2016年5月北京市丰台高三二模理科数学试卷及答案

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2016.5

数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合2{R |21},{R |20}A x x B x x x =∈-<<=∈-<，那么A B = （A ）(2,0)- （B ）(2,1)

-

（C ）(0,2) （D ）(0,1)

2.极坐标方程ρ=2cos θ表示的圆的半径是

（A ）

12 （B ）1

4

（C ）2 （D ）1 3. “0x >”是“2

212x x

+≥”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

4.

已知向量1(2a =

，(b =，c a b λ=+，则c a ?等于_________ .

（A ）λ （B ）λ- （C ） 1 （D ）-1 5.如图，设不等式组11,

01

x y -≤≤??

≤≤?表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD 内的曲线

为抛物线2

y x =的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于

（A ）

2

3 （B ）13

（C ）12

（D ）14

6.要得到2()log (2)g x x =的图象，只需将函数2()log f x x =的图象 （A ）向上平移1个单位 （B ）向下平移1个单位 （C ）向左平移1个单位 （D ）向右平移1个单位

7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的 （A ）若50a >，则20150a < （B ）若50a >，则20150S > （C ）若60a >，则20160a <

（D ）若60a >，则20160S >

8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：

① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ； ② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.

其中正确的命题有

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.在复平面内，点A 对应的复数是2+i .若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为___________.

10. 执行右侧程序框图，输入n =4,A =4,x =2,输出

结果A 等于______

11.已知点(,4)P t 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点为F ，那么|PF |=____________. 12.已知等差数列{}n a 的公差不为零，且236a a a +=，则

12

345

a a a a a +=++ ______.

13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A ，B 二人必须做同一项工作，C ，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种. 14.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32

x =处的导数3'()02f <，则1()3

f =________；

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1

cos 2

a C c

b +=.（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若a =

5b =,求c 的值.

16.（本小题共13分）

某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：

. （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；

（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为2

1S

，如果表中n x =，

表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与2

2S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.

17.（本小题共14分）

如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O

, BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .

（Ⅰ）求证AD ⊥PB ； （Ⅱ）若P A ⊥平面ABCD . ①求二面角B-PC-D 的大小；

②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤u u u r u u u r ，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O

，

求λ的值.

图2

图1

18.（本小题共13分） 设函数()e (R)ax f x a =∈.

（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；

（Ⅱ）若函数2

()1()

x h x f x =

-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围. 19.（本小题共13分）

已知椭圆C ：

22

143

x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且|

，求m 的值； （Ⅲ）若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P 在第二象限，点B

与点A 关于原点对称，求证：当22

124x x +=时，三角形△P AB 的面积为定值.

20.（本小题共13分）

对于数对序列11:(,)P a b ，22(,)a b ，L ，(,)n n a b ，(,R ,1,2,3,,)i i a b i n +∈=L ，记

0()0(0)f y y =≥，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x m

f y b x f y a x y k n -==

+-≥≤≤L ，其中m

为不超过

k

y

a 的最大整数.(注：10,1,2,3,,max {()}k k k k k k x m

b x f y a x -=+-L 表示当k x 取0,1,2,3，…,m

时，1()k k k k k b x f y a x -+-中的最大数）

已知数对序列:(2,3),(3,4),(3,)P p ，回答下列问题：

（Ⅰ）写出1(7)f 的值；

（Ⅱ）求

2(7)f 的值，以及此时的12,x x 的值；

（Ⅲ）求得

3(11)f 的值时，得到1234,0,1x x x ===，试写出p 的取值范围.（只需写出结论,

不用说明理由）.

注：下面的内容不在试卷上，共讲评时参考 （1）8题原来命制的如下：

已知一个八面体（如图），它们的各条棱长均为a ,ABCD 为正方形。给出下命题： ①若P ，Q 分别是不相交的两条棱上的点，则|PQ |的最小值为a ；

②不平行的两条棱所成的角是60o 或90o

； ③共面四点组成的四边形是正方形.

其中正确的命题有

（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个

（2）19题（Ⅱ）原来命制如下：

（Ⅱ）已知点11(,)P x y 和点22(,)A x y 都在椭圆C 上，且12

120,0,0x x y y <>>，点B 与点A

关于坐标原点对称，求证：当22

124

x x

+=时，三角形△ABC的面积取得最大值. （3）20题的实际模型为文科14题.

丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 2-i 10. 49 11. 5 12.

13 13. 12 14. 12

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由正弦定理及1

cos 2a C c b +=

得：1

sin cos sin sin 2A C C B +

=， ----------------------2分 化简1

sin cos sin sin()2A C C A C +=+ ----------------------4分

解得：1

cos 2

A =， ----------------------6分

因为0o

A =. -----------------------7分

（Ⅱ）由余弦定理得：221255c c =+-，即2

540c c -+=.---------------------10分 解得1c =和4c =， ---------------------12分 经检验1，4都是解，所以c 的值是1和4. ---------------------13分

16.（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到

的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分 设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）=

93

95

.——-——-----5分 （Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分

设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）=

12

29

.-----------10分 (注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)

（Ⅲ）21S >2

2S . --------------------------13分 （可以简单直观解释，也可以具体：

设4类案件的均值为X ，则34

x x

X x +=

=. 22222

12342()()()()4

x x x x x x x x S -+-+-+-=

2222123()()()()4

x x x x x x x x -+-+-+-=

222123()()()4

x x x x x x -+-+-=

22221231()()()3

x x x x x x S -+-+-<=）

17.（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）在图1中，因为AB ∥CD ，AB =CD ，

所以ABCD 为平行四边形，所以AD ∥BC ,

因为∠B =90O

,所以AD ⊥BE ，当三角形EDA 沿AD 折起时，AD ⊥AB ，AD ⊥AE ， 即：AD ⊥AB ，AD ⊥P A ， -----------------------3分 又AB ∩P A =A .

