调和级数发散性的多种证明方法
邯郸学院本科毕业论文
高昌
摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同．
关键词调和级数发散性判别收敛
Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou Xijuan
Abstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original
license different.
Key words Harmonics Series Divergency Discriminate Convergency
目录
摘要................................................................................ I 外文页............................................................................. II
1 引言 (1)
2 调和级数发散性的证明方法 (1)
2.1 比较类 (1)
2.2 柯西类 (3)
2.3 积分类 (4)
2.4 和为无穷大类 (5)
3 总结 (7)
参考文献 (8)
致谢.............................................................. 错误！未定义书签。
调和级数发散性的多种证明方法
１ 引言
调和级数是级数中具有代表性的一个级数，很早人们就开始对它发散性的证明进行研究．并且不少知名的学者和大数学家都参与其中．最早证明调和级数发散的是法国学者尼古拉奥雷姆
)13821323(-，在极限概念完全理解之前400年证明的．后来，大数学家伯努力也给出了一种经典
的证明．随着科学的不断发展，到现在证明调和级数发散的方法有近二十种．本文主要讲搜集到的比较常见的证明调和级数发散的11种方法并进行了进一步的整理，按照比较、柯西、积分、和为无穷大四个条件进行简单归类，使之形成一套比较完备的体系，更方便读者对各种证明方法的阅读和比较．为了方便比较，有些方法采取了与原证不同的呈现形式．本论文对《数学分析》中级数敛散性学习和研究，尤其是初学者，会有很大帮助．
2 调和级数发散性的证明方法
2.1 比较类
比较判别法是证明正项级数敛收敛或发散最常用的方法．多数情况下，利用我们所熟知的收敛或发散的级数与未知的级数进行比较，就能得出结论．
对于调和级数，利用比较法证明其发散的思路主要有两类．一是利用加括号法则，把原级数变形，再通过放缩或其它方法得到一个熟悉的并且使它大于调和级数的发散级数．通过比较判别法得出结论．二是找到一个发散级数，并且它的通项与调和级数的通项比是一个非零常数，这就可以由找到的级数的发散性判定调和级数的发散性．下面给出的前两种方法用的是第一种思路，后两种是第二种思路．
方法1 依次将
∑∞
=11
n n
一项，一项，二项，四项，八项，十六项 括在一起得 ++++
n 1
31211
++++++++++++++=--)21221121()81716151()4131(21111m m m ，这是一个新级数，敛散性与原级数相同．它的各项均大于级数
+?++?+?++-m m 2
1
281441221211
++++++=
2
1
21212121 的对应项．
显然，第二个级数是发散的．由比较判别法知，调和级数
∑∞
=11
n n
发散.（此方法是法国学者尼古拉奥雷姆)13821323(-在极限概念被完全理解之前的400年证明的）
． 方法2 依次将
∑∞
=11
n n
九项，九十项，九百项， 括在一起得 ++++
n 1
31211 ++++++++++++=)999110111001()991111101()91211(，
这是一个新级数，敛散性与原级数相同．它的各项均大于级数
+??? ??++++??? ??++++???
??+++900
90
9
100011000110001100110011001101101101
+++=
100090010090109 +++=10
9109109 的对应项．
显然，第二个级数是发散的．由比较判别法知，调和级数∑∞
=1
1
n n 发散．
方法3
利用不等式：)1ln(x x +>
++++
n
1
31211， 它的各项均大于下面级数的对应项
+++++++)1
1ln()211ln()11ln(n
.
假设上面的级数是收敛的，则它的和大于它的部分和。它的部分和为
)1
1ln()211ln()11ln(n
++++++
n
n 1
ln 23ln 2ln ++++=
)1
134232ln(+?-???=n n
n n
()∞→∞→+=n n )1ln(.
所以，第二个级数是发散的．通过比较判别法可知，调和级数
∑∞
=11
n n
发散． 方法4 应用级数
∑∞
=1
n n
a
（其中)021≥≥≥≥≥ n a a a 与级数
n a n n
21
2
∑∞
=有相同的收敛性．取
() ,2,11==n n a n ，031211>>>> ，而级数 ∑∑∑∞
=∞=∞==?=1
12112122n n n n
n n n a 发散．
故调和级数
∑∞
=11
n n
发散． 2.2 柯西类
柯西准则及其相关推论也是证明级数收敛或发散的常用方法．证明调和级数发散，我们可以用级数发散的柯西准则，也可用级数收敛的柯西准则得出矛盾结论（反证法）．本节中方法一用的是级数发散的柯西准则，方法二用的是级数收敛的柯西准则．
方法1
[]3
1
级数发散的充要条件：存在正数ε，对任何正整数N ，以及存在正整数)(N m >和p ，有
ε≥++++++p m m m u u u 21.
