贝叶斯参数估计

贝叶斯优化以及高斯过程

贝叶斯优化算法 贝叶斯优化算法( BOA) 就是由美国UIUC 大学的Pelikan 等在2000 年前后提出的,在贝叶斯优化算法中,根据均匀分布随机产生初始种群,然后采用进化算法的各种选择方法,比如二进制锦标赛选择、比例选择、截断选择等,从当前种群中选择候选解,再根据选择后的种群建立贝叶斯网络概率模型,从模型的采样中获取新的候选解,最后,将采样得到的解重新加入到原来的种群中,可以用新的解代替原来的种群; 重复这个过程,直到满足终止条件。在已经找到的最优解,或者就是种群已经失去了多样性,或者就是已经不太可能找到更优的解等情况下可以中止程序。贝叶斯优化算法的流程如下: ( 1) 设t: = 0,随机产生初始种群P( 0) ; ( 2) 从P( t) 中选择候选解S( t) ; ( 3) 在一定的选择规则与限制条件下构建符合要求的贝叶斯网络B; ( 4) 根据贝叶斯网络B 的联合分布函数产生新的解O( t) ; ( 5) 用O( t) 取代P( t) 中的部分解,形成新的种群P( t + 1) ; ( 6) 如果不满足终止条件,转向( 2) 。 在贝叶斯优化算法中,建立贝叶斯网络就是算法的核心与关键。贝叶斯网络就是联合概率分布的图形表示形式。一个贝叶斯网络由两部分组成:结构B 与参数θ。结构B 就是一个有向无环图,其节点表示各个变量,节点之间的有向边表示变量之间的条件依赖关系。参数由变量间的条件概率来决定,一般贝叶斯网络包含如下的联合概率分布: 贝叶斯网络就是用来描述所选择的优秀解的特征与分布,以此来指导新解的生成。Bayes 网络的学习就是一个NP 难题,对它的研究已经非常深入,对网络结构

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案

习题讲解 一、1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为x. ()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.7 0.10.5418 0.1488*0.70.2936*0.3 0.2936*0.3 0.20.4582 0.1488*0.70.2936*0.3 p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈== ≈+==≈+后验分布： ()()()() ()111 3353680 362(|)(1)*2(1)112(1)15 (|)840(1),01 m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-= ==-<

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于是7 88 192 ()(,)m X h X d d θθθθ +∞+∞ ==?? θ的后验分布为 76 77 8 (,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθ θ+∞?===? 6 7 68,8()0,8X θπθθθ??≥? =??=? ≤? {}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x α ααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>= 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核 即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++?+>=?≤? 即得证。

