抽象代数学习心得

The Learning Experience Of Abstract Algebra

抽象代数学习心得

When I contacted with abstract algebra firstly,I felt like such a course was very difficult for me, because the material is written in English, each one strange English word brought me a lot of pressure. Especially in the class, I feel that I can't keep up with the teacher. Because before unstanding the definition during my study, I have to translate the English words back to the Chinese in my mind, so it greatly reduced the efficiency of my study and it has become one of the biggest difficulties in my learning abstract algebra.

当我刚开始接触抽象代数这么课程时，我感觉这么课程对我来说是很困难的，因为教材是全英文撰写的，一个个陌生的英语词汇给我带来了很大的压力。尤其在课堂上，我感觉我完全不能跟上老师思路。因为我在学习过程中在理解和思考定义之前，我必须将英文词汇的意思在脑海中翻译回中文，这样大大地降低了我学习的效率，因此成了我学习抽象代数中的最大困难之一。

When I was thinking about how to solve the difficulties, I think back to the reference books which the teacher had recommended to us, so I found some reference books about abstract algebra in the school library. After reading these books, they make me feel relaxed studying of abstract algebra. Because these reference books are in Chinese and they eliminated the ambiguity of understanding the definition or theorem which caused by I was not familiar with the English. Before class, I will see a Chinese reference book first, and then looking at the teaching material which written in English, it will make me feel much easier to understand the teaching material content.

在我思考怎样解决这个困难的时候，我回想到老师向我们推荐的参考书，于是我在学校图书馆找到了一些关于抽象代数的参考书。阅读这些参考书之后，使我感觉抽象代数的学习变得轻松了些，因为这些参考书是中文的，消除了因对英文的不熟悉而引起对定义或定理理解的歧义。在上课前的预习，我都会先看一次中文的参考书，再看全英的教材，使我感觉对教材上的内容的理解也变得轻松了些。

After two months of learning, I have learnt that abstract algebra is mainly doing researches on algebraic structure on the basic of the set and mapping. In the first chapter, we mainly study the definition and representation of sets, the relationship between the sets, the operation of set and mapping and so on. This is similar with that conten t of the advanced algebra. In the function study, we need to distinguish the injective, bijective and surjective clearly. And when the function f is both injective and surjective, which is elements of a set to elements of another set is one-to-one, so we can said that the function f is bijective, and it is the identical transformation of advanced algebra. We not only study the relationship between the sets, but also study the relationship between elements of a set, including the identity relationships and partition of a set.

经过两个月的学习后，我了解到抽象代数主要在集合和映射的基础上研究各种代数结构。在第一章里，我们主要学习集合的定义、表示方法、集合之间的关系、集合的运算法则和映射、这些与高等代数的内容很相似。其中在函数的学习中，需要把单射，双射和满射区分清楚。而且当函数f满足单射和双射时，一个集合的元素到另一个集的元素合是一一对应的，这个函数是满射的，并且就是高等代数中的恒等变换。我们不但要研究集合之间的关系，而且还研究了集合的元素之间的关系，包括集合中的恒等关系和划分。

In the second chapter, we mainly studied binary operation, group, subgroup, commutative group and so on . The binary operation is the most common operations, such as various operations of addition, subtraction, multiplication, and division between objects. What’s more, the binary operation is one of the basic elements of a group which is made up of a set and a binary operation. To qualify as an abelian group , the set and operation must be satisfied five requirements known as the abelian group axioms: closure, associativity, identity element, inverse element and commutativity.

A group G has exactly one identity element e, and an element x belong to G must exist an inverse element to make that xx’equals to e. Therefore, a group also satisfies the cancellation law which is one of the elementary properties of groups. Learning and understanding the definition and propertion of group is the foundation of learning the knowledge of second chapter. During studying group theory which has certain abstractness, we can learn combining with examples in order to learn the knowledge well. Because that theory combined with the practical problems, they can make the abstract content into concrete image.

