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第三课-推理

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第三课正确推理

推理是最常见的一种思维活动,任何一个推理都由前提和结论两部分构成。根据前提和结论之间是否具有必然联系,推理可分为必然性推理和或然性推理,前者就是通常说的演绎推理。对演绎推理而言,前提真实且推理形式正确,结论必定真实。本章只涉及演绎推理,主要讲三段论、选言推理、假言推理、二难推理和模态推理。

第一节你会承认自己有精神病吗?——三段论

典型案例

A:“书上说,有精神病的人总是不承认自己有精神病。”

B:“那你有精神病吗?”

A:“别乱说,我怎么会有精神病呢?”

B:“哈哈,这不正说明你有精神病吗?”

逻辑辨析

B在论证A有精神病时使用了一个推理,这个推理有两个前提:一个是A说的“有精神病的人总是不承认自己有精神病”,另一个是A的回答“我怎么会有精神病呢?”此回答等同于“A不承认自己有精神病”。假定B的论证方式能成立的话,其实是可以推断出“所有人都是有精神病的人”这一荒谬结论的,因为所有有精神病的人不承认自己有精神病,而所有没有精神病的人无须承认自己有精神病。倘若你处在A的位置上,你会如何反驳B的论证呢?

B所使用的推理是存在问题的,但其中的问题具有一定的隐蔽性。为了揭示问题所在,我们构造一个结构与之相同的推理:

直角三角形是三角形;

锐角三角形是三角形。

所以,锐角三角形是直角三角形。

这个推理的结论明显是不能成立的。可见,这种类型的推理必须遵循一定的规则。这种类型的推理就是我们常说的三段论。

知识链接

三段论是以两个含有一个共同项的性质判断为前提,推出一个新的性质判断为结论的推理。三段论由三个性质判断构成,这三个

性质判断总共含有三个词项,每个词项出现在两个判断中。我们通常把结论中的主项叫小项,结论中的谓项叫大项,只在前提中出现而在结论中不出现的那个项叫中项。小项、大项和中项通常分别用S、P和M来表示。含有小项的前提是小前提,含有大项的前提是大前提。在关于三角形的那个推理中,“锐角三角形”是小项,“直角三角形”是大项,“直角三角形是三角形”是大前提,“锐角三角形是三角形”是小前提,其大前提、小前提和结论的逻辑形式分别为:PAM、SAM、SAP。该推理的逻辑形式至少可以用如下三种方式来表示:

形式(1)中,每个前提的逻辑形式各占一行,前提和结论之间用横线隔开,好处是能充分体现推理的结构特征,不足之处是占用太多篇幅。形式(2)是把推理表达成蕴含式,蕴含式的前件是由前提的合取构成的,结论构成后件,好处是能体现推理和蕴含式间的内在联系,但理解这种内在联系会有点难度,而且某个前提或几个前提本身的逻辑形式很复杂时,会涉及太多括号,不易体现出前提的数量及前提与结论的分界线。形式(3)基本上保留了(1)的优势,又节省了空间。

在三段论中,中项在大前提中既可能处在主项的位置上,也可能处在谓项的位置上,小前提中中项的位置也是如此,由此就形成了三段论的四类不同形式,我们称之为三段论的四个格:

每一格中,中项在前提中的位置是固定的。在第一格中,中项在大前提中做主项,在小前提中做谓项。在第二格中,中项在大前提和小前提中都做谓项,典型案例中的三段论就是第二格的。在第三格中,中项在大前提和小前提中都做主项。在第四格中,中项在大前提中做谓项,小前提中做主项。在三段论的每一格中,就大前提而言,它可以是A判断,也可以是E判断,还可以是I 判断或O判断;就小前提和结论而言,也是如此。因此,每一格我们都可以写出4×4×4个不同的三段论形式。但并非所有的三段论推理都是有效的,如典型案例中的三段论就是无效的。

推理有效与否是针对推理的逻辑形式而言的,一个推理形式是有效的是指所有含这种形式的推理全都不可能从真前提推出假结论。有效的推理具有保真性,能保证从真前提推出真结论。判定

推理形式是否有效可以用代入的方式,只要找到一种代入使得推理的前提为真而结论却为假,就可以断定所有含这种形式的推理全都是错误的,是无效的。不过这种方式有其局限性,最大的局限在于它只能用于判定推理形式是无效的,而不能用于判定推理形式是有效的。因为当我们找不到使得前提为真而结论为假的代入时,并不能由此就得出结论说:不存在这样的代入。所以,要判定一个推理是否有效还需要有更加精确的方法。

怎么判定一个三段论推理是否有效呢?要回答这一问题需要了

解三段论推理的规则。凡符合三段论规则的就是正确的,否则就是错误的。这套规则正是为了保障三段论从真前提推出真结论。

规则1中项至少要周延一次。

否则就犯了“中项两次不周延”的错误。之所以能由两个包含有一个共同项的性质判断为前提,推出一个新的性质判断为结论,是因为中项在前提中起了中介的作用,把结论中的小项和大项联结起来了。倘若中项在前提中一次都不周延,也就是说大项和小项都没有和中项的全部外延发生联系的话,小项和大项间就不会产生必然的联系,也就不会有必然的结论。典型案例中的推理正是犯了中项两次不周延的错误,因为中项“不承认自己有精神病”在“有精神病的人总是不承认自己有精神病”和“A不承认自己有精神病”中都处在肯定判断的谓项的位置,都是不周延的。中项“三角形”在“直角三角形是三角形”和“锐角三角形是三角形”中也都是不周延的。正确三段论必定满足这一规则。

规则2在前提中不周延的项,在结论中也不得周延。

否则就犯了“大项不当周延”或“大项扩大”、“小项不当周延”或“小项扩大”的错误。该规则也可以表述为“在结论中周延的项,在前提中必须周延”。三段论的结论是从前提推导出来的,倘若一个项在前提中不周延而在结论中周延,那么它在结论中所断定的范围就超出了前提所断定的范围。这样,从前提出发就不能必然地推出结论,也就不能保证推理的正确性。例如:

中年人是建设祖国的重要力量;

青年人不是中年人。

所以,青年人不是建设祖国的重要力量。

大项“建设祖国的重要力量”在前提中位于肯定判断的谓项,是不周延的,而在结论中充当的是否定判断的谓项,是周延的。正因为如此,才导致由真实的前提推出了虚假的结论。需要注意的是,该规则只是要求不能扩大,倘若某个项在前提中周延而在结论中不周延,并不违背规则。再者,该规则只是针对结论中周延

的项而言的,只有对结论中周延的项我们才需要考虑它在前提中是否周延。

规则3结论和前提中否定判断的数量要相等。

由于三段论由两个前提和一个结论构成,因此,结论和前提中否定判断的数量相等就只会有两种情况:0=0,1=1。前者表明前提和结论中都无否定判断,后者表明结论为否定判断且前提之一为否定判断。这一规则意味着:若两个前提肯定,则结论必肯定;若结论肯定,则两个前提必肯定;两个前提不能都是否定判断;若一个前提是否定判断,另外一个必须是肯定判断;若结论否定,则前提必定有一个而且只能有一个是否定判断;若前提中有一个否定判断,则结论必为否定判断。

规则4一个正确的三段论只能含有三个词项。

否则就犯了“四词项”或“四概念”错误。例如:

群众是真正的英雄;

我是群众。

所以,我是真正的英雄。

这个推理看似只含三个词项:群众、真正的英雄、我,其实含有四个词项,因为“群众”的两次出现其内涵是不同的,在“群众是真正的英雄”中是就整体而言的,在“我是群众”中是针对个体而言的,也可以说,前者是在集合意义上使用的,后者是在非集合意义上使用的。

扩展延伸

由于在四个格中中项所处的位置不同,三段论的一般规则运用到不同格时会有不同的体现,从而决定了各格的不同用途。如三段论的一般规则在第一格中体现为两点:小前提必须肯定;大前提必须全称。这使得第一格尤其适用于审判工作中定罪和量刑的环节,故第一格又称审判格。第一格还有典型格之称,因为所谓的三段论公理若以三段论形式来刻画,将分别是第一格的两个三段论:

MAP;SAM∴SAP

MEP;SAM∴SEP

前者表示:若断定一类事物的全部具有某种性质,则必定断定这一类事物中的部分也具有这一性质;后者表示:若断定一类事物的全部不具有某种性质,则必定断定这一类事物中的部分也不具

有这一性质。运用第一格时常犯的错误是小前提否定,如下面的对话:

父:“你怎么能说脏话呢?”

子:“您不也说脏话吗?”

父:“我又不是学生。”

对话中父亲的思维过程相当于一个三段论推理:

学生是不应当说脏话的;

我不是学生。

所以,我不是不应当说脏话的。

这个三段论违背了三段论的一般规则,大项“不应当说脏话的”在前提中不周延,在结论中周延,犯了大项不当周延的错误。

在实际运用过程中,三段论常以省略的形式出现。这种省略丝毫不影响听者或读者对推理的理解,因为被省略的总是不言而喻的部分。如“没有文化的军队是愚蠢的军队,而愚蠢的军队是不能战胜敌人的”,这里省略了“没有文化的军队是不能战胜敌人的”这一结论。不过省略形式的三段论往往会使推理中所含的错误更加隐蔽,所以,要判定一个省略三段论推理是否有效,我们还必须把它恢复成完整的三段论。

勤思多练

1.指出下列三段论的大项、中项、小项,以及大前提、小前提和结论,并分析三段论是否有效。

(1)一切植物都能进行光合作用,庄稼是植物,所以,庄稼能进行光合作用。

(2)反刍动物都不是食肉动物,狮子是食肉动物,所以,狮子不是反刍动物。

(3)甲班所有运动员都穿红色运动服,跑在最前面的那个运动员穿红色运动服,所以,跑在最前面的那个运动员是甲班的运动员。

(4)菌类植物不是绿色植物,因为绿色植物都含有叶绿素,而菌类植物不含叶绿素。

2.单项选择题。

(1)所有切实关心教师福利的校长,都被证明是管理得法的校长;而切实关心教师福利的校长,都首先把注意力放在解决中青年教师的住房上。因此,那些不首先把注意力放在解决中青年教师住房上的校长,都不是管理得法的校长。为使上述论证成立,以下哪项必须为真?