基于改进贝叶斯优化算法的图像分割方法

第37卷第12期应 用 科 技 Vol．37，?．12 2010年12月 Applied Science and Technology Dec．2010 doi ：10．3969/j．issn．1009－671X．2010．12．005 基于改进贝叶斯优化算法的图像分割方法 毕晓君，彭 伟 （哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001） 摘 要：图像分割是图像处理和计算机视觉的重要研究领域．在此将基于免疫机理的改进贝叶斯优化算法应用 于图像分割， 利用其较好的寻优能力搜索到图像的最佳阈值，达到较好的图像分割效果，并拓展了算法的应用领域．仿真结果表明，改进贝叶斯优化算法可以获得更好的图像分割效果及更低的计算量．关键词：图像分割；贝叶斯优化算法；免疫机理；计算量中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1009－671X （2010）12－0019－04 Image segmentation based on improved Bayesian optimization algorithm BI Xiao-jun ，PENG Wei （College of Information and Communication Engineering ，Harbin Engineering University ，Harbin 150001，China ） Abstract ：Image segmentation is one of the most important research fields of image process and computer vision．In this paper ，improved Bayesian optimization algorithm based on immune mechanism is introduced into image seg-mentation to seek optimal threshold by using the algorithm＇s optimizing ability ，and to extend this algorithm＇s appli-cation field．Simulation results show that the proposed algorithm has a better image segmentation result and lower computational complexity． Keywords ：image segmentation ；Bayesian optimization algorithm ；immune mechanism ；computational complexity 收稿日期：2010-01-14．作者简介：毕晓君（1964-），女，教授，博士生导师，主要研究方向：智能信号处理， E-mail ：bixiaojun@hrbeu．edu．cn．图像分割是图像处理、模式识别等研究领域中的重要课题，受应用目的、目标背景特性和成像条件等因素影响， 图像分割并没有通用的算法［1－3］ ．目前图像分割归纳起来主要有4种分割方法：阈值法、区域分割法、边缘检测法、聚类法．其中最常用的方法是阈值分割法， 其关键在于寻找最优的阈值，因此近年来有人成功地将一些优化算法应用到阈值确定上，如利用遗传算法较好的寻优能力，得到图像的最佳分割阈值；但是遗传算法易于陷入局部最优，不能保证每次图像分割都是最佳效果，所以如何有效的获取最佳阈值仍是目前研究的重点． 贝叶斯优化算法（Bayesian optimization algo-rithm ，简称BOA 算法）是近年逐渐兴起的一种基于概率分布的优化算法，它将贝叶斯网络模型引入到 进化算法中，通过选择策略选择出适应度值较高的解，并从这些解中提取信息，构造贝叶斯网络，然后再对贝叶斯网络进行采样从而产生新解 ［4－5］ ，这样 产生的解不但有贝叶斯网络这个数学工具作为理论基础，还不会破坏基因块的连锁依赖关系，从而避免了遗传算法易于陷入局部最优的问题 ［6］ ． 文中将基于免疫机理的贝叶斯优化改进算法应用到图像分割当中，该算法通过免疫机理的指导作用，减少贝叶斯优化算法的计算量，并能得到最优的分割阈值， 达到最佳的分割效果．1图像的阈值分割方法 阈值法是图像分割最常用的方法之一，其中最 常用的方法是最大类间方差法．

第五章贝叶斯估计

第五章贝叶斯统计 5.1 简介 到目前为止，我们已经知道了大量的不同的概率模型，并且我们前面已经讨论了如何用它们去拟合数据等等。前面我们讨论了如何利用各种先验知识，计算MAP参数来估计θ=argmax p(θ|D)。同样的，对于某种特定的请况，我们讨论了如何计算后验的全概率p(θ|D)和后验的预测概率密度p(x|D)。当然在以后的章节我们会讨论一般请况下的算法。 5.2 总结后验分布 后验分布总结关于未知变量θ的一切数值。在这一部分，我们讨论简单的数，这些数是可以通过一个概率分布得到的，比如通过一个后验概率分布得到的数。与全面联接相比，这些统计汇总常常是比较容易理解和可视化。 5.2.1最大后验估计 通过计算后验的均值、中值、或者模型可以轻松地得到未知参数的点估计。在5.7节，我们将讨 论如何利用决策理论从这些模型中做出选择。典型的后验概率均值或者中值是估计真实值的恰当选择，并且后验边缘分布向量最适合离散数值。然而，由于简化了优化问题，算法更加高效，后验概率模型，又名最大后验概率估计成为最受欢迎的模型。另外，通过对先验知识的取对数来正 则化后，最大后验概率可能被非贝叶斯方法解释（详情参考6.5节）。 最大后验概率估计模型在计算方面该方法虽然很诱人，但是他有很多缺点，下面简答介绍一下。在这一章我们将更加全面的学习贝叶斯方法。 图5.1（a）由双峰演示得到的非典型分布的双峰分布，其中瘦高蓝色竖线代表均值，因为他接近 大概率，所以对分布有个比较好的概括。(b)由伽马绘图演示生成偏态分布，它与均值模型完全不同。 5.2.1.1 无法衡量不确定性 最大后验估计的最大的缺点是对后验分布的均值或者中值的任何点估计都不能够提供一个不确定性的衡量方法。在许多应用中，知道给定估计值的置信度非常重要。我们在5.22节将讨论给出后验估计置信度的衡量方法。 5.2.1.2 深耕最大后验估计可能产生过拟合

