝满足b 1=ａ1，b 4=a １5，求｛ｂｎ}的前n 项和T n .
考点二、等差（比)的证明与判断
【典例1】( ２017·全国1 )记S ｎ为等比数列{}n a 的前ｎ项和,已知Ｓ2=2,S 3=-6.
(1)求{}n a 的通项公式；（2）求S ｎ,并判断Ｓn +１，Ｓｎ,S n +２是否成等差数列。 .
【规律感悟】判断和证明数列是等差(比）数列的三种方法
(1）定义法：对于ｎ≥1的任意自然数,验证ａn+1-aｎ错误!为同一常数.
(2）通项公式法：
①若a n＝a1+(n－1)d=a m+(n－m）d或aｎ＝kｎ+b(n∈N*),则｛a n｝为等差数列;
②若ａｎ＝a１qｎ-１=a m q n－m或aｎ＝pｑkn＋b(n∈N*),则{a n}为等比数列．
(3）中项公式法:
①若2aｎ＝a n-1+ａn＋1（n∈Ｎ*，ｎ≥2），则{a n}为等差数列；
②若a错误!=ａn－1·aｎ+１(n∈N*，n≥2)，且aｎ≠0,则｛ａn}为等比数列.
变式：(2014·全国大纲高考)数列{a n}满足a1=1，a2=2,aｎ+2=2a n+1－a n+2.
(1)设ｂn＝ａn＋1-a n，证明｛b n}是等差数列;（2)求{a n}的通项公式．
考点三、等差(比)数列的性质
命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质
【典例2】（1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{ａn}满足ａ1＝3，a1+a3+a5=21,则a3+a5＋a7＝( ）A．２１B．4２ C.６３Ｄ.84
(２)（2０15·铜陵模拟)已知等差数列{a n}的前ｎ项和为S n，且S10=１2，则a5+a6＝( )
A.错误!B．1２ C.6 D．错误!
命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质
【典例３】(１)(201４·全国大纲高考)设等比数列｛a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=１5,则S6＝( )A．3１B．32C.6３D．６4
(２)(２015·衡水中学二调)等差数列{aｎ}中,3(a3＋a５)＋２（a7+ａ10+ａ１3)＝2４，则该数列前13
项的和是() Ａ．13 B．26 Ｃ.52 Ｄ．15６
[针对训练］
1．在等差数列{ａn}中，若a3＋a4＋ａ5＋a６+a7=25，则a２+ａ8＝＿___＿_＿_.
2.在等比数列｛a n}中，ａ4·ａ8＝1６,则a4·a5·a７·a8的值为＿_____＿_.
３.若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝２e5,则ln ａ1＋ｌn ａ2+…＋ln a2０=＿____＿．
【巩固训练】
一、选择题
1．(2０1５·新课标Ⅱ高考)设S n是等差数列{a n}的前n项和．若ａ1＋a3＋ａ5=３,则S5=()
A.５
B.7 C．9Ｄ.11
２.(2０１4·福建高考)等差数列｛a n｝的前ｎ项和为Ｓn,若ａ１＝２，S３＝12，则a6等于() Ａ．8 Ｂ．１0C．12 D．1４
3．(2０14·重庆高考）对任意等比数列{aｎ｝,下列说法一定正确的是（) Ａ．a1，a３，ａ9成等比数列 B.a2,a3，ａ６成等比数列
C．a2,a4,ａ8成等比数列Ｄ．a３，a6,a9成等比数列
4．(2014·天津高考)设｛aｎ}是首项为a1，公差为－１的等差数列，Ｓn为其前n项和．若S１,S ２
，S4成等比数列,则a１=()
A．２B．-２Ｃ.1
2D．-
＼ｆ(1,2)
5.(２015·辽宁大连模拟)数列{a n}满足a n－ａn＋１＝a n·ａn＋1(n∈N*)，数列{ｂｎ｝满足b n＝1
aｎ
，且b1+b2+…＋b９＝9０，则b4·b6( )
A．最大值为99 Ｂ.为定值９９C．最大值为１０0 D.最大值为200
二、填空题
6．（２015·陕西高考)中位数为１010的一组数构成等差数列,其末项为2 ０15，则该数列的首项为______＿＿．
7．（20１5·安徽高考)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1＋a4=9，a2a３＝8,则数列{ａｎ｝的前n项和等于________.
８．（2０14·江西高考)在等差数列{aｎ}中,a1=7,公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则ｄ的取值范围为________．
三、解答题
9．(文)（２015·兰州模拟)在等比数列｛aｎ}中，已知ａ1＝2,ａ4=16.
(1)求数列{ａn}的通项公式；
(２)若a3,a５分别为等差数列{b n}的第3项和第５项,试求数列{b n}的前ｎ项和Ｓn.