A.中青年教师的住房问题,是教师的福利中最为突出的问题。B.所有管理得法的校长,都是关心教师福利的校长。

C.中青年教师的比例近年来普遍有了大的增长。

D.所有首先把注意力放在解决中青年教师住房上的校长,都是管理得法的校长。

(2)某些经济学家是大学数学系的毕业生。因此,某些大学数学系的毕业生是对企业经营很有研究的人。下列哪项如果为真,则能够保证上述论断正确?

A.某些经济学家专攻经济学的某一领域,对企业经营没有太多的研究。

B.某些对企业经营很有研究的经济学家不是大学数学系毕业的。

C.所有对企业经营很有研究的人都是经济学家。

D.所有的经济学家都是对企业经营很有研究的人。

第二节你能推断出他们各自的身份吗?——选言推理

典型案例

2009年北京市公务员考试行政职业能力测验题中有如下一道题:

甲、乙、丙、丁是四位极具天赋的艺术家,他们分别是舞蹈家、画家、歌唱家和作家,尚不能确定其中每个人所从事的专业领域。已知:(1)一天晚上,甲和丙出席了歌唱家的首次演出;(2)画家曾经为乙和作家两个人画过肖像;(3)作家正准备写一本甲的传记,他所写的丁的传记是畅销书;(4)甲从来没有见过丙。下面哪一选项正确地描述了每个人的身份?

A.甲是歌唱家,乙是作家,丙是画家,丁是舞蹈家。

B.甲是舞蹈家,乙是歌唱家,丙是作家,丁是画家。

C.甲是画家,乙是作家,丙是歌唱家,丁是舞蹈家。

D.甲是作家,乙是画家,丙是舞蹈家,丁是歌唱家。

逻辑辨析

这道题有两条捷径通向答案。捷径一:由(1)知,甲和丙都不是歌唱家,因此,可以排除A和C;由(2)知,乙不是画家,

因此,可以排除D,所以,正确答案是B。捷径二:由(2)知,乙不是作家,由(3)知,甲和丁也不是作家,所以,丙必定是作家,正确答案只能是B。解这类题的时候没有必要一一推断出这四人所从事的专业领域各是什么。这里的两条捷径用到的都是

排除法的推理方式,这种推理我们称之为选言推理,是我们常用

的一种推理。

知识链接

选言推理至少含有两个前提,一个是选言判断,另外一个是对某

一选言支的否定或肯定。由于选言判断有相容和不相容之分,选

言推理也可以分为相容选言推理和不相容选言推理两大类。

相容选言推理只有一种有效的推理形式:否定肯定式。若选言前

提只有两个支判断,这种形式就表现为在前提中否定一个选言支,在结论中肯定余下的那一选言支,其形式如下:

p∨q;┐p∴q

p∨q;┐q∴p

但选言前提的支判断通常不会只有两个,为涵盖所有情形,我们

可以将这种形式概括为:若选言前提有n(n≥2)个支判断,否

定肯定式表现为在前提中否定n-1个选言支,在结论中肯定余

下的那一选言支。只要选言判断真实地反映了事物情况,这种推

理所得到的结论必定是可靠的。

运用相容选言推理时,容易犯肯定否定式错误,即在前提中肯定

一个选言支,在结论中否定余下的选言支。例如:

丽丽或者会说英语,或者会说日语;

调查发现,丽丽会说英语。

所以,丽丽不会说日语。

这个推理中的选言前提是相容的,对于相容选言判断而言,其中

一个支判断为真时,其他的支判断不必然为假,因此,不可以由

一个支判断为真就推断余下的支判断为假。

不相容选言推理则有两种有效推理形式:否定肯定式和肯定否定式。前者与相容选言推理的否定肯定式相同,差别只在选言前提上。

否定肯定式即我们常说的排除法推理。无论相容选言推理还是不

相容选言推理,否定肯定式都是有效的。所以,在实际运用排除

法时,我们并不考虑选言前提是相容的还是不相容的,这是个可

以忽略的问题。

肯定否定式是不相容选言推理独有的一种推理形式。由于就不相

容选言判断而言,支判断间是不相容的,即一个支判断为真的话,

其余的支判断必定为假,所以,当我们能确定某个支判断为真时,就可以推断出余下的n-1个支判断为假了。这就是肯定否定式,在前提中肯定一个支判断,在结论中否定余下的n-1个支判断。例如,如果我们能证明某一三角形是直角三角形,就可以推断它必定不是锐角三角形,也必定不是钝角三角形。但当选言前提是相容选言判断时,是不可以进行这样的推理的。

扩展延伸

在实际生活中,选言推理的运用十分广泛,尤其是否定肯定式的选言推理。不过要注意的是,否定肯定式的选言推理要获得真实可靠的结论必须保证前提是真实的,否则纵使推理形式正确,推理的结论也是不可靠的。比如,公安机关在某一刑事案件的侦破过程中先确立了n个嫌疑人,然后通过调查取证,n-1个嫌疑

人被排除,于是断定余下的那个人是凶手。这个推理的结论就可能是错的,因为凶手可能另有其人。若凶手并不在这n个嫌疑人中,推理所依据的选言前提就是虚假的,进而导致结论虚假。事实也证明,不少冤假错案就是这样造成的。

在实际生活中,我们在运用选言推理时,经常会省略不言而喻的选言前提,如:

这个三角形不是直角三角形;

也不是锐角三角形。

所以,这个三角形是钝角三角形。

这个推理省略了“这个三角形或者是直角三角形,或者是锐角三角形,或者是钝角三角形”这一选言前提。

勤思多练

1.下列选言推理是否有效,为什么?

(1)庄稼长得不好,或因缺肥,或因缺水,或因管理不善。据了解,这块地的庄稼长得不好不是因为缺肥,也不是因为缺水。所以,这块地的庄稼长得不好是因为管理不善。

(2)庄稼长得不好,或因缺肥,或因缺水,或因管理不善。据了解,这块地的庄稼长得不好不是因为缺肥。所以,这块地的庄稼长得不好或是因为缺水,或是因为管理不善。

(3)庄稼长得不好,或因缺肥,或因缺水,或因管理不善。据了解,这块地的庄稼长得不好不是因为缺肥。所以,这块地的庄稼长得不好既因为缺水也因为管理不善。

(4)庄稼长得不好,或因缺肥,或因缺水,或因管理不善。据了解,这块地的庄稼长得不好是因为缺肥。所以,这块地的庄稼长得不好既不是因为缺水,也不是因为管理不善。

2.单项选择题。

(1)一桩投毒谋杀案,作案者要么是甲,要么是乙,二者必有其一;所用毒药或者是毒鼠强,或者是乐果,二者至少其一。

如果上述断定为真,则以下哪项推断一定成立?

Ⅰ.该投毒案不是甲投毒鼠强所为。因此,一定是乙投乐果所为。Ⅱ.在该案侦破中,发现甲投了毒鼠强。因此,案中的毒药不可能是乐果。

Ⅲ.该投毒案的作案者不是甲,并且所投的毒药不是毒鼠强。因此,一定是乙投乐果所为。

A.只有Ⅰ。

B.只有Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅰ和Ⅲ。

(2)某宿舍住着四个留学生,分别来自美国、加拿大、韩国和日本。他们分别在中文、国际金融和法律三个系就读,已知:Ⅰ.日本留学生单独在国际金融系。

Ⅱ.韩国留学生不在中文系。

Ⅲ.美国留学生和另外某个留学生同在一个系。

Ⅳ.加拿大学生不和美国学生同在一个系。

以上条件可以推出美国留学生所在的系为:

A.中文系。

B.国际金融系。

C.法律系。

D.中文系或法律系。

第三节媒体报道是怎么泄露国家机密的?——假言推理

典型案例

20世纪60年代,我国关于大庆油田的具体信息对外是保密的。当时日本三菱重工的信息专家们一直想知道中国究竟有没有大

油田,却苦于无处获得这方面的信息,但以下几份公开的媒体报道却泄露了这一国家机密。

1964年4月19日,中央人民广播电台播出新华社记者袁木、范荣康采写的长篇通讯《大庆精神大庆人》,首次披露我国已有大庆油田。1964年4月20日,《人民日报》全文发表。该文通过许多典型人物的生动事迹,介绍了大庆人发扬自力更生、艰苦奋斗的革命传统,用革命加拼命的精神展开夺油大会战的情况,并高度评价大庆精神是延安精神的发扬光大。该文发表后,在全国引起强烈反响,使大庆人受到很大的鼓舞和鞭策。大庆油田也从

此开始享誉全国。日本由此知道了大庆。之后他们便着手收集与大庆有关的所有报道。

1964年12月21日至1965年1月4日,第三届全国人民代表大会第一次会议在北京举行。《人民日报》报道王进喜当选为全国人大代表,周恩来总理在《政府工作报告》中总结了大庆油田的典型经验,并向全国人民发出了“工业学大庆”的号召。

