)],(),([*),(,,)
(1,111,1)
(,11,1,,11,11,1n k k n k s P p K k s P p n n p s V opt
p s V opt
p s V k n k n k k k ∈--∈+
=
--
其中s k 是由s 1,p 1,k-1和状态转移方程s k =T k-1(s k-1,u k-1)所确定的第k 阶段的状态.
推论 { f k (s k )},{u k (s k )}分别是最优值函数序列和最优决策序列的充分必要条件是它们满足下列递推方程: )](),([)(11)
(++∈+=
k k k k k s D u k k s f u s v opt
s f k k k k=n ,n-1,…2,1
这就是D P 的基本方程.
注意:f n+1(S n+1) 是决策过程的终端条件(边界条件),当s n+1,只取固定的状态时称为固定终端,当s n+1可在终端集合S n+1中变动时称自由终端.
三、 动态规划的基本思想和基本方程
从上面的计算过程中可以看出,在求解的各个阶段利用了k 阶段与k+1阶段的递推关系: {}
??
???=+=
+∈(边界条件)0
)())(())(,()(551)
(min s f s u f s u s
C s f k k k k k k
s D u k k k k k k=4,3,2,1
总结得动态规划方法的基本思想:
1、 动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推关系式和恰当的边界条件(即基本方程),要做到这一点,必须先将问题的过程分成n 个相互联系的阶段,恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数,从而把一个大问题化成一族同类型的子问题,然后逐个求解,即从边界条件开始,逐段递推寻优,在每一个子问题的求解中,均利用了它前面的子问题的最优化结果,依次进行,最后一个子问题所得的最优解,就是整个问题的最优解.
2、 在多阶段决策过程中,动态规划方法是既把当前一段和未来各段分开,又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法,因此,每段决策的选取是从全局考虑的,与该段的最优选择答案一般是不同的.
3、 在求整个问题的最优策略时,由于初始状态是已知的,而每段的决策都是该段状态的函数,故最优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到,从而确定了最优路线.
对第一类指标函数其基本方程为:
{}
???
????==+=+++++∈)
,(0)()(),()(11111)
(k k k k n n k k k k s D u k k u s T s s f s f u s v opt
s f k k k
对第二类指标函数其基本方程为
{}
???
????==?=+++++∈)
,(1)()(),()(11111)
(k k k k n n k k k k s D u k k u s T s s f s f u s v opt
s f k k k
其求解过程是运用上述基本方程和边界条件,从k=n 开始,由后向前逆推,从而逐步求得各阶段的最优决策和相应的最优值,最后求出f 1(s 1)就是全过程的最优值,将s 1的值代入计算即得,然后再由s 1和u 1*,利用状态转移方程计算出s 2,从而确定u 2*…,依次类推,最后确定u n *,于是得到最优策略p 1,n *={ u 1*,u 2*…u n *}.
由于寻优过程与阶段进展的次序相反,所以前面的求解方法称为逆序解法(back-ward ),而后面部分称之为“回代”或“反向追踪”.D P 的计算过程由递推和回代两部分组成,当决策过程可逆时,寻优过程也可以与阶段进展的次序相同,即顺序解法(forward ),如例8.1,可以用顺序解法进行计算,结果如下:(同时得到A 到各州的最短路)
1 2 3 4
图8-2 旅行线路图
这时对第一类指标函数,我们有:
{}???
????===+
=
+-+∈++)
,(0
)(,2,1)(),()(11011)
(11k k k k k k k k k s D u k k u s T s s f n
k s f u s v opt
s f k k k
其中,f k-1(s k ) 表示第k 阶段初状态为s k ,从第1到第(k-1)阶段采取的是最优子策略时的前(k-1)个阶段的最优指标函数值,f n (s n+1) 即为所求.
注意:当初始状态给定时,用逆序的方式比较好,当终止状态给定时,用顺序的方式比
较好,通常初始状态给定的情况居多,所以用逆序的方式比较多.
在离散型情况下,以下(1)用逆序解法,(2)用顺序解法. (1)
图
8-3 逆序解法示意图
(2)
图8-4 顺序解法示意图
§3
应用举例
动态规划的类型有以下几种:
1、确定型多阶段问题(状态转移是完全确定的)
2、随机型多阶段决策问题,决策变量确定后,状态转移按某概率分布转移
3、离散型、 连续型多阶段决策问题,D k (s k )是离散的、连续的.
建立一个确定性多阶段决策过程的动态规划模型包括以下几个步骤: (1)、将问题的过程划分成恰当的阶段;
(2)、正确选择状态变量s k ,使它既能描述过程的状态,又满足无后效性,同时确定允许状态集合S k ;
(3)、确定决策变量u k 及每个阶段的允许决策集合D k (s k ); (4)、正确写出状态转移方程;
(5)、确定阶段指标v k-1(s k ,u k )及指标函数V k ,n 的形式,满足可分离性;
…
…
(6)、写出基本方程,即最优值函数满足的递推方程以及边界条件. 一、资源分配问题
所谓资源分配问题,就是将数量一定的一种(一维)或若干种(多维)资源,恰当地分配给若干个使用者,而使总效益最佳.
设有某种资源,总数量为a ,用于生产n 种产品,若分配数量x i 用于生产第i 种产品,其收益为g i (x i ),问应如何分配,才能使生产n 种产品的总收入最大?
一般这类问题可构建静态规划模型:
max Z= g 1(x 1)+g 2(x 2)+…+g n (x n )
s.t. x 1+x 2+…+x n =a x j ≥0,j=1,2,…n
但是,1○. 当离散问题时,g i (x i ) 较难表达,通常只能用分段函数.
2○. 当n 较大时,计算较麻烦,而由于它的特殊结构,可看成一个多阶段决策问题,
并用动态规划方法求解.
用动态规划解这类问题时,通常将资源分配给若干个使用者的过程作为一个阶段,将规划问题中的变量取为决策变量,将累计的量或随递推过程变化的量选为状态变量.
设状态变量s k 表示分配用于生产第k 中产品至第n 种产品的资源数量.决策变量u k 表示分配给生产第k 种产品的资源数量,即u k =x k .
状态转移方程: k k k k k x s u s s -=-=+1 允许决策集合: }|{)(k k k k k k s x u u s D ∈==
可令:最优值函数f k (s k )表示以数量为s k 的资源分配给第k 种产品至第n 种产品所得到的最大总收入,递推方程为:
{}??
???=--=-+=≤≤+≤≤)
(max )(1,2,2,1)()(max )(010n n s u n n k k k k k s u k k u g s f n n k u s f u g s f n n k
k 或:
?
?=-=-+=+++≤≤0
)(1
,2,1,)}()({max )(1110n n k k k k k s u k k s f n n k u s f u g s f k
k 例8.3 某厂为扩大生产能力,拟订购某种成套设备4套—6套,以分配给所辖1,2,3三个分厂使用,预计各分厂分得不同套数的设备后,每年创造的利润(万元)如表8-1所示,该厂应订购几套设备并如何分配才能使每年预计创利润总额最大?
解:1○. 建立动态规划模型:
将问题按工厂分为三个阶段,以k=1,2,3表示给三个分厂分配的顺序,设s k 表示在给k 分厂分配时尚未分配出去的设备套数,u k 表示分给k 分厂的套数,g k (u k ) 表示给k 分厂分配u k 套设备后的预计创利额,f k (s k )表示为s k 台设备分配给第k 分厂至第3分厂时所得到的最大盈利值.