1０、(2014·湖北高考)已知等差数列{a n}满足:ａ1=２,且a1，ａ2，a5成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记S n为数列｛a n}的前n项和，是否存在正整数n,使得Ｓn>60n+８00？若存在,求ｎ的最小值；若不存在,说明理由.
1１.（2015·江苏高考)设a1,a2,a3,ａ4是各项为正数且公差为d(d≠０)的等差数列．
(１)证明:2ａ1，2a2，２a3,2a4依次构成等比数列；
(2)是否存在a1,d，使得a1,a错误!,ａ错误!，a错误!依次构成等比数列？并说明理由
第2讲数列求和(通项）及其综合应用
【高考感悟】
从近三年高考看,高考命题热点考向可能为:
【真题体验】
1．(20１5·北京高考）设｛aｎ｝是等差数列,下列结论中正确的是(）
A．若a1＋ａ２＞0,则ａ２+a3＞0
Ｂ．若a1＋a3＜0，则a1+a2<0
C.若０
D．若a1＜0,则(a2－a1)(a2－a3)＞0
2．（２01５·武汉模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5＝５,S5＝15,则数列{错误!}的前１00项和为(）A．＼ｆ(100,1０1） B.错误!Ｃ.错误! D.错误!
3.(2０1５·福建高考)等差数列{a n}中，a2＝4，a４+a7＝15.
(1)求数列{a n}的通项公式；
（2)设ｂn＝2a n-2+n,求b1＋ｂ2＋ｂ3＋…+b1０的值．
【考点突破】
考点一、数列的通项公式
【规律感悟】求通项的常用方法
（1）归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法．
(2)已知Sｎ与aｎ的关系，利用a n=错误!求aｎ.
(3)累加法：数列递推关系形如ａn+1＝a n+ｆ(n），其中数列｛f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公
式时，常用累加法(叠加法).
（4)累乘法:数列递推关系如aｎ＋1=ｇ（ｎ)ａn,其中数列{g(n)}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
（５)构造法：①递推关系形如a n＋１=ｐａn+q（p，ｑ为常数)可化为a n＋1＋错误!＝p错误!(p≠1）的形式,利用错误!是以p为公比的等比数列求解.
②递推关系形如a n＋1=pａn
a n+p(
ｐ为非零常数)可化为＼ｆ（1,aｎ+1）=错误!－错误!的形式．
1．(20１5·新课标Ⅱ高考)设Ｓn是数列{a n}的前n项和,且ａ1=－１,aｎ＋1＝Ｓn Sｎ＋１,则S n=___________＿.
2.(20１5·铜陵模拟）数列{aｎ}满足＼f(1,３)a1＋1
32a２＋…+
＼ｆ(1，3n)a n=3ｎ+1，n∈N*,则a n＝______＿_．3．若数列{aｎ}满足ａ1＝3，a n＋1=错误!,则a２0１5的值为_＿____＿_.
考点二、数列的前ｎ项和
【规律感悟】
1.分组求和的常见方法
（１）根据等差、等比数列分组.
（２)根据正号、负号分组.
(３）根据数列的周期性分组．
2.裂项后相消的规律常用的拆项公式(其中n∈Ｎ*)
①错误!＝错误!-错误!. ②错误!＝错误!错误!. ③错误!＝错误!(错误!－错误!）．
３．错位相减法的关注点
(1)适用题型：等差数列{a n}乘以等比数列{ｂｎ}对应项({ａｎ·bｎ}）型数列求和.
(２）步骤:①求和时先乘以数列{b n｝的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.
4．倒序求和。
命题角度一基本数列求和、分组求和
【典例1】(2015·湖北八校联考)等差数列{a n}的前ｎ项和为Sｎ,数列{b n}是等比数列，满足a1=3,b1=1，b2+S ２=10,a５-2b2＝ａ3.
(1)求数列{ａn}和{b n｝的通项公式; (２）令c n=错误!设数列{c n}的前n项和为T n，求T２ｎ.
命题角度二 裂项相消法求和
【典例2】 (2015·安徽高考)已知数列｛ａn }是递增的等比数列,且ａ１+a 4＝9，ａ2a ３=8.
(1）求数列｛ａn }的通项公式；
（2）设S n 为数列{a ｎ}的前n 项和，b ｎ＝错误!,求数列{ｂn }的前n 项和T n .
