2013 浙江高考数学试卷(理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学（理）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-=（ ）.

A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D. 1i -+ 分析 直接利用复数的乘法法则运算求解.

解析 ()()2

1i 2i 23i i 13i -+-=-+-=-+.故选B .

2.设集合{}{}

2|2,|340S x x T x x x =>-=+-?，则()C S T =U R （ ）.

A. ]1,2(-

B. ]4,(--∞

C. ]1,(-∞

D. ),1[+∞ 分析 先求出集合S 的补集，同时把集合T 化简，再求它们的并集.

解析 因为{}

2S x x =->，所以{}

2S x x =-R ≤e，而{}

41T x x =-≤≤， 所以(){}{}{}

2411S T x x x x x x =--=R ≤≤≤≤U U e.故选C. 3.已知y x ,为正实数，则（ ）.

A.y x y

x lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=?

C.lg lg lg lg 2

22x y

x y ?=+ D.lg()lg lg 222xy x y =?

分析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证. 解析 A 项，lg lg lg lg 2

22x y

x y +=?，故错误；

B 项，()

()

lg lg lg lg lg lg 22222

x y x y x y x y ?++?==≠，故错误；

C 项，()

lg lg lg lg 2

2y

x y

x ?=，故错误；

D 项，()

lg lg lg lg lg 2

222xy x y x y +==?，正确. 故选D.

4.已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ω?ω?=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π

2

?=

的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

分析 先判断由()f x 是奇函数能否推出?π=

2，再判断由?π

=2

能否推出()f x 是奇函数. 解析 若()f x 是奇函数，则()00f =，所以cos 0?=，所以()k k ?π=+π∈2Z ，故?π

=2

不成立；

输出 S

S=S +

1 k k +1()

是

否S =1, k=1

k > a ?

k=k+1

开始

结束

若?π=

2，则()()cos sin 2f x A x A x ωωπ?

?=+=- ??

?，()f x 是奇函数.所以()f x 是奇函数?π=

2必要不充分条件.故B.

5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

5

9

，则（ ）. A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a

分析 可依次求出1,2,3,k =L 时S 的值进行验证，也可以先求出S 的表达式， 通过解方程求出k 的值.

解析 （方法一）由程序框图及最后输出的值是9

5

可知：当1k =时， 1,S k a =>不成立，故13

1,2122

S k a =+

==?>不成立， 故315,32233S k a =+==?>不成立，故517,43344

S k a =+==?>

不成立，故719

,4455

S =+=?此时5k a =>成立，所以4a =.

（方法二）由程序框图可知：

()111111111111111212231223111

S k k k k k k =+

+++=+-+-++-=+-=-??++++L L ， 由95S =

，得19215

k -=+，解得4k =，故由程序框图可知4k a =>不成立， 5k a =>成立，所以4a =.

6.已知10

,sin 2cos 2

ααα∈+=

R ，则=α2tan （ ）. A.

34 B. 43 C. 43- D. 3

4- 分析 先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.

解析 把条件中的式子两边平方，得225

sin 4sin cos 4cos 2

αααα++=，

即2

33cos 4sin cos 2ααα+=，所以2223cos 4sin cos 3cos sin 2ααααα+=+，所以234tan 3

1tan 2

αα+=+，即

23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以2

2tan 3

tan 2tan 4

ααα==--.故选C. 7.设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 4

1

0=，且对于边AB 上任一点P ，恒有

00

PB PC P B PC ??u u u r u u u r u u u u r u u u u r

….则（ ）. A.90ABC ∠=o B. 90BAC ∠=o C. AC AB = D.BC AC =

分析 根据向量投影的概念，对选项逐一验证排除不符合的选项.不妨设4AB =，则01P B =，03P A =.设点C 在直线AB 上的投影为点C '.

解析 A 项，若90ABC ∠=?，如图（1）所示，

则2cos PB PC PB PC BPC PB ?=?∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2

000P B P C P B ?=u u u r u u u r u u u r .

当点P 落在点0P 的右侧时，220PB P B u u u r u u u r <，即00

PB PC P B PC ??u u u r u u u r u u u r u u u r

<，不符合； B 项，若90BAC ∠=?，如图（2）所示，则cos PB PC PB PC BPC PB PA ?=?∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 00003P B P A P B P A ?=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r

.

