三角函数前六节新课
必修4导学案（编号：1001 ）
§1.1.1 任意角
例1：在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）650o （2）-150o （3）-990o151
变式训练1：（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x 轴上呢？ （2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
例2:若α与240o角的终边相同
（1）写出终边与α的终边关于直线y=x 对称的角β的集合. （2）判断
2
α是第几象限角.
变式训练2：若α是第三象限角，则-α，
2
α
，2α分别是第几象限角.
例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.
变式训练3：
（1）第一象限角的范围____________.
（2）第二、四象限角的范围是 ______________. 当堂检测
1、下列说法中，正确的是（ ）
A ．第一象限的角是锐角
B ．锐角是第一象限的角
C ．小于90°的角是锐角
D ．0°到90°的角是第一象限的角 2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个.上面4个命题，其中真命题的个数是 （ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝
4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
5、若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是 .
双基达标 (限时10分钟)
1．下列角中，终边与330°角终边相同的是( )．
x y 45O x y O
210
120
A．－630°B．－1 830°C．30°D．990°
2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边()．
A．在x轴的正半轴上B．在x轴的负半轴上
C．在y轴的负半轴上D．在y轴的正半轴上
3．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是()．
A．第一象限角B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角
4．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
5．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是________．
6．已知α＝－1 910°.
(1)把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；
(2)求出θ的值，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
综合提高(限时20分钟)
7．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α、β终边的位置关系是()．A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称8．(2012·孝感高一检测)给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()．A．1个B．2个C．3个D．4个
9．在－720°到720°之间与－1 000°角终边相同的角是________．
10．与－1 050°角终边相同的最小正角是________．
11．如图所示，写出终边落在图中阴影部分
(包括边界)的角的集合，并指出－950°是否是
该集合中的角．
12．(创新拓展)已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α 必修4导学案（编号：1002 ） §1.1.2 弧度制 例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法） （1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合 __ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积 变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . 当堂检测： 1、把411π - 表示成)(2z k k ∈+πθ的形式，使||θ最小的θ为（ ） A 、43π- B 、4π C 、43π D 、4 π- 2、角α的终边落在区间（－3π,－5 2 π）内,则角α所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知扇形的周长是cm 6，面积为2 2cm ，则扇形弧度数是（ ） A 、1 B 、4 C 、1或4 D 、2或4 4、将下列各角的弧度数化为角度数： （1）=-67π 度；（2）=-38π______度；（3）1．4 = 度；（4）=3 2 度. 5、若圆的半径是cm 6，则 15的圆心角所对的弧长是 ；所对扇形的面积是__ 双基达标 (限时20分钟) 1．若α＝－3，则角α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．将1 920°转化为弧度数为( )． A.163 B.323 C.16π3 D.32π3 3．把－11 4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )． 角度制 0o 45o 60o 90o 150o 180 o 315o 弧度制 6π 32π 4 5π 23π π 2 A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4 4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________． 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.(注意集合B 的范围-4 (1)9； (2)－4； (3)－1 999π 5. 综合提高 (限时20分钟) 7．(2012·海淀高一检测)若α是第四象限角，则π－α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 8．已知半径为1的扇形面积为3 8π，则扇形的圆心角为( )． A.316π B.38π C.34π D.32π 9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________． 10．若α＝k π＋π 4，k ∈Z ，则α是第________象限角． 11．用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 12．(创新拓展)如图，已知一长为 3 dm ，宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积． 必修4导学案（编号：1003 ） §1.2.1 任意角三角函数（1） 例1：已知角α的终边经过点P （2，-3），求αααtan cos sin 2++ 变式训练⑴：已知角α的终边经过点P （2a ，-3a ） (a ≠0),求αααtan cos sin 2++的值. 变式训练⑵：角α的终边经过点P （-x ，-6）且135cos -=α，求x 的值. 例2:确定下列三角函数值的符号 （1）cos 12 7π (2)sin(-465o) (3)tan 311π 变式训练⑴：若cos α>0且tan α<0，试问角α为第几象限角 变式训练⑵：使sin αcos α<0成立的角α的集合为（ ） A. ? ?????∈+<<+Z k k k ,2ππαππα B. ??????∈+<<+Z k k k ,222ππαππα C. ? ?????∈+<<+ Z k k k ,22232ππαππα D. ??????∈+<<+Z k k k ,23222ππαππα 当堂检测 1、若角α终边上有一点)0|)(|,(≠∈a R a a a P 且，则αsin 的值为 （ ） A 、 22 B 、－22 C 、±22 D 、以上都不对 2、下列各式中不成立的一个是 （ ） A 、0260cos < B 、0)1032tan(>- C 、 056sin >??? ??-π D 、03 17tan >π 3、已知α终边经过)12,5(-P ，则=αsin . 4、若α是第二象限角，则点)cos ,(sin ααA 是第 几 象限的点. 5、已知角θ的终边在直线y = 3 3 x 上，则sin θ= ；θtan = ． 双基达标 (限时10分钟) 1．计算sin (－1 380°)的值为( )． A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )． A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α |cos α|＝( )． A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 4．计算5sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝________. 5．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________． 6．已知角α终边上一点P (－3，y )(y >0)，且sin α＝3 4 y ，求cos α和tan α的值． 综合提高 (限时20分钟) 7．已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是第________象限角( )． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 8．已知角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－3 5，则b 的值为( )． 