所以AD ⊥平面P AB ， -----------------------4分 又因为PB 在平面P AB 上，所以AD ⊥PB . ---------------------5分

（Ⅱ） ①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分 则A （0,0,0），B （1,0,0），C （1,1,0），P （0,0,1）.

即(1,1,1)PC =-，(0,1,0)BC =，(1,0,0)DC

=

—————-------———7分

设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z

=，则 0,

PC n BC n ??=???=??，所以0,0x y z y +-=??

=?，取1z =，取1x =， —------———8分

所以(1,0,1)n =；同理求得平面PCD 的法向量(0,1,1)m

=--.

设二面角B-PC-D 为α，所以1

cos 2

||||n m n m

α?-==?,————————9分 所求二面角B-PC-D 为120o

. —————————————10分

图2

图1

②设AM 与面PBC 所成的角为?.

(0,0,1)(1,1,1)(,,1)AM AP PM

λλλλ=+=+-=-，

平面PBC 的法向量 1(1,0,1)n

=, --------------12分

sin ?

=1|cos ,|||2AM n <>==,---------------13分

解得：2

0,3

λλ== —————————————14分

18.（本小题共13分） 解：

（Ⅰ）当2a =-时，22()e x g x x -=，222'()e (22)=-2(1)e x x g x x x x x --=--—-2分 x 与'()g x 、()g x 之间的关系如下表：

函数在区间(0,)+∞内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点1x =，---4分 最大值2

1

(1)e g =. --------------------5分 （Ⅱ）

（1）当0a =时，2

()1h x x =-，显然在区间(0,16)内没有两个零点，0a =不合题意. --------------------------------- ---6分

(2)当0a ≠时，2

()1e ax x h x =-，222

()(2)e '()e e ax

ax ax

ax x x ax a h x ---==

. --------8分 ①当0a <且(0,16)x ∈时，'()0h x >，函数()h x 区间(0,)+∞上是增函数，所以函 数()h x 区间(0,16)上不可能有两个零点，所以0a <不合题意； ————9分 ②当0a >时，在区间(0,)+∞上x 与'()h x 、()h x 之间的关系如下表：

分

因为(0)1h =-，若函数()h x 区间(0,16)上有两个零点，

则2()0,216,(16)0h a a h ?>???

16410,1,82

10a

e a a e ?->???

>??

?-

1,8ln 22a a a ?

<

?>???>??. ------------11分

因为1ln 2

14ln 21ln161682

e <

?

2ln 24eln 243eln 2e 2>?>?>>, ----------------------12分 所以1ln 22

82e

<

<. 综上所述，当ln 222e a <<时，函数2

()1()

x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点. —————————13分

19.（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）因为2,a b ==1c =，离心率1

2

e =. ————————3分 （Ⅱ）22

,

3412

y x m x y =+??

+=?，消去y 的并化简得2

2

784120x mx m ++-=.------4分

2226428(412)16(213)0m m m ?=--=->，—————----------5分

设1122(,),(,)M x y N x y

，则||MN ==

，-------7分 解得2m =±，且满足0?>. —————————8分

（Ⅲ）直线AB 的方程为1

1

y y x x =，即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB

的距离d =

，||AB =分

21211||||2PAB S AB d y x x y ?===-， -----—10分

因为12

120,0,0,0x x y y ><>>，

2222112233(4),(4)44y x y x =-=-

，12y y ==--12分

所以21212112||||||y x x y y x y x -=+ -------------13分

21|||)x x =

2

221)x x =+，

=所以当22

124x x +=时，三角形△P AB

的面积为定值 ---------------14分

（Ⅲ）方法二：设直线AB 的方程为y kx =，即0kx y -=.

22

0,3412kx y x y -=??+=?

，解得2

121234x k =+

. 1||2|AB x ==点22(,)P x y ）到直线AB

的距离d =

，

11221|||||||2PAB S AB d x x kx y ?=

==-，-------------10分

因为12120,0,0,0x x y y ><>>，则0k >.

所以

1x =

2x ==

212y x =

==

----------------12分

22kx y k -=?-=

122||||PAB S x kx y ?=-=

=.

所以三角形△P AB 的面积为定值. ---------------------14分

20.（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）1110,1,2,3(7)max {3}max{0,3,6,9}9x f x ====，当13x =时,1(7)9f =.-----4分

（Ⅱ）222120,1,2

(7)max {4(73)}x f x f x ==+-， 111max{0(7),4(4),8(1)}f f f =+++

当21x =时，1110,1,2

(4)max{3}max{0,3,6}6x f x ====,当12x =时1(4)6f =.

当22x =时，1110

(1)max{2}0x f x ===,即当10x =时,1(1)0f =.

2(7)m a x {9,46,80}10f =++=，即当21x =，12x =时2(7)10f =.-----10分

（Ⅲ）答：4 4.5p <<. ----- -----13分