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数学解题思维策略(1)

数学解题思维策略(1)
数学解题思维策略(1)

百度文库专用

第一讲数学解题思维策略

——高考数学代数推理题

一、数学解题的思维过程

数学解题的思维过程是指从理解问题开始,从经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动.

在高考试卷中,有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法接轨,这就是代数推理题.这类问题立意新颖,抽象程度高,是数学问题的典型代表.具体说来,其思维过程一般分为三步:首先要领会题意(审题)——弄清题目的条件是什么?结论是什么?如果条件和结论是用文字表达的,则把它翻译成数学语言;其次要明确方向——在审题的基础上,运用所学知识和数学思想方法,明确解题目标与方向;最后要规范表述——采用适当的步骤,合乎逻辑地进行推理和运算,并正确地表述.

在这里,第一步是关键,这就是我们通常说的审题.

二、如何审题?

1、理清题意

审题,就是明确题目的已知和未知,是解题的第一步,这一步不要怕慢.从近年高考命题的特点来看,试卷容量有减少的趋向,目的也就是要突出对考生的能力检查,增加思考量,倡导多给考生一点思考和探索的时间.

其实,题目本身就是“怎样解这道题”的信息源,所以审题一定要逐字逐句看清楚,可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意.

2、条件启发解题手段,结论诱导解题方向

解题实践表明,条件往往预示可知并启发解题手段,结论则预告需知并诱导解题方向.可以按照条件列出所有的解题手段表解,根据结论写出可能的解题方向,并寻找出它们之间的联系,这样做的另一个好处是,可以将题目进行分解,

避免失分.

3、挖掘隐蔽条件

对于条件,一定要用足用够.解题过程中的关键之处,往往是题目未明显写出的,即隐蔽给予的.一方面,解题时如果遇到“盲点”,可以回过头来分析是否用足用够条件;另一方面,也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息,这也说明,审题一定不要怕慢.

〖例1〗(2005年成都一诊22题)对于函数f (x ),若存在0x ∈R ,使00

()f x x =成立,则称0x 为函数f (x )的不动点.已知2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠.

⑴若对b ∈R ,f (x )恒有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围;

⑵在⑴的条件下,若y =f (x )的图像上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点,且A 、B 两点关于直线2(44)y kx a a =+-+对称,求b 的最小值.

〔条件分析〕条件呈包含关系,子条件在结论二中列出.

前提条件→解题手段:信息迁移(数学含义)→三个“二次”结合(数形结合);

子条件→解题手段:①隐蔽条件;②对称性(数形结合)→垂直、中点(点差法).

〔结论分析〕两个结论. 结论一→解题方向:不等关系; 结论二→解题方向:利用单调性求最值. 练习:

1、设b x

a x x f ++=1

log

2)(log 2)(2

2

2

,已知2

1=

x 时,f (x )的最小值是8-.

⑴求b a -;

⑵求在⑴的条件下,f (x )>0的解集A ; ⑶设集合},2

1|||{R x t x x B ∈≤

-=,且?

=?B A ,求实数t 的取值范围.

答案:⑴4a b -=;⑵x x A <=0|{ }28

1>

38521≤

≤-≤t t 或.

2、定义在R 上的函数f (x )满足:如果对于任意12,x x ∈R ,都有

12

121()[()()]2

2

x x f f x f x +≤

+,则称函数

f (x )是R 上的凹函数.已知二次函数

2

()(,0)f x ax x a a =+∈≠R .

⑴求证:当0a >时,函数f (x )是凹函数;

⑵如果[0,1],|()|1x f x ∈≤,试求实数a 的取值范围. 答案:⑴略;⑵实数a 的取值范围为[2,0)-. 三、若干具体的解题策略

为了使解题的目标和方向更明确,思路更加活泼,进一步提高探索的成效,我们必须掌握一些具体的解题策略.一切解题的策略的基本出发点在于变换,即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题,以通过对新题的考察,发现原题的解题思路,最终达到解决原题的目的.基于这样的认识,常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略.

1、熟悉化策略

熟悉化策略,就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目,进而利用已有的知识、经验或解题模式,顺利地解出原题.可以在分清题目条件和结论的基础上,通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫.

⑴联想回忆基本知识和题型

通过联想回忆,找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点,充分利用相似问题中的方式、方法和结论,从而解决现有问题.

⑵全方位、多角度分析题意

全方位分析题意,即把题目的所有条件都要分析透,并找到各条件间以及条件和结论间的联系,从中找出熟悉的解题手段;多角度分析题意,就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识,根据自己的知识和经验,适时调整分析问题的视角,找到自己熟悉的解题方向.

⑶恰当构造辅助元素

通过构造辅助元素,如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等,改变题目的形式,变陌生题为熟悉题.

〖例2〗(2003年成都一诊20题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,p 为非零常数,满足条件:

①a 1=1;②S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n );③2

3lim =

→n n S .

⑴求证:数列{a n }是等比数列; ⑵求数列{a n }的通项公式;

⑶若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和n n b b b T +++= 21. 〔条件分析〕条件呈包含关系,子条件分项列出.

子条件①、②→联想回忆:a n =S n – S n – 1(2≥n );

子条件③→联想回忆:等比数列前n 项和的极限值存在,则公比q 的绝对值小于1.