在第二章中，主要学习了二元运算、群、子群、交换群等。其中二元运算是最常见的运算，比如各种对象之间的加减乘除运算。更是构成群的基本元素之一，群是由一个集合和一个二元运算构成，群的集合元素运算必须满足封闭性和结合律。

群具有唯一的单位元，而且一个元素X必须存在一个逆元，使得X*X=e，以及消去律，这是群的基本性质。学习群和理解群的定义与性质，是学习第二章内容的基础，在学习群的理论中，群的理论具有一定的抽象性，所以为了更好地理解可以结合例题学习。

Such as let H and K be subgroup of a group G. Then HUK is also a subgroup of G? I believe that many people would say yes, but we use a example, like: G=（Z，+）is a group and n is any integer. Then the set nZ= of multiples of n forms a subgroup of G.2Z U6Z is a subgroup of G, since

2Z U6Z=2Z.anohter 2ZU3Z is not a subgroup of (Z,+).for example, 3+2=5 not belong to 2Z U3Z so is not closed under addition. When we can trying a few more examples, we can found nZ U n’Z is subgroup of nZ or n,Z, then nZ U n’Z is subgroup of G.

So we can't treat abstract algebra problem with habits of thinking, Therefore, we must to think seriously about the title.The one for the case laws which used in the judgement of abstract algebra propositions are frequently. In the process of building a counterexample can exercise our ability to imagine very well.

例如:Let H and K be subgroup of a group G. Then HUK is also a subgroup

of G? 我相信很多人会说是，但是我们举个例子，例如：

G=（Z，+）is a group and n is any integer. Then the set nZ= of multiples of n forms a subgroup of G.2Z U6Z is a subgroup of G, since 2Z U6Z=2Z.anohter 2ZU3Z is not a subgroup of (Z,+).for example, 3+2=5 not belong to 2Z U3Z so is not closed under addition. 当我们举更多的例子时，我们可以发现当nZ U n’Z是nZ或n’Z的其中一个时，nZ U n’Z 才是G的子群。

所以我们不能用以前的思维习惯去对待抽象代数的问题，因此我们必须对题目进行思考。其中举反例法在判断抽象代数的命题中比较常用。在构建反例的过程中能很好地锻炼我们的想象能力。

In learning cyclic group, symmetry group, coset and normal subgroup, I think that we need to pay attention to these. Cyclic group have one element a, makes any one element of G can be composed of the power element a , the binary operation of cyclic group is to satisfy the commutative law, so any a cyclic group must be Abelian group. But it is not necessarily that the Abelian group is cyclic group, such as G = (Z, +). In addition, they must learn to find generating element when we know the binary operation of the cyclic group. In the symmetry group, we not only know the operation which is about two families of group left group start from right to, but also understand the mean that symmetry group is how to show in the family. Beside, we should know the difference between isomorphism and homomorphism. Isomorphism is that the mapping of a set to another set is a bijection, and homomorphic is that mapping f is injective or bijection, if a homomorphic mapping f satisfies set V is mapped to the same set V, at this time it also is homogeneous, and f is the automorphism or endomorphism on set V.

在学习循环群、对称群、陪集和正规子群时，我认为我们需要注意这些循环群存在一个元a，使得G中的任何一个元素都能由a的幂组成，则循环群的二元运算是满足交换律的，所以任何一个循环群必定是阿贝尔群。但是阿贝尔群却不一定是循环群，如 G=（Z，+）。除此之外，还必须学会根据循环群的二元运算找出生成元。而在对称群中，群的两个族的运算是从右到左的，还要了解对称群中的族是如何表示的。还要区别同构与同态，同构是一个集合到另一个集合的映射是双射，而同态映射f是单射或双射的，若同态映射f满足一个集合V映射到相同的集合V中时，此时亦是同构的，并称f是V的自同构或自同态。

So learning abstract algebra needs to understand each definition of abstract algebra, and it is combined with the actual examples, to learn. in this way we can feel the knowledge that the abstract become concrete, in addition to thinking, we also have to review and finish the homework in time, because of abstract algebra this course is based on the English course, and the content is more. If we not timely review will be easy to forget . Learning to analyze differences between each definition,it can deepen our understanding. That is some of the tips that I learn abstract algebra.