对于调和级数
++++
n
1
31211， 令m p =，则有
m m m m u u u ++++++ 21
m m m 21
2111+
++++=
m m m 21
2121+
++≥ 2
1=
.
因此，取2
1
=
ε，对任何正整数N 和m p =符合上述条件，所以调和级数是发散的．（此方法被多本大学数学教材采用，做为应用柯西准则证明级数发散的典型例题）．
方法2
级数收敛的柯西准则：任意正数ε，存在正整数N ，以及任意正整数)(N m >和p ，有
ε<++++++p m m m u u u 21 .
假设调和级数收敛，则存在)(N m >使
021→++++++p m m m u u u .
令m p =，有
m m m m u u u ++++++ 21
m m m 21
2111+
++++=
m m m 21
2121+
++≥ 2
1
=
（不以0为极限）, 从而得出矛盾，故调和级数
∑∞
=11
n n
发散． 2.3 积分类 方法1 定理
[]12
1设f 为[]+∞,1上非负递减函数，那么正项级数
∑)(n f 与非正常积分?
+∞
1
)()(x d x f 同
时收敛或发散．
取x x f 1)(=，则f 在[]+∞,1上为非负递减函数．则由定理知级数∑∑+∞=+∞==111
)(n n n
n f 与?+∞1)(1x d x 同时收敛或发散．因为
+∞=+==+∞→+∞+∞→+∞
??
)1ln(lim )(1lim )(111
n x d x x d x n n ，故调和级数∑∞=11
n n
发散．
方法2
采用数形结合的方法．利用积分的几何意义，根据面积大小，得出调和级数的部分和发散． 调和级数的部分和
n
s n 131211++++=
由上图的阴影部分面积可知 第一块矩形的面积11=A ,
第二块矩形的面积21
2=A , 第三块矩形的面积3
1
3=A ,
……
第n 块矩形的面积n
A n 1=
. 所以，阴影部分的总面积为n n A A A A s ++++= 321，它显然大于曲线x
y 1
=下在1=x 到1+=n x 之间的那一块面积)1ln(1
1
1
+=?
+n x
n ， 即
)()1ln(∞→+∞→+>n n s n .
可见，调和级数部分和n s 没有极限，故调和级数
∑∞
=1
1
n n 发散． 2.4 和为无穷大类
和为无穷大是证明级数发散的最直接的方法．和可以是整个级数的和，也可以是级数的部分和．利用和为无穷大证明调和级数和为无穷大一般利用反证法，得出调和级数和或调和级数的部分和是一个有限数为假．本节给出的前两种方法证明的是整个调和级数的和为无穷大，最后一种方法证明的是调和级数的部分和为无穷大．
方法1
x
y 1=
以
1)
1(11216121=++++++ n n 为基础，先证明这个等式． 21121-=，312161-=，4131121-=…，1
11)1(1+-=+n n n n ， 11
111141313121211)1(11216121+-
=+-++-+-+-=++++++n n n n n )(1∞→=n .
设 ++++=
n
A 1
3121，则 +++++++=
)1(2041236221n n n A , 1)1(12011216121=+++++++=
n n C , 2121)1(120112161=-=++++++=
C n n
D , 3161)1(1301201121=-=++++++=
D n n
E , 41121)1(1421301201=-=++++++=
E n n
F , 5
1201)1(1561421301=-=++++++=
F n n
G , ……
+++=+++=
+++++3
1
2112041236221G F E D C . 所以有1+=A A ，没有一个有限数会大于等于自己，所以A 是无穷大．即调和级数∑∞
=1
1
n n 发散．
（此方法是大数学家约翰伯努利作出的经典证明）．
方法2 以不等式
),2(3
11111N n n n
n n n ∈≥>+++-为基础． 先证明这个不等式．由
n n n n 311111-+++- )1
11()111(+----=n n n n n n n n )1(1
)1(1+-
-=
0)
1()1(2>+-=
n n n n
得
),2(311111N n n n
n n n ∈≥>+++-，所以有 133
413121=>++, 2163716151=>++, 3
1931019181=>++, ……
++++
=n s 1
31211 +++++>n
1
312111
s +>1.