〔结论分析〕三个结论. 结论一→根据定义证明; 结论二→求出公比;

结论三→联想回忆:数列{b n }的通项是等差、等比数列的通项积,可用错位相减法求前n 项和.

〔解题评析〕⑴证明:∵ S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n ), ∴ a n =S n – S n – 1=4a n – pa n – 1, (点评:应用a n =S n – S n – 1(2≥n ).) 3a n =pa n – 1. ∵ 0≠p 且a 1=1, ∴ )2(01≥≠-n a n , ∴

)

(31

常数p a a n n =-,故数列{a n }是首项a 1=1,公比3

p q =

的等比数列.

(点评:应说明)2(01≥≠-n a n .) ⑵解:∵ 2

3lim =

→n n S ,

∴ 2

33

11|3

|

01=-

<

(点评:应用无穷递缩等比数列前n 项和的极限.) ∴ p =1,3

1=

q .

∴ 数列{a n }的通项为1

)

31(-=n n a .

⑶解:1

3

-=

=n n n n na b ,

∴ 1

2

213

3

3

321-+

+++=+++=n n n n b b b T ……①

n n n n n T 33133323131132+-++++=- ……②

① – ②,得

n

n n n T 3

3

13

13

113

21

2

-

+

+++

=-

n

n

n 3

3

11)

31(

1-

-

-=

n

n n )

3

1(2

)

31(

31

?--=-

n

n n )3

1(

)

31(2

1231

?-?-

=

-.

(点评:使用错位相减法求数列前n 项和.) ∴ n

n n n T )3

1(

2

3)

31(43491

-

-=-.

练习:

1、数列{a n }的前n 项和记作为S n ,已知n n n S a )21

(1+=-.

⑴写出{a n }的通项公式,并证明; ⑵对于给出的正整数k ,当n >k 时,A

S a k n k n n =--+∞

→1

lim ,且)001.0,1.0(--∈A ,

求k 值.

答案:⑴)

1(2

1

≥=

+n n a n n ;⑵k =2, 3, 4.

2、一计算装置有一数据入口A 和一个运算结果的出口B .将自然数列

{}(1)n n ≥中的各数依次输入

A 口,从

B 口得到数列{}n a .结果表明:①从A 口

输入n =1时,从B 口得到113

a =

;②当2n ≥时,从A 口输入n ,从B 口得到的结

果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}(1)n n ≥中的第1n -个奇数,再除以自然数列{}(1)n n ≥中的第n +1个奇数.

⑴从A 口分别输入2和3时,从B 口分别得到什么数?

⑵猜测并证明当入口A 输入自然数列{}(1)n n ≥时,从B 口得到的数列{}n a 的通项公式;

⑶为满足计算需要,工程师对装置进行了改造,使B 口出来的数据n a 依次进入C 口进行调整,结果为一列数据{}n b .若1()n n

b pn q a =

+,则非零常数p 、q

满足什么关系式,才能使C 口所得数列{}n b 为等差数列?

答案:⑴

115

135

;⑵1

(21)(21)

n a n n =

-+;⑶2p q =±.

3、一个正三棱锥,其侧棱长为1,且三条侧棱两两垂直,求该三棱锥的外接球的表面积.

答案:π3. 2、简单化策略

简单化策略,就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时,要设法将其转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题,以便通过对新题的考察,启迪解题思路,以简驭繁,解出原题.

简单化是熟悉化的补充和发挥.一般说来,我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉.因此,在实际解题时,这两种策略常常是结合在一起进行的,只是着眼点有所不同而已.解题中,实施简单化策略的途径是多方面的,常用的有:寻求中间环节,分类考察讨论,简化已知条件,恰当分解结论等.

⑴寻求中间环节,挖掘隐含条件

就多数结构复杂的题目的生成背景而论,大多是由一些简单题目经适当组合并抽去中间环节而构成的.因此,应尽可能从题目的因果关系入手,寻求可能的中间环节和隐含条件,把原题分解成一组相互联系的系列题,以实现复杂问题简单化.

⑵分类考察讨论

某些题目,其解题的复杂性在于它的条件、结论(或问题)包含多种不易识别的可能情形.对于这类问题,选择恰当的分类标准,把原题分解成一组并列的简单题,有助于实现复杂问题简单化.

⑶简化已知条件,恰当分解结论

如果解题的复杂性来自于条件或结论的抽象概括,可以考虑将条件进行简单化处理,或尝试把结论分解为几个简单的部分,以便各个击破,解出原题.

〖例3〗已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数,数列}{n y 满足

)10(2log ≠>=?a a a y n x n 且,设18

3=y ,126=y .

⑴求数列}{n y 的前多少项和最大,最大值为多少?

⑵试判断是否存在自然数M ,使当n >M 时,1>n x 恒成立?若存在,求出相应的M ,若不存在,请说明理由;

⑶令),13(log

1N n n x a n x n n

∈>=+,试判断数列}{n a 的增减性.

〔条件分析〕三个条件.