所以学习抽象代数需要理解每个定义，并且是结合实际的例题去学习，这样才能把抽象化成具体的知识去感受，除了思考以外，我们还必须要及时复习和完成课后作业，因为抽象代数这么课程是英语为基础的课程，而且内容较多。如不及时复习会容易遗忘。还要学会分析各个定义之间的不同点，这样才能加深理解。以上就是我学习抽象代数的一些心得体会。

从近世代数看数系扩充

从近世代数看数系的扩充现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下: N0 正分数Q+ 负分数 Q 无理数 R 虚数 C 上式中N0：非负整数集；Q+：非负有理数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集. 在教学中，前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没有解. 事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例如,在N0中减法不封闭,这意味着当a>b时,方程a+x=b在N0中无解. 从代数系统(A,?)扩充到代数系统(B,。),必须满足以下四个条件:(1)A?B;(2)a°b=a?b,?a,b∈A;(3)在(B,°)中,方程a°x=b有唯一确定的解;(4)如果(C,十)也满足性质(1)~(3),则存在(B,。)到(C,+)的同构映射,这个映射使A中 的元素及运算保持不变. 满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充的方法是在已知的集合A上补充新数的集合A,构成扩集B,使B=A∪A这种扩充 思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想. 另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B,然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途 径来建立数系的过程. 一自然数集N 自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质. 在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,十,?)是具有加法、乘法交换律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统. 在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“<”满足反对 称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N,<)不仅是一个全序集,而且是一个良序集. 在(N,+,·)中,方程a+x=b,a?x=b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除b,(2)带余除法. 二从N到有理数域Q的扩充 定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的. 证明必要性:若a+c=a+b,a,b,c∈A,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解x=b;又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c.

抽象代数电子教案

《抽象代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

《抽象代数基础》习题解答

《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月

第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.

近世代数教案 (2)

近世代数教案 西南大学 数学与统计学院 张广祥 学时数：80（每周4学时） 使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005 教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。 教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加

教学的教师集体研讨备课。 每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。 整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。 教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。 主要参考书： 1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社 2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999 3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002 4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社 5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002 第二章数环与数域 本章教学目标： 1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。 2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。 3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。 4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。 5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。 教学时数：共6节，8学时 2.1 整数剩余类环 复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道

四年制本科教学指导计划

数理与信息工程学院数学与应用数学专业（师范） 四年制本科教学指导计划 一、培养目标和基本规格 （一）培养目标 培养德、智、体、美全面发展，具有良好的科学素质，扎实的数学专业基础和现代教育技术，能适应基础教育改革发展需要，具有创新精神和实践能力的中等学校数学教师、教育科学研究人员及其它教育工作者。 （二）基本规格 掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论的基础原理及“三个代表”重要思想，逐步树立科学的世界观和为人民服务的人生观，具有良好的职业道德，自觉为社会主义现代化建设服务的精神。 敬业爱岗，诚实守信，乐于奉献，遵纪守法，团结合作，为人师表，热爱教育事业。有良好的思想品德、社会公德和职业道德。有理想，有强烈的社会责任感。 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．具有扎实的数学基础，初步掌握数学科学的思想方法，其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题的基本能力。 2．具有良好的使用计算机的能力，能够进行简单的程序编写，熟练掌握与专业课程相关的计算机应用知识（包括常用语言、工具及数学软件），能够对教学软件进行简单的二次开发。计算机应用能力应达到规定的等级要求。 3．具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。熟悉教育法规，掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。 4．了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的某些新发展，数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法，了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程，获得广泛的人文和科学修养。 5．有较强的语言表达能力和班级管理能力。 6．掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，具有一定的科研能力。 7．掌握一种外国语，达到规定的等级要求。 二、学制