如果s 是一个有限数，s 不会大于自己．即s 为正无穷大，故调和级数
∑∞
=1
1
n n 发散． 方法3
利用反证法，假设
s n
n =∑∞
=11
，则s s n n =∞
→lim ，s s n n =∞→2lim ，因此有 0)(lim 2=-=-∞
→s s s s n n n
（1）
但另一方面，由于对一切n 有
2
1212121112=?>+++++=
-n n n n n s s n n ， 可知0)(lim 2≠-∞
→n n n s s （2）
显然，结论（1）与结论（2）矛盾,所以，假设错误.因此，调和级数
∑∞
=1
1
n n 发散. 3 总结
该论文给出了证明调和级数发散的11种常见的证明方法，并按照一定的方法进行了归类，让读
者在阅读时有一定的整体性．证明调和级数发散性的方法，除了本文给出的11种，还有许多．比如说利用高斯判别法、欧拉常数等有关知识也可以将其证明．
调和级数发散性的证明对其它正项级数的证明起到了“尺子”的作用．对调和级数发散性的研究不仅丰富了调和级数的证明方法，同时也为一般正项级数发散性的证明提供了更广阔的空间．在对级数发散性的证明时，用到的有可能不仅仅是文中所给的几种方法，而是需要将几种方法综合运用．所以证明级数发散时，没有固定的方法，要灵活．
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004:1-24
[2] 任亲谋．数学分析习题解析 (下册)[M].陕西：陕西师范大学出版社，2004
[3] 裴礼文．数学分析典型问题与方法 [M].北京：高等教育出版社，1993
[4] 夏晓峰. 调和级数发散的几种证明[J].本溪冶金高等专科学校院报，2000（12）:44-45
[5] 马艳宝. 关于调和级数发散性的五种证明方法[J]. 商业文化（下半月），2010（2）.127
[6] 张竟成. 关于调和级数∑∞
=11
n n
发散的几种证明方法以及它的应用[J]. 岳阳职业技术学院学
报，2006（5）.21
[7] 姜洪文. 对调和级数∑∞
=11
n n
的分析[J]. 沈阳师范学院院报，2002（7）:170-172
[8] 黄永东. 证明调和级数∑∞
=11
n n
发散性的7种证明方法[J]. 西北民族学院院报，2001（3）：
1-3
[9] 费定辉.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M]. 山东：山东科学技术出版社，1999:98-99.
[10] "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
正项级数敛散性地判别方法
正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。
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华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
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数项级数敛散性的判别法毕业论文
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关于数项级数敛散性的判别法 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:
数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则 （i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛； （ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散； （ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛； （iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:
关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)
n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.
