自主合作探究
《数学》导学案
班级:姓名:
编号:№1 班级小组姓名小组评价教师评价
收获与感悟第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
§1.1 不等关系
学习目标:
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
3.通过列不等式,训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
4.通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历
史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
学习重点:
用不等关系解决实际问题.
学习难点:
正确理解题意列出不等式.
预习作业:
请同学们预习作业教材P2-4的内容,在学习的过程中请弄清以下几个问题:
1.不等式的概念:
一般地,用符号“<”(或≤),“>”(或≥)连接的式子叫做______________
2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆,绳长L应满足的关系式为
_________________
例1、用不等式表示
(1)a是正数;(2)a是负
数;
(3)a与6的和小于5;(4)x与2的差
小于-1;
(5)x的4倍大于7;(6)y的一半
小于3.
变式训练:
1、用适当的符号表示下列关系:
(1) a是非负数;
(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长;
(3) X与17的和比它的5倍小。
2.(1)当x=2时,不等式x+3>4成立吗?
收获与感悟(2)当x=1.5时,成立吗?
(3)当x=-1呢?
活动与探究:
a,b两个实数在数轴上的对应点如图1-2所示:
图1-2
用“<”或“>”号填空:
(1)a__________b;(2)|a|__________|b|;
(3)a+b__________0;(4)a-b__________0;
(5)a+b__________a-b;(6)ab__________a
拓展训练:
1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠
条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学
生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)
编号:№2 班级小组姓名小组评价教师评价
收获与感悟
§1.2 不等式的基本性质
学习目标:
1.探索并掌握不等式的基本性质;
2.理解不等式与等式性质的联系与区别.
3.通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提高大家的辨别能
力.
学习重点:
探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用.
学习难点:
能根据不等式的基本性质进行化简.
回顾等式的基本性质:
等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.
基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.
预习作业:学习教材P7-P8的内容,通过学习弄清以下问题: 1.不等式的基本性质有哪些?
不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向__________ 不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向____ 不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向____ 2.不等式的基本性质与等式的基本性质有什么异同?
例1、将下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式:
(1)x -5>-1; (2)-2x >3; (3)3x <-9.
(4)21>-x (5)6
5<-x (6)321
≤x
说明:在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时,要注意数的正、负,从而决定不等号方向的改变与否.
2.已知y x >,下列不等式一定成立吗?
(1)66-<-y x (2)y x 33< (3)y x 22-<- (4)
1212+>+y x
议一议:
1. 讨论下列式子的正确与错误.
(1)如果a <b ,那么a +c <b +c ; (2)如果a <b ,那么a -c <b -c ;
收获与感悟
(3)如果a <b ,那么ac <bc ; (4)如果a <b ,且c ≠0,那么c a >c
b . 2.设a >b ,用“<”或“>”号填空.
(1)a +1 b +1; (2)a -3 b -3; (3)3a 3b ; (4)
4a 4b ; (5)-7a -7
b
; (6)-a -b . 变式训练:
1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式:
(1)x -2<3; (2)6x <5x -1; (3)2
1
x >5; (4)-4x >3.
2.设a >b .用“<”或“>”号填空.
(1)a -3 b -3; (2)
2a 2
b
; (3)-4a -4b ; (4)5a 5b ; (5)当a >0,b 0时,ab >0; (6)当a >0,b 0时,ab <0; (7)当a <0,b 0时,ab >0; (8)当a <0,b 0时,ab <0.
能力提高:
1.比较a 与-a 的大小. ( 说明:解决此类问题时,要对字母的所有取值进行讨论.)
2.有一个两位数,个位上的数字是a ,十位上的数是b ,如果把这个两位数的个位与十位上的数对调,得到的两位数大于原来的两位数,那么a 与b 哪个大哪个小?
编号:№3 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§1.3 不等式的解集
学习目标:
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
收获与感悟
3.会在数轴上表示不等式的解集.
4.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力.
5.经历求不等式的解集的过程,发展学生的创新意识.
学习重点:
1.理解不等式中的有关概念.