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数学电子书（提供下载地址） 本帖来自: 数学中国作者: clanswer 日期: 2010-4-12 22:46 您是本帖第1289个浏览者 / A8 a" u& l, e' h( }" G4 ? 《中等数学》连载《高中奥数训练题》５９套.pdf 1-50界莫斯科数学竞赛（含详细答案，ＰＤＦ版）.pdf 20世纪数学经纬（张奠宙）.pdf 500个最新世界著名数学智力趣题.pdf 数学，确定性的丧失.chm IMO中的数论.pdf 抽屉原则与涂色问题.pdf 最优系统控制.pdf FOURIER分析与逼近论第一卷（上册）.pdf Fourier分析-河田龙夫.pdf (课件)图论讲义.pdf (课件)数值分析.pdf (课件)矩阵论.pdf N阶幻方的一种简易解法.pdf 奥林匹克数竞赛解迷（高中部分）（康纪权）.pdf 奥数教程初一年级第一版.pdf 奥数教程初二年级第一版.pdf 奥数教程初三年级第一版.pdf 奥数教程高一年级（第3版）.pdf 奥数教程高二年级（第3版）.pdf 奥数教程高三年级（第3版）.pdf 半群的S-系理论.pdf 不等式论文５０篇.pdf 不等式入门.pdf 不等式与区域.pdf 不等式与线性规划初步.pdf 不可思议的e.pdf 蔡国武___素数具有无穷多项的新证明方法.pdf 蔡国武___心算(速算)多个多位数相乘的统一速算算法设计.pdf 蔡国武猜想(未证明)___对任意方程ZN=X2+Y2存在正整数组解(X,Y)情况的猜想.pdf 测度论.pdf 测度论基础.pdf 测度论讲义.pdf 常微分方程.pdf 陈景润，邵品琮-世界数学名题欣赏丛书.pdf 陈省身文集.pdf 乘电梯·翻硬币·游迷宫·下象棋.pdf 抽象代数学卷1基本概念.pdf 抽象代数学卷2线性代数.pdf

抽象代数

近世代数练习题 一、填空题 1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。 2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。 3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个 4、n 次对称群n S 的阶是 。 5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。 6、设R 是模2 n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2 x 在R 里有 个根。 7、由13 =x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。 9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。 10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。 二、选择题 1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ） 。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC 132231:→→→σD 2、下列说法错误的是（ ） 域是除环A 域是整环B 可交换除环是域C 可交换整环是域D 3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。 奇数A 偶数B 0C 整数D 4、下列环中不是除环的是（ ） 整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D 5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2 x x x （ ） 。

()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ） αασ→:A 2:αατ→B ααρ-→:C ααδ→:D 7、设2 2?R 是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则 以下矩阵可作为环2 2?R 的零因子的是（ ）。 ???? ??0000A ???? ??0001B ???? ??0111C ??? ? ??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。 1A 2A 3C 4A 9、剩余类加群Z 18的子群有( )。 个3A 个4B 个5C 个6D 10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 三、计算题 1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。 2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。 3、试举出一个由正实数集+ R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换 ???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1 -π ,τρ (2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。 5、求出3次对称群3S 的所有子群。 6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。 7、设{} Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。

近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

抽象代数

代数系统Mathematical Structure或Mathematical System 关于代数系统与计算机科学的关系 为什么抽象代数是计算机科学的理论基础之一？ 1）抽象代数研究的对象与计算机科学研究的对象都是一般的通用客体 2）代数系统为计算机系统（包括理论系统、计算机系统组成的结构、工具与环境系统的结构、应用系统的结构、系统的结构分类以及它们之间的关系等）提供必要的理论模型； 3）不论是计算机科学的基础学科、技术学科和应用学科，还是计算机科学的边缘学科，抽象代数都给它们提供了最基本的思维方法 代数系统和以前我们所了解的代数学有什么不同？ 1）对象：以前的代数学中研究的对象都是数（实数和复数）或用字母表示的数；代数系统研究的对象是某集合元素的总体，甚至有时并不指出这个集合是什么，也不指出集合中是元素是什么； 2）运算：以前的代数学中研究的运算是数的四则运算；而代数系统研究的对象不仅仅是加、减、乘、除四则运算，而是满足一定抽象条件的运算，有时也不指出具体的运算是什么； 3）两者的关系：以前我们所了解的代数只是代数系统的一个特例。 代数系统究竟是什么？ 定义一个代数系统时，并不是一个具体的代数系统，而是满足一定抽象条件的一类代数系统的总体，因此，研究的是代数系统的总体结构，提出一个同属于某一大类的所有代数结构的理论模型。 如果对代数系统的对象和运算进行不同的解析，只要在这个解析下可满足这种抽象的结构，则形成一个具体的代数系统。 代数系统和计算机有什么关系？ 计算机是一个通用的计算模型，其通用性在于：任何一个可计算的问题，如果问题本身是有结果的（例如，最后总可以回答“是”或“非”的），只要不考虑时间和空间的可能性，原则上都可以在计算机上得到结果。 计算机的结构也是一个通用结构。只要根据某具体需求解的问题，而对计算机系统的对象（数据模型）和运算（所做的操作）进行解析，则计算机系统就成为解决这个问题的具体理论模型。 代数系统的思维方法如何决定计算机科学的思维方法？ 代数系统的基本思维方法是构造的方法和公理的方法。