9．已知角α的终边经过点P (3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则α的取值范围是________． 10．下列函数值：①sin 4，②cos 5，③tan 8，其中函数值为正的是________． 11．求下列各式的值． (1)cos ? ???? －233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°. 12．(创新拓展)已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α， tan α的值． 必修4导学案（编号：1004 ） §1.2.1 任意角三角函数（2） 例1：作出下列各角的三角函数线 （1）6 11π （2）32π- 例2:比较下列各组数的大小 (1)sin1和sin 3π (2)cos 7 4π和cos 7 5π (3)tan 89π和tan 79π (4)sin 5π和tan 5π 变式训练①：若α是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较αααtan ,sin ,之间的大小关系。 例3：利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合 （1）21sin - =α， （2）2 1 sin ->α ，(3) 3tan ≤α 。 变式训练①：已知角α的正弦线和余弦线分别是方向一正一反,长度相等的有向线段,则α的终边在 （ ） A 第一象限角平分线上 B 第二象限角平分线上 C 第三象限角平分线上 D 第四象限角平分线上 变式训练②：当角α,β满足什么条件时有βαsin sin =. 变式训练③：sin α>cos α,则α的取值范围是_________。 变式训练④：已知集合E={θ|cos θ 当堂检测： 1、若π4 <θ < π 2 ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ C ． tan θ>sin θ>cos θ D ．sin θ>tan θ>cos θ 2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．7π4 D ．3π4 或 7π4 3、若0<α<2π，且sin α< 2 3 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ） A ．（－π３ ，π３ ） B ．（0，π３ ） C ．（5π３ ，2π） D ．（0，π３ ）∪（5π ３ ，2π） 4、依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π5 >sin 4π 5 ． 其中判断正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 双基达标 (限时10分钟) 1．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )． A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 2．如果MP 、OM 分别是角α＝3π 16的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是 A ．MP 3．(2012·深圳高一检测)有三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π 3的正切线 相等；③π4与5π 4的余弦线相等．其中真命题的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 4．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________． 5．比较大小：sin 1________sin π 3(填“>”或“<”)． 6．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围． 综合提高 (限时20分钟) 7．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )． A ．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B ．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条 C ．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D ．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在 8．(2012·杭州外国语学校高一检测)设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π 7，则( )． A ．a 9．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 10．若α为锐角，则sin α＋cos α与1的大小关系是________． 必修4导学案（编号：1005 ） §1.2.2 同角三角函数关系 1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，求出其余两个值（知一求二）。 例1：已知5 4 sin =α，且α是第二象限角，求ααtan ,cos 变式训练：已知21tan -=α，求α ααα22cos 2cos sin sin 1--的值. 2.化简三角函数式 例2: 化简（1）1sin 1 tan 2 -α α，其中α是第二象限角 （2）ααcos 1cos 1+-+ααcos 1cos 1-+ ，其中α是第四象限角（3）? --?? ?-170cos 110cos 10cos 10sin 212 3.证明简单的三角恒等式 例3：求证：α α ααsin cos 1cos 1sin -=+ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1、已知0cos 3sin =+αα，则α所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第一、三象限 D 、第二、四象限 2、ααcos sin 21?+的值为 （ ） A 、ααcos sin + B 、ααcos sin - C 、ααsin cos - D 、|ααcos sin +| 3、若θθcos ,sin 是方程0242 =++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+ B ．51- C ．51± D ．51-- 4、⑴已知0cos 2sin =-αα，则 =α αcos sin 1 。 ⑵=-?-αααα2 2cos 5cos sin 3sin 4 。 5、已知α是第三象限角，化简 =+---+α α ααsin 1sin 1sin 1sin 1 。 双基达标 (限时10分钟) 1．化简 1－sin 2π 5的结果是( )． A ．sin π5 B ．－sin π5 C ．cos π5 D ．－cos π 5 2．(2012·黄冈高一检测)已知 sin θ＋cos θ sin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是( )． A.34 B ．±310 C.310 D ．－ 310 3．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( )． A.73 B.75 C.54 D.53 4．化简? ????1 sin α＋1tan α(1－cos α)＝________. 5．已知sin α＋2cos α cos α ＝1，则α在第________象限． 6．已知tan α＝2，计算：(1)2sin α－cos α sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α. 综合提高 (限时20分钟) 7．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )． A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2α C ．sin α＝－1－cos 2α D ．tan α＝cos α sin α 8．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 ，则m 的值为( )． A ．0 B ．8 C ．0或8 D ．3 10．化简sin α1＋sin α－sin α 1－sin α 的结果为________． 11．(2012·重庆高一检测)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值； (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ 的值(其中cot θ＝1tan θ )； (3)方程的两根及此时θ的值． 必修4导学案（编号：1006 ） §1.3.1 诱导公式 例1：求值（1）67sin π; （2）4 11cos π; （3）tan(-1560o) 变式训练： 求值（1）)1200sin( -;（2） 945tan ; （3）π6 47 cos 例2：已知3 36cos = ??? ??+απ,求??? ??-απ65cos 的值. 变式训练：已知3 36cos = ??? ??-απ,求??? ??--??? ??+6sin 65cos 2πααπ的值。 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1、)420tan()60sin(240tan 225cos -+-++的值是 （ ） A 、2322-- B 、2322+- C 、6322-- D 、6 3 22+- 2、已知 149tan 239sin ,31cos 则a == （ ） A 、a a 21- B 、2 1a - C 、a a a -2 D 、21a -- 3、)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ） （ ） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 4、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____． 