1966年7月,某一期《中国画报》的封面刊登了王进喜的照片。“铁人”王进喜头戴大狗皮帽,身穿厚棉袄,顶着鹅毛大雪,手握钻机刹车,眺望远方,在他背景远方错落地矗立着星星点点的高大井架。

1966年10月,《人民中国》报道王进喜的事迹:以王进喜为代表的工人阶级,为粉碎外国反动势力对我国的经济封锁和石油禁运,在极端困难的条件下,发扬“一不怕苦,二不怕死”的精神,抢时间争速度,不等车拉马拖,而是用人拉肩扛的方式把钻井设备弄到了工地上。在王进喜的事迹报道中还有这样一段话:“王进喜一到马家窑看到大片荒野,说:‘好大的油海!我们要把石油工业落后的帽子丢到太平洋去。’”

以上这些信息到了日本三菱重工信息专家们的手里全都变成了

极为重要的经济信息,他们由此揭开了大庆油田的秘密。

逻辑辨析

三菱公司的信息专家们是如何从这些看似普通的信息中揭开大

庆油田的秘密的呢?他们进行了一系列的推理。

首先,推断出大庆油田已经出油了。因为“只有大庆油田出油了,王进喜才会当选为人大代表”,或者说“如果大庆油田没有出油,王进喜就不会当选为人大代表”。

其次,推断出大庆油田的大致方位。依据照片中王进喜的穿戴,推断出大庆油田位于中国东北,因为王进喜的穿戴是东北人冬天最典型的穿戴。依据大庆人用人拉肩扛的方式把几吨重的设备弄到工地上,推断离铁路线不远,因为“只有离铁路线不远,工人们才能用人拉肩扛的方式把几吨重的设备弄到工地上”。“马家窑”这一地名更是帮他们缩小了范围,从中国东北地区的地图上他们很快找到了马家窑——黑龙江海伦县东南的一个小村。

再次,推断出了储油量、中国当时的开采程度等方面的信息。依据照片中王进喜所站的钻台上手柄的架式,推断出油井的直径是

多少,从王进喜所站的钻井与背后隐藏的油田之间的距离和密度,又可推断出油田的大致储量和产量。

在这一系列推理的基础上,他们得出结论:中国必将在国际市场

上招标采油设备。于是先行组织人员设计针对中国东北环境的采

油设备,后来三菱公司果然中标,大赚了一笔。大庆油田的商业

秘密就这样在不经意间被日本人获得了。在三菱公司的人所做的

这一系列推理中,出现次数最多的是假言推理,既有充分条件假

言推理,也有必要条件假言推理。

知识链接

充分条件假言推理是有一个前提为充分条件假言判断,并依据充

分条件假言判断的逻辑特征所进行的推理。充分条件假言推理有

两种正确的推理形式:肯定前件式和否定后件式。肯定前件式的

一个前提是充分条件假言判断,另一个前提是对前件的肯定,结

论是对后件的肯定;否定后件式的一个前提是充分条件假言判断,另一个前提是对后件的否定,结论是对前件的否定。其逻辑形式

可以分别表示为:

典型案例中使用到了否定后件式:

如果大庆油田没有出油,王进喜就不会当选为人大代表;

王进喜已经当选为人大代表了。

所以,大庆油田出油了。只要前提真实,这种推理的结论必定是

真实的。

运用充分条件假言推理时易犯两种错误:肯定后件式错误、否定

前件式错误。前者的一个前提是充分条件假言判断,另一个前提

是对后件的肯定,结论是对前件的肯定;后者的一个前提是充分

条件假言判断,另一个前提是对前件的否定,结论是对后件的否定。其逻辑形式为:

(1)p→q;p∴q

(2)p→q;┐q∴┐p

下面的两个推理就分别犯了这两种错误:

如果∠A和∠B是对顶角,那么∠A=∠B;

已知∠A=∠B。

所以,∠A和∠B是对顶角。

如果∠A和∠B是对顶角,那么∠A=∠B;

已知∠A和∠B不是对顶角。

所以,∠A≠∠B。

由于假言判断不仅有充分条件假言判断,还有必要条件假言判断

和充要条件假言判断。相应地,假言推理还有必要条件假言推理

和充要条件假言推理。

必要条件的假言推理有两种有效的形式:

(5)p←q;┐p∴q

(6)p←q;┐q∴p

前者是必要条件假言推理的否定前件式,一个前提是必要条件假

言判断,另一个前提是对前件的否定,结论是对后件的否定。由

于必要条件假言判断与充分条件假言判断是可以互相转换的,“p

←q”相当于“q→p”,所以,该形式实际上相当于充分条件假

言推理的否定后件式。充分条件假言推理的否定后件式是有效的,因此,必要条件假言推理的否定前件式也是有效的。如下面两个

推理实际上是等同的:

只有有作案时间的人才可能是凶手;

案发时我出差在外地,根本没有作案时间。

所以,我不可能是凶手。

如果我是凶手,我必定有作案时间;

案发时我出差在外地,根本没有作案时间。

所以,我不可能是凶手。

后一个公式是必要条件假言推理的肯定后件式,一个前提是必要

条件假言判断,另一个前提是对后件的肯定,结论是对前件的肯定。这种形式对应于充分条件假言推理的肯定前件式。典型案例

中用到过这种形式:

只有大庆油田出油了,王进喜才会当选为人大代表;

王进喜当选为人大代表了。

所以,大庆油田出油了。

只有离铁路线不远,工人们才能用人拉肩扛的方式把几吨重的设

备弄到工地上;

工人们将几吨重的设备弄到了工地上。

所以,离铁路线不远。

进行必要条件假言推理时常犯的错误也有两种:肯定前件式错误

和否定后件式错误:

前者在前提中肯定必要条件假言判断的前件,在结论中肯定后件,由于必要条件假言判断前件为真时后件不必然为真,所以,这种

推理是不能成立的。后面一个公式在前提中否定必要条件假言判

断的后件,在结论中否定前件,其无效性也是很容易证明的。

由于充要条件假言判断既是充分的又是必要的,所以,充分条件

假言推理的有效形式和必要条件假言推理的有效形式对它都是

适用的。若把(1)和(2)中的“p→q”换成“p?q”,把(5)和(6)中的“p←q”也换成“p?q”,所得到的就是充要条件

假言推理的四种有效形式。

扩展延伸

假言推理是我们经常用到的一种推理,晏子使楚时就曾用假言推

理为自己解围:

晏子使楚。以晏子短,楚人为小门于大门之侧而延晏子。晏子不入,曰:“使狗国者从狗门入,今臣使楚,不当从此门入。”傧

者更道,从大门入。(《晏子春秋·内篇杂下第六》)

“只有出使狗国的人才从狗门入”,这是晏子构造出来的一个必

要条件假言判断。若从狗门入就意味着楚国是狗国,这里用的是

必要条件假言推理的肯定后件式。

在案件的侦破过程中,假言推理运用得更为广泛,历史上有很多

运用假言推理侦破成功的案件,如明朝时润州(今江苏省镇江市)知府张杲卿处理的一桩谋杀案:

张杲卿丞相知润州日,有妇人夫出外数日不归,忽有人报菜园井

有死人,妇人惊,往视之,号哭曰:“吾夫也。”遂以闻官。公

令属官集邻里就井验是其夫与非,众皆以井深不可辨,请出尸验之。公曰:“众皆不能辨,妇人独何以知其为夫?”收付所司鞫问,果奸人杀其夫,妇人与闻其谋。

“众皆不能辨,妇人独何以知其为夫?”只有她是作案者或知情者,才知道死者是她丈夫;如果她不是作案者或知情者,就不可

能在尸体被捞上来之前就断定是自己的丈夫。故而,她就是案件

的突破口。

推理的前提还可以全都是假言判断,如:

夫欲盛则费广,费广则赋重,赋重则民愁,民愁则国危,国危则

君丧矣。朕常以此思之,故不敢纵欲也。(《资治通鉴·唐太宗

论止盗》)

唐太宗对大臣们说的这一段话就是假言连锁推理或纯假言推理,它省略了“欲盛则君丧”这一显而易见的结论。

纯假言推理常用的有两类,一类是充分条件纯假言推理,其特征是:所有前提全部是充分条件假言判断,且前一前提的后件是后

一前提的前件,结论也是充分条件假言判断,其前件是第一前提

的前件,其后件是最后一个前提的后件。这种推理的结论经常被

省略,因为结论不言而喻。这种推理的最简单的形式如下:

p→q;q→r∴p→r

另一类是必要条件纯假言推理,前提和结论全部是必要条件假言

判断。如:

这种团结是当前民族和民主革命的最重要的基础;因为只有经

过共产党的团结,才能达到全阶级和全民族的团结,只有经过全

阶级全民族的团结,才能战胜敌人,完成民族和民主革命的任务。

这是毛泽东主席在延安召开的中国共产党全国代表会议上讲到

团结的重要性时所讲的一段话,所用的就是必要条件纯假言推理。

勤思多练

1.在给出下列推理的逻辑形式的基础上,分析其是否有效。

(1)只要死者是煤气中毒致死的,尸斑就会呈鲜红色;这个死

者的尸斑呈鲜红色。可见,这个死者是煤气中毒致死的。

(2)只有某甲与被害人有仇,他才会是该仇杀案的凶手;某甲

与被害人有仇。所以,某甲是该仇杀案的凶手。

(3)如果某甲患急性阑尾炎,他就会腹部剧痛;某甲腹部不痛。所以,某甲未患急性阑尾炎。

(4)如果农副产品的价格得不到提高,农民的收入就不会增加。为保护农民的利益,调动广大农民的积极性,政府这些年加强了

宏观调控力度,使得农副产品尤其是粮食的价格有了大幅度提高,所以,这些年农民的收入增加了不少。

(5)如果你犯了法,你就会受到法律的制裁;如果你受到法律

的制裁,别人就会看不起你;如果别人看不起你,你就无法受到

尊重;而只有得到别人的尊重,你才能过得舒心。所以,你犯了法,日子就不会过得舒心。

2.单项选择题。

(1)有六个人——G、H、I、J、K、L,每个人或者只下围棋或

者只下象棋。如果有多个人下同一种棋,则下该种棋的人按下棋

水平从高到低排名。给出下列条件:J下象棋;H下围棋;在下围棋的人中间,H排名最高;如果I下围棋,则K和L下围棋,K的排名低于I但高于L;如果I下象棋,则L下象棋,L的排

名低于J但高于I;如果K下象棋,则G下象棋,J的排名低于G但高于K。

下面的哪一个选项能够是真的?

