2016年北京中考数学解析
2016年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有
．．一个。
1. 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为
（A） 45°
（B） 55°
（C） 125°
（D） 135°
答案：B
考点：用量角器度量角。
解析：由生活知识可知这个角小于90度，排除C、
D，又OB边在50与60之间，所以，度数应为55°。
2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。将28 000用科学计数法表示应为
（A）（B） 28（C）（D）
答案：C
考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表示形式为10n
a?形式，其中1||10
≤<，n为整数，28000＝。
a
故选C。
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
（A）a（B）（C）（D）
答案：D
考点：数轴，由数轴比较数的大小。
解析：由数轴可知，－3＜a＜－2，故A、B错误；1＜b＜2，
－2＜－b＜－1，即－b在－2与－1之间，所以，。
4. 内角和为540的多边形是
答案：ｃ
考点：多边形的内角和。
解析：多边形的内角和为(2)180
n-??，当n＝5时，内角和为540°，所以，选C。
5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是
（A）圆锥（B）三棱锥
（C）圆柱（D）三棱柱
答案：D
考点：三视图，由三视图还原几何体。
解析：该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这
个几何体是三棱柱。
6. 如果,那么代数
2
()
b a
a
a a b
-
-
的值是
（A） 2 （B）-2 （C）（D）
答案：A
考点：分式的运算，平方差公式。
解析：
2
()
b a
a
a a b
-
-
＝
22
a b a
a a b
-
-
＝
()()
a b a b a
a a b
-+
-
＝a b
+＝2。
7. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是
答案：D
考点：轴对称图形的辨别。
解析：A、能作一条对称轴，上下翻折完全重合，B和C也能
作一条对称轴，沿这条对称翻折，左右两部分完全重合，只有
D不是轴对称图形。
8. 在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所
示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是
（A） 3月份（B） 4月份
（C） 5月份（D） 6月份
答案：B
考点：统计图，考查分析数据的能力。
解析：各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3元，
4月：6-2.5＝3.5元，5月：4.5-2＝2.5元，
6月：3-1.5＝1.5元，所以，4月利润最大，选B。
9. 如图，直线,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为
（A）（B）（C）（D）
答案：A
考点：平面直角坐标系。
解析：因为A点坐标为（－4,2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处。如下图，O1符合。
10. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量
实行阶梯水价，水价分档递增。计划使第一档、第二档
和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和
5%。为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万
户居民家庭上一年的年用水量（单位：
），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断： ① 年用水量不超过180的该市居民家庭按第一档水价交费 ② 年用水量超过240
的该市居民家庭按第三档水价交费
③ 该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间 ④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过180
（A ） ①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ）②④ 答案：B
考点：统计图，会用统计图中的数据分析问题。 解析：年用水量不超过180的居民家庭有：0.25＋0.75＋1.5＋1＋0.5＝4（万），4
5
＝80%，
所以，①正确； 年用水量超过240的居民家庭有：0.15＋0.15＋0.05＝0.35（万），
0.35
5
＝7%，故②不正确；
30-120的有2.5万人，120－330的有2.5万人，中位数应该是120，故③不正确； 由于中位数为120，用水量小于150的有3.5万人，所以该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，④正确。
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果分式2
1
x -有意义，那么x 的取值范围是 。 答案：1x ≠ 考点：分式的意义。
解析：由分式的意义，知：10x -≠，所以，1x ≠
12.右图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： 。 答案：()m a b c ma mb mc ++=++（答案不唯一） 考点：矩形的面积计算，用图形说明因式分解。
解析：最大矩形的长为()a b c ++，宽为m ，所以，它的面积为()m a b c ++；又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和，三个小矩形的面积分别为：
,,ma mb mc ，所以，有()m a b c ma mb mc ++=++
13. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
移植的棵数n 1 000 1 500 2 500 4 000 8 000 15 000 20 000 30 000 成活的棵数m 865 1 356 2 220 3 500 7 056 13 170 17 580 26 430
成活的频率0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为。
答案：0.881
考点：频率估计概率。
解析：用频率估计概率，数据越大，估计越准确，所以，移植幼树棵数越多，估算成活的概率越准确，因此0.881可作为估计值。
14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为 m。
答案：3
考点：等腰三直角三角形判定与性质。
解析：如下图，因为小军、小珠都身高与影长相等，所以，
∠E＝∠F＝45°，所以，AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为xm，
则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8，
又CD＝2.7，所以，x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得：x＝3（m）
15. 百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为。
答案：505
考点：考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力。
解析：1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050，
共10行，每一行的10个数之和相等，所以，每一行数字之和为：5050
10
＝505。
16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。
请回答：该作图的依据是。答案：（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在PQ的垂直平分线上）；（2）两点确定一条直线（AB垂直PQ）（其他正确依据也可以）
考点：线段的垂直平分线定理，尺规作图。
解析：由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ。
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 计算：0
(3)4sin 45813-π+-+-. 考点：实数的运算。 解析：原式
。
18. 解不等式组：253(1)742
x x x x +>-??
