例4：设{}
2
|230A x x x =--=，{}|10B x ax =-=，若B A ?，求实数a.
三．课堂练习：
1、写出集合{a,b,c}所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
3、已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A ?B 时，求实数m 取值范围. 四、课后作业
1．设A ＝{x ｜x ≥2}，a ＝5，则下列结论中正确的是（ ）
A ．{a }A
B ．a A
C ．{a }∈A
D ．a ?A 2．若M ＝{x ｜x ＞1}，N ＝{x ｜x ≥a }，且N ?M ，则（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1 3.满足{}{}4,3,2,11??M 的集合有（ ）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个 4.下列集合中，只有一个子集的集合是（ ）
A.{}
2|0x x ≤ B.{}3|0x x ≤ C.{}2|0x x < D.{}
3
|0x x <
5.{}
2|1,A y y x x N ==+∈,{}
2*
|22,B y y a a a N ==-+∈,则A 、B 的关系是（ ）
A.A=B
B.A B C ， B A D.B A ? 6.设A={}0,a ,{}|B x x A =?,则A 与B 的关系是（ ）
Ａ．A B Ｂ．B A ? Ｃ．A B = Ｄ．A B ∈ 二、填空题
７．设{}
2
|20A x x x =+-=，{}|B x x a =<且A B ，则实数ａ的取值范围是 。 ８．设{}
2
|20A x x x =--<，{}|B x a x b =<<，且A B ?，则,a b 的范围分别是 。 ９．设{}1,3,A a =，{}
2
1,1B a a =-+，且B A ?，则a ＝ 。 １１．设{}{}
2
1,1,|0,,A B x x ax b B B A =-=-+=≠??求实数ａ、ｂ
全集与补集
1.补集 一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ?S ）由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中集合A 的补集（或余集），记作C S A ，即C S A={x|x ∈S ，且x ?A}
2.全集
如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U. 1．设全集U ＝{1，2，3}，M ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0}，则C u M 等于（ ） A ．{l } B ．{1，2} C ．{3} D ．{2}
2．已知全集U ＝{0，1，2，3}且C u A ＝{2}，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．8个 D ．7个 3．设U 为全集，集合M 、N U ，且M ?N ，则下列各式成立的是（ ）
A ．C u M ?C u N
B ．
C u M ?M C ．C u M ?C u N
D ．C u M ?N 4．已知全集U ＝{x ｜－2≤x ≤1}，A ＝{x ｜－2＜x ＜1
}，B ＝{x ｜x 2＋x －2＝0}，C ＝{x ｜－2≤x ＜1 }，
则 A ．C ?A B ．C ?C u A C ．C u B ＝C D ．C u A ＝B
5．已知A ＝{x |x ＜－1，B ＝{x |4x ＋p ＜0，当A ?B 时，则p 的取值范围是_____________．
12．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，若B ?A ，求实数k 的取值范围．
交集、并集
1．交集 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。 记作A B （读作“A 交B ”），即：{|A B x x A =∈ 且}x B ∈。
2．并集 一般地，由所有属于A 或属于B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，A 与B 的并集，A 与B 的并集，记作A B （读作“A 并B ”），即{|A B x x A =∈ 或}x B ∈。 1.设A={}3,5,6,8,B={}4,5,7,8,求A B ,A B ?;
2.设{}|5A x x =<，{}|0B x x =≥，求A B ?