A.I下象棋,L下围棋。

B.G下象棋,K下围棋。

C.K和J下象棋,K的排名高于J。

D.I和L下象棋,I的排名高于L。

(2)八个科研人员C、D、L、M、N、S、W、Z正在争取获得某项科研基金。按规定只有一个人能获得该项基金。谁获得该项基金,由单位评委投票决定。评委分成不同的投票小组。如果D获得的票数比W多,那么M将获取该项基金;如果Z获得的票数比L多,或者M获得的票数比N多,那么S将获取该项基金;如果L获得的票数比Z多,同时W获得的票数比D多,那么C将获取该项基金。如果W获得的票数比D多,但C并没有获取该项基金。

据此,下面结论必然正确的是哪一项?

A.M获得了该项基金。

B.S获得了该项基金。

C.M获得的票数比N多。

D.L获得的票数不比Z多。

(3)如果丽丽参加同学聚会,那么小强、大壮和李铁也将一起参加同学聚会。如果上述断定是真的,则以下哪项也一定是真的?

A.如果丽丽不参加同学聚会,那么小强也不参加。

B.如果小强、大壮和李铁一起参加同学聚会,那么丽丽也参加。C.如果丽丽和小强参加同学聚会,那么大壮和李铁不会参加。D.如果李铁不参加同学聚会,那么丽丽也不参加。

第四节她该不该给丈夫寄征衣?——二难推理

典型案例

欲寄君衣君不还,

不寄君衣君又寒,

寄与不寄间,

妾身千万难。

逻辑辨析

这是元代诗人姚燧的作品《凭阑人·寄征衣》,作者恰到好处地

刻画了妻子想给外出的丈夫寄征衣时左右为难的复杂心情:

如果寄征衣,担心丈夫不回家;

如果不寄征衣,又担心丈夫受冻;

寄或不寄,别无选择。

其结果就是或者丈夫不回家或者丈夫受冻。

作者这里用到的是一个典型的二难推理。之所以称这种推理为二

难推理,是因为大多数情况下,这种推理所提供的两种选择都会

使做选择的人面临两难境地,无论选择其中的哪一种,所导致的

结果都是做选择的人所不愿意接受的。

知识链接

二难推理是一种假言选言推理。所谓假言选言推理,是以假言判

断和选言判断为前提,并根据假言判断和选言判断的逻辑性质进

行的推理,其中假言判断的数量等同于选言判断的支判断的数量。常见形式是由两个充分条件假言判断和一个二支的选言判断作

为前提而构成的假言选言推理,这就是常说的二难推理。理论上说,还可以有三难推理、四难推理等,但常见的只有二难推理。

与充分条件假言推理的两种有效式相对应,二难推理也有两种有

效的推理形式。一是选言前提的两个选言支分别肯定两个假言前

提的前件,典型案例中诗人所使用的二难推理就是这种形式的,这种形式被称为构成式。构成式有简单与复杂之分,两个假言前

提的后件相同时所形成的构成式是简单构成式,两个假言前提的

后件不同时所形成的构成式是复杂构成式,其形式分别如下:

(1)p→r;q→r;p∨q∴r

(2)p→r;q→s;p∨q∴r∨s

前者是简单构成式,两个假言前提的后件相同,结论正是对这一

后件的肯定。通常情况下,形式中的q正好等于┐p,“p∨q”

因此正好等于“p∨┐p”,由于“p∨┐p”在二值逻辑里是永真式,这就使得简单构成式十分有说服力。如:

在普林斯顿大学,一个男生深深地爱上了一位姑娘,他想得到一

张她的照片,怎么才能不被拒绝呢?冥思苦想后他终于有了个绝

妙的主意。一日,他递给她一张纸条,并说道:“我在这张纸条

上写了一句关于你的话,如果你觉得我写的是真的,那就麻烦你

送我一张你的照片,好吗?”女孩立即想到,这又是一个在找借

口追求自己的男生,无论他写什么,只要自己都说不是真的,不

就可以了吗?于是,女孩欣然答应了男孩的请求。

“如果我说的不是真的,你千万不要把照片送给我!”男孩紧接

着又说。

“那当然!”女孩俏皮地回答。

她接过纸条,胸有成竹地打开,随即却皱起了眉头,因为她绞尽

脑汁也想不出拒绝他的方法,只得把自己的照片乖乖地送给了他。他写的只不过是一句极其简单的话:“你不会把你的照片送给我。”

显然,纸条上的话或真或不真,只有这两种可能。若真,即她不

会把照片送给他,那他可以得到一张她的照片;若不真,即她会

把照片送给他,他也可以得到一张她的照片。所以,无论她是否

会把照片送给他,他都可以得到一张她的照片。正是这种强有力

的逻辑力量使故事中的他如愿以偿地得到了心上人的照片,这种

二难推理的设计是十分能体现人的智慧的。

后面一个公式是复杂构成式,两个假言前提的后件不同,结论是

一个选言判断,其支判断分别是这两个后件的肯定。典型案例中

的诗人使用的就是一个复杂构成式的二难推理。公式中,“q”

通常相当于"┐p”,“p∨q”则正好相当于“p∨┐p”。典型案

例中的选言前提“或者寄或者不寄”就是这样的。

二难推理另一种有效形式是破坏式,其选言前提的支判断分别是

对假言前提的后件进行否定得到的。也有简单与复杂之分,两个

假言前提的前件相同时所形成的破坏式是简单破坏式,两个假言

前提的前件不同时所形成的破坏式是复杂破坏式,其形式分别为:

(3)p→q;p→r;┐q∨┐r∴┐p

(4)p→q;s→r;┐q∨┐r∴┐p∨┐s

伊壁鸠鲁在驳斥“存在着一个仁慈且万能的上帝”时所构造的二

难推理就是一个复杂破坏式的二难推理:

如果上帝是仁慈的,他就愿意消灭世间的邪恶;

如果上帝是万能的,他就能够消灭世间的邪恶;

世间有邪恶存在,说明上帝或者不愿意消灭世间的邪恶,或者不

能够消灭世间的邪恶。

所以,上帝或者不是仁慈的,或者不是万能的。

扩展延伸

二难推理无论是构成式还是破坏式,在实际使用过程中很少出现形式上的错误,更多时候出现的问题是前提虚假。由于二难推理多用于论证,而有效的论证要求论据必须真实,当我们把一个二难推理视为一个论证时,前提便是论据。

首先,二难推理的选言前提可能是虚假的,如:

如果我说话声音大,顾客会对我不满,因为他们会认为我态度不好;

如果我说话声音小,顾客也会对我不满,因为他们听不清;

我说话声音或者大或者小。

总之,顾客都会对我不满。

这个推理的形式虽然是正确的,是二难推理的简单构成式,但选言前提是虚假的,因为说话的声音除了大、小两种可能外,还有第三种情况,这就是不大不小。

二难推理的假言前提也有可能是虚假的,如:

某地解放前有所谓的“乌拉差役制度”,规定农民每年必须请喇嘛念冰雹经,以祈祷免除冰雹灾害。为了迫使农民交钱,他们做了如下论证:

如果念经后当年不发生冰雹灾害,说明喇嘛念经有功,农民应交钱表示酬谢;

如果念经后当年发生了冰雹灾害,说明农民心不诚,心不诚应交钱以示惩罚;

念经后当年或者发生冰雹灾害,或者不发生冰雹灾害。

总之,农民必须交钱。

这里的假言前提是不能成立的,念经后当年不发生冰雹灾害并不能证明是喇嘛念经的结果,当然也就无所谓酬谢了。念经后当年发生冰雹灾害也不能证明是农民心不诚所导致的,也就无所谓惩罚了。

面对错误的二难推理,我们还可以构建一个结构与之相同的二难推理来进行反驳,如历史上著名的“半费之讼”:

普罗泰戈拉是古希腊智者学派的著名代表人物。据传,他曾经招收过一个名叫欧提勒士的学生,允许这名学生先交一半的学费,并签订了一份协议,规定另一半学费待该学生学成后第一次出庭打胜了官司后才交,如果败了就不用交。这有点类似于今日的招

生承诺。可欧提勒士学成后老也不帮人打官司,为了得到另一半

学费,普罗泰戈拉将之告上了法庭,并提供了如下的论证:

如果我打赢了这官司,根据判决他应该付我另一半学费;

如果我打输了这官司,根据当初的协议他也应该付我另一半学费;我或者赢这官司,或者输这官司。

总之,他都应该付我另一半学费。

名师出高徒。针对老师的这一论证,欧提勒士也给出了一个论证,论证自己不应该交另一半学费:

如果老师打赢了这官司,根据协议我不应该付另一半学费;

如果老师打输了这官司,根据判决我也不应该付另一半学费;

老师或者赢这官司,或者输这官司。

总之,我都不应该付另一半学费。

比较一下这两个推理,很容易发现后一个二难推理是如何构建而

成的:假言前提的前件保持不变,后件通过对原后件的否定构成,结论正好是对原二难推理的结论的否定。

勤思多练

运用二难推理的知识回答下列问题。

(1)在某地居住着甲、乙两个部落,甲部落的人总是说真话,而乙部落的人总是说假话。有一天,一个旅游者来到这里,遇到

了土著居民A,他问A:“你是哪个部落的?”A回答:“我是

甲部落的。”旅游者于是请A当向导。在途中他们遇到了另一个

土著居民B,旅游者让A去问B是哪个部落的,A问完后回来说:“他说他是甲部落的。”问:A是哪个部落的人?