第一个条件→解题手段:等比数列;

第二个条件→解题手段:两个数列间的关系→等比数列的对数; 第三个条件→解题手段:第二个数列具体化. 〔结论分析〕三个结论,皆属探索性命题. 结论一→最值探索; 结论二→有界性探索; 结论三→单调性探索.

〔解题关键〕数列是定义在正整数集上的函数. 〔解题评析〕(I )设等比数列}{n x 的公比为)1(≠q q ,则

n a

x n x a

y n

log

2log

2==

∵ q

x x x x y y a

n

n a

n a

n a

n n log

2log

2)log

(log

21

11==-=-+++,

∴ 数列}{n y 为等差数列,设公差为d .

(点评:挖掘隐含条件——数列}{n y 为等差数列.) ∵ 183=y ,126=y , ∴ 2

3

3

6-=-=

y y d ,

n n y y n 224)2()3(3-=-?-+=. 设数列}{n y 前k

项和最大,则??

?≤≤?≤≥+121100

1

k y y k k ,

∴ 前11项和及前12项和为最大,其和为132. (II )N n a x n n ∈=-,12. 若1>n x ,即112>-n a ,

当a >1时,n <12,不等式不成立; 当012,不等式成立. (点评:分类考察讨论.)

∴ 存在 ,14,13,12=M ,当n >M 时,1>n x 恒成立. (III )12

11log log

log

log

12)

1(12)

1(12112--=

=

==-+-+-+-n n a

a

a

x a n

a

n a

n a

n x n n

n

∵ )13(0)

12)(11(1

12

1111

101><---=

---

--=

-+n n n n n n n a a n n ,

∴ n >13时,数列}{n a 为递减数列.

练习:

1、若函数)2

0(2

385cos sin 2π

≤-

++=x a x a x y 的最大值为1,求a 的值.

答案:2

3=

a .

2、已知0c >.设P :函数x y c =在R 上单调递减;Q :不等式|2|1x x c +->的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,试求c 的取值范围.

答案:1

(0,][1,)2c ∈?+∞.

3、设函数2()f x ax bx c =++,对一切[1,1]x ∈-,都有|()|1f x ≤,求证:对一切[1,1]x ∈-,都有|2|4ax b +≤.

3、直观化策略

直观化策略,就是当我们面临的是一道内容抽象、不易捉摸的题目时,要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题,以便凭借事物的形象把握题中所涉及的各对象之间的联系,从而找到原题的解题思路.

⑴图表直观

有些数学题,内容抽象,关系复杂,给理解题意增添了因难,常常会由于题目的抽象性和复杂性,使正常的思维难以进行到底. 对于这类题目,借助图表直观,利用示意图或表格分析题意,将有助于抽象内容形象化,复杂关系条理化,使思维有相对具体的依托,便于深入思考,发现解题线索.

⑵图形直观

对某些涉及数量关系的题目,用代数方法求解,计算量偏大.这时,不妨借助图形直观,给题中有关数量以恰当的几何分析,以拓宽解题思路,找到简捷、合理的解题途径.

⑶图象直观

不少涉及数量关系的题目,都与函数的图象密切相关.如果灵活运用函数图象的直观性,常常可以以简驭繁,获得简便、巧妙的解法.

〖例4〗某摩托车生产企业,上半年生产摩托车的投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x (0

年销售量投入成本出厂价?-=)(.

⑴写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加比例x 的关系式;

⑵为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?

〔试题分析〕列表如下:

〔解题评析〕⑴依题意和上表数据有

)10()6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+?+?-+?=x x x x y ,

整理得 )10(200

20602<<++-=x x x y .

(点评:布列关系式时,不仅要紧扣题意,还要注意自变量x 的取值范围,特别是应用题的定义域必须同时满足解析式有意义和实际问题有意义,只有准确写出定义域方可避免解答过程的失误或答案的失误.)

⑵要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 ??

?<<>?--.

10,01000)12.1(x y

将y 的关系式代入,解不等式组得3

10<

答:为保证本年度的利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应满足0

〖例5〗设|z |=1,且)2

3,

2

(arg ππ∈z ,求i

z i z +-arg

的值.

〔试题分析〕利用复平面,将复数与点及向量对应,以便展开几何上的定形分析.

〔解题评析〕

设z 、i 、– i 在复平面上对应的点分别为P 、A 、B . ∵ )2

3,

2

(arg ππ∈z ,

∴ P 点在左半单位圆上,如图,→

--AP 、→

--BP 分别表示对应复数z – i 、z +i .

由复数除法的几何意义知,i

z i z +-arg

表示→

--BP 逆时针方

向旋转到→

--AP 方向的最小正角,

又∵ AB 是圆的直径,故2

arg

π

=

+-i

z i z .

(点评:本题可利用复数z 的三角形式或共轭复数的性质求解,但如果调整思维视角,由“数”的方向转到“形”的角度去观察,就可简捷地解答此题.)

〖例6〗方程x +lg x =3和x +10x =3的两实根分别为x 1、x 2,则x 1+x 2=________. 〔解题评析〕 3 .

由 x +lg x =3,得lg x =3 – x .由x +10x =3,得10x =3 – x . 分别作出y =lg x ,y =10x 及y =3 – x 的图象,并注意y =lg x 与y =10x 互为反函数,直线y =x 与y =3 – x 互相垂直,可知x 1+x 2=2x M ,如图.