2016考研数学：无穷级数的敛散性判断方法
2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性
通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分
和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。
从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断;
如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下：
正项级数收敛及其应用公式版
公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S
（2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 ，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +
数项级数的敛散性判别法
第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数）， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑
发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =， 则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由．
关于正项级数敛散性的判别法
关于正项级数敛散性的判别法 作者: 学号： 单位： 指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言 设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情 况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在， 从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+ 设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增，由数列的单调有界定理，有 定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条 件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）： 设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数， 则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届， 再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届， 华北水利水电 大学 课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39班 成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23 数项级数敛散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary 重庆三峡学院毕业设计（论文） 题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨 目录 摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3) 2正项级数相关概念 (3) 2.1 定义 (3) 2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3) 2.3 三个重要比较级数 (4) 2.3.1 几何级数 (4) 2.3.2 调和级数 (5) 2.3.3 P-级数 (5) 3 正项级数敛散性判别法 (6) 3.1 判别发散的简单方法 (6) 3.2 比较判别法 (7) 3.2.1 定理及其推论 (7) 3.2.2 活用比较判别法 (9) 3.2.3 归纳总结 (11) 3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12) 3.3.1 柯西判别法 (12) 3.3.2 达朗贝尔判别法 (13) 3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15) 3.4 拉贝判别法 (17) 3.5 积分判别法 (19) 3.6 两种新方法 (20) 3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23) 4 在判别级数敛散性中的作用 (23) 4.1 证明负项级数的敛散性 (23) 4.2 证明变号级数绝对收敛 (24) 4.3 证明函数级数收敛 (25) 5 结束语 (26) 致谢 (27) 参考文献: (27) 一个无穷级数的敛散性证明 我们在复变中曾见过这样一个无穷级数 231............23n n n Z Z Z Z Z n n ∞ ==+++∑ 其中Z 为复数。 它的收敛域为 |Z|<1 那在|Z|=1上上述无穷级数的收敛情况又是如何呢？ 当Z=1时上述无穷级数为调和级数，因此是不收敛的。 那当Z 取其它值时是否也是不收敛呢。答案是否定的，令Z=-1 则上述无穷级数为交错级数，由数学分析的知识知道它是收敛的。 事实上，除了Z=1外，单位圆周上其它点都可使上述无穷级数收敛。 为了方便计算，令Z=cos θ+isin θ 其中θ为实数为了方便讨论，下面我们限制0≤θ<2π 当θ取0时，则Z=1,上述无穷级数为调和级数，是不收敛的。 当θ取π时，则Z=-1,上述无穷级数为交错级数，是收敛的。 下面我们分两个阶段去证明。 第一阶段,当θ/π取有理数时,即θ=πp /q 其中p 为奇数 、q 为整数且p 、q 互素。 由欧拉公式 (cos sin )cos sin n i n i n θθθθ +=+ 则当n 取kq 时 其中k 为整数 则Z t =-Z t+q =Z t+2q =-Z t+3q =...(-1)k Z t+kq 其中t 小于q 即t=1、2、3...q 则级数 21............2t t q t q t nq n n Z Z Z Z T t t q t q t nq +++∞ ==++++++∑ 可化为 1......(1)......23t t t t t n n n Z Z Z Z Z T t t q t q t q t nq ∞ ==-+-+-++++∑ 即 111111(......(1) (234) n n n T Z t t q t q t q t nq ∞ ==-+-+-++++∑ 上述无穷级数为交错级数，故其是收敛的。 记F t 为上述无穷级数的和 则对任意的ε>0,存在正整数N t ，使得n>N t 时，都有 2|......|2t t q t q t nq t Z Z Z Z F t t q t q t nq ε++++++-<+++ 则讨论（1）的部分和 23......23n n Z Z Z S Z n =+++ 其中n=(k+1)q+h h 正项级数敛散性的判别 刘 兵 军 无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。 一． 常数项级数的概念 所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。 对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。 级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。 级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。 二． 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛； 如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散； 比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。 几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 数学科学学院08级蒙班 包艳玲 20082115054 指导老师 苏雅拉图 摘 要：本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给出了它的应用. 关键词：一致收敛，函数项级数，和函数. 下面我要给出函数项级数的一致收敛性的定义 定义 设给定函数项级数∑∞ =1 )(k k x u ，如果它的部分和序列= )(x S n ∑=π 1 )(k k x u 在 区间I 一致收敛到和函数)(x S ;那么称级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到和函数 )(x S , 即用N -ε语言来叙述，函数项级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到)(x S ，是指对 任给的0>ε，存在于x 无关的N ，只要N n >就有 ε<-= -∑=n k k n x S x u x S x S 1 )()()()( 对一切I x ∈一直成立. 例1 证明函数项级数∑∞ =-1 1k k x 在??? ???-21,21一致收敛. 证明 已知∑∞ =-1 1 k k x =x x n --11，?? ? ???-∈21,21x 时 x x x x S n n k k n --= =∑=-11)(1 1 ε<≤-≤-=--12111)()(n n n n x x x x x S x S ；??? ???-∈21,21x 时取121ln ln +????? ? ??????=εN 则只要N n >，就有ε<-)()(x S x S n ；??? ???-∈21,21x ， ∑∞ =-1 1 k k x 在??????-21,21一致收敛.数项级数敛散性判别方法
正项级数的根式判别法和比式判别法
一个无穷级数敛散性的证明
正项级数敛散性判别
(完整版)关于数项级数敛散性的判定
函数项级数一致收敛性判别法及其应用