大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷

（一）

一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,

(),0x e x f x a x x ?<=?+>?

为连续函数,则a 的值为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h

→--的值为（ ）.

(A)1 (B)3 (C)-1 (D)

12

3. （3分）定积分

22

π

π

-

?的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2

3x 的曲线方程为 . 2. （3分）

1

241

(sin )x x x dx -+=?

.

3. （3分） 2

1

lim sin

x x x

→= . 4. （3分） 3

2

23y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分） 1. （6分）求2

ln(15)

lim

.sin 3x x x x

→+

2. （6分）设2,1

y x =+求.y '

3. （6分）求不定积分2

ln(1).x x dx +?

4. （6分）求

3

(1),f x dx -?

其中,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x

e x ?≤?

=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程0

cos 0y

x

t

e dt tdt +=?

?所确定,求.dy

6. （6分）设

2

()sin ,f x dx x

C =+?求(23).f x dx +?

7. （6分）求极限3lim 1.2n

n n →∞

?

?+ ???

四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 2

2y x x π

π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋

转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. （7

分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b

a

a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=

++--?

?

（二）

一、

填空题（每小题3分，共18分）

1．设函数()2

31

22+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.

2．函数(

)2

1ln x

y +=，则='y .

3． =?

?

?

??+∞→x

x x x 21lim

.

4．曲线x y 1=

在点??

?

??2,21处的切线方程为 .

5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 . 6．

=+?dx x x 2

1arctan . 二、

单项选择题（每小题4分，共20分）

1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .

() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ； () C 充分必要条件； () D 无关条件.

2．下列各式正确的是（ ） .

() A C e dx e x x +=--?； () B C x

xdx +=?1

ln ； () C ()C x dx x +-=-?

21ln 2

1

211； () D C x dx x

x +=?

ln ln ln 1

. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.

() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的； () C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.

4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.

() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.

5．已知()2lim 1

=+

→x f x ，以下结论正确的是（ ）. () A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义； () C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.

三、

计算（每小题6分，共36分）

1．求极限：x

x x 1

sin

lim 2

→. 2. 已知(

)2

1ln x y +=，求y '.

3. 求函数x

x

y sin =()0>x 的导数.

4. ?+dx x

x 2

2

1. 5.

?xdx x cos .

6.方程y

x

x y 11=确定函数()x f y =，求y '.

四、 （10分）已知2

x e 为()x f 的一个原函数，求()?

dx x f x 2

.

五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设

()()

C e

x dx x f x

++='

?1，求()x f .

（三）

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1） 2

10)(cos lim x x x →

（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.

（3）已知x

x

xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2

)(ln 21

x _____ .

（4）曲线

132+=

x x y 的斜渐近线方程为 _______.91

31-=x y __

（5）微分方程5

22(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.

)1()1(32227

+++=x C x y

二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）

(A) 01

1

1=?-dx x (B) 21112

-=?-dx x

(C) +∞=?∞+141

dx x (D) +∞=?∞+11dx x

（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.

(A)21,x x 都是极值点.

(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.

（3）函数212e e e x x x

y C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.

（A ）

23e .x

y y y x '''--= （B ）

23e .x

y y y '''--= （C ）23e .x

y y y x '''+-=

（D ）23e .x

y y y '''+-=

（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()

000

lim

h f x f x h h →--为（ A ）.

(A) ()0f x '. (B) ()0f x '

-. (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.

(A)

(())().

f x dx f x '=? (B)

()().=?df x f x

(C) [()]().d f x dx f x =? (D) ()().f x dx f x '=?

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限)

ln 11(

lim 1x x x x --→.

解 )ln 1

1(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分

=x x x x

x ln 1

ln lim

1+-→ 2分 = x x x x

x x ln 1ln lim

1+-→ 1分

= 211ln 1ln 1lim 1=

+++→x x x 2分

2.方程???+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2dx y d .

解 ,s i n )()(t t t x t y dx dy =''= （3分）

.

sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）

3. 4. 计算不定积分

.

222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------?分

分

（分

4.计算定积分?++3011dx x x

.

解 ??-+-=++303

0)11(11dx x x x dx x x ?+--=3

0)11(dx x （3分）

3

5)

1(3

2

330

23=

++-=x （6分）

（或令t x =+1）

四、解答题（本题共4小题，共29分）.

1．（本题6分）解微分方程256x

y y y xe '''-+=.

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．

解：建立坐标系如图

220

322203*********R

R

P g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------??

）分

[（）]分

分

3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b

a f x dx =?，

试求

()()b

a

xf x f x dx

'?

.