命题角度三 错位相减法求和
【典例3】 (２015·天津高考)已知{a n ｝是各项均为正数的等比数列,{ｂn }是等差数列，且ａ1=b 1＝1，b 2＋b
３
＝2a 3,a 5－3ｂ2=7.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式;
（２)设c n =a ｎb n ,n ∈N *，求数列{c n ｝的前n 项和．
[针对训练]
1.(2014·湖南高考）已知数列{ａn ｝的前ｎ项和S ｎ＝n ２
＋n
２
,n ∈N *．
(1)求数列{ａn ｝的通项公式； (２)设b n =2ａｎ+(－1）n a n ，求数列｛ｂn }的前2n 项和．
2.(2015·山东高考)已知数列{a ｎ｝是首项为正数的等差数列，数列错误!的前ｎ项和为错误!.
(1)求数列{ａn}的通项公式；(2)设bｎ=(ａn+１)·2a n，求数列{b n}的前n项和Ｔｎ.
.考点三、数列的综合应用
【典例4】(2015·陕西汉中质检)正项数列{a n}的前ｎ项和S n满足:S错误!-(n2+n-1)Sｎ-（n2+n)＝０.
（1)求数列{a n}的通项公式a n;
(２)令b n=错误!，数列{b n｝的前n项和为T n.证明:对于任意的ｎ∈N＊,都有T n<错误!.
变式：(2０１5·辽宁大连模拟)数列{aｎ｝满足ａｎ＋1=错误!，a1=1.
(1)证明:数列{1
aｎ
}是等差数列；(2）求数列{错误!}的前n项和Ｓn,并证明错误!+错误!+…＋错误!>错误!.
【巩固训练】
一、选择题
1．(201５·浙江高考）已知{a n}是等差数列,公差d不为零，前n项和是Sｎ.若ａ3，a4,ａ8成等比数列，则（）
Ａ.a1ｄ＞0，dS4＞0 B．ａ1d＜0，dＳ４<０
Ｃ.ａ1d＞0,dS4<0 Ｄ.ａ1d＜0,dS4＞0
2.(2015·保定调研)在数列｛a n}中，已知a１＝1,ａｎ＋1=2aｎ+1，则其通项公式为a n=（)
Ａ.2n－1 B．２n-1＋1
C.2n-1 Ｄ.２（ｎ-1）
3．(预测题)已知数列{ａn}满足a n+1＝错误!+错误!，且a1＝错误!，则该数列的前2015项的和等于( )
A.＼f(3 02３，2) B．3 ０２3C．１５１２D．3 02４
4．(20１5·长春质检）设数列｛ａn}的前n项和为Ｓn,且a1＝a2=1，{nＳn+（ｎ＋2)a n}为等差数列,则aｎ=()
Ａ.n
2n-1Ｂ.错误!Ｃ.错误!D．错误!
５.(2015·云南第一次统一检测)在数列{aｎ｝中，a n>０，a1＝错误!，如果aｎ+1是1与错误!的等比中项,那么
ａ１+＼f（ａ２,22)+＼f(a3,3２)＋＼ｆ(a４,４２)+…+ａ10０
1０02
的值是( )
A.＼ｆ（100,９9) B．错误! C.错误!D．错误!
二、填空题
6．(２014·全国新课标Ⅱ高考）数列{ａｎ}满足ａn+1=错误!,ａ８＝2，则a1＝_＿＿___＿_.
7．若数列｛ｎ(n＋4）(错误!）ｎ}中的最大项是第ｋ项,则k＝____＿＿__.
8(201５·江苏高考）设数列{aｎ}满足a1＝1,且a n+1－a n=n+1(n∈N*),则数列错误!前１0项的和为___＿____. 9．(2０15·福建高考)若a，b是函数f(ｘ）=x2－ｐｘ+q(p>0，q>0)的两个不同的零点,且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p＋q的值等于_____＿__．
三、解答题
１0.(201５·湖北高考)设等差数列｛aｎ｝的公差为d,前n项和为S n,等比数列｛bｎ}的公比为q.已知ｂ１＝ａ１，ｂ2=2，q＝d，Ｓ10=100.
(1）求数列{a n｝,{b n}的通项公式；
（2) 当d>1时，记ｃn＝＼f(ａn,b n)，求数列{c n｝的前ｎ项和T n.
--
11．(２014·山东高考)已知等差数列{ａｎ｝的公差为２，前n 项和为Ｓｎ,且S 1，Ｓ2,S 4成等比数列．
（１）求数列｛a n ｝的通项公式;
（２)令b n =(－1)
ｎ-1＼f (4n ，a n a n ＋１),求数列｛ｂn }的前n 项和T n .
2018届高三第二轮复习——数列答案
【 真 题 体 验 】 （第１讲等差、等比考点）
1.【解析】 设等差数列{ａn }的首项为ａ1,公差为ｄ．由题设知d =1,S ８＝4S 4,所以8ａ1＋28=4(4a 1+6),解得ａ1=错误!,所以a １0=错误!+9＝错误!.故选B.