允许决策集合: }0|{)(k k k k k s u u s D ≤≤= 状态转移方程: k k k u s s -=+1 基本方程:?
?
?==+=++≤≤0
)(1
,2,3)}()({max )(44110s f k s f u g s f k k k k s u k k k
k
2○
. 用逆序递推法逐段求解:
k=3 此时已给1,2分厂分配完毕,现需给3分厂进行分配,而目前所剩设备套数为S 3={0,1,2,3,4,5,6},分配结果如表8-2所示.
表8-2 第三阶段计算表
表8-3 第二阶段计算表 k=2 此时已给1分厂分配完毕,还剩s 2套设备分给2,3分厂, 现给2分厂分配u 2套设备,s 3=s 2-u 2.分配结果如表8-3所示.
k=1 此时三个分厂均未被分配设备,现要给1分厂分配u 1套设备,由于该厂拟订购4~6套设备,故S 1={4,5,6}.分配结果如表8-4所示.
3○. 顺序递推(回代)得出结论:
按k=1,2,3的顺序,依次查看各表的s k 列与u k *列,并按s k+1=s k - u k *的转移规律,将最优决策衔接为最优策略.
由于表8-4中s 1=6时,f 1(s 1) =18,其值最大,故s 1=6,依次查看k=1,2,3时的表,可知,最优策略为p 1,3(s 1=6)={1,2,3}或{2,1,3},即该厂应订购6套设备,可分给1,2,3厂以1,2,3套或2,1,3套,这样预计每年创利最大为18万元.
注意该问题也可用顺序解法.
阶段编号同逆序解法,设s k 表示给前(k-1)个厂已分配的设备套数,k 阶段决策变量为u k ,允许决策集合D k (s k+1)同前,S 4={4,5,6}, s k = s k+1-u k ,
基本方程为:?
?
?==+=
-∈++0
)(3,2,1)}()({max
)(101)
(11s f k s f u g s f k k k k s D u k k k k k
表8-5 第一阶段计算表
表8-7 第三阶段计算表
∴ s 4=6时,即购6套设备,f 3(6) =18为最大值,反向追踪可知最优策略为p 1,3(s 3=6)={1,2,3}或{2,1,3}.
这是一个决策变量取离散值的一类分配问题,这种只将资源合理分配而不考虑回收的问题,称为资源平行分配问题,还有一种是需要考虑资源回收利用的问题.
二、资源连续分配问题
例8.4 某有限股份公司现有400万元款项,计划在四年内使用,现在要拟定一个最优使用方案.已知这个公司在一年内使用u 万元资金将获得u 1/2
万元的效益,又知道公司没有
使用的现款可用10%的年利率用于它部门投资,为使公司获得的效益之和为最大,问这四年
的资金应如何安排使用?
解:按年份分为四个阶段,状态变量s k 表示第k 年年初公司拥有的款项,(由于效益是由公司自己使用的资金产生的)决策变量u k (s k )表示第k 年公司自己使用的资金,允许决策集合D k (s k )=[0,s k ],显然u 4(s 4)= s 4.
状态转移方程为:s k+1=(s k -u k )(1+10%) k=1,2,3,f k (s k )表示第k 年年初公司有资金s k ,从第k 年至第4年末的效益和最大值,f 1(s 1)= f 1(400)即为所求,则
444444)()(s u u f s f =
=
=
基本方程: ??
???==+=++≤≤444110)(1,2,3)}({max )(s s f k s f u s f k k k s u k k k
k
求解递归方程(上机计算,需离散化).
k=3 {
}
{
}
%)101)((max
)()(max )(333044330333
33
3+-+
=+=≤≤≤≤u s u s f s u s f s u s u
由一元函数导数 0')%)101)(((3333=+-+
u u s u
得: %
10233+=
s u 则:333%)102()(s s f +=
由状态转移方程
%)101)(%)(102()(2233+-+=
u s s f
k=2
}%)
101)(%)(102({max )}({max )(22203320222
22
2+-++
=+=≤≤≤≤u s u s f u s f s u s u 类似得:
2
2
2%)
101(%)101(1++++=
s u
则 22
22]%)101(%)101(1[)(s s f ++++=
由状态转移方程 %)101)((112+-=u s s 即 %)101)(400(12+-=u s 于是: %)101)(400](%)101(%)101(1[)(12
22+-++++=u s f
k=1
[]{}
%)101)(400
(%)101(%)101(1max
)400()(12
1
400
01111+-+++++
==≤≤u u
f s f u
由
[](
)
0'%)
101)(400
(%)101(%)101(11
12
1=+-+++++
n u u
得: 2.86]%)101(%)101(%)101(1[4001
3
2
1≈++++++=-u
1.43)400(1≈f
反推回去,可计算得:s 2≈345.2 u 2≈104.3 s 3≈265 u 3≈126.2 u 4=s 4≈152
三、 生产与存储问题
在生产和经营管理中,决策者经常要考虑合理地安排生产(或购买)与库存问题,达到既要满足社会的需要,又要尽量降低成本费用.设某公司对某种产品要制一项n 个时期的生产(或采购)计划,已知它的初始库存量为零(也可以是一个已知常数);每个时期生产(或采购)该产品的数量有上限m 的限制(或无限制);每个时期社会对该产品的需求量是已知的,公司保证供应(即不允许缺货);在第n 个时期末的终结库存量为零(也可以是一个已
知常数),显然,增大生产批量则降低成本,但增加了库存费用,若按市场需求生产,则不需要存储费用,但增加单件产品的成本费用.不同时期的产量,决定了该时期生产成本和库存费用,影响着下几个时期的产量和费用,因而,需正确制定生产的计划,确定各时期的产量,使在n 个时期内生产成本和库存费用之和最小—— 生产—存储问题.
例8.5 一个工厂生产某种产品,已知各月份的需求量以及生产该产品每件所需的工时数如表8-8所示.
表8-8 需求量及工时数 为了调节生产和需求,工厂设有一个产品仓库,设仓库容量限制为H = 9,
开始库存量为2,期终库存量为0,每个月生产的产品在月末入库,月初根据当月需求发货,要求制定一个半年的逐月生产计划,使得既满足需要和库容量的限制,又使生产这种产品的总耗费工时数为最少.(加上库存费用如何处理)
解:按月份划阶段,即k = 0~5,设状态变量s k 表示第k 月初部件的库存量,决策变量u k 表示第k 月部件的生产量,状态转移方程为(逆序关系): s k+1= s k +u k -d k k=5,4,3,2,1,0
则 d k ≤s k ≤H
故允许决策集合D k (s k )={ u k | u k ≥0,d k+1≤s k +u k -d k ≤H},最优值函数f k (s k ) 表示第k 阶段的库存量为s k 时,从第k 阶段至第5阶段所生产部件的最小累计工时数,逆序递推方程为:
{}
?
?