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
学习难点:
探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
预习作业:
请同学们预习作业教材P10-11的内容,在学习的过程中请弄清以下几个问题:
1.什么叫不等式的解?
能使__________成立的未知数的值,叫做不等式的解
2.什么叫不等式的解集?
一个含有未知数的不等式的___________,组成这个不等式的解集
收获与感悟 3.什么叫解不等式?
求________________的过程叫做解不等式
4.如何将不等式的解集在数轴上表示出来?
例1:根据不等式的基本性质求不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来.
(1)x-2≥-4;
(2)2x≤8
(3)-2x-2>-10
说明:不等式的解集数轴上表示注意空心圆和实心圆的用法。解集不包括这个数用空心
圆,
包括这个数用实心圆。
变式训练:
1.判断正误:
(1)不等式x -1>0有无数个解; (2)不等式2x -3≤0的解集为x ≥3
2. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上:X|k |B | 1 . c| O |m (1)x >4; (2)x ≤-1;
(3)x ≥-2; (4)x ≤6.
3.不等式的解集x <3与x ≤3有什么不同?在数轴上表示它们时怎样区别?分别在数轴上把 这两个解集表示出来.
4.不等式x ≥-3的负整数解是_________ 不等式x-1<2的正整数解是__________ 能力提高:
1.给出四个命题:①若a>b,c=d, 则ac>bd ;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac 2
>bc 2
;④若ac 2
>bc 2
,则a>b 。正确的有 ( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 2.在数轴上表示:
(1)大于3而不超过6的数; (2)小于5且不小于-4的数.
3.如果不等式(a-1)X>a-1的解集为X<1,你能确定a 的范围吗?不妨试试看.
4已知不等式3x-a ≤0的正整数解是1,2,3,求a 的取值范围。
编号:№4 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
收获与感悟
§1.4一元一次不等式(1)
学习目标:
3.体会一元一次不等式的形成过程;
4.会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;初步认识一元一次不等式的应用价值,发展学生分析问题、解决问题的能力;
5.初步感知实际问题对不等式解集的影响,积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
学习重点:明确什么是一元一次不等式,
学习难点:体会建立不等式模型解决实际问题的全过程,体会学习不等式的作用。 预习作业:
1、观察下列不等式:
(1)155.22≥-x ; (2)75.8≤x (3)x <4 (4)x 35+>240 这些不等式有哪些共同特点?
2、(1).不等式的概念:
左右两边都是________,只含有__________,并且未知数的最高次数是_____的不等式,叫做一元一次不等式
(2)解一元一次不等式大致要分五个步骤进行:
(1)____________ (2)____________ (3)____________ (4)____________ (5)____________
例1:1、下列不等式中是一元一次不等式的有____________。
(1)3x >-9 (2)3(x+2)-4x <x-3 (3)1)1(21
3≥-+x x (4) 23
52+≤-x x
例2、解下列不等式,并把解集表示在数轴上。 (1)5x <200 (2) 2
1
+-x <3
收获与感悟
(3) x-4≥2(x+2) (4)21-x <3
5
4-x
变式训练: 解下列不等式,并把解集表示在数轴上。 (1)
3722x x -≥- (2)2
2
35-+≥x x
(3))1(2)3(410-≤--x x (4)6
1
2131-≥--+y y y 能力提高:
1、y 取何正整数时,代数式2(y-1)的值不大于10-4(y-3)的值。
2、m 取何值时,关于x 的方程2
1
53166--=--m x m x 的解大于1。
收获与感悟
3.是否存在整数m ,使关于x 的不等式2
2931m m x m
x +>+
与132+<+-x m x 是同解不等式?如果存在,求出整数m 和不等式的解集;如果不存在,请说明理由。
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§1.4一元一次不等式(2)
学习目标:
1.进一步熟练掌握解一元一次不等式
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题 学习重点:一元一次不等式的应用
学习难点:将实际问题抽象成数学问题的思维过程。 预习作业:
1、解一元一次不等式应用题的步骤:
(1)________________ (2)________________ (3)________________ (4)________________ (5)________________
2、小红读一本500页的科普书,计划10天内读完,前5天因种种原因只读了100页,问从第6天起平均每天至少读________________页,才能按计划完成。 例1、解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上
(1)132<-x x (2)2
235-+≥x x
2、一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题?
