高中函数部分知识点及典型例题分析
智立方教育高一函数知识点及典型例题
一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射2、函数
构成函数概念的三要素①定义域;②对应法则;③值域.
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
例1、例2、}3
0|
{
},
2
0|
{≤
≤
=
≤
≤
=y
y
N
x
x
M给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ）
A、 0个
B、 1个
C、 2个
D、3个
由题意知：M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，
对于图①中，在集合M中区间（1，2]的元素没有象，比如f（ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意；
对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；
对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；
对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x=1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确
x x x x
1 2 1
1
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y y y
y
3
O O
O
O
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
例1、y =
函数的定义域为
根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4 四．函数的奇偶性 1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数. 如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数. 2.性质： ①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系 例1.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=， 则当),0(∞+∈x 时，=)(x f . 当x ∈（０，＋∞），f(x)=-x-x^4 解：当x ∈（０，＋∞），－x ∈(-∞,0),因为当x<0时，f(x)=x-x^4,所以把－x 代入这个式子中得 f(-x)=-x-(-x)^4=-x-x^4,又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x) 于是f(x)=-x-x^4 例2、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数. （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值围. （Ⅰ）因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f （1）= -f （-1）知a=2 （Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t ∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3 六．函数的周期性： 1．（定义）偶函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），则称函数f （x ）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域任意一个x ，都有f （-x ）＝-f （x ），那么函数f （x ）是奇函数。 2．若)()(x f a x f -=+；) (1)(x f a x f = +；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a 例1、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 由于f(X)为奇函数,故f(-X)=-f(X),所以f(-0)=-f(0)得出f(0)=0.又f(X+2)=-f(X)故f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2))=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0 例2、 ________ 例5、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+， 当]2,0[∈x 时2 2)(x x x f -=. ⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式. （1）f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数。 （2）根据奇函数性质f(x)=-f(-x),可知x ∈[-2,0]时，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x 2)=2x+x 2, 而f(x)是以4为周期的周期函数，当x ∈[2,4]时，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4)2=x 2-6x+8 f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))? 根据f(x+2)=-f(x)这条件...于是f(x+4)=-f(x+2)，这个就是把x+2作为一个整体看作条件中的x ，带进去就是了 七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析) 1．二次函数f(x)=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2a b a c a b -- 2．二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根为二次函数f(x)=ax 2 +bx+c(a≠0)0=y 的x 的取值. 一元二次不等式)0(02 <>++c bx ax 的解集(a>0) 二次函数 △情况 一元二次不等式解集 y=ax 2 +bx+c (a>0) △=b 2 -4ac ax 2 +bx+c>0 (a>0) ax 2 +bx+c<0 (a>0) 图象 与解 △>0 {}21 x x x x x ><或 {}21 x x x x << △=0 {}0 x x x ≠ Φ △<0 R Φ 例1、已知函数54)(2 +-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的围是（ ） （A ）25)1(≥f (B) 25)1(=f (C) 25)1(≤f (D) 25)1(>f 例2、方程0122 =++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值围是 二次函数解决。 设Y=X^2+2mX+1，抛物线开口向上， 与X 轴交点在1的左右两边， ∴在保证有交点的情况下(Δ>0)， X=1时，Y<0。 ∴Δ=4m^-4>0，得m>1或m<-1， 当X=1时，Y=2+2m<0，得m<-1， 综合得：m<-1。 九．指数函数与对数函数 x a 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x (a>0且a≠1) y=log a x (a>0 , a≠1) 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 （０，1） （1，０） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)图象关于y=x 对称 单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函 数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 值分布 y>1 ? y<1? y>0? y<0? 2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象： 3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径. 例1、（1）)35lg(lg x x y -+= 的定义域为_______________； 解答： 令 lgx ≥ 0， ∴ x ≥ 1 令 x > 0 令 5 - 3x > 0, ∴ x < 5/3 ∴定义域为 1 ≤ x < 5/3 （2）3 1 2-=x y 的值域为_____________； 可以设t=1/(x-3)，则t 的围就是t ≠0 所以函数的值域为y>0且y ≠20 即值域为(0,1）∪（1，+∞) （3）)lg(2 x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________. -x^2+x>0 0 y=lg(-x 2+x)的递增区间—(1/2,1)—值域为—(-无穷，-lg4]— 十．函数的图象变换 1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即 k x f y x f y h x f y x f y k k h h +=?????→?=+=?????→?=><><)()() ()(,0;,0,0;,0上移 下移左移 右移 1、 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变） ) ()()()() ()() ()() ()()()(1 x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x x y x y y x =?????????→?==??????????→?==??→?=--=??→?=-=?→?=-=?→?=-=轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