?=-++=+∈0
)()(min
)(661)
(s f d u s f u a s f k k k k k k s D u k k k K K
)
4(0,1,2,3,4,566===d s k
k=5 s 6= s 5+u 5-d 5 则 u 5=11-s 5 ∴ )11(10}{min )(55511555
5s u a s f s u -==-=
k=4 =
)(44s f )
(444min
S D u ∈{})(444544d u s f u a -++
=)
(444min
S D u ∈{20 u 4+110-10(s 4+u 4-2)}
=)
(444min
S D u ∈{10 u 4-10 s 4+130} (单调上升)
其中,D 4(s 4)由d 5≤s 4+u 4-d 4≤H 确定.故有9-s 4≤u 4≤11- s 4 ∵ u 4≥0,故有max{0,9-s 4}≤u 4≤11- s 4 又∵ s 4≤9, ∴ D 4(s 4)={ u 4 |9-s 4≤u 4≤11- s 4}
故得: f 4(s 4)=10(9-s 4)-10 s 4+130=220-20 s 4, u 4=9-s 4 k=3 =
)(33s f )
(333min
S D u ∈)}({333433d u s f u a -++
=)
(333min S D u ∈{17 u 3 +220-20 (s 3+u 3-3)}
=)
(333min
S D u ∈{-3 u 3 –20 s 3+280} (单调下降)
其中, D 3(s 3) 由 d 4≤s 3+u 3-d 3≤H 确定, 即 max{0,5-s 3}≤u 3≤12- s 3.
∴ f 3(s 3)= -3(12-s 3)-20 s 3+280=244-17s 3, u 3=12-s 3 k=2 =
)(22s f )
(222min
S D u ∈{})(222322d u s f u a -++
=)
(222min
S D u ∈{}32917422+--s u (单调下降)
其中, D 2(s 2) 由 d 3≤s 2+u 2-d 2≤H 确定, 即 max{0,8-s 3}≤u 2≤14- s 2
∴ f 2(s 2)=-4(14-s 2)-17 s 2+329=273-13s 2,u 2=14-s 2 k=1 =
)(11s f )
1(11min
s D u ∈{})(111211d u s f u a -++
=)
(111min
s D u ∈{}37713511+-s u (单调上升)
其中, D 1(s 1) 由 13- s 1≤u 1≤17- s 1 确定, ∴ f 1(s 1)=5(13-s 1)-13 s 1+377=442-18s 1,u 1=13-s 1 k=0 =
)(00s f )
(000min
s D u ∈{})(000100d u s f u a -++
=)
(000min
s D u ∈{}44218700
+--s u (单调下降)
其中, D 0(s 0) 由 8- s 0≤u 0≤9- s 0 确定, ∴ f 0(s 0)=379-11s 0,u 0=9-s 0 ∵ s 0=2 ∴ f 0=357 u 0=7 再回代,得表8-9
表8-9 各阶段最优决策表
四、产品试制问题
例8.6 某厂和公司订了试制某种新产品的合同,如果三个月生产不出一个合格品,则要罚款2000元,每次试制的个数不限,试制周期为一个月,制造一个产品的成本为100元,每一个试制品合格的概率为0.4,生产一次的装配费为200元,问如何安排试制,每次生产几个,才能使期望费用最小?
解:根据题意,最多能安排三次生产,把三次试制当作三个阶段,每次生产的个数作为决策变量u ,每次试制前是否已有合格品作为状态变量s k ,有合格品时,记s k =0,无合格品时记s k =1,f k (s k )为第k 次试制前的状态为s k 时,以后均采取最优策略时的最低期望成本.(为简化数字,以百元为单位).
由假设当s k =0,即已有合格品,试制已完成,于是f k (0) =0,即不生产,也不罚款,就没有费用,又若三次试制后无合格品,则罚款20,即f 4(1) =20,,以C (u k )表示生产成
本及装配费用,则由每次装配费200元,每件成本100元,得:
???+=02)(k
k u u C 00=?k
k u u 当当 由生产一件合格品的概率为0.4,得不合格品的概率为0.6,所以生产u k 件均不合格的概率为k
u 6.0至少有一件合格品的概率为(1-k
u 6.0),这里u k =0,1,2…,于是递推关系为:
=)1(k f )
1(min
k k D u ∈[]
)1(6
.0)0()6
.01()(11+++-+k u k u k
f f u
C k
k
=)
1(min
k k D u ∈)]1(6.0)([1++k u k f u C k
其中 ,D k (1)= {0,1,2…}, 于是有: k=3 ]6.020)([min )1(3)
1(333k
u D u u C f ?+=∈ ,
对u 3的不同取值计算得表8-10.
注意,u 3=7,8…不需要再继续,因为可以证明当u k >0时,
k
u k u c 6
.0*20)(+是一个连续的具有唯一最小值的单峰函数.
k=2 ]6.056.8)([min )1(2
222)
1(2u D u u C f ?+=∈,对u 2的不同取值计算得表8-11.
k=1 ]6.085.6)([min )1(1
111)
1(1u D u u C f ?+=∈,
对u 1的不同取值计算得表8-12:
至此,求得最优策略是第一次生产2个,如果都不合格,则第二次生产3个,如果再都不合格,则第三次生产5个,这样能使期望值费用最小,其期望费用为646元(近似值).
五、 装载问题
例8-7 有一艘货船准备装载N 种货物,已知第j 种货物的单位重量为w j ,其价值为v j ,假如该货船的最大载重量为W ,要求确定每种货物的装载件数,在不超过最大载重允许的条件下,使货船装运物资的总价为最大.
解:若用u j 表示第j 种货物的装载件数,则问题归结为如下整数规划问题:
∑==
N
j j j
u v
Z 1
max
s.t. ∑=≤N
j j j W u w 1
u j ≥0且为整数
为用动态规划方法求解,先将此问题转化为动态规划模型,将装载N 种货物看作依次分为N 个阶段,用j (j=1,2…N )来代表阶段,第j 阶段的状态表示可用于第j ,j+1,…N 阶段的装载重量,用W j 表示,用u j 表示第j 阶段装载第j 种物资的件数,则u j ≤[W j /w j ],([a]表示a 的最大整数部分).状态转移可表示为W j+1=W j -w j u j ,f j (W j )表示在第j 阶段尚可装载W j 重量时,装载第j ,j+1,…N 种货物的最大总价值,则递推方程为: ??
??
?=+=
++++≤≤0
)()}
({max
)(111
1]
/[0N N j j j j w W u j j W f W
f u v W f j j j j = N, N-1, …,2,1
若已知有关数据如表8-13, 且W=5,
j=3 [W 3/w 3]=[5/1]=5 )}(30{max
)(443]
/[033333w f u w f w W u +=
≤≤
∵ W 3的可能取值为从0到5,计算得表8-14.
j=2 [W 2/w 2]=[5/3]=1
)}3(80{max
)(2232]
/[022222u w f u w f w W u -+=
≤≤
∵ w 2的可能取值为从0到5,计算得表8-15.
表8-15 第二阶段计算表
j=1 [W 1/w 1]=[5/2]=2
)}2(65{max )(11212
0111u w f u w f u -+=≤≤
计算得表8-16.
回代可得,当W 1=5时,u 1*=2,此时,W
2= W 1-2u 1=1,故u 2*=0,又W 3= W 2-3 u 2=1,故u 3*=1,f 1(5)=160,见表8-17.
注意,若对每种货物,只有装与不装(即u j =0或1,j=1~N )两种选择,则该问题即为背包问题.
六、背包问题
所谓的背包问题是指对于N 种具有不同重量和不同价值的物品,在携带物品总重量限制的情况下,决定这N 种物品中每一种物品多少数量装入背包内,使得装入背包物品的总价值最大.
