构造法求数列通项公式
构造法求数列通项公式
河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 E-mail:zhaojw1968@https://www.sodocs.net/doc/423518944.html,
求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为
(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据
等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =
12，1n a +=33
n n a a +（n N +
∈），求数列{}n a 通项公式. 解析：由a n+1=33+n n
a a 得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=
-+n n a a
11
13
1
，
设b n =n a 1
，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53
+n
评析：本例通过变形，将递推公式变形成为
A a a n
n =-
+1
11
形式，应用等差数列的通项公式，先求出
n
a 1
的通项公式，从而求出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1
222-n n S S
(n ≥2)，求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1
2
22-n n S S 得，S n -S n-1=
1
2
22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1
两边除以S n S n-1得，n
S 1-1
1
-n S =2，∴｛n
S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列
∴n
1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =
1
21
-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =
1
21
-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=
121
-n -321-n =-3
8422+-n n ，n=1不满足此式，
∴a n =
{
2
11
3
842
2≥=+--n n n n
评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出
原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）
=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例3在数列｛a n ｝中，a 1=2，a n =a n-12(n ≥2)，求数列｛a n ｝通项公式。 解析：∵ a 1=2，a n =a n-12(n ≥2)＞0，两边同时取对数得，lg a n =2lg a n-1
∴1lg lg -n n a a
=2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg a n ｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg a n =2n-1lg2=1
22lg -n
∴数列通项公式为a n =1
22
-n
评析：本例通过两边取对数，变形成1log 2log -=n n
a a 形式，构造等比数列{}log n a ，
先求出n a log 的通项公式，从而求出n a 的通项公式。
例4在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=4a n +3n+1，求数列｛a n ｝通项公式。
解析：设a n+1+A （n+1）+B=4（a n +An+B ），（A 、B 为待定系数），展开得a n+1=4a n +3An+3B-A ，与已知比较系数得
{
1
333=-=A B A ∴
{21=
=B A
∴a n+1+（n+1）+3
2=4（a n +n+
3
2
），根据等比数列的定义知，
数列｛a n +n+
3
2｝是首项为3
8，公比为q=3的等比数列，∴a n +n+3
2
=
3
8×3n-1
∴数列通项公式为a n =
3
8
×3n-1
-n-3
2 评析：待定系数法是构造数列的常用方法。
例5 在数列｛a n ｝中，a 1=1 ，a n+1a n =4n ，求数列｛a n ｝通项公式。 解析：∵a n+1a n =4n ∴a n a n-1=4 n-1 两式相除得
1
1
-+n n a a =4 ，
∴a 1，a 3，a 5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a 1，a 2 ，公比都是4的等比数列， 又∵a 1=1，a n+1a n =4n ，∴a 2=4 ∴a n =
{
n
n n n 2
14
4
-
配套练习：
1、在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=3a n +2n （n ∈N *），求数列｛a n ｝通项公式。
2、在数列}{n a 中，11
=a ，321+-=+n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式。
参考答案：
1、由a n+1=3a n +2n （n ∈N *）得，a n+1+2n+1=3（a n +2n ）（n ∈N *），
设b n = a n +2n 则b n+1=3b n ，∴
n
n b b 1
+=3，根据等比数列的定义知，
数列｛b n ｝是首相b 1=3，公比为q=3的等比数列， 根据等比数列的通项公式得b n =3n ，即a n +2n =3n ， ∴数列通项公式为a n =3n -2n 2、由321+-=+n n n a a 得，3)2()2(11=+-+++n n n n a a ，根据等差数
列的定义知，数列}2{n n a +是首项为3，公差为3的等差数列，所以
n a n n 32=+，所以n n n a 23-=
练习：1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 解：由条件知1
1+=
+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n
a a n 1
1=?
又321=
a ，n
a n 32
=∴ 解：由条件知1
1+=
+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n
a a n 1
1=?
又321=
a ，n
a n 32
=∴ 2. 数列{a n }满足a 1=1，a n =21
a 1
-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2
1
（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，
∴数列{ a n －2}是以21
为公比，－1为首项的等比数列
∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（2
1）1
-n
3. 数列
{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式。
解：由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=
++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得31
32=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取3
1,1-==h k ，则有)(31
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴1
1)3
1(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=11)3
1
()31()31()
3
1(232
++-+-++-+--- n n
=13
11)31
(11
++---n =11)31(43471)31(143---?-=+??????--n n
4. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：
n n n S a a 422
=+成立，求{}n a 的通项an.
解：n n n S a a 422
=+?112
142---=+n n n S a a ， ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+----
0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的
等差数列，且24211121=?=+a a a a .
∴n n a n 2)1(22=-+=
5. 设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，
（n ∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n . ∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 6. 数列{}n a 中，21
1=
a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 解：12
21221)1()1()1(----=-?--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a
11
1+-=?-n n a a n n ，
∴11
2211a a a a a a a a n n n n n ??=--- )1(1
2131211+=?-?+-=n n n n n n ∴)
2)(1(1
1++=+n n a n
7.设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{
}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a
n b ， 则12-=n n b b
{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .
11221--=?=n n n b ，1221log -=+n a n
，12
log 12-=-n a n ， ∴1
2
1
2--=n n a
而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为：
()n f pa a n n +=+1；n n n q pa a +=+1
（1）通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=
1
-p q
，从而得等比数列{a n +k }。 （2）通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。这种方法适用于
n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。
3、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式. （1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. （2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. （3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简（4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.