5、化简：) (cos )5sin()4sin() 3(sin )(cos )4cos(2 22πθθππθπθπθπθ--+-+++＝ 1．计算sin ? ?? ?? －π3的值为( )． A ．－12 B.12 C.32 D ．－32 2．计算sin 2(π－α)－cos (π＋α)cos (－α)＋1的值是( )． A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2α 3．如果角α、β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )． ①sin α＝sin β； ②sin α＝－sin β；③cos α＝cos β； ④cos α＝－cos β. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．化简sin (－α)cos (π＋α)tan (2π＋α)＝________. 5．若sin (π＋α)＝－1 2，则cos α＝________. 6．已知cos ? ????π6－α＝33，求cos ? ????56π＋α－sin 2? ?? ??α－π6的值． 综合提高 (限时20分钟) 7．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是( )． A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan β D ．cos (2π－α)＝cos β 8．计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是( )． A.14 B.34 C.114 D.9 4 9．若tan(5π＋α)＝m ，则 sin (α－3π)＋cos (π－α) sin (－α)－cos (π＋α) 的值为________． 10．已知cos ? ????π6＋θ＝33，则cos ? ?? ?? 5π6－θ＝________. 11．(2012·连云港高一检测)已知sin (α＋π)＝4 5，且sin αcos α<0，求 2sin (α－π)＋3tan (3π－α) 4cos (α－3π) 的值． 锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 4 3，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323 C ．10 D ．12 2、已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A 等于（ ） A ．30°B ．45° C ．60° D ．75° 4、化简2)130(tan - ＝（ ）。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足02 2=--b ab a ，则tanA 等于（ ） A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是（ ）A ．1 4 B ． 13 C ．1 2 D ．2 (1) (2) (3) 7、如图2所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P?是AB?延长线上一点，?BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ） A ． 32 B ．23 C ．2 D ．1 2 8、如图3，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ） A ．（30+20）m 和36tan30°m B ．（36sin30°+20）m 和36cos30°m C ．36sin80°m 和36cos30°m D ．（36sin80°+20）m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向 走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中，若│sinA-1│+（3 -cosB ）=0，则∠C=_______ 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ， 锐角三角函数 单元测试 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1． 60cos 的值等于（ ） A ． 2 1 B ．22 C ． 2 3 D ．1 2.在Rt △ABC 中， ∠C=90?，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（ ） A ．154 B ．1 4 C ．15 D ．４ 3．已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于( ) Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 4．已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ） A ．sin 40m B ．cos 40m C ．tan 40m D ． tan 40 m 5.在Rt ABC △中，90C ∠=，5BC =，15AC =，则A ∠=（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30 6.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ） A ．250m. B ． 250.3 m. C ．500.33 m. D ．3250 m. 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ． 24 7 B ． 73 C ． 724 D ． 13 8．因为1 s i n 302= ，1sin 2102 =-，所以s i n 210s i n (18030)s i n =+=-； 因为2s i n 452 = ，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240= （ ） 6 8 C E A B D （第7题） 第6题 锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B ．53 C ．255 D ．52 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，23），求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 1． 已知cosA=2 3，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________． 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 初中数学锐角三角函数的基础测试题附答案 一、选择题 1．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27?（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ） （参考数据sin 270.45?≈，cos270.89?≈，tan 270.51?≈） A ．65.8米 B ．71.8米 C ．73.8米 D ．119.8米 【答案】B 【解析】 【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论． 【详解】 解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ， ∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米， ∴设DG x =，则 2.4 CG x =． 在Rt CDG ?中， ∵222DG CG DC +=，即222 (2.4)52x x +=，解得20x =， ∴20DG =米，48CG =米， ∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米． ∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥， ∴四边形EGBM 是矩形， ∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米． 在Rt AEM ?中， ∵27AEM ?∠=， ∴?tan 271000.5151AM EM ?=≈?=米， ∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米． 故选B ． 第四章《锐角三角函数》单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是 （） A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1 2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（） A．B．C．D． 3．已知sinα?cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（） A．B．﹣C．D．± 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（） A．B．C．D． 