例8.8 某咨询公司有10个工作日可以去处理四种类型的咨询项目,每种类型的咨询项目中待处理的客户数量、处理每个客户所需工作日数以及所获得的利润如表8-18所示.显然该公司在10天内不能处理完所有的客户,它可以自己挑选一些客户,其余的请其他咨询公司去做,该咨询公司应如何选择客户使得在这10个工作日中获利最大?
解:用动态规划来求解此题.
我们把此问题分成四个阶段,第一阶段我们决策将处理多少个第一种咨询项目类型中的客户,第二阶段决策将处理多少个第二种咨询项目类型中的客户,第三阶段、第四阶段我们也将作出类似的决策.我们设
k s =分配给第k 种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日(第k 阶段的状态变量).
k x =在第k 种咨询项目中处理客户的数量(第k 阶段的决策变量).
已知 101=s ,
并有 .
4),(,3),(,
),(133334122223111112x s x s T s x s x s T s x s x s T s -==-==-==
并从k s 与k x 的定义可知447x s =. 从第四阶段开始计算.K=4.
显然将4s 个工作日(4s =0,1,…,10)尽可能分配给第四类咨询项目,即7
/[44s x =时,第四阶段的指标值为最大,其中,]7/[4s 表示取不大于]7/[4s 的最大整数,符号[ ]
为取整符号,故有 ]).7/[,(),(max 4444444
s s r x s r x =
由于第四阶段是最后的阶段,故有]),7/[,(),(max )(444444444
s s r x s r s f x ==
因为4s 至多为10,所以4x 的取值为0或1,其数值计算见表8-19.
第三阶段:K=3.
当把3s (3s =0,1,2,3,…,10)个工作日分配给第四类和第三类咨询项目时,则对每个3s 值,都有一种最优势分配方案,使其最大盈利即最优3子过程最优指标函数值为:
)].(),([max )(44333333
s f x s r s f x +=
因为3344x s s -=
)].4(),([max )(33333333
x s f x s r s f x -+=
因为3s 至多为10,所以3x 的取值只能为0,1,2.其数值计算见表8-20.
第二阶段:K=2.
同样对每个2s 值都有一种最优分配方案,使其最大盈利即最优2子过程最优指标函数值为:
)].(),([max )(33222222
s f x s r s f x +=
因为2233x s s -=,故有
)].3(),([max )(223222222
x s f x s r s f x -+=
因为2s 至多为10,故2x 只能取值为0,1,2,3,数值计算见表8-21.
(数学建模教材)4第四章动态规划
第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20 世纪50 年代初R. E. Bellman 等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优性原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957 年出版了他的名著《Dynamic Programming》,这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来,在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题,但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划),只要人为地引进时间因素,把它视为多阶段决策过程,也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出,动态规划是求解某类问题的一种方法,是考察问题的一种途径,而不是一种特殊算法(如线性规划是一种算法)。因而,它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则,而必须对具体问题进行具体分析处理。因此,在学习时,除了要对基本概念和方法正确理解外,应以丰富的想象力去建立模型,用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 图1 是一个线路网,连线上的数字表示两点之间的距离(或费用)。试寻求一条由A 到G距离最短(或费用最省)的路线。 图1 最短路线问题 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品,每单位(千件)的成本为1(千元),每次开工的固定成本为3 (千元),工厂每季度的最大生产能力为6(千件)。经调查,市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2,3,2,4(千件)。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来,自然可以降低成本(少付固定成本费),但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费,每季每千件的存储费为0.5(千元)。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划,即安排每个季度的产量,使一年的总费用(生产成本和存储费)最少。 1.2 决策过程的分类根据过程的时间变量是离散的还是连续的,分为离散时间 决策过程(discrete-time -56-
动态规划
动态规划 一、背包问题 1、0/1背包[问题背景及描述] Bessie 正在减肥,所以她规定每天不能吃超过C (10 <= C <= 35,000)卡路里的食物。农民John 在戏弄她,在她面前放了B (1 <= B <= 21) 捅食物。每桶内都有某个单位卡路里(范围:1..35,000)的食物(不一定相同)。Bessie 没有自控能力,一旦她开始吃一个桶中的食物,她就一定把这桶食物全部吃完。Bessie 对于组合数学不大在行。请确定一个最优组合,使得可以得到最多的卡路里,并且总量不超过C。例如,总量上限是40卡路里,6 桶食物分别含有7, 13, 17, 19, 29, 和31卡路里的食物。Bessie可以吃7 + 31 = 38卡路里,但是可以获取得更多:7 + 13 + 19 = 39卡路里。没有更好的组合了。 [输入] 共两行。 第一行,两个用空格分开的整数:C 和 B 第二行,B个用空格分开的整数,分别表示每桶中食物所含的卡路里。 [输出] 共一行,一个整数,表示Bessie能获得的最大卡路里,使她不违反减肥的规则。 [输入样例] 40 6 7 13 17 19 29 31 [样例输出] 39 2、固定次数的0/1背包 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件体积是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。V〈30000,n〈100,n[i]〈50。 输入输出格式: 第1行,两个用空格分开的整数:v 和n 第2—n+1行,每件体积是c[i],价值是w[i],最多有n[i]件可用 [输入样例] 40 2 10 20 5 20 30 6 [样例输出] 80 3、重复背包货币系统money 母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。[In their own
动态规划基本原理
动态规划基本原理 动态规划基本原理 近年来,涉及动态规划的各种竞赛题越来越多,每一年的NOI几乎都至少有一道题目 需要用动态规划的方法来解决;而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高,已经 不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念,首先要知道什么是多阶段决策问题。 一、多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段,在每一个阶段都需作出决策(采 取措施),一个阶段的决策确定以后,常常影响到下一个阶段的决策,从而就完全确定了 一个过程的活动路线,则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列,称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供 选择,因而就有许多策略供我们选取,对应于一个策略可以确定活动的效果,这个效果可 以用数量来确定。策略不同,效果也不同,多阶段决策问题,就是要在可以选择的那些策 略中间,选取一个最优策略,使在预定的标准下达到最好的效果. 让我们先来看下面的例子:如图所示的是一个带权有向的多段图,要求从A到D的最 短 图4-1 带权有向多段图 路径的长度(下面简称最短距离)。 我们可以搜索,枚举图中的每条路径,但当图的规模大起来时,搜索的效率显然不可 能尽人意。让我们来试用动态规划的思路分析这道题:从图中可以看到,A点要到达D点 必然要经过B1和B2中的一个,所以A到D的最短距离必然等于B1到D的最短距离加上5,或是B2到D的最短距离加上2。同样的,B1到D的最短距离必然等于C1到D的最短距离 加上3或是C2到D的最短距离加上2,……。 我们设G[i]为点i到点D的距离,显然G[C1]=4,G[C2]=3,G[C3]=5,根据上面的分析, 有: G[B1]=min{G[C1]+3,G[C2]+2}=5, G[B2]=min{G[C2]+7,G[C3]+4}=9, 再就有G[A]=min{G[B1]+5,G[B2]+2}=10,
第四章 数学规划模型
第四章 数学规划模型 【教学目的】:深刻理解线性规划,非线性规划,动态规划方法建模的基本特点,并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型;熟练掌握用数学软件(Matlab ,Lindo ,Lingo 等)求解优化问题的方法。 【教学重点难点】: 教学重点:线性规划和非线性规划的基本概念和算法,解决数学规划问题的一般思路和 方法,线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab 与Lingo 实现。 教学难点:区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题,以及何时采用线性模型, 何时采用非线性模型,线性模型与非线性模型的转化。 【课时安排】:10学时 【教学方法】:采用多媒体教学手段,配合实例教学法,通过对典型例题的讲解启发学生思维,并给与学生适当的课后思考讨论的时间,加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】: 在众多实际问题中,常常要求决策(确定)一些可控制量的值,使得相关的量(目标)达到最佳(最大或最小)。这些问题就叫优化问题,通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量,相关的目标量为目标函数;一般情况下,决策变量x 的取值是受限制的,不妨记为x ∈Ω,Ω称为可行域,优化问题的数学模型可表示为 Max(或Min)f(x), x ∈Ω 一般情况下,x 是一个多元变量,f(x)为多元函数,可行域比较复杂,一般可用一组不等式组来表示,这样规划问题的一般形式为 () x Min f x . ()0,1,2,,i st g x i m ≤= 虽然,该问题属于多元函数极值问题,但变量个数和约束条件比较多,一般不能用微分法进行解决,而通过规划方法来求解;这里讨论的不是规划问题的具体算法,主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型,并利用优化软件包进行求解。 根据目标函数和约束函数是否为线性,将规划模型分为线性规划和非线性规划。 4.1线性规划 线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的,它在工农业生产、经济管理、优化设计与控
七年级平面直角坐标系动点规律问题(经典难题)
平面直角坐标系动点问题 (一)找规律 1.如图1,一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( ) 图1 A .(4,0) B .(5,0) C .(0,5) D .(5,5) 图2 2、如图2,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x 轴或y 轴平行.从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A 1,A 2,A 3,A 4,…表示,则顶点A 55的坐标是( ) A 、(13,13) B 、(﹣13,﹣13) C 、(14,14) D 、(﹣14,﹣14) 3.如图3,在平面直角坐标系中,有若干个横、纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中点的坐标分别为(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…的规律排列,根据这个规律,第2019个点的横坐标为 . 4.在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位,其行走路线如下图所示。 图3 (1)填写下列各点的坐标:1A (____,____),3A (____,____),12A (____,____); (2)写出点n A 4的坐标(n 是正整数); (3)指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向.