由???-==,

3,x y x y 得)

23

,23(M ,

∴ x 1+x 2=2x M =3.

(点评:看似无法求解的问题通过图象分析找到了巧妙的解法.) 4、特殊化策略

特殊化策略,就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时,要注意从一般退到特殊,可以考虑是否满足一些特殊的条件,或考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题,以从特殊问题的研究中,发现解答原题的方向或途径.

〖例7〗设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,对任意实数α、β,恒有

)(sin ≥αf ,且0)cos 2(≤+βf .

⑴求证1-=+c b ; ⑵求证3≥c ;

⑶若)(sin αf 的最大值为8,求b 、c 的值.

〔试题分析〕注意到1sin 1≤≤-α及3cos 21≤+≤β,实施特殊化策略(赋值法)可解.

〔解题评析〕⑴∵ 1sin 1≤≤-α,且0)(sin ≥αf , ∴ 0)1(≥f .

又∵ 3cos 21≤+≤β,且0)cos 2(≤+βf , ∴ 0)1(≤f . (点评:特殊化策略.) ∴ 0)1(=f ,即 1+b +c =0.

(点评:赋值法.) ∴ 1-=+c b .

⑵∵ 0)3(≤f ,即 039≤++c b , 由(I ),1-=+c b , ∴ 3≥c .

(点评:注意利用⑴的结论.) ⑶c c f +--+=αααsin )1(sin )(sin 2

2

2

)2

1(

)2

1(s i n

c c c +-++-=α.

∵ 3≥c ,

2

2

1≥+c ,)(sin αf 的最大值为8,

∴ 当1sin -=α时,8)(sin =αf ,即81=+-c b . (点评:配方定轴看单调.) 解方程组??

?-=+=+-.

1,81c b c b

得4-=b ,c =3. 练习:

1、设函数f (x )是定义在R 上的增函数,f (1)=a (a >0),且R m mx f x f m ∈=),()]([,求f (x )并证明a >1.

答案:x a x f =)(.

2、已知函数定义域为R ,对于任意实数12,x x 都满足1212()()()f x x f x f x +=+,当0x >时,()0f x >.

⑴判断f (x )的奇偶性和单调性;

⑵当[0,]2

π

θ∈时,(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->对所有的θ均成立,求

实数m 的取值范围.

答案:⑴略;⑵(4)θ∈-+∞.

3、在ABC ?中,若222c a b =+,则ABC ?为直角三角形,且C 为直角. 现在请你研究:若(2,)n n n c a b n n =+>∈N ,则ABC ?为何种形状的三角形? 答案:锐角三角形. 5、一般化策略

一般化策略,就是当我们面临的是一道计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时,应设法把特殊问题一般化,从而找出一个能够揭示事物本质属性的

一般情形的方法、技巧或结果,以顺利解出原题.

〖例8〗(2002理)已知函数2

21)(x

x

x f +=

,那么1

(1)(2)()(3)2

f f f f ++++

11

()(4)()34

f f f ++=________. 练习:

1、已知函数23123(),n n f x a x a x a x a x n +=++++∈ N ,且12,,,n a a a 构成一个数列{}n a ,满足2(1)f n =.

⑴求数列{}n a 的通项公式,并求1

lim n n n a a →∞

+之值;

⑵证明1

0()13f <<.

答案:⑴21n a n =-,1

lim

1n n n a a →∞

+=;⑵略.

2、已知椭圆2

2

2

(0)

2

y

x a a +

=>和点(1,1)A -,(2,4)B .若线段AB 与椭圆没

有公共点,求实数a 的取值范围.

答案:)2

a ∈?+∞.

6、简接化策略

间接化策略,就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难,或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时,就需要改变思维视角,从结论(或问题)的反面进行思考,以便化难为易解出原题. 所谓正难则反,说的也就是这个意思.

〖例9〗函数bx

a x f 2

11)(?+=

的定义域为R ,且)(0)(lim N n n f n ∈=-∞

→.

⑴求证:a >0,b <0; ⑵若5

4)1(=

f 且2

1)0(=

f ,求证:)(2

12

1)()2()1(1

N n n n f f f n ∈-

+

>++++ .

〔解题评析〕⑴∵ f (x )的定义域为R , ∴ 021≠?+bx a ,即bx a --≠2, 由R x ∈,有0≥a . (点评:定义域优先.)

若a =0,则f (x )=1,与0)(lim =-∞

→n f n 矛盾.

(点评:正难则反.) ∴ a >0, ∴ ?????>=+<<=?+=-----∞

→∞

→)12(0

)12(11)120(12

11l i m

)(l i m b

b

b

bn

n n a a n f

(点评:分类讨论.) ∴ 12>-b ,即b <0. 故a >0,b <0. ⑵∵ 2

111)0(=

+=a

f ,

∴ a =1. 又5

42

11)1(=

+=b

f ,

∴ 4

12=

b ,2-=b .

(点评:待定系数法.) ∴ x

x

x x

x f 4

1114

14

2

11)(2+-

=+=

+=

-.