3.设A={}|x x 是锐角三角形,B={}
|x x 是钝角三角形,求A B ? 4.设A={}|2x x >-,{}|3x x ≥,求A B 5.A={}|x x 是平行四边形,B={}
|x x 是矩形,求A B
6.已知{1},{1,2}M N ==，设{(,)|,}A x y x M y N =∈∈，{(,)|,}B x y x N y M =∈∈，求A ∩B ，A ∪B 。
1．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{1，2，3}，P ＝{0，1，3}，则M （N P ）等于（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{0，1，2} C ．{1} D ．φ
2．设全集I ＝R ，集合A ＝{x |－4＜x ＜－
21＝，B ＝{x |x ≤－4}，那么集合C ＝{x |x ≥－2
1
}等于（ ） A ．A B B ．C u （A B ） C ．A B D ．C u （A B ） 3．已知M ＝{x |x ≤1}，N ＝{x |x ＞p }，要使M N ≠φ，则p 应满足的条件是（ ） A ．p ＞1 B ．p ≥1 C ．p ＜1 D ．p ≤1
4．集合A ＝{x ∈R|x ≠0} {x ∈R|x ≠3}，B ＝{x |x ＜0或0＜x ＜3或x ＞3}，则集合A 、B 之间的关系（ ） A ．A ＝B B ．A B C ．B A D ．B ?A
函数（一）
一、课前预习
1． 初中学习的函数是如何定义的？设在一个变化过程中有两个变量y x ，，如果对于x 的每一个确定的值，y 都
有唯一的值与之对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量。 2.下列两个集合A 、B 之间的元素有什么对应关系？
(1)
(2)
(3)
乘2
A
B A A B B
求平方
求倒数
1． 函数定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对集合A 中的任意一个数x ，在集合
B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到B 的一个函数，记作：
A x x f y ∈=，)(，其中x 叫做自变量。x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 对应的值y 叫做函数值，函
数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域。
注意：（1）集合A 、B 及对应法则f 为函数的三要素。实际上值域是由定义域和对应法则确定的； （2）两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则完全相同；
（3）集合B 不一定是函数的值域，函数的值域是B 的子集。
思考：一次函数，二次函数，反比列函数的定义域，值域分别是什么？
2． 区间的概念：设两个实数b a ，且b a <，我们规定
（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫闭区间，表示为][b a ，； （2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫开区间，表示为)(b a ，；
（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫半开半闭区间，分别表示为)[b a ，，](b a ，；
（4）实数集R 可以用区间表示为)(∞+-∞，，满足不等式b x b x a x a x <≤>≥，，，的实数x 的集合分别表示为)(](),,()[b b a a ，，，，，
-∞-∞+∞∞+ 例1．求下列函数的定义域
2
012)()3(23)()2(2
1
)()1(x
x x x f x x f x x f -+=
+=-=
例2．（1）下列函数中，哪个函数与x y =是同一函数（ ）
A ．2
)(x y = B ．33x y = C ．2
x y = D ．x
x y 2
=
（2）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．1112-=+?-=
x y x x y 与 B ．0
01x y x y =
=与 C ．31322+=--+=x y x x x y 与 D ．1
1
1--=-=x x y x y 与
例3．已知函数253)(2+-=x x x f ，求)3(f 、)2(-f 、)1(+a f
三、课堂练习
1．下列各题中，可表示)(x f y =为函数的图象只能是（ ）
A
B
x
y
x
y
-1
1
C
D
x
y
2．求定义域： 4
2
)1(2--=x x y 1
11)2(2
2--+-=
x x x y
1．函数211)(x x x x f +-++=
的定义域为（ ）
A ．}|{R x x ∈
B ．}0|{>x x
C ．}11|{≤≤-x x
D ．}11|{<<-x x 2．下列四组中表示同一函数的是（ ） A ．0)(1)(x x g x f == B ．12)()(+==x x g x x f
C ．42
)()()(x x g x x f == D ．393)()(t t g x x f ==
3．下列关系式中表示y 是x 的函数的是（ ） A ．x y ±= B ．x x y -+-=
23 C ．922=+y x D ．??
?∈∈=偶数集
奇数集
x x y 01 4．已知34)(2-+=x x x f ，则=+)1(x f （ ）。
A ．142
++x x B ．262
++x x C ．142
-+x x D ．162
-+x x 6．函数2
231x
x y --=
的定义域是 。
7．函数)(x f 与直线1=x 的交点个数有 。 例2．下列函数的解析式
（1）已知x x x f 2)(2+=，求)12(+x f （2）已知x x x f 2)1(+=-，求)(x f
例3．（1）已知函数??