(2)“如果一个人自傲,就会盲目乐观;如果一个人自卑,就

会缺乏信心;你或者是自傲,或者是自卑。总之,你或者是盲目

乐观,或者是缺乏信心。”这个二难推理有什么漏洞?

(3)构造一个二难推理以驳斥下面的论证:“如果我聪明,我

不用刻苦,不刻苦我也能取得好成绩;如果我不聪明,我也不用

刻苦,刻苦也没用;我或者聪明,或者不聪明。总而言之,我不

用刻苦。”

第五节“不一定能考上”等于“一定不能考上”吗?——模态

推理

典型案例

A:“老王的儿子学习成绩一直很棒,他想报考清华大学,他一定能考上的。”

B:“那可不一定。”

A:“你是说他一定考不上清华大学?”

B:“我可没说他一定考不上清华大学,我只是说他不一定能考上清华大学。”

A:“你这人真是的,‘不一定能考上’不就是‘一定不能考上’吗?”

逻辑辨析

“不一定能考上”是“一定不能考上”吗?显然不是。后者虽然只是改变了句中“不”所处的位置,把“不一定”改成了“一定不”,但正所谓“差之毫厘,谬以千里”。

“老王的儿子不一定能考上清华大学”与“老王的儿子一定考不上清华大学”之间的差异同“明天不一定下雨”与“明天一定不下雨”之间的差异是一样的。无论明天下雨还是不下雨,前一句话都是真的,但若明天下雨的话,后一句话就是假的了。这里涉及的是模态推理。

知识链接

模态推理是根据模态判断的逻辑性质进行推演的推理,这种推理主要有三种类型。

第一种类型是根据模态判断间的对当关系进行的直接推理。模态判断间的对当关系有矛盾关系、反对关系、下反对关系和差等关系,不同的关系具有不同的特征,因而可以进行不同的推理。

“必然p”与“可能┐p”、“必然┐p”与“可能p”是矛盾关系,具有矛盾关系的两个判断既不能同真也不能同假。所以,一个判断为真时可推知另一个判断为假,一个判断为假时可推知另一个判断为真,即:

必然P∴不可能┐p

必然┐p∴不可能p

可能P∴不必然┐p

可能┐p∴不必然p

不必然P∴可能┐p

不必然┐p∴可能p

不可能P∴必然┐p

不可能┐p∴必然p

推理与证明复习课(1)

第1课时推理复习课 一、习■航自主预习,确立复习目标,检测复习效果 ◎掌握归纳、类比的概念及其特点? 练习: 1.下面一组按规律排列的数:1,32,53,…,第n个数应是() 八n f 2n _1 一 /只,、n °一.. 2n_1 A.n B.n C.(2n「1) D.(2n「1)◎掌握三段论的一般模式练习: 2. (1)下列函数为增函数的是( 2 A.y=2x-1 B.y=x -2x+1 1 C.y=- — D.y=ta n x x (2)已知通项公式形如an =cq n(c,q = 0)的数列CaJ为等比数列,则数列-2,是等比数列,用的是 推理.(填“归纳”或“类比”或“)绎” 拨解疑,重在授之以渔. 1 例1设数列玄』的首项a =a ,且 4 -a n小为偶数, 12 务 1 一一1 a n?一, n为奇数. L 4 1 记b Pn4 ,n =1.2,3,川. 4 (1 )求a2,a3; (2)判断数列:b/f是否为等比数列,并证明你的结论分析:本题可以先求出4 1的前几项,根据规律归纳出 2 的通项公式

探讨:本题以数列为载体考查运用归纳推理,归纳推理所得的结论是不是一定正确? 1 变式练习:已知正项数列\a n r的前n项和S n(a n1)2,试求出b i, b2, b3, b4,…并由此归纳出I a n 4 的通项公式. a + b 例2若记“ * ”表示两个实数a与b的算术平均数的运算,即a*b=- b,则两边均含有运算符号 2 和“ +”,且对于任意3个实数a, b, c都能成立的一个等式可以是 _______________ . 分析:由于本题是探索性和开放性问题,答案并不唯一,注意到题目的要求不仅是要类比到三个数,还要求两边都有“ * ”和+” 探讨:类比推理的特点是什么?类比时应该针对什么进行推理?类比推理的结果一定是正确的吗? 变式练习:已知数列a i,a2,…,a3o,其中a i,a2,…,a io是首项为1,公差为1的等差数列;a?, an,…,a?。是公差为d的等差数列;a2o,a2i,…,a3o是公差为d2的等差数列(d = 0 ). (i)若a?。=40,求d ; (2)试写出a3o关于d的关系式,并求a?。的取值范围; (3)续写已知数列,使得a3o,a3i,…,a4o是公差为d3的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广 为无穷数列,你能得到什么样的结论?

优质课《简单推理》说课稿

《简单推理》说课稿 一.说教材 本课节选自人教版义务教育教科书第九单元——数学广角的内容,是新教材的增设内容。《数学课程标准(2011)》指出“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”本课重点在于在解决问题的过程中理解并体验逻辑推理,明白什么是逻辑推理,并能用一定的方法辅助推理,有条理地表述推理过程。教学难点在于推理过程的表达以及有序、全面思维的培养。 在此之前,学生进行了简单的猜数、找规律与搭配游戏,在渗透推理思想的同时培养了学生有序、全面思考问题的意识。而“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中”,数学推理的培养是学习数学的基础,也是发展学生思维能力的良好素材。 根据本课设计理念和教学内容,结合学生实际我制订了以下教学目标: 1、知识与技能:理解什么是推理,学会推理,并能说出思考过程。 2、过程与方法:经历解决问题的过程,掌握推理的一般方法,能用“不是……就是……”进行推理。 3、情感态度价值观:感知数学趣味性,培养初步的分析和推理能力,同时培养学生的表达能力。 本课的教学重点是经历简单推理的过程,获得基本方法,难

点在于让学生清晰表达自己的思考过程。 二.说教法 为了突出教学重点,突破教学难点,本节课我主要采用游戏激趣法、活动探究法、对比分析法进行教学,同时结合课件与练习,配合儿歌帮助学生总结方法,巩固并深化新知。 三.说学法 “教法为学法导航,学法是教法的缩影”,介于这样的认识,在本节课的学习活动中我主要培养全面、有序思考的意识,通过让学生经历简单推理的过程,明白推理,掌握推理的一般方法。通过自主交流、汇报表达想法,明晰推理过程。 四.说教学过程 (一)激趣导入 新课标要求数学学习贴近学生实际,“源于生活,用于生活”。因此,在导入时,我让学生猜神秘嘉宾的位置,进而引出学生喜闻乐见的动画人物——名侦探柯南,用柯南盘这一情境贯穿全课,增加数学的趣味性,激发学生学习兴趣。 (二)探索新知 本环节由2个条件的推理问题入手,让学生猜智慧星藏在左手还是右手,引出“不是……就是……”的判断方法。接下来由浅入深,解决3个条件的推理问题,在获得答案的同时引导学生清晰有序地表达。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》知识点总复习

新数学《推理与证明》高考知识点 一、选择题 1.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是() A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲; ②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙; ③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙; ④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙. 综上所述,年纪最大的是丙 故选:C. 【点睛】 本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题. 2.在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个,类似的,在立体几何中,与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有() A.1个B.5个C.7个D.9个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面图形的结论,通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】 根据三角形的内切圆和旁切圆可得 与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个, 由此类比到四面体中, 四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等, 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,

三年级下册数学一课一练-数学好玩3有趣的推理(word版有答

数学好玩 3 有趣的推理 重点导学 知识点:掌握简单的推理的方法,初步获得一些简单推理的经验。例题:丹丹、红红和玲玲三个小朋友身高不同,玲玲说:“我不是最高的。”红红说:“我不是最高的也不是最矮的。”她们三个人谁最高?谁最矮? 点拨:当我们碰到一些比较复杂的推理时,可以根据一些线索排除一些情况,从而使我们的问题更加简单。 【轻松通关】 一、小狗、小猴、小熊、小猫在玩翘翘板,你能把最重的动物圈出来吗? 二、四种球,谁重谁轻? ()>()>()>() 三、想一想,连一连。

学校开设了美术、音乐和体育三门课,王、李、张三位老师分别教其中一门课。王老师不是美术老师,李老师不在操场上课,张老师上课要用钢琴。这三位老师分别教哪一门课? 王老师教美术 李老师教音乐 张老师教体育 四、猜一猜谁得到了金牌?请把所读信息填在表格里。(得到的奖牌用“√”表示,没有得到的用“×”表示。) 小兔说:我们三只小动物分别获得了金、银、铜牌。 小狗说:我得到的不是银牌。 小猫说:我的到的既不是金牌,也不是银牌。 五、猜颜色。 爸爸买回3双袜子,其中2双是花袜子,1双是红袜子,爸爸塞了一双花袜子给妹妹,又塞了一双红袜子给哥哥,把剩下的1双藏在自己手中,让兄妹俩猜是什么颜色的,谁猜对就把袜子给谁。你们说,谁肯定会猜对? 六、请在下图标出他们的名字。 小红、小青、小芳、小丽四个人中,小青不是最高的,但比小红、小丽高;而小红又比小丽高。