5.观察下列有序数对:(3,﹣1)(﹣5,)(7,﹣)(﹣9,)…根据你发现的规律,第100个有序数对是 . 6、观察下列有规律的点的坐标: 依此规律,A 11的坐标为 ,A 12的坐标为 . 7、以0为原点,正东,正北方向为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,一个机器人从原点O 点出发,向正东方向走3米到达A 1点,再向正北方向走6米到达A 2,再向正西方向走9米到达A 3,再向正南方向走12米到达A 4,再向正东方向走15米到达A 5,按此规律走下去,当机器人走到A 6时,A 6的坐标是 . 8、如图,将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2019次,点P 依次落在点 201921,,,P P P 的位置,则点2019P 的横坐标为 . 9、如图,在平面直角坐标系上有个点P (1,0),点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1(1,1),紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2(﹣1,1),第3次向上跳动1个单位,第4次向右跳动3个单位,第5次又向上跳动1个单位,第6次向左跳动4个单位,…,依此规律跳动下去,点P 第100次跳动至点P 100的坐标是 .点P 第2019次跳动至点P 2019的坐标是 . 图4 图5 10、如图5,已知A l (1,0),A 2(1,1),A 3(﹣1,1),A 4(﹣1,﹣1),A 5(2,﹣1),….则点A 2019的坐标为 .
区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解
2005年1月系统工程理论与实践第1期 文章编号:100026788(2005)0120110207 区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解 蒋 峥,戴连奎,吴铁军 (工业控制技术国家重点实验室,浙江大学智能系统与决策研究所,浙江杭州310027) 摘要: 讨论以区间参数形式给出的不确定性非线性规划问题,提出了一种含有决策风险因子的新的区 间参数不确定非线性规划的一般命题形式,并分别就不确定性参数出现在目标函数或约束条件中的不 同情况,给出不同的表达形式Λ文章给出用遗传算法,采用递阶优化方式求解区间参数不确定非线性规 划的具体算法Λ仿真结果表明该形式的可行性Λ 关键词: 区间规划;非线性规划;遗传算法;决策风险 中图分类号: O221 文献标识码: A D eterm in istic In terp retati on of In terval N on linear P rogramm ing and Its H ierarch ical Op ti m izati on So lu ti on s J I AN G Zheng,DA I L ian2ku i,W U T ie2jun (N ati onalL abo rato ry of Indu strial Con tro l T echno logy,In stitu te of In telligen t System and D ecisi onM ak ing,Zhejiang U n i2 versity,H angzhou310027,Ch ina) Abstract: W e con sider a determ in istic fram ew o rk fo r non linear p rogramm ing invo lving in terval coeffi2 cien ts.A new in terp retati on of non linear p rogramm ing under uncertain ty is p ropo sed by the in troducti on of the decisi on m ak ing risk coefficien t.W e p resen t differen t fo rm u lati on s fo r con tro lling the effects of param eter uncertain ty p resen t in the ob jective functi on o r con strain ts.A n algo rithm com b in ing Genetic A lgo rithm(GA)is p resen ted app lying the h ierarch ical op ti m izati on structu re.T he si m u lati on examp le show s the feasib ility of the fo rm u lati on s. Key words: in terval p rogramm ing;non linear p rogramm ing;genetic algo rithm;decisi on m ak ing risk coefficien t 1 引言 与传统的确定性数学规划不同,不确定系统优化问题中的部分参数是未知不确定的Λ按照这些不确定性参数表达方式的不同,可以将这类优化问题划分为随机规划(Stochastic P rogramm ing)、模糊规划(Fuzzy P rogramm ing)和区间参数规划(In terval P rogramm ing)[1]等三种主要形式Λ在随机规划中,决策者将不确定量看作是具有一定概率分布特性的随机变量Λ文献[2]与[3]提出了鲁棒优化(Robu st O p ti m iza2 ti on,RO)的概念,将非线性目标函数的期望值与方差进行加权平均,作为新的待优化的目标函数;在模糊规划中,决策者将不确定量看作是具有确定隶属度的模糊集Λ文献[4]对有约束条件的多个投资项目的选择问题,建立了一个模糊规划模型,并将其转化为一个线性规划模型Λ 对于随机规划和模糊规划,决策者必须掌握决策变量的概率分布函数或隶属度函数Λ但实际上,要精确获得参数的这些性质往往很难,而获得这些参数的置信区间要容易得多Λ区间规划就是将目标函数或约 收稿日期:2004203229 资助项目:973计划资助(2002CB312200) 作者简介:蒋峥(1970-),男,湖北武汉人,博士研究生Λ研究领域为复杂工业过程智能优化ΛE2m ail:zjiang@ii pc.zju. https://www.sodocs.net/doc/4e4286440.html,;戴连奎(1963-),男,浙江余杭人,工学博士,副教授Λ研究领域为复杂工业过程的建模、控制与智能优化ΛE2m ail: lkdai@ii https://www.sodocs.net/doc/4e4286440.html,;吴铁军(1950-),男,浙江杭州人,工学博士,教授,博士生导师Λ研究领域为分布式智能系统控制与优化、微型及柔性机器人控制ΛE2m ail:tj w u@ii https://www.sodocs.net/doc/4e4286440.html,Λ
动态规划算法原理与的应用
动态规划算法原理及其应用研究 系别:x x x 姓名:x x x 指导教员: x x x 2012年5月20日
摘要:动态规划是解决最优化问题的基本方法,本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤,并通过几个实例的分析,研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词:动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值,以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中,决策变量都是以集合的形式被一次性处理的;然而,有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程:它可以分解为若干个互相联系的阶段,在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合;即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列,称为一个策略。显然,由于各个阶段选取的决策不同,对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时,相应可以得到一个确定的效果,采取不同的策略,就会得到不同的效果。多阶段的决策问题,就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略,以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术,可以说它横跨整个规划领域(线性规划和非线性规划)。在多阶段决策问题中,有些问题对阶段的划分具有明显的时序性,动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼(Bellman)。20世纪40年代末50年代初,当时在兰德公司(Rand Corporation)从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文,并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时,其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献,其中最值得一提的是爱尔思(Aris)和梅特顿(Mitten)。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作,并于1964年同尼母霍思尔(Nemhauser)、威尔德(Wild)一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点,并且对明晰动态规划路径的数
算法分析大作业动态规划方法解乘法表问题和汽车加油行驶问题#精选.