?<+-≥+=0
120
12)(x x x x x f ，则=-+)1()1(f f 。
（2）函数??
???≥<<--≤+=2
2211
2)(2
x x x x
x x x f ，若3)(=x f ，则=x 。 （3）设??????
?<≥-=0
10
12
1
)(x x
x x x f ，若a a f >)(，则a 的范围 。
2．函数)(x f 满足x x x f 2)1(+=+，则=)(x f
3． 已知)(x f 是一次函数，且14)]([-=x x f f ，则=)(x f
1．已知32)2(+=x x f ，则)(x f 等于（ ）。 A ．23+
x B ．3+x C ．32
+x
D ．32+x 2．已知??
?<+-≥+=0
1
1
)(2x x x x x f ，则=-)]1([f f （ ）。 A ．5 B ．2 C ．-1 D ．-2
3．已知2
2
11)11(x
x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B ．2
2
11x x +-- C ．212x x + D ．21x x +-
4．设??
?>≤++=0
2
)(2x x c bx x x f ，若2)2()0()4(-=-=-f f f ，，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（ ）。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若x
x x f 1
)(-=
，则方程x x f =)4(的根是（ ）。 A ．21 B ．2
1
- C ．2 D ．2-
6．已知23)12(-=+x x f ，且4)(=a f ，则_______=a
7．已知函数)2
3
(32)(-≠+=x x cx x f ，满足x x f f =)]([，则_______=c
8．已知)(x f 满足x x
f x f 3)1
()(2=+，求)(x f
9．已知函数)0()(≠+=a b a b
ax x
x f 为常数且、，满足1)2(=f ，且x x f =)(有唯一解，求)(x f 的解析式。
7．已知定义在R 上的函数关于原点对称，它在()∞+，
0上的图象如图，则不等式0)(?<-≥=0
1
1
)(x x x f ，则不等式5)2()2(≤+?++x f x x 的解集为
函数的单调性（一）
例1．如图是定义在]55[，-上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出单调区间以及在每一单调区间上)(x f y =是增还是减函数。
注意：（1）各单调区间之间用逗号，不能用并集符号
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题，故闭区间上的连续函数的单调区间，不包括端点都可以，但不连续函数的单调区间不包括不连续点。
例2．（1）证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数；（2）证明函数x
x f 1
)(=在)0(∞+，
是减函数
归纳总结：证明函数单调性的步骤为三步：一作差；二变形；三定号 四、课后作业
1．在区间()∞+，0不是增函数的是（ ）
A ．12+=x y
B ．132
+=x y C ．x
y 2=
D ．122
++=x x y 2．函数2)1(22
+-+=x a x y 在(]4，∞-为减函数，则实数a 的取值范围（ ） A ．[)∞+，3 B ．(]3-∞-， C ．[)∞+-，3 D ．(]5，∞- 3．函数1662
+-=x x y 在区间()42，上是（ ）
A ．减函数
B ．增函数
C ．先增后减
D ．先减后增 4．函数[)∞+∈++=，02
x c bx x y 是单调函数的充要条件是（ ）
。 A ．0≥b B ．0≤b C ．0>b D ．0
的单调递增区间是（ ）
。 A ．(]2，∞-
B ．[]25--，
C ．[]12，
-
D ．()∞+∞-，
函数的单调性（二）
例2．已知)(x f 是定义在[]11，-上的增函数，且)1()1(2-<-x f x f ，求x 的范围。
x
1．若函数ax y =与x
b
y -
=在()∞+，0上都是减函数，则函数bx ax y +=2在()∞+，0上是单调 函数。 2．已知)(x f 是定义在()∞+∞-，上的减函数，图象经过点)10(B )14(--，，，A 两点，则不等式1|)2(|<-x f 的解集为 。
3．函数)(x f y =满足)()(x f x f -=-，又)(x f 在()∞+，0递增，且0)3(=f ，则不等式0)(1．函数)(x f y =是R 上的增函数，)()(2m f m f ->，则实数m 的取值范围（ ）。 A ．()1-∞-，
B ．()∞+，0
C ．)01(，
- D ．)0()1(∞+--∞，， 2．已知函数74)(2+-=x x x f ，则)1()2()4(f f f 、、的大小关系（ ）。
A ．)1()4()2(f f f <<
B ．)4()2()1(f f f <<