【能力晋级】 七、在下面的柜子里写上玩具的名字。 小玲有6种玩具:熊猫、松鼠、小狗、洋娃娃、小喇叭、手鼓,放在右边的玩具柜里。熊猫放在洋娃娃的左面、小狗的上面;松鼠既没有放在小狗的旁边也没有放在洋娃娃的上面;小喇叭也不在小狗的旁边。 八、比身高。 四个小朋友比高矮。 小强:我不是最矮的。 小刚:我不是最高的,但比小强高。 小冬:我不比其他三人高。 小勇:我比小刚高。 请按从高到矮的顺序,把这四个人排好队。 九、用列表法表示正确的答案。(用“√”表示是的,用“×”表示不是的。) 1.三个小姑娘穿着崭新的连衣裙跳舞,她们穿的裙子一个是花的,一个是白色的,一个是红色的.这三个小姑娘分别姓王、李、张,但不

有趣的推理公开课

有趣的推理公开课 教学过程: 一、情境导入 今天,有一位神秘的嘉宾来到我们班,你们想知道他是谁吗?想。下面我们一起用热烈的掌声掌声欢迎他出场,他是谁啊?请看(黑猫警长),你们觉得黑猫警长聪明吗? 黑猫警长有很强的推理能力,他开了一个“名侦探训练营”你想参加吗?今天这节课,让我们跟随黑猫警长一起来学习“有趣的推理”。(板书:有趣的推理) 首先我们来了解一下今天的游戏规则,黑猫警长柯南给大家设下了三关,只要你们能顺利地闯过三关,黑猫警长将为你们颁发小小侦探家的徽章,有信心去闯关吗 二、教授新知 第一关(我说你猜) 范老师和好朋友徐老师、颜老师3人的年龄分别是24,26,28.这三个年龄中的一个,范老师不是最大的,但是比颜老师大一些,学生在猜,最后指出:像刚才这样,我们根据几个数学信息推出问题的答案,就叫做推理。 第二关(火眼金睛) 师:请看第二关(火眼金睛) 1.第一题,请看大屏幕,课件出示题目 (1)谁来把题目大声地读一读“学校组织有足球、航模和电脑兴趣小组。淘气、笑笑和奇思根据自己的爱好分别参加了其中一组。” (2)老师有一个疑问:“分别参加了其中一组”是什么意思? 生帮助老师解决问题。 (3)补充问题:现在你们能确定他们每人分别参加了哪个兴趣小组吗?为什么? 生:不能,因为他们没有给我们条件,我们不能确定他们各自参加了哪个兴趣小组 师:对,咱门要推理得到确定的结果,咱门确实要有凭有据。 那好,黑猫警长根据孩子们的需要啊,给了大家三条信息 (4)师补充信息,请看大屏幕,我们一起来把这三条信息读一读“笑笑不喜欢踢足球,淘气不是电脑兴趣小组的,奇思喜欢航模”。 师:现在有了这些信息,你们能推理了吗?现在前后桌四个同学为一组,把你的想法与小组同学说一说。 每个小组拿出提卡1,现在每个小组派一名同学负责记录,一起把你们小组推理的过程记录在这张题卡1上。看看哪个小组的过程更有利于我们之间的交流,更能让大家简单明了。可以用写一写、连一连、画一画等方法。开始吧。 (5)小组代表开始记录小组的推理过程。 (6)全班交流 师:哪个小组愿意上来把你们的推理过程跟全班小朋友一起分享一下 小组发表看法,与全班交流。 请两个小组同学发表看法。(文字、连线) 我发现同学们想到了很多不同的方法来给大家做出了正确的推理,他们从这道题目中读懂了信息,寻找到了线索,所以顺利推理出了结果。这就是黑猫警长教给大家推理的第一招“读懂信息,寻找线索”。(板书:读懂信息,寻找线索) 这道题目黑猫警长给了我们三个信息“①笑笑不喜欢踢足球②淘气不是电脑小组的③奇思喜欢航模”,这三个信息中, 师:有一个信息最关键,根据这个信息可直接得到一种结果,是哪一句呢(奇思喜欢航模)这句话就是这道题的关键信息,因为它是一种肯定的语句,所以我们可以由此直接推出一种

高二数学推理与证明知识点与习题.doc

推理与证明 一、推理 1.推理:前提、结论 2.合情推理: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推岀该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言Z,归纳推理是市部分到整体、rh个别到一般的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是山特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、观察:77 + ^5 <2A/H; V55 + V165 < 2VH: j3"+J19 + V^v2VH;….对于任意正实数a,b,试写出使丽+v&<2vn成立的一个条件可以是 ___________________________________ . 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故ci + b = 22 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的婕筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面 图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图o 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以/(?)表示 第〃帕图的蜂巢总数.则/(4) = --- ; f (〃) = ? 【解题思路】找出/(〃)—.f(n — 1)的关系式 [解析]/(1) = 1,/(2) = 14- 6,/(3) = 14- 6 4-12,??? /'(4) = 1 + 6 + 12 + 18 = 37 /. /(n) = 1 + 6 + 12 + 18 + —F 6(/7 -1) = 3n2 - 3〃+1 【名师指引】处理“递推型”问题的方法Z—是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的丄,把这个结论推广到空间止四血体,类似的结论是________ ? 3 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等而积法,即5=丄必=3乂丄妙二>厂=丄/7 ,类比问题的解法应为等体积法, 2 2 3 V =-Sh = 4x-Sr=>r = -h即止四血体的内切球的半径是高一 3 3 4 4 【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平而向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集 的性质类比;圆锥曲线间的类比等 二.直接证明与间接证明 三种证明方法: 综合法、分析法、反证法 反证法:它是一种间接的证明方法?川这种方法证明一个命题的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立; (2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

北师大版三年级数学下册--数学好玩《有趣的推理》练习题

《有趣的推理》练习题 1.列表解决问题。 阳阳、乐乐、飞飞三人,他们的爸爸职业分别是医生、警察、教师。阳阳的爸爸不是警察,乐乐的爸爸是教师。你知道他们的爸爸分别是干什么的吗? 医生警察教师 阳阳 乐乐 飞飞 2.有一个正方体,它的六个面上分别写着六个汉字“我们喜欢数学”,有三位同学,从三个不同的角度观察如图: “我”的对面是(),“数”的对面是(),“欢”的对面是() 3.小猫、小狗、小兔、小松鼠和小猴进行长跑比赛。小狗的前面是小兔,小猴在小猫和松鼠中间,小猫的前面是小狗,你知道它们的前后顺序是怎样排列的吗? 4.乐乐、华华和强强各参加了一个体育兴趣小组,分别是游泳、篮球和跳高。强强不喜欢游泳,乐乐没去过篮球队,华华是篮球队的主力。你知道他们各参加了哪个组吗?下表中试一试。

游泳篮球跳高 乐乐 华华 强强 5.小红、小明和小花3人拍球,分别拍了30下、31下、32下。小红和小明拍了多少下? 6.书架上有四层书,每层上只放一种书,这四种书分别是科技书、文艺书、故事书和漫画书。第一层放的不是文艺书和漫画书,第三层放的是科技书,第二层放的不是文艺书。你知道书架上的书是怎样摆放的吗? 7.小红、小青、小芳、小丽四个人中,小青不是最高的,但比小红、小丽高,而小红又比小丽高,请你将四人从高到低排列。

8、小王、小张、小李三人,一人是工人,一人是战士,一人是大学生。现在知道:小李比战士年龄大。他们三人中,谁是工人?谁是战士?谁是大学生? 9、一位警察在审问4个盗窃嫌疑犯甲、乙、丙、丁。他们供词如下: 甲说“不是我偷的” 乙说“是甲偷的” 丙说“不是我” 丁说“是乙偷的” 他们四人中只有一个人说的是真话,你知道谁是小偷吗? 10、甲、乙、丙、丁四人中,乙不是最高,但他比甲和丁高,

二年级数学下册推理(公开课)

数学广角——推理教学设计 教学内容:教科书第109页 教学目标: 1、知识与技能:能根据已知条件通过活动判断出结论,培养学生初步的观察、分析及推 理能力 2、过程与方法:经历简单推理的过程,初步获得一些简单的推理经验 3、情感态度与价值观:体会数学思想方法在生活中的用途,激发学生学好数学的信心和 探索数学的兴趣 教学重、难点: 据已知条件通过活动判断出结论,感受简单的推理过程 教学准备: 投影仪,粉笔、磁扣、纸盒 教学过程: 一、创设情境,揭示课题 出示柯南图片:同学们,请看大屏幕,看看谁来了? 你们喜欢柯南吗? 你知道柯南是做什么的吗? 让孩子说说柯南的厉害之处,预设:孩子能点到推理 今天这节课,我们就一起和柯南来学习一些推理的知识(板书推理) 二、讲授新课 (一)粉笔游戏 (出示较短的一根粉笔)这是一根粉笔,老师把它藏在老师的其中一只手里,来,猜猜,在哪只手里? 谁来举手告诉我?(教师做举手的姿势,松开左手) 预设:学生异口同声说在另一只手里 为什么在这只手里呢? 因为老师就两只手,那现在排除了这只手,就肯定在另一只手中(摊开手让学生看看粉笔)渗透排除法(板书排除) (二)猜磁扣游戏 这有1、2、3三个盒子,一个装红磁扣,一个装黄磁扣,还有一个是空的,猜猜黄磁扣在