当N k ∈时,k

k

k f 2

2114

111)(?-

>+-

=,

(点评:一般化策略.) ∴ )2

212

212

21(

)()2()1(2

n

n n f f f ?+

+?+

?->+++

2

12

1

2

11)2

11(4

1

1

-

+

=-

--=+n n

n n .

练习:

1、若二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上至少存在一点m ,使()0f m >,求实数p 的取值范围.

答案:3

(3,)2p ∈-.

2

1,求

总体落入区间( 1.2,0.2)-之间的概率(参考数据:(0.2)0.5793φ=,

(1.2)0.8849

φ=).

答案:0.4642.

3、盒子里装有若干个球,每个球都记有从1开始的一个号码,设号码为n

的球重

2

515

3

n

n

-+(克).假设盒子的容量最多可装35个球,而且符合条件的球

无一例外的都被装入盒中,这些球以等可能性(不受重量、号码的影响)从盒子里取出.

⑴如果任意取出一球,试求其重量大于号码数的概率;

⑵如果同时任意取出2球,试求它们重量相同的概率.

答案:⑴28

35;⑵4

595

四、寻根查祖,提高数学解题能力

可以通过以下探索途径来提高解题能力:

1、研究问题的条件时,在需要与可能的情况下,可画出相应图形或思路图帮助思考.因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解.

2、清晰地理解情境中的各个元素;一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的,即已知的,哪些是所求的,即未知的.

3、深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义,从中找出习题的重要元素,要在图中标出(用直观符号)已知元素和未知元素,并试着改变一下题目中(或图中)各元素的位置,看看能否有重要发现.

4、尽可能从整体上理解题目的条件,找出它的特点,联想以前是否遇到过类似题目.

5、仔细考虑题意是否有其他不同理解.题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容?是否还缺少条件?

6、认真研究题目提出的目标.通过目标找出哪些定理、法则、公式同题目或其他元素有联系.

7、如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法,就尽可能用这种方法的语言表示题的元素,以利于解题思路的展开.

以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”,找到解题的起步点.在制定计划寻求解法阶段,可以利用下面这套探索方法:

1、设法将题目与你会解的某一类题联系起来.或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法.

2、记住:题的目标是寻求解答的主要方向.在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题.

3、解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较.用这种办法检查解题途径是否合理,以便及时进行修正或调整.

4、尝试能否局部地改变题目,换种方法叙述条件,故意简化题的条件(也就是编拟条件简化了的同类题)再求其解.再试试能否扩大题目条件(编一个更一般的题目),并将与题有关的概念用它的定义加以替代.

5、分解条件,尽可能将分成部分重新组合,扩大对条件的理解.

6、尝试将题分解成一串辅助问题,依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解.

7、研究题的某些部分的极限情况,考察这样会对基本目标产生什么影响.

8、改变题的一部分,看对其他部分有何影响;依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果,尝试能否对题的目标作出一个“展望”.

9、万一用尽方法还是解不出来,你就从课本中或参考书中找一个同类题,研究分析其现成答案,从中找出解题的有益启示.

〖例1〗(2005年成都一诊19题)已知函数f (x )的图像与函数

3

2

1()2

3

h x x x =

++的图像关于点(0,1)A 对称.

⑴求f (x )的解析式;

⑵若()()g x f x ax =+,且()g x 在(,)-∞+∞上为增函数,求实数a 的取值范围. 〔条件分析〕条件呈包含关系,子条件在结论二中列出. 前提条件→解题手段:对称性(数形结合)→中点坐标;

子条件→解题手段:①三次函数;②单调性→导数(二次函数)→手段一:分离系数(大于最大的,小于最小的);手段二:三个“二次”结合(数形结合).

〔结论分析〕两个结论.

结论一→解题方向:求轨迹方程的一般方法; 结论二→解题方向:不等关系.

〔解题评析〕⑴设(,)P x y 为()f x 图像上任一点,则点P 关于点A 的对称点为(,2)Q x y --,由已知条件知点Q 在h (x )的图像上.

∴ 3

2

12()()23

y x x -=-+-+,即32

13

y x x =

-.

∴ 3

21()3

f x x x =

-.

(点评:函数与方程的关系.) ⑵∵ 3

2

1()()3

g x f x ax x x ax

=+=

-+,

∴ 2()2g x x x a '=-+. ∵ ()g x 在R 上为增函数, ∴ 220x x a -+≥在R 上恒成立.

只需22a x x ≥-+恒成立,即只需2m ax (2)1a x x ≥-+=即可.

∴ a 的取值范围是[1,)+∞.史上最快最全的网络文档批量下载、上传、处理,尽在:https://www.sodocs.net/doc/452692620.html,/

数学思维

二、《解密数学思维的内核》 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始,经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程,G . 波利亚提出了四个阶段*(见附录),即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质,可以用下列八个字加以概括:理解、转换、实施、反思。 第一阶段:理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段:转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段:计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段:反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确,思路更加活泼,进一步提高探索的成效,我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”,即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题,以通过对新题的考察,发现原题的解题思路,最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识,常用的解题策略有:熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略,就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时,要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目,以便充分利用已有的知识、经验或解题模式,顺利地解出原题。 一般说来,对于题目的熟悉程度,取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析,任何一道解答题,都包含条件和结论(或问题)两个方面。因此,要把陌生题转化为熟悉题,可以在变换题目的条件、结论(或问题)以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有: (一)、充分联想回忆基本知识和题型: 按照波利亚的观点,在解决问题之前,我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型,充分利用相似问题中的方式、方法和结论,从而解决现有的问题。 (二)、全方位、多角度分析题意: 对于同一道数学题,常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此,根据自己