贝叶斯优化算法全面解析-图文

Bayesian Optimization CSC2541 - Topics in Machine Learning Scalable and Flexible Models of Uncertainty University of Toronto - Fall 2017

Overview 1.Bayesian Optimization of Machine Learning Algorithms 2.Gaussian Process Optimization in the Bandit Setting 3.Exploiting Structure for Bayesian Optimization

Bayesian Optimization of Machine Learning Algorithms J. Snoek, A. Krause, H. Larochelle, and R.P. Adams (2012) Practical Bayesian Optimization of Machine Learning Algorithms J. Snoek et al. (2015) Scalable Bayesian Optimization Using Deep Neural Nets Presentation by: Franco Lin, Tahmid Mehdi, Jason Li

Motivation Performance of Machine Learning algorithms are usually dependent on the choice of hyperparameters Picking the optimal hyperparameter values are hard -Ex. grid search, random search, etc. -Instead could we use a model to select which hyperparameters will be good next?

贝叶斯估计方法学习感想及看法

关于贝叶斯估计方法学习感想及看法 经过半学期的课程学习，终于在参数估计这部分内容的学习上有了个终结。参数估计方面的学习主要分了经典学派的理论和贝叶斯学派的理论。在参数估计上经典学派运用的是矩法和极大似然估计，贝叶斯学派用的当然就是Bayes 估计。经典学派的学习在本科学习比较多，而Bayes 方法对我来说算是个新知识，在此只对Bayes 统计方法做个小结，然而由于知识有限性，只能粗略地从讲义中对Bayes 估计总结点观点出来。 贝叶斯统计中除了运用经典学派的总体信息和样本信息外，还用到了先验信息，其中的两个基本概念是先验分布和后验分布。 1，先验分布，总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于总体分布参数总体分布参数θ的任何统计推断问题中，除了使用样本所提供的信息外，还必须规定一个先验分布，它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。他们认为先验分布不必有客观的依据，可以部分地或完全地基于主观信念。 2，后验分布。根据样本分布和未知参数的先验分布，可以用概率论中求条件概率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据后验分布，而不能再涉及本分布。可以看出Bayes 统计模型的特点是将参数θ视为随机变量，并具有先验分布H(θ)。Bayes 统计学派与经典学派的分歧主要是在关于参数的 认识上的分歧，经典学派视经典学派视θ为未知常数；而Bayes 学派视θ为随机变量且具有先验分布为随机变量且具有先验分布。两个学派分歧的根源在于对于概率的理解。经典学派视概率为事件大量重复实验频率的稳定值；而Bayes 学派赞成主观概率，将事件的概率理解为认识主体对事件发生的相信程度。个人认为将θ视为随机变量且具有先验分布具有实际意义，这也算Bayes 学派在二百年时间不断发展的一个前提。 然后用数学计算的观点来看看Bayes 估计： 一切估计的目的是要对未知参数θ作统计推断。在没有样本信息时，我们只能依据先验分布对θ作出推断。在有了样本观察值1(,,)n X x x = 之后，我们应依据(,)h X θ对θ作出推断。若把(,)h X θ作如下分解： ()(,)|()h X X m X θπθ= 其中()m X 是X 的边际概率函数： ??ΘΘ ==,)()|(),()(θθπθθθd X p d X h X m 它与θ无关，或者说)(X m 中不含θ的任何信息因此能用来对θ作出推断的仅是条件分布)|(X θπ，它的计算公式是：)|(X θπ=(,)h X θ/()m X 。 贝叶斯统计学关键是首先要想方设法先去寻求θ的先验分布h （θ），先验分布的确定方法有客观法，主观概率法，同等无知原则，共轭分布方法，Jeffreys