?+>??
考点：不等式组的求解。 解析：
。
19. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分,交DC 的延长线
于点E. 求证：DA=DE
考点：平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边。 解析： 证明：
.
20. 关于x 的一元二次方程+(2m
有两个不想等的实数根。
（1）求m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根。 考点：一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解。 解析：（1）原方程有两个不相等实数根
解得。
（2）
，原方程为，即 。（m 取其
他值也可以）
21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （－6，0）的直线与直线；y=2x 相交于点B （m ，4）。
（1）求直线的表达式；
（2）过动点P(n,0)且垂于x 轴的直线与
的交点分别
为C,D,当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围。
考点：函数图象，一次函数，不等式。 解析：（1）点B 在直线l 2上
，
设l 1的表达式为
，由A 、B 两点均在直
线l 1上得到，，
解得，则l 1的表达式为。
（2）由图可知：，
点C 在点D 的上方，所以，322
n
n +>，解得：。
22. 调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况。
小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4.
小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位：）
家庭人数 2 3 4 5 用气量 14
19
21
26
表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：） 家庭人数 2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
用气量
10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22
表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：
）
家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31
根据以上材料回答问题：
小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。
考点：抽样调查，分析数据，解决问题的能力。
解析：小芸，小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为
，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为
，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况。
23. 如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中
点，连接BM,MN,BN.
(1)求证：BM=MN;
(2),AC平分,AC=2,求BN的长。
考点：三角形的中位线定理，勾股定理。
解析：（1）证明：在中，M、N分别是AC、CD的中点
在中，M是AC的中点又。
（2）解：且AC平分
由（1）知，
而由（1）知，。
24. 阅读下列材料：
北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施
”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业。
2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%。2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%。文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位。2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高。2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%。
（以上数据来源于北京市统计局）根据以上材料解答下列问题：
（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；
（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元，你的预估理由。
考点：考查学生的阅读能力，处理数据的能力。
解析：（1）如下图：
（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可）
25. 如图，AB 为
于点D ，过点D 作的
切线，交BA 的延长线于点E. (1) 求证：AC ∥DE:
(2) 连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路。
考点：圆的切线的性质定理，垂径定理，多边形面积的计算。 解析：（1）证明：ED 与相切于D
F 为弦AC 的中点
，
（2）解：①四边形DFAE 为直角梯形，上底为AF ，下底为DE ，高为DF ，有条件比较容易在直角三角形DOE 中计算出DE 长为
，DF=
2
a
，AF=，所以可以求出四边形
DFAE 的面积为；
②在三角形CDF 中，，且DF=a/2, FC=AF=，进而可以求解在三角形CDF
的面积为；
③四边形ACDE 就是由四边形DFAE 和三角形CDF 组成的，进而可以得到四边形ACDE 的面积就等于他们的面积和，为
（本题也可以通过证明四边形ACDE 为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可）。
26. 已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围
,下表是y 与x 的几组对应值
x … 1 2 3 5 7 9 … y
…
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
…
小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x＝4对应的函数值y约为；
②该函数的一条性质：。考点：函数图象，开放式数学问题。
解析：
（1）如下图：
（2）①2（2.1到1.8之间都正确）
②该函数有最大值（其他正确性质都可以）。
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为A,B.
(1)求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区
域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的
取值范围。
考点：二次函数的图象及其性质。
解析：（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。
（2）解：①时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为(0,0)和
(2,0)，则线段AB上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；
②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令，得到A、B两点坐标分别为
，
即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到，。
28. 在等边中，
（1）如图1， P,Q是BC边上两点，AP=AQ,,求的度数；
（2）点P,Q是BC边上的两个动点（不与点B,C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的的对称点为M，连接AM,PM.
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P、Q运动的过程中，始终有PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1:要证明PA=PM，只需证是等边三角形。
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP,要证PA=PM，只需证
想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK,PM=CK…….
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）
考点：三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理。
解析：（1）解：又
又。
（2）①下图；②利用想法1证明：连接AQ，首先应该证明，
得到，然后由得到，进而得到;
接着利用AB=AC ，得到，
从而得到AP=AM，进而得到PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以）
29. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（点Q的坐标为（），且，
某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）的半径为，点M的坐标为（m,3）。若在上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。
考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力。
解析：
（1）解：①；②C的坐标可以为(3,2)或者(3,-2)，设AC的表达式为, 将A、C分别代入AC的表达式得到
或，解得或，
则直线AC的表达式为或。
（2）解：易得随着m的变化，所有可能的点M都在直线y=3上；
对于圆上任何一点N，符合条件的M和N必须在k=1或者-1的直线上，
因此可以得到m的范围为或者。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）