2018年考研数学二试题及答案解析
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若2
1
2
lim()
1x
x x e ax bx →++=,则（ ）
()A 1
,12
a b ==- ()B 1,12a b =-=-
()C 1,12a b == ()D 1
,12
a b =-=
【答案】B
（2）下列函数中,在0x =处不可导是（ ）
(
)(
)()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x C f x x
D f x ==
==
【答案】D
（3）设函数10()10x f x x -
()100ax x g x x
x x b x -≤-??
=-<
,若()()f x g x +在R 上连续,则（ ） ()A 3,1a b == ()B 3,2a b == ()C 3,1a b =-= ()D 3,2a b =-=
【答案】D
（4）设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且1
()0f x dx =?
,则
（A ）当()0f x '<时, 1(
)02f < （B ）当()0f x ''<时, 1()02f < （C ）当()0f x '>时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1
(02
f <
【答案】D
（5）设22
22(1)1x M dx x π
π-+=+?,22
2
21x x N dx e ππ-+=?
,22
(1K dx π
π-
=?,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>
【答案】C
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（6）
2
2
21
21
(1)(1)x x x
x
dx xy dy dx xy dy -----+-=?
?
??
（A ）
53
（B ）
56
（C ）
73
（D ）
76
【答案】C
（7）下列矩阵中,与矩阵110011001?? ? ? ???
相似的为 111()011001A -?? ? ? ???101()011001B -?? ? ? ???111()010001C -?? ? ? ???101()010001D -??
? ?
???
【答案】A
（8）设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则
（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）
()()T T r A B r A B =
【答案】A
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 2
lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞
+-=_______
(10) 曲线2
2ln y x x =+在其拐点处的切线方程是______ (11)
25
1
43
dx x x +∞
=-+?
_______
(12) 曲线3
3
cos sin x t
y t
?=??=??在4t π=对应点的曲率为 （13）设函数(,)z z x y =由方程1
ln z z e xy -+=确定，则
1(2,)2
______z x
?=?
（14）设
A
为3
阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组，若
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11232233232,2,A A A αααααααααα=++=+=-+，则A 的实特征值为
【答案】2
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10
分）求不定积分2x e ?
（16）（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足
20
()()x
x
f t dt tf x t dt ax +-=?
?，
(1)求()f x ，(2) 若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1,求a 的值
（17）（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,(02)1cos ,x t t t y t π=-?≤≤?=-?
与x 轴围成,计算二重积分
(2)D
x y dxdy +??
（18）（本题满分10分）已知常数ln 21k ≥-.证明2
(1)(ln 2ln 1)0x x x k x --+-≥
（19）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
（20）（本题满分11分）已知曲线2
4:(0),9
L y x x =≥点(0,1).A 。设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围图形的面积。若P 运动到点（3，4）时沿x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t
的变化率。
（21）（本题满分11分）设数列{}n x 满足1
10,1(1,2,)n n x x n x x e
e n +>=-=。证明{}n x 收敛，并求lim n n x →∞
（22）（本题满分11分）设实二次型22
1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数(1)求123(,,)0f x x x =的解(2)求123(,,)f x x x 的规范形
（23）（本题满分11分）已知a 是常数,且矩阵1213027a A a ??
?
= ?
?
-??
可经初等变换化为矩阵12011111a B ?? ?= ? ?-??
(1)求a (2)求满足AP B =的可逆矩阵P