对贝叶斯估计的理解

对贝叶斯定理及其在信号处理中的应用的理解 信号估计中的贝叶斯方法是对贝叶斯定理的应用，要理解贝叶斯估计首先要理解贝叶斯定理。 一、 贝叶斯定理： 1. 贝叶斯定理的简单推导过程 贝叶斯定理就是条件概率公式(贝叶斯公式)，所谓条件概率就是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，常用(/)P B A 表示。一般情况下(/)P B A 与 (/)P A B 是不相等的。容易得到: (/)P B A = ()()P A B P A ,(/)P A B =() () P A B P B 所以 (/)P B A ()P A =(/)P A B ()P B , 对上式变形得贝叶斯公式： (/) P A B =(/)() () P B A P A P B （1） 若',A A 为样本空间的一个划分，可得全概率公式： ()P B =''(/)()(/)()P B A P A P B A P A + 所以（1）式可以改写为： '' (/)() (/)(/)()(/)() P B A P A P A B P B A P A P B A P A = + （2） 如果12n A A A ，，...,为样本空间的一个划分，由（2）式可得条件概率(/)j P A B 1 (/)() (/)(/)() j j j n i i i P B A P A P A B P B A P A == ∑ （3） （3）式就是当样本空间的划分为n 时的贝叶斯公式即贝叶斯定理。我们把其中的()(1,...)i P A i n =称为先验概率，即在B 事件发生之前我们对i A 事件概率的一个判断。(/)j P A B 称为后验概率，即在B 事件发生之后我们对i A 事件概率的重新评估。 2. 贝叶斯公式的事件形式

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案word精品

加 I —W )W j04/(l -疔 3 6 840 (1 ) ,0 1 1.6 习题讲解 一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x 0.1) Cs *0.1 2 *0.96 0.1488 p(x 0.2) C ； *0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2 x 0.1488*0.7 0.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.3 0.1488*0.7 0.2936*0.3 0.5418 0.4582 苴它 1 o

( X) i …氏 设辱心…血 是栗ri 泊松分布praj 的 个样本swe 匚此样木的似然函数为匕 现収仙也［分?仃 Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A 的址验匕们?即 ―oo < a v +c? 的后验分布为 192/ 7 6 86 192 — 8 7 参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M j A 服从伽玛分布Go 辽対+桟申一八 r-1 1.11由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,) P(X ) 亠 0 X 0, 其它 因为抽取3个样本，即X (x 1,x 2, x 3)，所以样本联合分布为 丄 p(X) 3, 0, X i ，X 2, X 3 其它 又因为 192/ 0, 所以，利用样本信息得 h(X, ) p(X )() 1 ~3 192 ~4 192 ( ~7 ( 8,0 X i ,X 2,X 3 ) 于是 m(X) 8 h(X, )d 192 , rd p(x\A) = — Xi —, -OC < XIX/ < +OC h(X,) m(X)

LM 优化算法和贝叶斯正则化算法

% 采用贝叶斯正则化算法提高 BP 网络的推广能力。在本例中，我们采用两种训练方法， %即 L-M 优化算法（trainlm）和贝叶斯正则化算法（trainbr）， % 用以训练 BP 网络，使其能够拟合某一附加有白噪声的正弦样本数据。其中，样本数据可以采用如下 % MATLAB 语句生成： % 输入矢量：P = [-1:0.05:1]； % 目标矢量：randn(‘seed’,78341223)； % T = sin(2*pi*P)+0.1*randn(size(P))； % MATLAB 程序如下： close all clear all clc % P 为输入矢量 P = [-1:0.05:1]; % T 为目标矢量 T = sin(2*pi*P)+0.1*randn(size(P)); % 创建一个新的前向神经网络 net=newff(minmax(P),[20,1],{'tansig','purelin'}); disp('1. L-M 优化算法 TRAINLM'); disp('2. 贝叶斯正则化算法TRAINBR'); choice=input('请选择训练算法(1,2):'); if(choice==1) % 采用 L-M 优化算法 TRAINLM net.trainFcn='trainlm';