近世代数学习系列十 中英对照

近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态

factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交

近世代数电子教案

近世代数电子教案 第一章基本概念 在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除。数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算。这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近二十多年来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。 我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。 在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。这些基本概念中的某一些，例如集合和影射，在高等代数里已经出现过。但是为了完整起见，我们不得不有所重复。 §1.1 集合 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 集合的概念，元素，空集合，集合与集合之间的包含、交、并、积，子集的 概念 例题： 例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合 例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6} 1 习题选讲P 4 ●教学难点 元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含） ●教学要求 掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念 2 ●布置作业P 4 ●教学辅导 精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题） 1.B A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ §1.2 映射 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 映射，象，原象，映射相同的定义及映射的表示方法

抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-

《近世代数》教学大纲

《近世代数》课程教学大纲 一、课程性质与目标 （一）课程性质 《近世代数》是数学专业本科生专业基础课，是现代数学的基本内容，培养并提高学生的抽象思维能力，从中掌握分析与解决问题的方式、方法。 （二）课程目标 通过本课程的学习，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象严谨的代数方法，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高才抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一步理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。 二、课程内容与教学 （一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则 （1）把握概念、推理证明相结合的基本原则 （2）注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透 2、课程基本内容 群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。重点：群、正规子群、商群、循环群、环、理想、商环、同态基本原理等。难点：商群、理想、商环等。 （二）课程教学 1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。 2、在传授基础理论，基本概念的掌握的同时，加强学生逻辑推理能力和计算能力的培养。 3、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。 三、课程实施与评价 （一）学时 本课程总学时为54学时（讲授46学时，习题课8学时）。 （二）教学基本条件 1、教师 教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备 （1）配备多媒体教学设备。 （2）配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。 （三）课程评价 1、对学生能力的评价 （1）基础理论，基本概念的掌握。 （2）逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性