算法分析大作业 动态规划方法解 乘法表问题和汽车加油行驶问题目录 1.动态规划解乘法表问题 1.1问题描述------ 1.2算法设计思想------ 1.3设计方法------ 1.4源代码------ 1.5最终结果------ 2.动态规划解汽车加油行驶问题 2.1问题描述------ 2.2算法设计思想------ 2.3设计方法------ 2.4源代码------ 2.5最终结果------ 3.总结
1.动态规划解决乘法表问题 1.1问题描述 定义于字母表∑{a,b,c)上的乘法表如表所示: 依此乘法表,对任一定义于∑上的字符串,适当加括号表达式后得到一个表达式。 例如,对于字符串x=bbbba,它的一个加括号表达式为(b(bb))(ba)。依乘法表,该表达式的值为a。 试设计一个动态规划算法,对任一定义于∑上的字符串x=x1x2…xn,计算有多少种不同的加括号方式,使由x导出的加括号表达式的值为a。 1.2算法设计思想 设常量a,b,c 分别为 1, 2 ,3 。n 为字符串的长度。 设字符串的第 i 到第 j 位乘积为 a 的加括号法有result[i][j][a] 种, 字符串的第 i 到第 j 位乘积为 b 的加括号法有result[i][j][b] 种, 字符串的第 i 到第 j 位乘积为 c 的加括号法有 result[i][j][c] 种。 则原问题的解是:result[i][n][a] 。 设 k 为 i 到 j 中的某一个字符,则对于 k 从 i 到 j :result[i][j][a] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][a]; result[i][j][b] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][a] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][b]; result[i][j][c] += result[i][k][b] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][c];
动态规划讲解大全(含例题及答案)
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming,这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来,在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题,但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划),只要人为地引进时间因素,把它视为多阶段决策过程,也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法,而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样,具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题,由于各种问题的性质不同,确定最优解的条件也互不相同,因而动态规划的设计方法对不同的问题,有各具特色的解题方法,而不存在一种万能的动态规划算法,可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时,除了要对基本概念和方法正确理解外,必须具体问题具体分析处理,以丰富的想象力去建立模型,用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论,逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中,有一类活动的过程,由于它的特殊性,可将过程分成若干个互相联系的阶段,在它的每一阶段都需要作出决策,从而使整个过程达到最好的活动效果。当然,各个阶段决策的选取不是任意确定的,它依赖于当前面临的状态,又影响以后的发展,当各个阶段决策确定后,就组成一个决策序列,因而也就确定了整个过程的一条活动路线,如图所示:(看词条图) 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程,这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手,这都是再熟悉不过的题了,很容易地,我们写出状态转移方程:f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j),f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题,我们根据状态转移方程和状态转移方向,比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是,当状态和转移非常复杂的时候,也许写出循环式的动态规划就不是那么
动态规划应用(含程序)
动态规划算法的应用 一、动态规划的概念 近年来,涉及动态规划的各种竞赛题越来越多,每一年的NOI几乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决;而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高,已经不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念,首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段,在每一个阶段都需作出决策(采取措施),一个阶段的决策确定以后,常常影响到下一个阶段的决策,从而就完全确定了一个过程的活动路线,则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列,称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择,因而就有许多策略供我们选取,对应于一个策略可以确定活动的效果,这个效果可以用数量来确定。策略不同,效果也不同,多阶段决策问题,就是要在可以选择的那些策略中间,选取一个最优策略,使在预定的标准下达到最好的效果. 2.动态规划问题中的术语 阶段:把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段,以便于求解,过程不同,阶段数就可能不同.描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下,阶段变量是离散的,用k表示。此外,也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策,且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时,阶段变量就是连续的。 在前面的例子中,第一个阶段就是点A,而第二个阶段就是点A到点B,第三个阶段是点B到点C,而第四个阶段是点C到点D。 状态:状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件,它不以人们的主观意志为转移,也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置,它既是该阶段某路的起点,同时又是前一阶段某支路的终点。 在前面的例子中,第一个阶段有一个状态即A,而第二个阶段有两个状态B1和B2,第三个阶段是三个状态C1,C2和C3,而第四个阶段又是一个状态D。 过程的状态通常可以用一个或一组数来描述,称为状态变量。一般,状态是离散的,但有时为了方便也将状态取成连续的。当然,在现实生活中,由于变量形式的限制,所有的状态都是离散的,但从分析的观点,有时将状态作为连续的处理将会有很大的好处。此外,状态可以有多个分量(多维情形),因而用向量来代表;而且在每个阶段的状态维数可以不同。 当过程按所有可能不同的方式发展时,过程各段的状态变量将在某一确定的范围内取值。状态变量取值的集合称为状态集合。 无后效性:我们要求状态具有下面的性质:如果给定某一阶段的状态,则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响,所有各阶段都确定时,整个过程也就确定了。换句话说,过程的每一次实现可以用一个状态序列表示,在前面的例子中每阶段的状态是该线路的始点,确定了这些点的序列,整个线路也就完全确定。从某一阶段以后的线路开始,当这段的始点给定时,不受以前线路(所通过的点)的影响。状态的这个性质意味着过程的历史只能通过当前的状态去影响它的未来的发展,这个性质称为无后效性。 决策:一个阶段的状态给定以后,从该状态演变到下一阶段某个状态的一种选择(行动)称为决策。在最优控制中,也称为控制。在许多间题中,决策可以自然而然地表示为一个数或一组数。不同的决策对应着不同的数值。描述决策的变量称决策变量,因状态满足无后效性,故在每个阶段选择决策时只需考虑当前的状态而无须考虑过程的历史。