收获与感悟
收获与感悟
3、小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元,每个笔记本2.2元,她买了2本笔记本.请你帮她算一算,她还可能买几支笔?
拓展:
1、小王家里装修,他去商店买灯,商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯,它们的单价分别为2元和32元,经了解,这两种灯的照明效果和使用寿命都一样,已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元,请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时,小王选择节能灯才合算。
2、某种商品进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商家准备打折出售,但要保持利润率不低于5%,你认为该商品至多可以打几折?
3、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元。
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种?请说明理由。
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金收入不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?
收获与感悟
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§1.5.1 一元一次不等式与一次函数(一)
学习目标:
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.
3.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合,培养学生的数形结合意识.
4.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
学习重点:
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
学习难点:
自己根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
预习作业:
请同学们预习作业教材P20-21的内容,弄清以下几个问题:
1、形如_______形式,叫做一次函数;形如_______形式,叫做正比例函数;确定一次函数
图像需要_______个点。
2、一次函数y=kx+b(k 0)的图像是_______.当kx+b_______0,表示直线在x轴上方的部
分,当kx+b_______0,表示直线在x轴的交点,当kx+b_______0,表示直线在x轴下方的部
分。
例1、作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题.
(1)x取哪些值时,2x-5=0? (3)x取哪些值时,2x-5<0?
收获与感悟
3?
(2)x取哪些值时,2x-5>0? (4)x取哪些值时,2x-5>
变式训练:
已知一次函数124y x =-与228y x =-+。当
x 取何值时,(1)
121212;(2);(3)y y y y y y >=<
例2、兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m ,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑 3 m ,哥哥每秒跑4 m ,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20 m ?谁先跑过100 m ? (4)你是怎样求解的?与同伴交流.
能力提高:
1.某医院研究发现了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10-3
毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3毫克,每毫升血液中含药量y (微克),随着时间x (小时)的变化如图所示(成人按规定服药后).
(1)分别求出x ≤2和x ≥2时,y 与x 之间的函数关系式;
(2)根据图象观察,如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多少?
2、2008年6月1日起,我国实施“限塑令”,开始有偿使用环保购物袋,为了满足市场需求,某厂家生产A,B 两种款式的布质环保购物袋,每天共生产4500个,两种购物袋的成本
收获与感悟
和售价如下表: 成本(元每个) 售价(元每个) A 2 2.3 B
3
3.5
设每天生产A 种购物袋x 个,每天获利y 元(1)求出y 与x 的函数关系式;(2)如果该厂每天最多投入成本10000元,那么每天最多获利多少元?
编号:№7 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§ 1.5.2 一元一次不等式与一次函数(二) 学习目标:
1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.
2.通过用不等式的知识去解决实际问题,以发展学生解决问题的能力. 学习重点:
利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题. 学习难点:
认真审题,找出题中的等量或不等关系,全面地考虑问题是本节的难点. 预习作业:
1、直线y=kx+b(k ≠0)与一元一次不等式的关系:
y 0 ,则__________ y 0,则________
2、直线1111222212(0)(0),,y k x b k k x b k y y =+≠=+≠ 与直线y 若则有__________ 例1、某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25 人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用?其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?
收获与感悟
例2、某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000
元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一台按原价收费,其余每台优惠25%.
乙商场的优惠条件是:每台优惠20%.(1)分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关
系式.(2)什么情况下到甲商场购买更优惠?(3)什么情况下到乙商场购买更优惠?(4)什
么情况下两家商场的收费相同?
变式训练:
收获与感悟1.某学校需刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘带);若学校
自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本4元(包括空白光盘带),问刻录这批电脑光
盘,到电脑公司刻录费用省,还是自刻费用省?请说明理由.
2.红枫湖门票是每位45元,20人以上(包含20人)的团体票七五折优惠,现在有18位游客
买20人的团体票
(1)比买普通票总共便宜多少钱?