《抽象代数》课程的一些体会

《抽象代数》课程的一些体会 邓少强 （数学系） 近几年，我担任了我院非数学专业课程《抽象代数》的主讲任务。由于该课程是我院非数学专业课程总体改革的重要一环，院领导和各相关人员对本课程都非常重视。通过几年的教学实践，我在教学方法、手段等方面都积累了一定的经验。下面谈谈自己的体会，与大家分享。 首先，一门课程是否成功，准确的定位是关键之一。课程开始之前，我们碰到的第一个问题就是，这门课程到底要讲到什么程度。《抽象代数》本来是数学系传统课程之一，并不将数学专业与其他专业分开来上，后来由于其他专业计算机等课程的增加，才将这门重要的课程从非数学专业的教学计划中删去。这样做的好处自然是可以开设更多更“现代”的课程。但是时间一长，问题就接踵而至。由于受到的数学训练不够，本院非数学专业的很多学生基础不够扎实，进一步学习的能力不强。最明显的表现就是，连续几届考研，我院报考本校的很多学生的成绩还比不上一般的师范类大学的学生；而报考经济类专业的一些学生，其《高等数学》的成绩比不上经济类专业的学生。正是由于这一原因，我院才下定决心，重新在非数学各专业中开设传统的数学课，如《实变函数》、《泛函分析》、《微分方程》等。但是，恢复开课并不意味着可以将以前数学专业对应课程的教材、内容或者教学方法照搬。因为这些专业的学生，无论基础、能力或者学习的兴趣等方面，毕竟与数学专业的学生大不相同。因此，本课程必须力求适合这些学生的具体情况，既要达到加强学生的基础和训练学生的抽象思维能力的目的，又不能把目标定的太高，使学生望而生畏。 举一个最简单的例子来说，我国出版的抽象代数的教材就没有一本适合本课程。传统教材大都求多、求全，习题力求设计得有难度和深度，讲法务必严格，有的甚至以其讲法抽象为荣。当然，这样的教材对于数学专业的学生而言是有好处的，因为他们将来的工作要求他们必须具有十分坚实的学科基础和相当强的抽象思维能力。但是，对于非数专的学生而言，使用的教材过于深奥，不但收不到预想的效果，反而会使学生因为惧怕而失去学习的兴趣。老一批的教材中，只有张禾瑞的《近世代数基础》从教学内容上比较接近他们的要求，但是，该教材讲法有些陈旧，习题太少，也不是十分合适。在这种情况下，本院副院长顾沛教授与我为此专门编写了一本教材，全书由顾沛教授统筹设计，两人合作编写。正是考虑到这些具体情况，我们舍弃了很多原先预备的内容，而且将伽罗瓦理论作为附录。此外，为了使教材更有适应性，将习题分开普通题和补充题设计，而且教材名称也改为《简明抽象代数》，由高教出版社出版。几年的教学实践表明，该教材十分适合每周三学时的抽象代数课使用。究其原因，就是因为我们的定位比较准确。 我的第二点体会是，一个课程是否成功，能否抓住重点是关键。抽象代数的主要内容，自然是群、环、域的基本理论。但是，如果将这三个理论看作同等重要的三部分而平均使用时间和力量，就大错特错了。事实上，这三个理论有很多

近世代数试卷教学内容

近世代数试卷

1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？（ D ） A.关系～：a ～b ?a 2+b 2=1 B.关系～：a ～b ?a ≤b C.关系～：a ～b ?a =2b D.关系～：a ～b ?a =b 2.设A 是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定： σ（ f （x ））=（x 2+1） f （x ）,?f （x ）∈A, 则σ是A 的（ A ） A.满变换 B.单变换 C.一一变换 D.不是A 的变换 3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a οb =（a +b ）2，则这个代数运算（ ） A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.下列集合对所给运算作成群的是（ A ） A.全体实数对普通数的加法 B.全体实数对普通数的减法 C.全体实数对普通数的乘法 D.全体实数对普通数的除法 5.设? ?????∈???? ??=Z b a b a R ,00，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（ ） A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 1.设A ={a ,b ,c ,d },则A 的一一变换共有______个.（ C ）4! A.4 B.16 C.24 D.64 2.设A ={所有实数x }，A 的代数运算a 。b =a +b +ab （ C ） A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 3.设A ={所有有理数x }，A 的代数运算是普通加法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是（ B ）

代数学选讲教学大纲

《代数学选讲》教学大纲 适用专业：数学与应用数学 执笔人：王庚 审定人：王宏勇 系负责人：张从军 南京财经大学应用数学系

《代数学选讲》教学大纲 课程代码：120010 英文名：Selected Topics in Advanced Algebra 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学 前置课：数学分析、线性代数、概率论、数理统计 后置课：抽象代数（续），泛代数等 学分：3学分 课时：54课时 主讲教师：周惠新等 选定教材：[1] 陈志杰, 陈咸平, 林磊, 瞿森荣, 韩士安，高等代数与解析几何习题精解[M]. 北京: 科学出版社, 2002.[2]北京大学数学系几何与代数教研室小组，高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2003. 课程概述： 本课程主要讲授高等代数(行列式及其计算、线性方程组理论、矩阵初步、二次型理论、线性空间和线性变换、Euclid空间)解题方法和内容再认识、专题选讲（如线性代数应用、用数学软件做线性代数、从模的观点来认识线性代数、特殊矩阵的研究）。 高等代数选论课程是数学类专业及相关专业的主干基础课高等代数的归纳整理、再认识，以及某些专题的深入，使学生在更好的掌握线性代数的基础知识和基础理论，并补充详讲多项式理论，了解高等代数的应用、软件实现、抽象代数中群、环、域的基本概念及线性代数的最新发展方向，进一步熟悉和掌握抽象的、严格的代数解题方法。 教学目的： 通过高等代数的教学，应使学生系统掌握高等代数的知识和理论，深入理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，提高分析问题