C ．)4()1()2(f f f <<
D ．)2()4()1(f f f << 3．若函数)(x f y =是R 上的增函数，对于实数b a ，，若0>+b a ，则（ ）。 A ．)()()()(b f a f b f a f -+->+ B ．)()()()(b f a f b f a f -+-<+ C ．)()()()(b f a f b f a f --->- D ．)()()()(b f a f b f a f ---<- 4．设)(x f 是R 上的减函数，又R a ∈，则下列成立的是（ ）。
A ．)2()(a f a f >
B ．)()(2a f a f <
C ．)()(2a f a a f <+
D ．)()1(2a f a f <+
5．若ax x x f 2)(2
+-=，与1
)(+=
x a
x g 在区间[]21，上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）。 A ．)10()01
(，， - B ．]10()01(，， - C ．]10(， D ．)10(， 6．函数32)(2
+-=mx x x f ，当[)∞+-∈，2x 时为增函数，当(]2-∞-∈，x 时为减函数，则)1(f 等于（ ）
。 A ．-3 B ．13 C ．7 D ．由m 的值确定 7．函数62+--=
x x y 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
8．函数)(x f 的定义域为}0|{R x x x ∈≠，，它在区间()0，∞-上是增函数，且0)2()()(=-=f x f x f ，
，则不等式0)(9．已知函数)(x f 的定义域为)11
(，-，且在)11(，-为减函数，又)1()1(2-<-a f a f 。求a 的取值范围？
10．已知函数32)(2+-=x x x f ，在()0]
0[>∈a a x ，上最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围？
函数奇偶性的应用
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.如果偶函数在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上( ) A.有最大值 B.有最小值 C.没有最大值
D.没有最小值
2.已知f(x)=ax 3
+bx-4,其中a,b 为常数,若f(-2)=2,则f (2)的值等于( ) A.-2
B.-4
C.-6
D.-10
3.已知定义在R 上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x 2
+|x|-1,那么x<0时,f(x)的解析式为f(x)=( ) A.x 2
-|x|+1 B.-x 2
+|x|+1 C.-x 2-|x|-1
D.-x 2
-|x|+1
4.若f(x )是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则f(-)与f(a 2
+2a+)的大小关系是( )
A.f(-)>f(a 2+2a +)
B.f(-)C.f(-)≥f(a 2+2a+)
D.f(-)≤f(a 2
+2a+)
5.若p(x),g(x)都是R 上的奇函数,f(x)=ap(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则f(x)在(-∞,0)上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1
D.最大值-3
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.定义在R 上的偶函数f(x),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序
排列为 .
7.若f(x)是偶函数,当x ∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是 .
8.f(x)是定义在R 上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b 满足f(a)+f(b)>0,则a+b 0(填“>”“<”或“=”)
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
10.(2013·唐山高一检测)已知定义在R上的函数f(x)=x2+ax+b的图象经过原点,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.
(1)求实数a,b的值.
(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数,且满足当x≥0时,g(x)=f(x),试求g(x)的解析式.
11.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.