222()()()()21 ()221 =[()]()2211

=0222b

b a

a

b

a

b b

a a

xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------????解：分

分

分

分

4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平

面图形D.

(1) (3) 求D 的面积A;

(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .

2122312*20101*223212-56012,31.1()11

1.

21(1)121(1).12x x x x x x x

r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分

特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得所以分

所以所求通解C 分

解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线

x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是

).(1

ln 00

0x x x x y -+

= ----1分

由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.

0e x =所以该切线的方程为

.

1

x e y =

----1分

平面图形D 的面积

?-=

-=1

.121

)(e dy ey e A y ----2分

（2） 切线

x

e y 1

=

与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为

.

3121e V π= 2分

曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为

dy

e e V y 21

2)(?-=π， 1分

因此所求旋转体的体积为

).

3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y π

ππ 1分

五、证明题（本题共1小题，共7分）.

1.证明对于任意的实数x ，1x

e x ≥+.

解法一：2

112x

e e x x x

ξ=++≥+ 解法二：设

() 1.x

f x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.x

f x e '=- 1分

当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分

所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x

e x ≥+。 1分 解法三：由微分中值定理得，

01(0)x x e e e e x e x ξξ-=-=-=，其中ξ位于0到x 之间。 2分

当0x ≥时，1e ξ>，1x

e x -≥。 2分 当0x ≤时，1e ξ<，1x

e x -≥。 2分 所以对于任意的实数x ，1x

e x ≥+。 1分

（四）

一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

1． 2

1

lim()

x

x x e x →-=

2

1e .

2．

()()120051

1x x x x e e dx --+-=

?

e 4

.

3．设函数()y y x =由方程2

1x y

t e dt x +-=?确定，则0

x dy

dx

==

1-e .

4. 设()x f 可导，且

1

()()

x tf t dt f x =?

，1)0(=f ，则()=x f 22

1x e

.

5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为x

e x C C y 221)(-+=.

二．选择题（每小题4分，4题共16分）：

1．设常数0>k ，则函数

k

e x x x

f +-

=ln )( 在

),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）

（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *

=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *

=+； （D ）x A y 2sin *

= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）

(A) (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有

()()??

≤b

a

d

c

dx

x f dx x f ;

(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b

a

f x dx ≥?;

(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数

a 都有

()()??

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;

(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0x

t f t dt ?也为奇函数.

4. 设

()x

x e e

x f 11

321++=

, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分?-2

032

dx

e x x .

解：

??

?----===2

02

020

322121,2

t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2

?

?????--=?--200221dt e te t t -------2 2

223210221

----=--=e e e t --------2

2．计算不定积分dx x x x ?

5cos sin .

解：

???

???-==???x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3

C x x x x x d x x x +--=+-=

?tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41

cos 43

424 -----------3 3．求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在

2π=

t 处的切线的方程. 解：切点为

)

),12

(

(a a -π

-------2

2

π==

t dx dy k 2

)c o s 1(s i n π=-=

t t

a t

a 1= -------2

切线方程为

)

12

(

--=-π

a x a y 即

a

x y )2

2(π

-

+=. -------2

4. 设 ?-=x

dt

t x x F 0

2)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 22

2

x x x x x ---.

5．设

n n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

，求n

n x ∞→lim .

解：

)

1l n (1ln 1∑=+=n i n n i

n x ---------2 ?∑+=+==∞→∞→101)1l n (1

)1l n (lim ln lim dx

x n n i x n i n n n --------------2 =12ln 211

)1ln(1

010-=+-+?dx x x

x x ------------2 故 n n x ∞→lim =

e e

412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=

x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.

解：

设切点为

),00y x （，则过原点的切线方程为x

x y 221

0-=

， 由于点

),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为

22x

y =

-----------------------------3

面积

dy

y y s )222(2

2

?

-+==32

2-------------------3

或 322)22

21(

2

212

4

2

=

--+=?

?dx x x xdx s

2．设平面图形D 由22

2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积

.

解： 法一：21V V V -=

[

]

[]

?

??---=-----=10

22

1

210

2

2

)1(12)2()11(2dy

y y

dy y dy y πππ -------6

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy --------3 法二：V =

?---1

2)2)(2(2dx

x x x x π

??----=10

10

22

)2(22)2(2dx

x x dx x x x ππ ------------------ 5

[]

?--+--=10223

4

222)22(π

πdx x x x x x ππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=x x ------------- 4

3. 设1,a >at a t f t

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最

小值.