% 设置训练参数 net.trainParam.epochs = 500; net.trainParam.goal = 1e-6; % 重新初始化 net=init(net); pause; elseif(choice==2) % 采用贝叶斯正则化算法 TRAINBR net.trainFcn='trainbr'; % 设置训练参数 net.trainParam.epochs = 500; % 重新初始化 net = init(net); pause;

贝叶斯统计复习

如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 贝叶斯统计习题 1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如 先验分布为 （1）U 0,1θ（） （2）21-0<<1=0,θθπθ?? ?（），（）其它 求θ的后验分布。 解： 2． 设12,, ,n x x x 是来自均匀分布U 0,θ（）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto 分布， 其密度函数为 其中参数0>0,>0θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto 分布。 解：样本联合分布为： 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核 即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++?+>=?≤? 即得证。 3． 设12,,,n x x x 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,>0x p x e x λλλ， （1） 证明：伽玛分布(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。 （2） 若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,αβ。 解： 4. 设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X 服从几何分布，其分布列为 ()-1(=|)=1-,=1,2,x P X x x θθ θ 假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3x ，求θ的最大后 验估计?MD θ。 解：θ的先验分布为 在θ给定的条件下，X=3的条件概率为 联合概率为 X=3的无条件概率为 θ的后验分布为 5。设x 是来自如下指数分布的一个观察值， 取柯西分布作为θ的先验分布，即 求θ的最大后验估计?MD θ。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案

` 习题讲解 一、 1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为x. ()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.7 0.10.5418 0.1488*0.70.2936*0.3 0.2936*0.3 0.20.4582 0.1488*0.70.2936*0.3 p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈== ≈+==≈+后验分布： ()()()() () 1 1 1 3353680 362(|)(1)*2(1)112(1)15 (|)840(1),01 m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-= ==-<

} 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ 1,0()0, x p x θ θ?<

76 77 8 (,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθ θ+∞?===? 6 7 68,8()0,8X θπθθθ??≥? =??=? ≤? {}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x α ααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>= 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核 / 即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++?+>=?≤? 即得证。 ()() () 1 11()1()()()()(),. n i i x n n n x n n x p x e e e x p x e Ga n nx λ λ ααβλ αβλλλλβπλλαλπλλπλλαβ=----+--+∑===Γ∝∝++样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布 2 20.0002(2)4,20000.0.0001α βαβαβ ?=???==??=?? 二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12