２.【解析】 设等比数列{a n ｝的公比为q ,a 1=错误!，a 3a ５=４(a 4－1)，由题可知q ≠1，则ａ1q 2×a 1q ４＝4（a 1q 3-1），∴１1６
×q 6＝4(14×ｑ３－1)，∴q 6-１6q 3＋64=0,∴（q 3-８）2=0，∴q 3=8，∴q ＝２，∴a 2＝１2.故选C.
3．【解析】 由ａ2,a 3,a 7成等比数列，得a 错误!=a 2a 7，则2d 2=-３a １ｄ，即d ＝-错误!a 1.又２a １+ａ2=1,所以a １=23
,d =－１.【答案】 ＼f (2，3) －1 ４．【解】 (1)a n =３ｎ－1.(２)132123=?-=
n n b .
考点一、等差（比)的基本运算
1.【解析】 本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等比数列的通项公式．由3S 1,２S 2，S 3成等差数列，得4Ｓ2=３S １＋Ｓ3，即3S ２-３Ｓ1＝S 3－Ｓ2,则3ａ2=a ３，得公比q =３,所以a n =a 1q n -1=３n －1.【答案】 3n -1
2．【解】 本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前n 项和公式,考查考生的运算求解能力．
(１)将已知条件中的a 3,S 3用首项a 1与公差d 表示，求得a 1,d ，即可求得数列｛ａn ｝的通项公式;（2)结合(1)利用条件b 1=ａ1，b ４＝a 15求得公比，然后利用等比数列的前ｎ项和公式进行计算.
(1)设{a n ｝的公差为d ，则由已知条件得
--
ａ１＋２d ＝2，３a 1+＼f (3×2,2)ｄ=错误!,
即a １＋２d =２，a 1＋d =＼f （3,2), 解得a １=1，d ＝错误!,
故通项公式为a n ＝1+错误!，即a n ＝错误!.
(2)由(1)得b 1=１，b 4=a 15＝错误!＝8.
设{ｂn }的公比为ｑ,则q ３=＼ｆ(b ４，b 1)＝8,从而q =2，
故｛b n }的前n 项和
T n ＝错误!=错误!＝2n －1.
考点二、等差（比)的证明与判断
【典例1】 解：(1）设{}n a 的公比为q ，由题设可得
122(1)2,(1) 6.
a q a q q +=??++=-?解得12,2q a =-=- 故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-
变式.【解】 (１）证明：由a n +2=2ａｎ＋1－a n +2得
a n +2－a n +1＝a n ＋1-a n +2,
即ｂｎ+１＝ｂn ＋2.
又b 1＝ａ2-a 1＝1，
所以｛b n }是首项为１,公差为2的等差数列．
(2)由(1）得b n ＝1+2(n -１),即a n ＋1－ａn =2n -1．
于是，
所以a n +1－a 1=n ２,即ａn +1＝n ２＋ａ1. 又a 1＝１,所以{ａn ｝的通项公式为a n =n ２-2n +2.
考点三、等差(比)数列的性质
命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质
【解析】 （1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质,意在考查考生的运算求解能力．
由于a 1(1+q ２+q ４)＝21，ａ1=3，所以q 4+q 2－6＝0，所以q ２＝2(q 2=-3舍去)，
a 3＋a 5+a 7＝q 2（a 1＋a ３+a ５)=2×21＝42．故选B.
(２)本题主要考查等差数列的性质a ｍ+a ｎ=a p ＋a q ．
由S 10=1２得错误!×１０=1２，
所以a 1+a １0＝＼f (１2,5)，所以a 5+a 6＝＼f （12,5).故选Ａ.
命题角度二 与等差(比)数列的和有关的性质
【解析】 (1）在等比数列{a n }中,S 2,Ｓ4-S 2,S ６-Ｓ４也成等比数列,故(S ４－S 2)２＝S 2(Ｓ6-S 4)，则(15－3)2＝3(S ６
－15)．解得Ｓ６=63.故选Ｃ.
(2)∵３(a 3＋a ５)＋2(a 7+a 1０＋a 1３)=24,∴６a 4＋６a １0=24，∴a 4＋a 10=4,∴S 1３=错误!＝错误!=错误!＝2６.故选B.
［针对训练］
１.【解析】 由ａ3+a 4+a 5+a 6＋a 7=２5得５a ５＝25，所以a 5=５，故ａ2＋a 8=２a 5=１0.
2.【解析】 a 4a ５a ７a 8＝a 4a 8·a 5ａ7=(ａ4a 8)２=2５6.【答案】 25６
3.【解析】 ∵a 10ａ１1＋a 9a 12＝２e 5,∴a 1０·a 1１=ｅ5，ln a 1＋ln ａ2+…＋ln a 20＝１0ln(a 1０·a 11)=10·ln e
５=50.