高一数学学习方法:数学解题思维和解题技巧_名师指点

高一数学学习方法:数学解题思维和解题技巧_名师指点 高中数学学习,方法很重要,今天,学习方法网小编为大家整理了高一数学学习方法,供大家参考!更多内容尽请关注学习方法网! 高一数学学习方法:数学解题思维和解题技巧 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始,经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程,G . 波利亚提出了四个阶段*(见附录),即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质,可以用下列八个字加以概括:理解、转换、实施、反思。 第一阶段:理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段:转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段:计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段:反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确,思路更加活泼,进一步提高探索的成效,我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”,即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题,以通过对新题的考察,发现原题的解题思路,最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识,常用的解题策略有:熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略所谓熟悉化策略,就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时,要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目,以便充分利用已有的知识、经验或解题模式,顺利地解出原题。

高中数学解题八个思维模式和十个思维策略

高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学,而数学知识本身是静的数学,这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估:广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析,作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种:逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式,数学概念间的逻辑关系,a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展,它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定,是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式,是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图,2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象(普遍形象)的特征去比较数学对象的个象,根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1,对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形,实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形

高中数学知识点以及解题方法大全

前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化 归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化( 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab; a 2 +ab+b 2 =(a+b) 2 -ab=(a-b) 2 +3ab=(a+ b 2) 2 +( 3 2b) 2 ; a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca= 1 2[(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) 2 ; x 2 + 1 2 x=(x+ 1 x) 2 -2=(x- 1 x) 2 +2 ;……等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n}中,a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25,则 a3+a5=_______。 2. 方程x 2 +y 2 -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k= 1 4或k=1 3. 已知sin 4 α+cos 4 α=1,则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log1 2 (-2x 2 +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (- 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上,则实数a=_____。 【简解】 1小题:利用等比数列性质a m p -a m p +=a m 2 ,将已知等式左边后配方(a3+a5) 2 易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ,解r 2 >0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin 2 α+cos 2 α) 2 -2sin 2 αcos 2 α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-11。 Ⅱ、示范性题组: 例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

高考数学解题思维能力是怎样练成的.doc

高考数学解题思维能力是怎样练成的 纵观近几年高考数学试题,可以看出高考数学试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强,下面是我给大家带来的,希望对你有帮助。 高考数学解题思维能力怎样练成的 第一,从求解(证)入手——寻找解题途径的基本方法遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发,岔路众多,顺推下去越做越复杂,难得到答案,如果从问题入手,寻找要想获得所求,必须要做什么,找到"需知"后,将"需知"作为新的问题,直到与"已知"所能获得的"可知"相沟通,将问题解决。事实上,在不等式证明中采用的"分析法"就是这种思维的充分体现,我们将这种思维称为"逆向思维"——必要性思维。 第二,数学式子变形——完成解题过程的关键解答高考数学试题遇到的第二障碍就是数学式子变形。一道数学综合题,要想完成从已知到结论的过程,必须经过大量的数学式子变形,而这些变形仅靠大量的做题过程是无法真正完全掌握的,很多考生都有这样的经历,在解一道复杂的考题时,做不下去了,而回过头来再看一看答案,才恍然大悟,解法这么简单,后悔莫及,埋怨自己怎么糊涂到没有把式子再这么变一下呢? 其实数学解题的每一步推理和运算,实质都是转换(变形).但是,转换(变形)的目的是更好更快的解题,所以变形的方向必定是化繁为简,化抽象为具体,化未知为已知,也就是创造条件向有利于解题的方向转化.还

必须注意的是,一切转换必须是等价的,否则解答将出现错误。 解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的 桥梁,也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上,化归和消除这些差异。寻找差异是变形依赖的原则,变形中一些规律性的东西需要总结。在后面的几章中我们列举的一些思维定势,就是在数学思想指导下总结出来的。在解答高考题中时刻都在进行数学变形由复杂到简单,这也就是转化,数学式子变形的思维方式:时刻关注所求与已知的差异。 第三、回归课本---夯实基础。 1)揭示规律----掌握解题方法高考试题再难也逃不了课本揭示的思维 方法及规律。我们说回归课本,不是简单的梳理知识点。课本中定理,公式推证的过程就蕴含着重要的方法,而很多考生没有充分暴露思维过程,没有发觉其内在思维的规律就去解题,而希望通过题海战术去"悟"出某些道理,结果是题海没少泡,却总也不见成效,最终只能留在理解的肤浅,仅会机械的模仿,思维水平低的地方。因此我们要侧重基本概念,基本理论的剖析,达到以不变应万变。 2)构建网络----融会贯通在课本函数这章里,有很多重要结论,许多学生由于理解不深入,只靠死记硬背,最后造成记忆不牢,考试时失分。 例如: 若f(x+a)=f(b-x)则f(x)关于对称。如何理解?我们令x1=a+x,x2=b-x,则f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b,=常数,即两自变量之和是定值,它们对应的函数值相等,这样就理解了对称的本质。结合解析几何中的中点坐标的横坐标为定值,或用特殊函数,二次函数的图像,记忆这个结论就很简单了,