基于贝叶斯估计的信息融合方法研究

基于贝叶斯估计的信息融合方法研究 摘 要：为了有效融合多个传感器的测量数据，得到准确的融合结果，本文以置信距离测度作为数据融合的融合度，利用分位图法，通过置信距离矩阵、关系矩阵寻找多传感器的最佳融合数，并以Bayes 估计理论为基础得到多传感器最优融合数据，最后将它与其它方法得到的融合数据进行了比较。 关键词：Bayes 估计；信息融合；分位图；传感器 Study on Information Fusion MethodsBased on Bayes Estimation Abstract ：For getting accurate fused data by fusing multi-sensor measurement data, in this PaPer,the confidence distance measure is used to be fusion measure of data fusion.The useful fused data are looked for by confidence distance matrix and relation matrix through using a method of bitmap.The optimal fused data is given by Bayes estimation theory, and optimal fused results obtained by other methods are compared with it. Key words ：Bayes estimation; information fusion; bitmap; sensor 1 引言 信息融合是把来自多种或多个传感器的信息和数据进行综合处理，得到更为准确可靠的理论，从而减少在信息处理中可能出现的失误。一个系统中同时使用着多个信息采集传感器，它们既可以是同种类型的，也可以是不同类型的。在实际应用中不同的传感器所测得的同一物体的某特性参数的数据会有偏差。这种偏差一方面来自传感器本身的误差，另一方面来自数据处理过程的数学方法。必须对传感器所测得的数据进行判断，以决定数据是否可信。信息融合的关键是对各个传感器所得数据的真实性进行判别，找出不同传感器数据之间的相互关系，从而决定对哪些传感器的数据进行融合。数据融合的目的在于运用一定的准则和算法，借助现代科技成果，自动对来自各信源的数据呈报进行联合、变换、相关和合成，从中提取质量的战术情报，洞察战场威胁态势，为作战指挥决策提供可靠依据[1]。本文以置信距离测度作为数据融合的融合度，利用置信矩阵、关系矩阵得到多传感器的最佳融合数，以Bayes 估计理论[2,3]为基础得到多传感器最优融合数据。 2 置信距离测度和置信距离矩阵的确定 用多传感器测量同一个指标参数时，设第i 个传感器和第j 个传感器测得的数据为 i X ,j X 。i X ,j X 都服从Gauss 分布，以它们的pdf 曲线作为传感器的特性函数，记成()x f i ,()x f j 。i x ,j x 为i X ,j X 的一次观测值。为了反应观测值i x ,j x 之间偏差的大小，引进 置信距离测度ij d (i ,j =1,2,…,m)，ij d 的值称为第i 个传感器与第j 个传感器数据的置信距离测度[4]，ij d 的值越小，i ,j 2个传感器的观测值越相近，否则偏差就很大，因此ij d 也称为i ,j 2个传感器的融合度。设 ()A ==?22dx x x f d i x x i ij j i （1） ()B ==?22dx x x f d j x x j ji i j （2） 式中， ()?? ???????????? ??--=2 21exp 21i i i i i x x x x f σσπ （3）

贝叶斯统计复习

贝叶斯统计习题 1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如 先验分布为（1）U0,1 θ（） （2） 21-0<<1 = 0, θθ πθ ? ? ? （）， （） 其它 求θ的后验分布。 解： ()() ()() () 111 33536 8 000 36 2 (|)(1)*2(1)112(1) 15 (|) 840(1),01 m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθ θπθ πθθθθ ==--=-= ==-<< ??? 2．设 12 ,,, n x x x是来自均匀分布U0,θ （）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto分布，其密度函数为 +1 00 /> = 0, αα αθθθθ πθ θθ ? ? ≤ ? ， （） 其中参数 >0,>0 θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto分布。 解：样本联合分布为： 1 (),0 n p x x θθ θ =<< 1 00 /, () 0, αα αθθθθ πθ θθ + ?> =? ≤ ?

{} 11 0101 ()()()/1/,max,,, n n n x p x x x ααα πθθπθαθθθθθθ ++++ ∝=∝>= 因此θ的后验分布的核为1 1/n α θ++，仍表现为Pareto分布密度函数的核 即 1 11 1 ()/, () 0, n n n x αα αθθθθ πθ θθ +++ ?+> =? ≤ ? 即得证。 3．设 12 ,,, n x x x是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为- (|)=,>0 x p x e x λ λλ，（1）证明：伽玛分布(,) Gaαβ是参数λ的共轭先验分布。 （2）若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,αβ。 解： () () () 1 1 1() 1() () ()()() ,. n i i x n n n x n n x p x e e e x p x e Ga n nx λ λ α αβλ αβλ λλλ β πλλ α λπλλπλλ αβ = - - -- +--+ ∑ == = Γ ∝∝ ++ 样本的似然函数： 参数的后验分布 服从伽马分布 2 2 0.0002 (2)4,20000. 0.0001 α β αβ α β ? = ?? ?== ? ?= ?? 4.设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为()-1 (=|)=1-,=1,2, x P X x x θθθ 假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3 x，求θ的最大后验估计 ? MD θ。 解：θ的先验分布为 在θ给定的条件下，X=3的条件概率为

