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2017版新步步高高考数学(浙江文理通用)

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p?q，但q p，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

(4)如果q?p，且p q，则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p q，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件．【知识拓展】

1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A?B，则p是q的充分条件；

(2)若A?B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；

(5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A

B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( × )

(2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π

4，则tan α≠1”．( × )

(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )

(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ ) (6)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )

1．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x y ，则x 2>y 2”

D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”

答案 B

解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．

2．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B

解析向量a ，b 共线?x －x (x ＋2)＝0?x ＝0或x ＝－1， ∴命题p 为真，其逆命题为假，

故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2. 3．(2015·重庆)“x ＞1”是“12

log (2)0x ＋＜”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 x ＞1?x ＋2＞3?12

log (2)0x ＋＜，12

log (2)0x ＋＜?x ＋2＞1?x ＞－1，故“x ＞1”是

“12

log (2)0x ＋＜”成立的充分不必要条件．因此选B.

4．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件答案 A

解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ?B . 但A ?B 时，a ＝2或3.所以A 正确． 5．(教材改编)下列命题：

①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要条件； ④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④

题型一命题及其关系

例1 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数

(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，假，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假 D ．假，假，假

答案 (1)C (2)B

解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定

表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． (2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝

a 2＋

b 2，

∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

(1)命题“若α＝π3，则cos α＝1

”的逆命题是( )

A ．若α＝π3，则cos α≠1

B ．若α≠π3，则cos α≠1

C ．若cos α＝12，则α＝π

D ．若cos α≠12，则α≠π

(2)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 答案 (1)C (2)D

解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π

”．

(2)“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.

题型二充分必要条件的判定

例2 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)已知A ，B ，C 为△ABC 三个内角，则“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“∠C ＝90°”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

答案 (1)B (2)B

解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．