动态规划基本原理
动态规划基本原理 近年来,涉及动态规划的各种竞赛题越来越多,每一年的NOI几乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决;而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高,已经不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念,首先要知道什么是多阶段决策问题。 一、多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段,在每一个阶段都需作出决策(采取措施),一个阶段的决策确定以后,常常影响到下一个阶段的决策,从而就完全确定了一个过程的活动路线,则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列,称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择,因而就有许多策略供我们选取,对应于一个策略可以确定活动的效果,这个效果可以用数量来确定。策略不同,效果也不同,多阶段决策问题,就是要在可以选择的那些策略中间,选取一个最优策略,使在预定的标准下达到最好的效果. 让我们先来看下面的例子:如图所示的是一个带权有向的多段图,要求从A到D的最短 图4-1 带权有向多段图 路径的长度(下面简称最短距离)。 我们可以搜索,枚举图中的每条路径,但当图的规模大起来时,搜索的效率显然不可能尽人意。让我们来试用动态规划的思路分析这道题:从图中可以看到,A点要到达D点必然要经过B1和B2中的一个,所以A到D的最短距离必然等于B1到D的最短距离加上5,或是B2到D的最短距离加上2。同样的,B1到D的最短距离必然等于C1到D的最短距离加上3或是C2到D的最短距离加上2,……。 我们设G[i]为点i到点D的距离,显然G[C1]=4,G[C2]=3,G[C3]=5,根据上面的分析,
有: G[B1]=min{G[C1]+3,G[C2]+2}=5, G[B2]=min{G[C2]+7,G[C3]+4}=9, 再就有G[A]=min{G[B1]+5,G[B2]+2}=10, 所以A到D的最短距离是10,最短路径是A→B1→C2→D。 二、动态规划的术语 1.阶段 把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段,以便于求解,过程不同,阶段数就可能不同.描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下,阶段变量是离散的,用k 表示。此外,也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策,且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时,阶段变量就是连续的。 在前面的例子中,第一个阶段就是点A,而第二个阶段就是点A到点B,第三个阶段是点B到点C,而第四个阶段是点C到点D。 2.状态 状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件,它不以人们的主观意志为转移,也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置,它既是该阶段某路的起点,同时又是前一阶段某支路的终点。 在前面的例子中,第一个阶段有一个状态即A,而第二个阶段有两个状态B1和B2,第三个阶段是三个状态C1,C2和C3,而第四个阶段又是一个状态D。 过程的状态通常可以用一个或”一组数”来描述,称为状态变量。一般,状态是离散的,但有时为了方便也将状态取成连续的。当然,在现实生活中,由于变量形式的限制,所有的状态都是离散的,但从分析的观点,有时将状态作为连续的处理将会有很大的好处。此外,状态可以有多个分量(多维情形),因而用向量来代表;而且在每个阶段的状态维数可以不同。 当过程按所有可能不同的方式发展时,过程各段的状态变量将在某一确定的范围内取值。状态变量取值的集合称为状态集合。 3.无后效性 我们要求状态具有下面的性质:如果给定某一阶段的状态,则在这一阶段以后过程的发
动态规划与随机控制
动态规划与随机控制 1953年,R . Bellman 等人,根据某类多阶段序贯决策问题的特点,提出了著名的“最优性原理”。在这个原理的指导下,他将此类多阶段决策问题转变为一系列的互相联系的单阶段决策问题,然后,逐个阶段予以解决,最后再形成总体解决。从而创建了求解优化问题的新方法——动态规划。1957年,他的名著《动态规划》出版。 1.离散型动态规划 离散型确定性动态规划 在解决美式期权问题时,我们通常采用倒向递推的方法来比较即时执行价格与继续持有价格。这是利用动态规划原理的一个典型例子。Richard Bellman在1953年首次提出动态规划原理. 最优化原理:无论过去的状态和决策如何,相对于前面的决策侧所形成的的状态而言,余下的决策序列必然构成最优子策略. 求解最短路径问题: 来看下面一个具体的例子:我们要求从Q点到T点的最短路径 其基本思想是分阶段求出各段到T点的最短路径: ?Ⅳ:C1—T 3 ?Ⅲ--Ⅳ: B1—C1—T 4 ?Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ:A2—B1—C1—T 7 ?Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ: ?Q—A2—B1—C1—T 11 ?Q--A3—B1—C1—T 11 ?Q--A3—B2—C2—T 11 从以上分析可以看出最短路径不唯一。 最短路径解的特点 ?1、可以将全过程求解分为若干阶段求解;------多阶段决策问题 ?2、在全过程最短路径中,将会出现阶段的最优路径;-----递推性 ?3、前面的终点确定,后面的路径也就确定了,且与前面的路径(如何找到的这个终点)无关;-----无后效性 ?3、逐段地求解最优路径,势必会找到一个全过程最优路径。-----动态规划 离散型不确定性动态规划 离散型不确定性动态规划的特点就是每一阶段的决策不是确定的,是一个随机变量,带有一
运筹学之动态规划(东南大学)汇总
引言——由一个问题引出的算法 考虑以下问题 [例1] 最短路径问题 现有一张地图,各结点代表城市,两结点间连线代表道路,线上数字表示城市间的距离。如图1所示,试找出从结点A到结点E的最短距离。 图 1 我们可以用深度优先搜索法来解决此问题,该问题的递归式为 其中是与v相邻的节点的集合,w(v,u表示从v到u的边的长度。 具体算法如下: 开始时标记所有的顶点未访问过,MinDistance(A就是从A到E的最短距离。 这个程序的效率如何呢?我们可以看到,每次除了已经访问过的城市外,其他城市都要访问,所以时间复杂度为O(n!,这是一个“指数级”的算法,那么,还有没有更好的算法呢? 首先,我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候,先求出从C2到E的最短距离;而在求从B2到E的最短距离的时候,又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说,从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现,在求从C1、C2到E的最短距离的过程中,从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中,从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中,同时将求得的最短距离"记录在案",随时调用,就可以避免这种情况。于是,可以改进该算法,将每次求出的从v到E的最短距离记录下来,在算法中递归地求MinDistance(v时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v,如果求过了则不用重新求一遍,只要查找以前的记录就可以了。这样,由于所有的点有n个,因此不同的状态数目有n 个,该算法的数量级为O(n。 更进一步,可以将这种递归改为递推,这样可以减少递归调用的开销。 请看图1,可以发现,A只和Bi相邻,Bi只和Ci相邻,...,依此类推。这样,我们可以将原问题的解决过程划分为4个阶段,设