解:

.ln ln ln 1)(0ln )(a a

a t a a a t f t -

==-='得由 --------------- 3

0)(l n 1

ln ln )(2

e e a a a a a t ==-=

'得唯一驻点又由------------3

.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2

故

.1

1ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-

==最小值为的最小值点为--------------1

五．证明题（7分）

设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1

(0)=(1)0,()12f f f ==，

试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'

证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,

有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2

又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1

[1]2，上()F x 用零点定理，

根据11(1)()=-0

22F F <，--------------- 2 可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)

2F ηη∈?，,

(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈?使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3

标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1

3

1;y x

=+ 2

2

;3

3 0;

4 0. 三、 1 解 原式205l i m

3x x x x →?= 5

3

=

6分 2

解 22

l n l n l n (1),12

x

y x x ==-++ 2分

2

212[]121

x

y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式22

1ln(1)(1)2

x d x =

++? 3分

222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x =++-+?+? 2分

2221

[(1)l n (1)]2

x x x C

=++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分

3

2

1()()f x dx f t dt -=?? 1分

1

211(1)1cos t t

dt e dt t

-=+++?? 1分

2

1

0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分

5 两边求导得cos 0,y

e

y x '?+= 2分

cos y x

y e

'=-

1分

c o s s i n 1

x

x =

- 1分

cos sin 1

x

dy dx x ∴=

- 2分

6 解

1(23)(23)(22)2f x d x f x d x

+=

++?

?

2分

21

sin(23)2

x C =++ 4分 7

解 原式=23

32

3lim 12n n n ?→∞?

?+ ???

=32

e 6分

四、1 解 令l n ,x t =则,()1,t

t x e

f t e '==+ 3分

()(1)t f t e dt =+?=.t t e C ++ 2分

(0)1,0,f C =∴= 2分

().x f x x e ∴=+ 1分

2 解 2

22

c o s x

V x d x π

ππ-=? 3分

2202c o s x d x π

π=? 2分

2

.2

π=

2分

3 解

23624,66,y x x y

x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分 当1x -∞<

<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分

(1,3)∴为拐点, 1分

该点处的切线为321(1).y x =+- 2分

4 解

1y '=-

= 2分

令0,y '=得3

.4

x

= 1分

35

(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ??-=-+≈-== ??? 2分

∴

最小值为(5)5y -=-+最大值为35

.44

y ??= ??? 2分

五、证明

()()()()()()b

b

a

a

x a x b f x x a x b df x '''--=--?

? 1分

[()()()]()[2()b

b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+? 1分 [2()()b

a x a

b df x =--+? 1分

{}[2()]()2()b

b

a a x a

b f x f x dx =--++? 1分 ()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++? 1分

移项即得所证. 1分

高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案）

1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是

无穷小. (A) ()()x x βα+

(B) ()()x x 2

2βα+

(C)

[])()(1ln x x βα?+

(D) )()

(2x x βα

2. 极限a

x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1

（B ） e

（C ） a

e

cot （D ） a

e

tan

3.

???

??=≠-+=001

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1

（B ） 0

（C ） e （D ） 1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）.

（A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '

(C) )(a f ' （D ） )

(31

a f '

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)

0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.

6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x

xe ye x y

x xy

xy ln 2sin 2+++

- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直

线l 的方程为 13

1211--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限10(1)lim

x

x x e

x →+-.

解：1

1

ln(1)120

00(1)1

ln(1)lim

lim lim

2x x

x

x x x x e e x x e

e e x x

x +-→→→+--+-===-

10. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且

]

,[)()()(b a x dt t f t x x F x

a

∈-=?，试求出)(x F ''。

解：

??-=x

a

x

a

dt

t tf dt t f x x F )()()(

??=-+='x

a

x

a

dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F =''

11. 求

3cos .sin x

x

dx x ?

解

：2

3c o s i

s i

x

x

d x -=-??2

2

11s i

22

x x --=-

?

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

12. 求

?

-2

3

2

21

x x dx .

令　

1x t =

?

--=21

2

322)1

(11

11dt t t t

原式

=

-?

dt

t 121

2

32

=arcsin t

12

3

2=

π

6

13. 求函数

212x x y +=

的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）

22)1()

1)(1(2x x x y ++-='

3

22)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1

= 1, x 2

= -1

0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2

= -1是极小值点

极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y

0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23

）

14. 求由曲线43x y =与2

3x x y -=所围成的平面图形的面积.

解　:,,

x x x x x x 3

232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123

S x x x dx x x x dx

=-++---??()()3260

2

3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340

21632332316

=+=4521347

1

3 15. 设抛物线2

4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大.

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离　的面积

+-==+-=-++-≤≤2104521

5

235

132()

?

S x x x x x ()()

=??-++=-++124523

522322

当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40

1 此时 所求点为，y =313()

另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,(),(),,(,)002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题（本大题4分）

16. 设0x >，试证x x e x

+<-1)1(2.