6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（） A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA 8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（） A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90° 9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（） A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60° 10．下面四个数中，最大的是（ ） A ． B ．sin88° C ．tan46° D ． 二．填空题（共8小题） 11．用“＞”或“＜”号填空： 0． 12．已知∠A 为锐角，且，那么∠A 的范围是 ． 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ． 14．如上图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值 是 ． 15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B 到A 行走了26米时，小杰实际上升高度 AC= 米．（可以用根号表示） 16．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB=，EC=2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值 是 ． 17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm ，∠CBD=40°，则点B 到CD 的距离为 cm （参考数据 sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm ，可用科学计算器）． 18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A 看地面上的一点B ，俯角 为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ，那么楼的高度AC 为 m （结果保留根号）． 三．解答题（共8小题） 19．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ， 求证：=． 第16题 第17题 如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人：王震宇 张洪林 一、选择题（30分） 1、如果∠A 是锐角，且A cos A sin =，那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α，那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A 的正切值（ ） A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，则sin A 的值等于（ ） A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角，下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α，那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α，那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中，∠C =90°，53 sin = A ，则BC ∶AC 等于（ ） A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5： 9、 如果α是锐角，且5 4 sin = α，那么)90cos(α-?=（ ） A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC =3，BD =6，CD =11，则tan α的值为（ ） 第七章《锐角三角函数》单元测试 班级：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿学号：＿＿＿得分：＿＿＿ 一、选择题：(3分×10) 1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( ) A ．都缩小 3 1 B ．都不变 C ．都扩大3倍 D ．无法确定 2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于 （ ） A ．6 B ．32 3 C ．10 D ．12 3．如图，在正方形网格中,直线AB ．CD 相交所成的锐角为α，则sinα的值是（ ） A. 34 B. 43 C. 35 D. 45 & 4.如图,已知⊙O 的半径为与⊙O 相切于点A,OB 与⊙O 交于点C,CD ⊥OA,垂足为D, 则cos ∠AOB 的值等于 （ ） 5.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，BC=1，则BB ’的长为（ ） A ．4 B ．33 C ．332 D ．3 34 : 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 6．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 O D C A B C 。 D F E D C B A （ ） A. αsin 1 B.α cos 1 C.αsin 7.如图，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC 的长为 （ ） A. ?526sin 米 B. ?526tan 米 C. 6·cos52°米 D. ? 526 cos 米 [ 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点 B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是 （ ） A ．247 B 7 C ． 724 D ．13 第7题图 第8题图 - 二、填空题：（3分×8） 9. 在Rt △ABC 中，∠ACB=900，sinB=2 7 则cosB= . 10.若321θ=，则θ= , 11．在△ABC 中，若23 |tan 1|( cos )0A B -+=，则∠C 的度数为 ． 12．如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC ＝8，则tanB= ． 13.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________cos50°。 14．在坡度为1:2的斜坡上，某人前进了100米，则他所在的位置比原来升高了 米． 15.如图，王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地_________． — 16．如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE=DF=1 4BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan ∠ABE=_________． A B C ┐ A C 6 | C E A B D 人教版 九下数学《锐角三角函数》单元测试卷及答案【3】 一、填空题：（30分） 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 3、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 4、cos 2(50°＋α)＋co s 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 5、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 6、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 8、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题：（30分） 11、sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ x O A y B 新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3 tan 4 B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则 AE AD 的值（ ） A ． 35 B ． 34 C ． 45 D ． 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝ 3 7 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝ 12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：1 2 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4 B =， ∴A C ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝ 3 7 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝ 1 2 AB ， ∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ． 1000 tan α 米 D ． 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=， ∴1000 tan tan AC AB αα = =米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )锐角三角函数单元测试题
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