连续变量动态规划例子
如对你有帮助,请购买下载打赏,谢谢! 一、用动态规划求解以下非线性规划问题: max u= xyz s.t. x +2y +z ≤12 x, y, z ≥ 0 阶段:k=4 决策变量:d 1=x ,d 2=y ,d 3=z 状态变量和状态转移方程:x 1=12,x 2=x 1-d 1,x 3=x 2-d 2,x 4=x 3-d 3 决策允许集合:0≤d 1≤x 1,0≤2d 2≤x 2,0≤d 3≤x 3 即: 0≤d 1≤x 1,0≤d 2≤1/2x 2,0≤d 3≤x 3 阶段指标:v k (x k ,d k )=d k 递推方程:f k (x k )=max{v k (x k ,d k )f k+1(x k+1)} 终端条件:f 4(x 4)=1 k=4,f 4(x 4)=1 k=3 k=2 k=1 x 1=12,d 1*=1/3x 1=4,x 2=x 1-d 1=12-4=8,d 2*=1/4x 2=1/4?8=2,x 3=x 2-2d 2=8-2?2=4,d 3*=x 3=4 max u=1/54?x 13=1/54?1728=32 即x=4,y=2,z=4,max u=32。 二、用动态规划求解以下连续变量的非线性规划问题 解: 决策变量: 状态变量: 由上式得到: 状态转移方程为: 决策允许集合为: 由x 0=0,得到d 1=x 1(唯一的),由x 2≥0,得到0≤d 2≤x 2,由x 3≥0,得到0≤d 3≤x 3 注意:以上的状态转移方程为)d ,x (T x k k 1k =-而不是)d ,x (T x k k 1k =+,即递推过程不是逆向递推而是正向递推,终端条件应为: f 0(x 0)=0 最优解为: x 3=12,d *3=1/3x 3=4,x 2=x 3-d 3=12-4=8,d *2=1/2x 2=4,x 1=x 2-d 2=4,d *1=x 1=4 min z=1/3x 23=48
参考习题 第四章 决策
精心整理 第四章决策 一、单项选择题 1、有一种说法认为"管理就是决策",这实际上意味着:(C ) A.对于管理者来说只要善于决策就一定能够获得成功 B.管理的复杂性和挑战性都是由于决策的复杂性而导致的 C.决策能力对于管理的成功具有特别重要的作用 D.管理首先需要的就是面对复杂的环境作出决策 2 A.3、根据"A.B.C.D.4(1)5 A.B.C.D.620A.B.C.D.这不是真正意义上的授权而只是一种工作落实 7、某企业原先重大战略决策的基本过程是由各部门(如财务部、销售部、生产部、人事部等)独立把各自部门的情况写成报告送给总经理,再由总经理综合完成有关的战略方案。后来,对此过程作了些调整,这就是:总经理收到各部门呈上的报告后,有选择地找些管理人员来磋商,最后由自己形成决策。再后来,总经理在收到报告后,就把这些报告交给一个有各部门人员共同参与组成的委员会,通过委员会全体成员的面对面讨论,最终形成有关决策。对此你的看法是:(C) A.这种处理方式的改变对企业战略决策以及其它方面的工作没什么影响 B.这种处理方式的改变可以大大提高企业决策的效率 C.这种处理方式的改变增加了信息沟通的范围,可带来更多的成员满意感 D.这种处理方式的改变提高了企业上下信息沟通的效率 8、现在社会上销售彩票的很多。一家三口在抽奖时,常常喜欢让孩子来抽,请问这是遵循了什么决策原则?(A )
A.乐观原则 B.悲观原则 C.折衷原则 D.最小最大后悔值原则 9、某企业集团拟投资开发新产品,现有两个方案,假定其开发费用相同。开发甲产品,估计投产后,市场竞争不激烈时每年可获利150万元,市场竞争激烈时每年亏损50万元。开发乙产品,估计投产后无论市场竞争激烈与否,每年均可获利70万元。根据预测,这两种拟开发的产品投产后,出现市场竞争不激烈情况的概率为0.6,出现市场竞争激烈情况的概率为0.4。如果只能在这两个方案中选一个,你的评价是什么?(B) A.开发甲产品比开发乙产品好。 B.开发乙产品比开发甲产品好。 C.开发甲产品与开发乙产品没什么差别。 D.根据以上资料尚无法下结论。 10、在以下X、Y和Z三种方案中,哪一个方案最好?(B) A.X 11 A. B. C. D. 12 A. 13、 A. 13 A. C. 14 A.关于公司各部门办公电脑的分配方案 D.对一位客户投诉的例行处理 C.对一家主要竞争对手突然大幅削价作出反应 D.对一位公司内部违纪职工按规章进行处理 15、在制定计划时,为了有效地确定前提条件,应当:(A) A.找出并着重研究那些关键性的、战略性的的提条件, B.要准备不止一套的备选前提条件,以供出现偶发事件时应急使用。 C.所选择的各前提条件相互间必须协调一致。 D.对以上3条作综合考虑。 16、有一个大家熟悉的商务趣闻:甲乙两家鞋业公司的经理各派了一位市场调查员去某岛调查,发现岛上的居民从来不穿鞋。结果甲公司的调查员向公司报告称自己发现厂一个新市场,进而开拓了市场;而乙公司的调查员则
基于规则的中文地址要素解析方法
第12卷第1期2010年2月 地球信息科学学报 JOURNAL OF GE O 2I N F OR MATI O N SC I E NCE Vol 112,No 11 Feb 1,2010 收稿日期:2009-09-21;修回日期:2010-01-08. 基金项目:“863”项目(2007AA12Z221);国家自然科学基金项目(40971231);南京师范大学重点科研基金资助项目 (2006105XG Q0051)。 作者简介:张雪英(1970-),女,博士,教授,汉族,四川人,主要从事地理信息的智能处理与应用研究。 E 2mail:zhangsnowy@1631com 基于规则的中文地址要素解析方法 张雪英,闾国年,李伯秋,陈文君 (南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室,南京 210046) 摘要:在日常生产与生活中,地址是最常见的使用自然语言描述地理位置的参考系统之一。地址地理编码技术被认为是大量业务数据的GI S 实现可视化定位和空间分析的桥梁,在房地产管理、土地管理、城市规划、公安、邮政、税收、电讯和公共卫生等领域中具有十分重要的应用前景。地址要素解析是中文地址编码的核心技术之一。它是将自然语言描述的地址拆分为在某一限定区域内,可以指定某一地理范围的地址要素的过程。实际上,这个过程可以被看作是一种特定的中文分词任务。由于语言和文化的原因,中文地址描述采用连续的字符串,而且普遍存在不规范现象。目前,采用的地址解析方法在较大程度上受限于词典的更新维护和规则的不完备问题。本文以大规模地名词典和地址数据库为数据源,通过系统分析地址要素的构词特征和句法模式,构建了各类地址要素的特征字库,提出了中文地址的数字表达方法,设计了RBA I 中文地址要素解析算法,开发了相应的原型系统。实验结果准确率达到92%以上,处理效率达2800条/秒。这表明该方法符合大规模数据处理的应用需求,具有重要的推广应用价值。 关键词:中文地址;语义解析;地址编码;地址表示 1 引言 地理信息系统(GI S )通过对地理数据的集成、存储、检索、操作和分析,生成并输出各种地理信息,从而为土地利用、资源评价与管理、环境监测、交通运输、经济建设、城市规划以及政府部门行政管理等提供新的知识,为工程设计和规 划、管理决策服务[1] 。地理编码(Geocoding ),将地理对象在确定的参考系中按一定的规则赋予唯一和可识别的代码,建立地理对象与地址的映射,以及地理对象与坐标系统的映射,从而将地理位 置信息转换成可以被用于GI S 的地理坐标[2] 。地址是当前各类业务系统中运用自然语言描述空间位置的最常用手段。地址编码,又称地址匹配(addressing matching )或者地址地理编码(address Geocoding ),可以看作是狭义的地理编码,是指将自然语言描述的地址信息,根据地址模型和编码规则进行智能语义解析,通过与数据库中匹配,建立与对应的空间坐标信息和地理编码关联的过 程。地址编码需要解决地址模型、地址解析和地址匹配等三项关键技术。利用地址编码技术可以使大量的原来已经存在于管理信息系统(M I S )中的数据能够具有空间定位的性质,而且能够使分散在各个部门的数据通过空间参照系联系起来,从而大大促进GI S 技术的应用。因此,地址编码技术被认为是大量业务数据的GI S 实现可视化定位和空间分析的桥梁,在房地产管理、土地管理、城市规划、公安、邮政、税收、电讯和公共卫生 等领域具有很好的应用前景[3-5] 。 2 国内外地址地理编码的研究进展 20世纪60年代中期,美国国情普查局开发的“双重独立地图编码系统”(D I M E ),在GI S 技术 的发展史上具有里程碑的意义。之后,D I M E 系统发展为著名的地址地理编码与参照系统(TI GER ), 成为美国地址地理编码的标准[4] 。在地址地理编码技术的发展过程中,工业界的推动起到了很大