哪号盒子里。 老师给提示摇两下3号盒子,没有声音 教师再提示:取出1号盒子的红球 在游戏中请学生说说想法 打开来看看,验证学生的推理是正确的 小结强调提示信息 (三)讲解例题1 出示:有语文、数学和品德与生活三本书,下面三人各拿一本 小红说:我拿的是语文书小丽说:我拿的不是数学书 小红、小丽和小刚拿的分别是什么书? 1、找数学信息? “三人各拿一本”这句话是什么意思? 2、同桌合作,把你们的推理用你们喜欢的方式记录在这张白纸上 3、展示学生的作品 (1)、文字法 学生讲解推理过程 全班反馈 (2)、连线法 学生讲解推理过程 全班反馈 (3)、比较文字法和连线法 你更喜欢哪种方法 方法优化 (4)强化连线法 师生共同完成连线 (5)小结推理的方法,板书:抓关键,巧排除 三、巩固练习——动物王国的小侦探 (一)帮助小狗找名字

高中数学推理与证明知识点归纳

高中数学推理与证明知识点归纳高中数学推理与证明知识点归纳 数学推理与证明知识点总结: 1.知识方法梳理 一、考纲解读: 本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出,进一步强化了合情推理与演绎推理的要求,因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主,结合不等式进行考查。 二、要点梳理: 1.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别事物,发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。 2.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明

①综合法:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法。综合法的 思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论。 ②分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否 具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原 不等式成立,这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是:执 果索因。 ③反证法:要证明某一结论A是正确的,但不直接证明,而是先去证明A的反面(非A)是错误的,从而断定A是正确的,即为反证法。一般地,结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语,或结 论以否定语句出现,或要讨论的情况复杂时,常考虑使用反证法。 ④数学归纳法: 教学目标: 一、通过观察、猜测等活动,让学生经历简单的推理过程,理解逻辑推理的含义。初步获得一些简单的推理经验。 二、能借助连线、列表等方式整理信息,并按一定的方法进行推理。 三、在简单的推理过程中,培养学生初步的观察、分析、推理和有有条理的进行数学表达的能力。 教学重点: 理解逻辑推理的含义,经历简单的推理过程,初步获得一些简单的推理经验。 教学难点: 初步培养学生有序的,全面的思考问题及数学表达的能力。 教学过程:

高中数学北师大版选修1-2《推理与证明复习一》试卷讲评课教案

试卷讲评课教案

精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。读大海,读出了它气势磅礴的豪情。读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。山中的石!当你背靠群峰时,意志就坚了。水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就大了。空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么?

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点) 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点) 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: 归纳推理: 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 2.归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想). 思考探究: 1.归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ;….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________. 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 [解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.类比推理的一般步骤: 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想. 思考探究: 1.类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法,即h r ar ah S 3121321=??== ,类比问题的解法应为等体积法, h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结:(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

二年级数学下册数学广角 推理 公开课教学设计

数学广角——推理 李燕 教学内容:教科书第109页的内容。 教学目标: 1、通过观察、猜测等活动,让学生经历简单的推理过程,理解逻辑推理的含义,初步获一些简单推理的经验。 2、能借助连线、列表等方式整理信息,并按一定的方法进行推理。 3、在简单推理的过程中,培养学生初步的观察、分析、推理能力。4.使学生感受推理在生活中的广泛应用,初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。 教学重点: 理解逻辑推理的含义,经历简单的推理过程,初步获得一些简单推理的经验。 教学难点: 初步培养学生有序地、全面地思考问题及数学表达的能力。 教学过程 (一)激趣引入

师:同学们,你们喜欢玩游戏吗? 师:那我们就来玩一个猜一猜的游戏。老师想请两名同学作老师的助手,一起合作完成。谁愿意来? 教师请两名学生上讲台。 师:现在请大家猜一猜它们分别拿的是什么,看谁猜得最准。 学生乱猜。 师:大家猜什么的都有,那到底是什么呢?听老师的提示,他们手里拿的分别是铅笔和橡皮。请你猜猜谁拿的是铅笔,谁拿的是橡皮? 学生再猜测 师:这两种情况,到底是哪一种呢?你们能确定吗? 师:请听老师第二个提示,男同学拿的不是铅笔。你现在能猜出来他手里拿的是什么了吗? 师:你能说说你是怎么猜的吗? 生:男同学拿的不是铅笔,就是橡皮。 师:那女同学手中的动物是什么? 生:因为男同学拿的不是铅笔,那么铅笔就在女同学的手上。

两名学生亮出图片,揭晓答案。 师:很好,我们刚才在游戏中顺利地猜出了两名同学手里拿的文具。刚才怎么猜不出来,现在怎么能猜出来了呢? 师:看来猜的时候我们可不能漫无目的地乱猜,而要根据所给的条件来猜。像这样根据已经知道的条件,逐步推出结论的过程,在数学上称为推理。今天这节课老师就和大家一起来进行一些简单的推理。 教师板书课题:数学广角——推理 (二)探索新知 1.呈现问题 师:学生齐读题目,边读边思考思考:从题中,你都知道了什么? 根据题目,你了解到有几本书?有几个小朋友? “三人各拿一本书”是什么意思呢?(每人只能拿一本) 师:你分析的很透彻。 出示例1请大家继续看题目,你还能从题目中获得什么信息?(小红拿的是语文书,小丽拿的不是数学书) 出示问题:小丽拿的()书,小刚拿的()书。 题目让我们解决的问题是什么?

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》基础测试题及答案

高中数学《推理与证明》知识点归纳 一、选择题 1.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是() A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲; ②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙; ③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙; ④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙. 综上所述,年纪最大的是丙 故选:C. 【点睛】 本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题. 2.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解,在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币,其中有一假币(质量较轻),把两枚硬币放在天平的两端,若天平平衡,则剩余一枚为假币,若天平不平衡,较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币,其中有一枚是假币(质量较轻),如果只有一台天平,则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据提示三分法,考虑将硬币分为3组,然后将有问题的一组再分为3组,再将其中有问题的一组分为3,此时每组仅为1枚硬币,即可分析出哪一个是假币. 【详解】 第一步将27枚硬币分为三组,每组9枚,取两组分别放于天平左右两侧测量,若天平平

新北师大三年级数学下册有趣的推理教学设计教学内容

《有趣的推理》教学设计 南留完小曹胖胖教学目标: 1、经历对生活中某些现象进行推理、判断过程,能够对这些现象进行合理的分析。 2、学会运用列表、尝试、操作等解决问题的策略进行推理,发展推理能力。 3、能够用语言清楚地表达自己的推理过程,在经历推理判断的过程中树立自信,体会生活中这些现象中蕴含的数学道理。 教学重点:经历对生活中某些现象进行推理和判断的过程,并能对过程和结果进行表述;利用表格进行推理。 教学难点:有条理的表述自己推理的过程和判断的结果。 教具:多媒体课件 教学过程: 一、情境导入 柯南有很强的推理能力,他开了一个“名侦探训练营”你想参加吗?今天这节课,让我们跟随柯南一起来学习“有趣的推理”。(板书:有趣的推理)

二、学习新课 1.第一题,请看大屏幕,课件出示题目 (1)谁来把题目大声地读一读“学校组织有足球、航模和电脑兴趣小组。淘气、笑笑和奇思根据自己的爱好分别参加了其中一组。” (2)老师有一个疑问:“分别参加了其中一组”是什么意思? (3)补充问题:现在你们能确定他们每人分别参加了哪个兴趣小组吗?为什么? (4)师补充信息,请看大屏幕,我们一起来把这三条信息读一读“笑笑不喜欢踢足球,淘气不是电脑兴趣小组的,奇思喜欢航模”。 师:现在有了这些信息,你们能推理了吗?现在前后桌四个同学为一组,把你的想法与小组同学说一说。 每个小组拿出提卡1,现在每个小组派一名同学负责记录,一起把你们小组推理的过程记录在这张题卡1上。看看哪个小组的过程更有利于我们之间的交流,更能让大家简单明了。可以用写一写、连一连、画一画等方法。开始吧。 (5)小组代表开始记录小组的推理过程。 (6)全班交流 师:哪个小组愿意上来把你们的推理过程跟全班小朋友一起分享一

公开课简单的推理教学设计[]