高中数学解题的思想方法

高中数学解题的思想方法(经典) 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ① 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③ 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等; ④ 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

高中数学解题思维策略

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第四讲 数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察;对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。 “数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在: (1)一题的多种解法 例如 已知复数z 满足1||=z ,求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决: ①运用复数的代数形式; ②运用复数的三角形式; ③运用复数的几何意义; ④运用复数模的性质(三角不等式)||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-; ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||; ⑥(数形结合)运用复数方程表示的几何图形,转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时,r 的最大值。 (2)一题的多种解释 例如,函数式22 1ax y =可以有以下几种解释: ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。“1”可以变换为:x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+,等等。 1. 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证:.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于2便不难解决。

高中数学解题四大思想方法(数学)

思想方法一、函数与方程思想 方法1 构造函数关系,利用函数性质解题 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论,从而使问题得到解决,称为构造函数解题。通过构造函数,利用函数的单调性解题,在解方程和证明不等式中最为广泛,解题思路简洁明快。 例1 (10安徽)设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是( ) ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> (1) 讨论函数()f x 的单调性; (2) 证明:若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量,揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中,对变量的理解要选择更加合适的角度,先选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系,再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ,使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程,求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式,我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是( ) 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

数学解题的思维过程

数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始,经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程,即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质,可以用下列八个字加以概括:理解、转换、实施、反思。 第一阶段 理解问题是解题思维活动的开始 第二阶段 转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段 计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段 反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确,思路更加活泼,进一步提高探索的成效,我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”,即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题,以通过对新题的考察,发现原题的解题思路,最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识,常用的解题策略有:熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略,就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时,要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目,以便充分利用已有的知识、经验或解题模式,顺利地解出原题。 一般说来,对于题目的熟悉程度,取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析,任何一道解答题,都包含条件和结论(或问题)两个方面。因此,要把陌生题转化为熟悉题,可以在变换题目的条件、结论(或问题)以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有: (一)充分联想回忆基本知识和题型: 按照波利亚的观点,在解决问题之前,我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型,充分利用相似问题中的方式、方法和结论,从而解决现有的问题。 (二)全方位、多角度分析题意: 对于同一道数学题,常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此,根据自己的知识和经验,适时调整分析问题的视角,有助于更好地把握题意,找到自己熟悉的解题方向。(三)恰当构造辅助元素: 数学中,同一素材的题目,常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间,也存在着多种联系方式。因此,恰当构造辅助元素,有助于改变题目的形式,沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系,把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中,构造的辅助元素是多种多样的,常见的有构造图形(点、线、面、体),构造算法,构造多项式,构造方程(组),构造坐标系,构造数列,构造行列式,构造等价性命

高中最全数学解题的思维策略资料全

一、《高中数学解题的思维策略》
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下午物理上完之后再给大家补课,再给大家补 5 天的课程,
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有用吗。给大家举个例子,那几年留学很流行,大家可能会说,留
学很贵,实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了,
补课也是,讲到的某些知识点能被大家用到高考中,增加分数,高
考中分数的重要性,,我姐是个老师,我姐经常说孩子们考好了,
家长就说,,考不好,家长就说老师和郭师哥教的不好,实际上主
体还是我们学生,次要的才是老师,家长,环境,据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错,
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一些英语,语文和其他科目的技巧。


数学教学的目的在于培养学生的思维能力,培养良好思维品质的途径,是进行有效
的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解:
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空题一般最后一个比较难,大家很容易被这卡主,流汗,紧张,看到你旁边的人第 2 道

高中数学解题思想方法大全

目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

数学解题思维策略

第一讲 数学解题思维策略 ——高考数学代数推理题 一、数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始,从经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动. 在高考试卷中,有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法接轨,这就是代数推理题.这类问题立意新颖,抽象程度高,是数学问题的典型代表.具体说来,其思维过程一般分为三步:首先要领会题意(审题)——弄清题目的条件是什么?结论是什么?如果条件和结论是用文字表达的,则把它翻译成数学语言;其次要明确方向——在审题的基础上,运用所学知识和数学思想方法,明确解题目标与方向;最后要规范表述——采用适当的步骤,合乎逻辑地进行推理和运算,并正确地表述. 在这里,第一步是关键,这就是我们通常说的审题. 二、如何审题? 1、理清题意 审题,就是明确题目的已知和未知,是解题的第一步,这一步不要怕慢.从近年高考命题的特点来看,试卷容量有减少的趋向,目的也就是要突出对考生的能力检查,增加思考量,倡导多给考生一点思考和探索的时间. 其实,题目本身就是“怎样解这道题”的信息源,所以审题一定要逐字逐句看清楚,可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意. 2、条件启发解题手段,结论诱导解题方向 解题实践表明,条件往往预示可知并启发解题手段,结论则预告需知并诱导解题方向.可以按照条件列出所有的解题手段表解,根据结论写出可能的解题方向,并寻找出它们之间的联系,这样做的另一个好处是,可以将题目进行分解,避免失分. 3、挖掘隐蔽条件 对于条件,一定要用足用够.解题过程中的关键之处,往往是题目未明显写出的,即隐蔽给予的.一方面,解题时如果遇到“盲点”,可以回过头来分析是否用足用够条件;另一方面,也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息,这也说明,审题一定不要怕慢. 〖例1〗(2005年成都一诊22题)对于函数f (x ),若存在0x ∈R ,使00()f x x =成立,