若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
函数的单调性与奇偶性综合
函数的单调性与奇偶性综合 【课时目标】 1、能准确判断函数的单调性与奇偶性 2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围 3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题 【基础训练】 1、单调性： （1）函数||2x x y +-=，单调递减区间为 （2）函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的取值范围是 （3）已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 ___ （4）已知()f x 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ — 2、奇偶性： （1）下列函数具有奇偶性的有 ①x x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④?? ???<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y （2）函数1()f x x x =-的图像关于__________对称 （3）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =__________ （4）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则_______ 【例题精讲】 例1、已知()f x 是偶函数，而且在0(,)+∞上是减函数．判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明
例2、()f x 是定义在R 的奇函数，且()f x 在0(,)+∞上是增函数，10()f =，则不等式0()()f x f x x --<的解集为_________________ } 练习：已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数，当0 x ≤< ()f x 的图象如右图，则不等式(1)()0x f x -?≤ 变：()f x 是定义在22[,]-的奇函数，且()f x 在02[,]上单调递减，若1()()f m f m -<，则实数m 的取值范围是________________ … 例3、已知函数()1).f x a =≠ （1）若0a >，则()f x 的定义域是 (2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是______________ 例4：（1）函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x · （2）函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x
高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤
高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数() f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数() f x的解析式； f x的定义域，化简函数() （3）求() f x f x的 -与() f x之间的关系，判断函数() -，可根据() f x 奇偶性. 若() f x，则() f x是奇函数； f x -=-() 若() f x是偶函数； f x，则() -=() f x 若() f x f x既不是奇函数，也不是偶函数； ≠±，则() -() f x 若() -=-() f x既是奇函数，又 f x f x，则() f x f x -() =且() 是偶函数
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；
函数奇偶性的定义与应用
函数2：函数的奇偶性 【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法； 【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念； 难点：奇偶性的应用 一、函数的奇偶性 1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数． 2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫 做奇函数． 3.判断函数奇偶性的方法： （1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称． （2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 4.奇偶函数的简单性质： （1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数. （2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数. 二、函数奇偶性的应用 1、利用定义判断函数奇偶性 例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2 432)(x x x f +=； （3）1)(2 3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ； （6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；
最新函数的奇偶性和单调性综合训练及答案
一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3．函数11y x x = +--的值域为（ ） A ．( ]2,∞- B ．(] 2,0 C ．[ ) +∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2 80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . d d 0 t 0 t O A ． d d 0 t 0 t O B ． d d 0 t 0 t O C ． d d 0 t 0 t O D ．
函数单调性与奇偶性教案
函数单调性与奇偶性 教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. (3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想. 3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度. 教学建议 一、知识结构 （1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的 形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明. (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾 经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降, 而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去 刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高 一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点 下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的 代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识 到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 三、教法建议 （1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一 次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增 减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义 靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以 从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角 度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,
函数单调性奇偶性周期性和对称性的综合应用
函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2 1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n = 因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n = 从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0 例2、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22 c f f ==<0，∴c a b <<，选D. 例3、（安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由()()12f x f x +=得()() 14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一 般都比较灵活。本题应直观理解()() 12f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。 例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （）等于（ ） A.0.5 B.－0.5 D.－
函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合.doc
