传染病问题中的SIR模型说课讲解

假设：1?信息具有足够的吸引力，所有人都感兴趣，

并传播。

2.人们对信息在一定时间内会失去兴趣。

传染病问题中的SIR模型

摘要：

2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。在这里我采用SIR(Susceptible. Infectives，Recovered模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据，维护人类健康与社会经济发展。

关键字：传染病；动力学；SIR模型。

一、模型假设

1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因

素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles),其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered),其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。

2. 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数入，日治愈率(每天被治愈的

病人占总病人数的比例)为常数卩，显然平均传染期为1/卩，传染期接触数为c =入/卩。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。

、模型构成

在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下:

r

口i —

在假设1中显然有：

s(t) + i(t) + r(t) = 1

( 1)

对于病愈免疫的移出者的数量应为

N dr Ni d t 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为

r o =0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下：

di Si i dt

ds . Si dt

dr i dt

s(t) , i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计

s(t) , i(t)的一般变化规 律。

三、数值计算

在方程(3)中设入=1,卩=o.3, i (o )= o.o2, s (o )=o.98，用 MATLAB 软件编程：

function y=ill(t,x)

a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x (2)-b*x(1);-a*x(1)*x (2)];

ts=0:50;

x0=[0.02,0.98];

[t,x]=ode45('ill',ts,x0);

plot(t,x(:,1),t,x(:,2))

pause

plot(x(:,2),x(:,1))

输出的简明计算结果列入表1o i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s 图形称为相轨线，初 值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t 的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、 图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少,t,j r 0,s(t)则单调减

少,t fx ,s f 0.0398.并分析i(t),s(t) 的一般变化规律.

S o ( S o >0), i o (i o > 0),

(3)