当P 为AB 的中点时，4PB PC ?=-u u u r u u u r ，00PB PC P B P C ?u u u r u u u r u u u r u u u r

<，不符合；

C 项，若AB AC =，假设120BAC ∠=?，如图（3）所示，则2AC '=，PB PC PB PC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r cos BPC PB PC ∠=-u u u r u u u r ，0000000cos 5P B P C P B P C BP C P B P C ?=∠=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

.

当P 落在A 点时，8PB PC -=-u u u r u u u r

，所以00

PB PC P B PC ??u u u r u u u r u u u r u u u r <，不符合，故选D. 8.已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k

f x x k =--=，则（ ）.

A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值

B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值

C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值

D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值

分析 分别求出1,2k =时函数的导数，再判断()0f x '=是否成立及1x =两侧导数的符号， 进而确定极值.

解析 当1k =时，()()()e 11x f x x =--，则()()()

e 1e 1e 1x x x

f x x x '=-+-=-，

所以()1e 10f '=-≠，所以()1f 不是极值.

图（1）

P 0P

B (C')

C

A

图（2）

B

C A (C')

P P 0

A P 0（P ）C'

C

B

图（3）

O

F 2

B

A

x

y

F 1

当2k =时，()()

()2e 11x f x x =--，则()()()

()2

e 12e 11x x

f x x x '=-+--=

()()()()2e 1211e 12x x

x x x x ??---=-+-??，

所以()10f '=，且当1x >时，()10f '>；在1x =附近的左侧，()0f x '<，所以()1f 是极小值.故选C.

9. 如图所示，21,F F 是椭圆14

:22

1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ .

A.

2 B. 3

C. 2

3

D.26

分析 由椭圆可求出12AF AF +，由矩阵求出2

2

12AF AF +，再求出21AF AF -即可求出双曲线方

程中的a ，进而求得双曲线的离心率.

解析 由椭圆可知124AF AF +=，1223F

F =因为四边形12AF BF 为矩形， 所以2

2

2

12

1212AF AF F F +==，

所以()

(

)2

22

121212

216124AF AF AF AF AF AF =+-+=-=，

所以()

2

2

2

21

121221248AF AF AF AF AF AF -=+-=-=，

所以2122AF AF -=，因此对于双曲线有2a =3c =

所以2C 的离心率6c e a =

=.故选D. 10. 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间

任意一点P ，[]12(),()Q f f P Q f f P βααβ??==??，恒有21PQ PQ =，则（ ）.

A. 平面α与平面β垂直

B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45o

C. 平面α与平面β平行

D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60o 分析 根据新定义及线面垂直知识进行推理.

解析 设()1P f P α=，()2P f P β=，则1PP

α⊥，11PQ β⊥，2PP β⊥，22P Q α⊥.

4

3

俯视图

侧视图

正视图

2

3若//αβ，则1P 与2Q 重合、2P 与1Q 重合，所以12PQ PQ ≠，所以α与β相交.设a l β=I ，由

122//PP P Q ，所以122,,,P P P Q 四点共面.同理121,,,P P P Q 四点共面.所以1212,,,,P P P Q Q 五点共面.且α

与β的交线l 垂直于此平面.又因为12PQ PQ =，所以12,Q Q 重合且在l 上，四边形112PPQ P 为矩形.那么

112PQ P π

∠=

2

为二面角--l αβ的平面角，所以αβ⊥.故选A . 二.填空题

11.设二项式5

3x x 的展开式中常数项为A ，则=A ________.

分析 写出二项展开式的通项1r T +，令通项中x 的指数为零，求出r ，即可求出A . 解析 (()5552615

53C C 1r

r

r

r r

r

r T x x x --+?==- ?

，令55026r -=，得3r =，所以35C 10A =-=-. 12.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的

体积等于________2

cm .

分析 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的具体形状及尺寸求体积.

解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥， 如图所示.三棱术的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，

三棱柱的高为5，故其体积

()311

34530cm 2V =???=，

小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同， 高为3，故其体积()3211

3436cm 32V =????=，所以所求几何体的体积为

()330624cm -=.

13.设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-??

-+??--?

…

…

?，若z 的最大值为12， 则实数=k ________.

分析 画出可行域，分类讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值. 解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当1

02

k -≤<

时， 直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得

2k =（舍去）

；当1

2

k -≥时，直线y kx z =-+经过点()0,2时z 最M (4,4)

x y +4=0

-11

2

4

3

-1

3421O x

y y = 2?x 4

y = x + 2