《高中最全数学解题的思维策略》

一、 《高中数学解题的思维策略》
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数学教学的目的在于培养学生的思维能力,培养良好思维品质的途径,是进行有效 的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解: 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲,考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖,这个变通不只是说思维,也可以说是大家对数学卷子的一种变通,高考 120 分 钟,12 道选择,4 道填空,基本用时不超过 50 分钟,选这题一般最后 2 个比较难,填空 题一般最后一个比较难,大家很容易被这卡主,流汗,紧张,看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了,这下就慌了,心想肯定完了,最后整个卷子全部慌了,后面计算正确率 也不高了,整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀,先做会的,把整个卷子会做的做 完了,再去做会做的,即使有些题不会做也没关系,大题都是按步骤给分,步骤对了,

高中数学解题思维提升专题08数列大题部分训练手册

专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性; 2、 掌握等差数列,等比数列的通项公式,求和公式及性质; 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法; 4、 掌握常用的求和方法; 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题,一道大题,小题侧重于考等差数列与等比数列的性质,熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量;大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式,求和的方法。总之,此类题目难度中等,属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、(宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷)设数列{}n a 的前n 项和, 且123,1,a a a +成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记数列1 { }n a 的前n 项和n T ,求使得成立的n 的最小值. 【答案】(1)2n n a = (2)10 (2)由(1)可得112n n a ??= ??? ,所以 , 由 ,即21000n >,因为 ,所以10n ≥,于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、(宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷)设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上(*n N ∈) 。

(1)若12a =-,点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,求数列{}n a 的前n 项和n S ; (2)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-,求数列 { }n n a b 的前n 项和n T . 【答案】(1) (2) (2)由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -,从而,故22a = 从而n a n =,2n n b =, 2n n n a n b = 所以 故。 3、(辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题)设n S 为数列{}n a 的前项和,已知10a ≠,,n *∈N . (1)求1a ,2a ; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)求数列{}n na 的前n 项和.

高中数学解题思路全部内容完整版

一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+b 2 )2+( 3 2 b)2; a2+b2+c2+ab+bc+ca=1 2 [(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2] a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2; x2+1 2 x =(x+ 1 x )2-2=(x- 1 x )2+2 ;……等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n }中,a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25,则 a 3 +a 5 =_______。 2. 方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k=1 4 或k=1 3. 已知sin4α+cos4α=1,则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log 1 2 (-2x2+5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 5 4] B. [5 4 ,+∞) C. (-1 2 ,5 4 ] D. [5 4 ,3) 5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x 1、x 2 ,则点P(x 1 ,x 2 )在圆x2+y2=4上,则 实数a=_____。 【简解】 1小题:利用等比数列性质a m p -a m p + =a m 2,将已知等式左边后配方(a 3 + a 5 )2易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2,解r2>0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-11。 Ⅱ、示范性题组:

高中数学解题思维策略一数学思维的变通性

高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练: (1)善于观察 心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。 例如,求和) 1(1431321211+++?+?+?n n . 这些分数相加,通分很困难,但每项都是两相邻自然数的积的倒数,且111)1(1+-=+n n n n ,因此,原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。 (2)善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都是不明显

的、间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征,灵活运用有关知识,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深入。 例如,解方程组? ??-==+32xy y x . 这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理,x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根, 所以???=-=31y x 或???-==1 3y x .可见,联想可使问题变得简单。 (3)善于将问题进行转化 数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换。可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后,就要寻求转化关系。 例如,已知c b a c b a ++=++1111,)0,0(≠++≠c b a abc , 求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论,可以转化为:0))()((=+++a c c b b a 思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思维方法解决以后的问

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学,而数学知识本身是静的数学,这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等研究; 高中数学思维能力评估:广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析,作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种:逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式,数学概念间的逻辑关系,a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系2、判断是逻辑思维在概念基础上的发展,它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定,是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式,是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图,2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象(普遍形象的特征去比较数学对象的个象,根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类

象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式,对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形,实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想,它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式,也是数学形象思维的重要方法。 三数学直觉思维的基本形式1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏锐的分析、推理,并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感(或顿悟是直觉思维的另一种形式。 直觉思维是一种敏锐、快速的综合思维,既需要知识组块和逻辑推理的支持,也需形象、经验和似真推理的推动。 意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识,而灵感是潜意识。 思维的基本规律 一反映同一律:等值变形,等价变换 二思维相似律:同中辨异,异中求同 数学思维的特性 一数学思维的概括性数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律,能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。 二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的,定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏,只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程,数学问题的推广、引申和应用过程,是新的数学问题发现和解决的过程,也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。 三数学思维的相似性数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式,从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式,构成相似系列,即各种概念、命题与方法的相似链。 数学思维的材料与结果 数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分

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