二年级下册数学广角--简单的推理教学设计 教学内容:人教版数学二年级下册第109页的内容。 教学目标: 1、经历简单推理的过程,初步获得一些简单推理的经验。培养学生初步的观察、分析、推理能力。 2、进行简单地有条理地思考,能有条理地清晰地阐述自己的观点。 3、培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质;体会数学思想方法在生活中的用途,激发学生学好数学的信心。 教学重难点: 重点:经历简单推理的过程。 难点:推理依据的叙述。 教学过程: 一、创设情境,导入新课 师:老师知道孩子们最喜欢做游戏,上课之前我们先来做个游戏,好不好? 师:听老师口令,同学们做动作。 拍拍你的肩,不是左肩,那是哪个肩? 摸摸你的耳,不是右耳,那是哪只耳? 捂住你的眼,不是右眼,那是哪只眼? 伸伸你的手,不是左手,那是哪只手? 跺跺你的脚,不是左脚,那是哪只脚? 师:孩子们很聪明,刚才在游戏中我们顺利的做出正确的动作。谁来说一说你是怎么做对的? 生:不是......就是...... 师:这位孩子总结的非常好,当出现只有两种情况的时候,我们可以用不是......就是......的方法来判断。通过刚才的游戏,我们根据已知条件,推出结论的过程,在数学上称为推理。这种方法就是我们今天要学习的简单的推理。教师板书课题:数学广角——推理 (让生齐读课题) 二、合作探究,经历体验推理过程 孩子们,老师遇到了问题你们愿意帮帮老师吗? 1、故事导入动物比赛。 2、呈现例题。教师利用课件动态呈现例1。 (1)先出示例1的前半部分:有语文、数学、品德与生活三本书,下面三人各拿一本。师:请同学们猜一猜:小丽拿的是什么书?小刚拿的是什么书?猜的出来吗?生:猜不出来。 (2)再出示小红和小丽说的话,再出示问题。引导孩子梳理信息:“仔细读题,你知道了什么信息?要我们解决什么问题?” 3、自主,探究问题。 提问“到底他们三个人分别拿着什么书呢?” (1)请同学们独立思考,把解决这个问题的过程用自己喜欢的方式记录下来。 (2)把你的想法和同桌同学交流一下,说说你是怎样想的。 (3)汇报时教师要注意引导学生说自己是怎么想的。 4、合作,交流提升。 5、交流后,孩子们有的阅读思考后用语言描述直接得出结论,有的用连线的方法,有的用列表法。强化,推理过程小红拿的是()书。小丽拿的不是()书,就是()书。

高二数学推理与证明知识点与习题

推理与证明 ★知识网络★ 间接证明 一、推理 1. 推理:前提、结论 2. 合情推理: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理 (2 )类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出 另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3. 演绎推理: 从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理, 简言之,演绎推理是 由一般到特殊的推理。 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、 观察:.7 .15 2 .11 ; 5.5 16.5 2 .11 ; ,3 .3 19 . 3 2.11 ;-.对 于任意正实数a,b ,试写出使 需 Vb 2闪 成立的一个条件可以是 ________________ . 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22,故a b 22 2、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师, 单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 I 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以 f (n )表示第n 幅图的蜂巢总数.则 合情推理 推理与证明 演绎推理 直接证明 反证法 归纳

f (4) = ___ ; f (n) = __________ . 【解题思路】找出 f(n) f(n 1)的关系式 [解析]f(1) 1, f (2) 1 6, f(3) 1 6 12, f (4) 1 6 1 2 18 37 2 f (n) 1 6 12 18 6(n 1) 3n 3n 1 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 是 ______ . 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法,即 S 1 1 等体积法,V Sh 4 Sr r 3 3 【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2 )类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类 比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等 二、直接证明与间接证明 三种证明方法: 综合法、分析法、反证法 反证法:它是一种间接的证明方法 ?用这种方法证明一个命题的一般步骤: (1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立 重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证 明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1综合法 在锐角三角形 ABC 中,求证:si nA sinB si nC cosA cosB cosC [解析]ABC 为锐角三角形, A B A B , 2 2 y sinx 在(0,—)上是增函数, si nA sin( B) cosB 2 2 同理可得 sinB cosC , sinC cosA cosB cosC sin A sinB sinC cosA 考点2 分析法 1 -,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论 3 1 1 1 -ah 3 -ar r - h ,类比问题的解法应为 2 2 3 1 1 -h 即正四面体的内切球的半径是高 一 4 4

北师大版数学三年级下册《有趣的推理》教案

《有趣的推理》 教学目标: 1.经历对生活中某些现象进行判断、推理的过程。 2.能借助列表整理信息,并对生活中某些现象按一定方法进行推理。 3.能有条理地表达自己思考的过程,与同伴进行交流。 教学重点: 经历对生活中某些现象进行判断、推理的过程,按照一定方法进行推理。 教学难点: 对信息进行归类、整理,用表格的形式处理信息。 教学过程: 一、激趣导入 师:猜猜他们谁是哥哥,谁是弟弟? 二、探究活动 活动一:兴趣小组 出示情境图,学校有足球、航模和电脑兴趣小组。淘气、笑笑和奇思根据自己的爱好分别参加了其中一组。他们三人都不在一个组。

他们分别在哪个兴趣小组? 1.讨论交流: 生1:笑笑不喜欢踢足球,她可能是电脑小组的。 生2:淘气不是电脑小组,他可能是足球、航模小组的。 生3:信息太多了,怎样整理一下呢? 2.小组合作 (1)画一个表来帮忙,把知道的信息记录下来。 (2)在兴趣小组的画“√”不在的画“×”。 3.汇报交流 活动二:飞机模型 航模小组有6个飞机模型:淘气号、奇思号、妙想号、笑笑号、乐乐号和教练号,放在柜子里。请你根据下面的信息,找到它们的位置。

1.小组交流 (1)淘气号在哪个位置? (2)妙想号在哪个位置? (3)还有哪些模型没有确定位置? 2.汇报交流 生1:淘气号放在柜子的左侧,它可能在①②③的位置。 生2:淘气号在乐乐号的上面,它可能在①②的位置。 生3:教练号在最上面一排左侧,应该在①的位置。 生4:淘气号应该在②的位置,乐乐号应该在③的位置。 生5:妙想号不在最上面,也不在最下面,应该在⑤号位置。 生6:奇思号不在教练号旁边,应该在⑥号位置。那么笑笑号在④号位置。 师:飞机模型都有了自己的位置。

《简单的推理》公开课教学设计

《简单的推理》教学设计 教学目标: 1、通过形式多样的猜测活动,使学生感受到简单推理的过程,初步获得一些简单推理的经验。 2、在活动中,培养学生的观察能力和推理能力。 3、培养学生初步的有顺序、全面地思考问题能力。 4、要求学生把话说完整,培养学生的语言表达能力。 教学重难点: 重点:培养学生的观察能力和推理能力。 难点:培养学生有顺序、全面地思考问题的能力。 一、创设情境,激发兴趣。 今天来了这么多的老师来听课,你们想认识他们吗?想了解他们的什么呢?她姓什么呢?请你猜一猜?(指名猜,说说想法)师:那如果让你继续猜下去,是不是会有很多的可能性?那老师告诉大家一条线索。老师可能姓张也可能是姓甘,现在你能确定老师的姓了吗? 怎么还有两种意见呀?要怎么办就可以确定了?老师告诉你一个条件:她不是姓张。现在能猜对了吗?为什么? 多请几个同学说一说,不是……就是……(板书),并引导学生说一说。 师:小朋友们说得真棒,能够根据老师给你的一条条线索从刚开始乱猜到一步步推出正确的结论。今天我们就来学习像这样的简单推

理(板题并生齐读)。说到推理可不得不提到一位推理高手,知道他是谁吗?(他就是名侦探柯南)出示图片。问:小朋友,你们喜欢柯南吗?谁来介绍一下柯南? 师:“对呀,柯南是一个非常聪明的人,是一个破案高手,他在破案当中经常用到推理。你们想成为像柯南那样的名侦探吗?那可得向柯南学习,从小练好这几个本领,用眼睛认真观察,用大脑积极思考,用嘴巴大胆表达。想不想跟柯南一样根据线索来体验简单推理呢?那进入柯南侦探营吧! 二、展开探究 1、探究两个条件的推理 首先我们进入柯南的入门训练。 课件出示例2:这两个小朋友身后藏着什么?猜猜看。好猜吗?为什么猜不准? 师:要想准确的猜出来,要怎么办? 课件展示小精灵的提示:他们分别拿着语文书和数学书。 师问:分别是什么意思?那现在可以确定他们分别拿什么书吗? 老师再给你一条线索。齐读线索:我拿的不是数学书。 师:从这个线索中你得到了哪些信息? 生1:小女孩拿的是语文书; 生2:小男孩拿的是数学书。 师:你能根据小女孩说的话,在他们分别拿着语文书和数学书的前提下,用上一句完整的话来说说他们分别拿什么书吗?

推理与证明的数学知识点总结

推理与证明的数学知识点总结 由一个或几个已知的判断前提,推导出一个未知的结论的思维过程。推理是形式逻辑。以下是有关推理与证明的数学知识点相关汇总,欢迎大家阅读! 一、公理、定理、推论、逆定理: 1.公认的真命题叫做公理。 2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实,经过证明的真命题称为定理。 3.由一 个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论。4.如果一个定理的逆命题是 真命题,那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。 二、类比推理: 一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成,这此要求可以看作是 数学试题的属性。如果两道数学题是在一系列属性上相似,或一道是由另一道题来的,这时,就可以运用类比推理的方法,推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似 的属性。 三、证明: 1.对某个命题进行推理的过程称为证明,证明的过程包括已知、求证、证明 2.证明的一般步骤: 1审清题意,明确条件和结论; 2根据题意,画出图形; 3根据条件、结论,结合图形,写出已知求证; 4对条件与结论进行分析; 5根据分析,写出证明过程 3.证明常用的方法:综合法、分析法和反证法。 四、辅助线在证明中的应用: 在几何题的证明中,有时了为证明需要,在原题的图形上添加一些线度,这些线段叫 做辅助线,常用虚线表示。并在证明的开始,写出添加过程,在证明中添加的辅助线可作 为已知条件参与证明。

常见考法 1灵活运用基础知识进行推理,运用综合法、分析法,从条件和结论两方面出发进行 证明;2在中考中,考查类比推理,先设计一个条件、结论明确的问题,以此作为类比对象,然后再对其改造。比如,图形的变式,添加某些新的属性或改变某些属性,通过与原有 问题的比较,推测新问题的结论与解决方法。 误区提醒 1不能准确把握几何公理、定理的内容; 2数学语言、符号语言、文字语言在相互转化中出现表述错误。 感谢您的阅读,祝您生活愉快。

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