(2)不足20人时,多少人买20人的团体票才比普通票便宜?
能力提高:
1、某办公用品销售商店推出两种优惠方法:(1)购一个书包,赠送1支水性笔;(2)购书包和水性笔一律按9折优惠。书包每个定价20元,水性笔每支定价5元。小丽和同学需购4个书包,水性笔若干(不少于4支)。
(1)分别写出两种优惠方法购买费用(y元)与所买水性笔支数x(支)之间的函数关系式;(2)对x的取值情况进行分析,说明按哪种优惠方法购买比较便宜;(3)小丽和同学需购买这种书包4个和水性笔12支,请你设计怎样购买最经济。
2、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务,已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时,100千米/时,两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:
运输工具运输费单价
(元/吨·千
米)
冷藏费单价
(元/吨·小
时)
过桥费
(元)
装卸及管理
费(元)
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
(1)批发商批海产品为x吨,汽车和火车的费用分别是y1、y2,求y1、y2与x的关
系。
(2)海产品不少于30吨,为了节省费用,选择哪个公司承担运输业务?
注:“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费;“元/吨·小时”表示每吨货物每小时
的冷藏费.
收获与感悟
编号:№8 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§1.6 .1 一元一次不等式组(一)
学习目标:
1.理解一元一次不等式组及其解的意义。 2. 总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
3.通过总结解一元一次不等式组的步骤,培养学生全面系统的总结概括能力. 学习重点:
1. 利用数轴,正确求出一元一次不等式的解集 2.巩固解一元一次不等式组. 学习难点:
讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况,并能清晰地阐述自己的观点. 预习作业: 1、
关于________________________的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元
一次不等式组。 1、
一元一次不等式组里各个不等死的解集的___________________,叫做这个一
元一次不等式组的解集。
3、求不等式组解集的过程叫做_____________________。
填表:
不等式组
??
?<+<-0
20
1x x ??
?>+<-0
20
1x x ??
?<+>-0
20
1x x ??
?>+>-0
20
1x x 数轴表示 解集
4.两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a <b ,那么
(1)不等式组???>>b x a
x 的解集是x >b ; 同大取大
(2)不等式组?
??<
x 的解集是x <a ; 同小取小
收获与感悟
(3)不等式组???<>b x a
x 的解集是a <x <b ; 大小小大中间找
(4)不等式组?
??>
x 的解集是无解. 大大小小找不到
这是用式子表示,也可以用语言简单表述为:
同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到。 例1:解下列不等式组,把解集在数轴上表示出来,并求出其整数解
(1) ???-≥+-<+-114754
)1(2x x x (2) ?
?
???-<++≥+5
122
1)
1(315x x x x
例2:已知方程组??
?-=-+=+17
26
52y x m y x 的解为非负数,求m 的取值范围。
变式训练: 1.若1
213-+
-x x 有意义,求x 的取值范围
2.解下列不等式组
(1)???+<+->-93643253x x x x (2) ?????≤--+>-
13
12521x x x
收获与感悟
收获与感悟
(3)?????≤++≤+-3)3(22
311)3(22x x x x
(4)24253<-<
-x
(3)如果关于x 的方程x +2m -3=3x +7的解为不大于2的非负数,求m 的范围.
拓展训练:
1、不等式2 2、若不等式组?? ?>≤3 x m x 的解集是无解,则m 的取值范围是________________ 3、如果不等式组? ? ?>-<+n x x x 7 37的解集是7>x ,则n 的取值范围是____________________ 4、若不等式组???-≥-≥+2210 x x a x 有解,则 a 的取值范围____________________ 5、已知方程组? ??-=-+=+3421 22m y x m y x 的解是正数。 (1)求m 的取值范围 (2)化简213-+-m m 编号:№9 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价 单元复习与专题训练 收获与感悟 专题一:利用一元一次不等式(组)有关概念及性质,解决不等式的变形和待定系数的范围 1.下列叙述①若b a >,则2 2bc ac >; ②若c ab >,则a c b >