专项5函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合 有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的 内容应该说是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学來说，十分头疼，在这一章节内容上, 我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。 第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础题，同学 们一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的/(G )的问题，这里的。代指一个确切的常数，我们可以不求出另 一 ?段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果讣我们求的于(G )中的。不在己经解析式的 定义域上，对于比定义域右端点值大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上, 比如，题目让我们求/(13),我们通过分析发现该函数的周期为2,而我们只知道XG (0,2).上的解析式，那么我们就 可以“退周期”，即/(13) = /(2x6+l) = /(l),即只需要求出这个/(I)就是了，同理，对于比定义域小的，我们用 同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。 第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经 常出现，而且不算是超纲内容，这一点需要大家知道，不能因为函数教材屮没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需 要大家知道，那就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推到这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这 些结论，希望大家都记住。 如果一个函数满足= + 则这个函数就是以。为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，弦/都 是这个函数的周期，也就是说/(x) = f(ka + x), /(x) = f(ka-x), /(x) = f(x-a),还有一?些有关周期的拓展定义: 第三个问题，是有关于图像的问题，特别是图像的做法，有很多是需要掌握对称性规律的，相关的对称性规律结论请 回顾复习专项4,专项4屮有比较基础的对称性总结函数关于兀轴、y 轴、坐标原点对称的规律；特别强调下列三种函 数l.f(x)l,/(lg(x)l),/(g(lxl))，这三种绝对值加到不同地方的函数图像本身的对称性规律要掌握好。 奇函数、偶函数、反函数和一些常见的函数，如对号函数等的对称性 对于耍求函数有几个零点或者两个函数有几个交点的问题，作图是最主耍的方法，作图的吋候，一定要按照我们学过 的函数图像的三种变换进行画图，从授基本的图形开始画，通过平移、对称一步一步的得到我们想要的函数图像，做 图的过程小，如果有带有绝对值，一定要想着使丿IJ 相应带有绝对值的作图规律，坚决不允许通过描点连线的方式进行 作图。 下面开启做题Z 旅，下面的这些题，淘汰、更换历经了很长时间，不论简单还是难度稍微大些，都是非常好的试题， 一定要认认真真完成，对于错题，还要进行总结分析。 1. /⑴为奇函数,g ⑴= /(x) + 9,g(2) = 3,则/(2)= _______________ 2. .f(x)为定义在/?上的奇函数，当xhO 时，/(Q = 2" + 2x + b ，则/(-1)= _____________ ①弘+沪_卍)；②弘+沪命；③弘+沪 1 /(x ) ,则函数/(兀)的周期为2a 。
函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。
函数单调性和奇偶性总结复习
课次教学计划（教案）课题函数的单调性和奇偶性 教学目标1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺 函数的单调性 1.例1：观察y=x2的图象，回答下列问题 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随 着x的增加，y值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1 、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1f(x2). 那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升 的，减函数的图象是下降的。 12 （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f（x）＝－x2＋2x＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m］上是增函数时,数m的取值围.
函数的奇偶性
函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（） A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x| 2.f（x）＝x2＋|x|（） A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数 C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数 3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（） A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（） A.在[－1,0]上是增函数 B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数 C.在[1,0]上是减函数 D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数 5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（） A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数 B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数 C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数 D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数 6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（） A.f（1）>f（2） B.f（1）>f（－2） C.f（－1）>f（－2） D.f（－1）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（） A.fb>0，给出下列不等式 ①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）奇偶性的概念
奇偶性的概念 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 知识点一函数奇偶性的几何特征 思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称． 梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义 函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上． 知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 2．重要性质 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性． (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．
1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．(×) 2．若f (x )是奇函数，f (1)＝2，则f (－1)＝－2.(√) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√) 类型一 证明函数的奇偶性 例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2 x －1既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数； (3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f (x )＝x 3－x 2 x －1 既非奇函数又非偶函数． (2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数． (3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，故函数f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1既是奇函数又是偶函数． 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x 2－x 既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．
高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综合应用
高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综 合应用 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
- 1 - 高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用（第一课时） 对称有点对称和轴对称： 数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。 1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ? 1x 2x 应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ? 1x 2x 相关练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++ 2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、k y x = 、2y ax bx c =++ 相关练习：若()f x ax =，()b g x x =-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减） 3、函数的奇偶性： 定义域关于原点对称，()()f x f x -= ? ()f x 是偶函数 定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ? ()f x 是奇函数 O 点对称：对称中心O 轴对称：
- 2 - （当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以绝大部分函数都不具有奇偶性） 相关练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b (2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。 (3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。 (4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像 4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】 相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减） (2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x = (3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4 f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 偶函数奇函数奇函数奇函数