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《抽象代数》课程全册教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之

抽象代数课程教学大纲

《抽象代数》课程教学大纲 Abstract Algebra 课程代码：课程性质：专业基础理论课/必修 适用专业：开课学期：4 总学时数：56总学分数：3.5 编写年月：2004年7月修订年月：2007年7月 执笔：陈建新 一、课程的性质和目的 抽象代数是信息安全方向的重要基础课程之一，主要介绍群，环，域（以及模）的基本概念和基本理论。通过以上知识的学习和习题的训练，培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，使学生们将受到良好的代数训练，并为进一步学习数学得到一个扎实的代数基础。 二、课程教学内容及学时分配 1. 基本概念（12学时） 了解变换的概念,区分变换与映射的不同。理解代数运算的概念,会判断给定的运算是否代数运算。对于给定的代数运算，会验证是否满足结合律，交换律以及左右分配律。给定两个不同的代数系统，会判断二者是否同态或者同构。最后，在这一部分还要求理解等价关系和集合分类之间的关系，对给定的等价关系，如何确定一个集合的分类，反之，给定一个集合的分类又掌握确定怎样的一个等价关系的方法。 2.群（12学时） 理解群和交换群的定义，群的一些简单的性质以及逆元和单位元在群中的作用。了解同群有密切关系但比群更广泛的代数系统半群。 掌握群中元素的阶的概念和表示方法。会求一些简单群中的指定元素的阶。 理解子群的概念，和群的分类：平凡子群及真子群。知道给定群的子群的单位元和逆元与该群的关系。掌握非空子集做成子群的充要条件。知道中心元素的概念，会找一些简单群的中心。 理解循环群的生成，循环群的子群和循环群的关系。会判断n阶循环群中的一个元素是否可以生成这个循环群。 了解变换群的概念，理解抽象群和变化群之间的联系。理解置换群，循环和对换的定义，会用循环和循环的乘积来表示置换。 了解奇置换和偶置换的概念和它们之间的关系。掌握置换的简单运算：置换间的相乘，置换逆的求法和置换的阶。 理解陪集，指数的定义和Lagrange定理的内容。了解Lagrange定理所给出的陪集和指数与群的阶之间的关系。

(完整版)近世代数教学大纲

《近世代数》教学大纲 课程名称：近世代数 英文名称：Abstract Algebra 课程编号：0641008 学分：3 学时：54 先修课程：高等代数、初等数论 替代课程：无 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） （一）课程目的要求 本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论，从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的，帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。在学习本课程中，要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。 （二）课程简介 近世代数是数学与应用数学专业必修课程，是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。它的内容对中学代数教学有指导意义，它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。 本课程的学习分为三个部分，第一部分学习近世代数的预备知识，包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。第二部分学习群的基本理论，主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理

论，有限群的Lagrange定理。第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想，环上的多项式环的构造，扩域和有限域。 （三）教学方式 教学方式是以教师讲授为主，注重知识点之间的比较，运用类比方法；根据课堂教学情况，适当补充一些例题，以帮助学生课后巩固所学知识；适时给出思考题，培养学生的独立思考能力；对一章进行总结时，适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。 （四）教材和主要教学参考书 教材：《近世代数》（第二版），朱平天，李伯洪，邹园编，科学出版社, 2009年出版 主要教学参考书： 1.张禾瑞编:《近世代数基础》，人民教育出版社, 1984年版。 2.吴品三编:《近世代数》，人民教育出版社, 1983年版。 （五）考核方式及要求 考核成绩是综合平时作业及上课表现的成绩（10%），期中考试（20%）和期末考试（闭卷）成绩（70%）为学生的总成绩。 （六）教学大纲 第一章基本概念（6学时） 主要知识点： 1．集合的概念与运算 2．映射的定义与几种特殊映射的性质

近世代数发展简史

近世代数发展简史 根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。 一、近世代数的定义 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。 二、近世代数的发展 代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。 域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，1843年，哈