证明：设

0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，0)(,

0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，

+∞）内递减。在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x

亦即当 x >0时，x x e x

+<-1)1(2 试证

x x e x +<-1)1(2.

中国传媒大学

2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）

及参考解答与评分标准

考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科

各班

考试方式： 闭卷

命题教师：

一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ）

1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此

区间内单调 增加 ，曲线是 上凸 的。

2、设?????+=

+=232

322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx

y d )1(23t +。 3、=?dx x x 1cos 12 C x +-1s i n 。

二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括

号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）

1、设A x x ax x x =-+--→14lim 231，则必有 . 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ，　，，　，

答( C )

2、设

211

)(x x f -=

，则)(x f 的一个原函数为

x x D x x C x B x A -++-11ln

21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )(

答( D )

3、设f 为连续函数，又，?=x

e x dt t

f x F 3)()(则=')0(F

)0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A -

答( B )

三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ）

1、求极限x e e x x x cos 12lim

0--+-→。

解：

=--+-→x e e x x x cos 12lim 0x e e x x x sin lim 0-→- （3分） 2cos lim 0=+=-→x e e x

x x 。 （5分）

2、

x y 2

ln 1+=,求y '。 解:

x x y 22ln 121

)ln 1(+?

'+=' （3分）

x x x 2ln 1211ln 2+??=x

x x

2ln 1ln +=

。 （5分）

四. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）

1、讨论

???

??=≠=0,00arctan )(2

x x x

x x f ，，在0=x 处的可导性。 解：lim ()()lim arctan x x f x f x x x →→--=002

200 （4分）

=1 ， （6分）

所以)(x f 在0=x 处可导。 （8分） 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得

ξξ=)(f 。

证：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续。 （2分） 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F ； （4分） 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立。 （6分） 若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈?ξξF 使得。（8分）

3、证明不等式：当4>x 时，2

2x x >。

证：令2

2)(x x f x -=，则0)4(=f 。 （2分）

x x f x

22ln 2)(-='，084ln 8)4(>-='f ， 2)2(ln 2)(2-=''x x f ，显然，当4>x 时，

0]1)4ln 2[2)(2>->''x f （4分）

)(x f '∴在区间),4(+∞内单调增加。

又0)4(>'f ，)(x f '∴在区间),4(+∞内恒大于零。 （6分）

又0)4(=f ，)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零。

即当4>x 时，02)(2>-=x x f x ，即22x x >。 （8分）

五. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）

1、求函数

x e y x

cos =的极值。 解：)sin (cos x x e y x

-='，令0='y ，得驻点

4π

π+

=k x （k 为整数）。 （4分）

x e y x s i n 2-=''。 ∴当42π

π+=k x 时，,0<''y )(x f 在该处取得极大值，其值为4222π

π+=k e

y ；（6分）

当452ππ+=k x 时，,0>''y )(x f 在该处取得极小值，其值为4

5222π

π+-=k e

y 。（8分）

2、求不定积分

?

x

x

x d cos sin 3。

解：

?

x x x d cos sin 3

)

d(cos cos cos 12x x x

?--= （4分）

??-=x x x x cos )

d(cos )d(cos )(cos 2

3

（6分）

C x x +-=

cos 2cos 52

5。 （8分）

3、计算积分

?-+-+22

22)cos 233(ln sin π

πdx x x

x

x 。

解：

．?-+-+2222)cos 233(ln sin π

πdx x x x x dx x x x x x )cos sin 233ln (sin 2222

2+-+=?-π

π （4分）

?=20

2

2s i n π

x d x （6分）

221π?=

4π=。 （8分）

六. 解答下列各题 （本大题共4小题，每小题6分，总计24分 ）

1、求不定积分?+)

1(10x x dx

。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解

大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

(精选)大一高数期末考试试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）

2017大一第一学期期末高数A试卷及答案

高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等；

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f （ ）(0)2f '= （ ）(0)1f '=（ ）(0)0f '= （ ）()f x 不可导 　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα （ ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ ）()()x x αβ与是等价无穷小； （ ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （ ）()x β是比()x α高阶的无穷小 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ） （ ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （ ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （ ）22x （ ）2 2 2x +（ ）1x - （ ）2x + 二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分） = +→x x x sin 2 ) 31(lim ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则

lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x 三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分） 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .d )1(17 7 x x x x ?+-求 ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数 求'()g x 并讨论 '()g x 在=0x 处的连续性 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解 四、 解答题（本大题 分） 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点 M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍 与该点纵坐标之和，求此曲线方程 五、解答题（本大题 分） 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形 求 的面积 ； 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x