(完整版)贝叶斯统计-习题答案)

第一章 先验分布与后验分布 1.1 解：令120.1,0.2θθ== 设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则 22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有 5418 .03 .02936.07.01488.07 .01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+= θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582 .0)|(1)|(4582 .03.02936.07.01488.03 .02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+= A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ 1.2 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ ∴3(3)3! e P X λ λλ-== R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ- 1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有 111222(3)() (3)0.2457 (3)(3)() (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ======== == 1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则 33 58()(1)P A C θθθ=- （1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 .10,)1(504)|(504)6,4(/1) 6,4(1 )6,4()1() 1()1()1()1()1()1()()|() ()|()|(53531 1 61 45 31 5 3 5 31 53 3 8 5 33810 <<-==-= --= --= --= =????--θθθθπθθθ θθ θθθ θθ θθθ θθ θθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求 （2）

贝叶斯统计-习题答案

第一章 先验分布与后验分布 解：令120.1,0.2θθ== 设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则 22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有 5418 .03 .02936.07.01488.07 .01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+= θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582 .0)|(1)|(4582 .03.02936.07.01488.03 .02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+= A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ: ∴3(3)3! e P X λ λλ-== R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ- 1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有 111222(3)() (3)0.2457 (3)(3)() (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ======== == 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则 33 58()(1)P A C θθθ=- （1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 504)6,4(/1) 6,4(1 )6,4()1() 1()1()1()1()1()1()()|() ()|()|(531 1 61 45 31 5 3 5 31 53 3 8 5 33810 =-= --= --= --= =????--θθθ θθ θθθ θθ θθθ θθ θθθθπθθπθθπbeta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求

3.2.4贝叶斯估计

四．贝叶斯估计 1．贝叶斯点估计 定义3.6 设总体X 的分布函数为(,)F x θ,θ为随机变量，()πθ为θ的先验分布。 若在决策空间D 中存在一个决策函 数)(*X d ，使得对决策空间D 中任一决策函数)(X d ，均有 (*)inf (),d R d R d d =?∈D （下确界） 则称)(*X d 为参数θ的贝叶斯估计量。 由定义可见，贝叶斯估计量)(*X d 就是贝叶斯风险 )(d R 达到最小的决策函数。 注意,贝叶斯估计量依赖于先验分布()πθ，即对于不同的()πθ，θ的贝叶斯估计量是不同的，在常用损失函数下，贝叶斯估计有如下几个结论。 定理3.2 若给定θ的先验分布()πθ和平方损失函数 ()2 (,)L θd θd =? 则θ的贝叶斯估计是 ()Θ()|()d x E θX x θh θx d θ===∫ 其中)(x h θ为参数θ的后验密度。 证明 由于 [] {} 2 Θ()() ()()min χ R d m x θd x h θx d θdx =?=∫∫ 与[]2 Θ()()min .θd x h θx d θa s ?=∫（几乎处处）

是等价的。而 []2 Θ ()()θd x h θx d θ?∫ 2 Θ()()()()θE θx E θx d x h θx d θ??=?+?? ?∫ 22 ΘΘΘ()()()()()2()()()(),θE θx h θx d θE θx d x h θx d θθE θx E θx d x h θx d θ????=?+?????????+??? ???∫∫∫ 其中 ()()||.E x h x d Θ=∫θθθθ 又 Θ()()()()θE θx E θx d x h θx d θ??????????∫ Θ()()()()E θx d x θE θx h θx d θ????=??????∫ ,0)]()()][()([=??=x E x E x d x E θθθ 故 []Θ()()θd x h θx d θ?∫ 2 2 ΘΘ()()()()()θE θx h θx d θE θx d x h θx d θ????=?+?? ???∫∫ 显然，当()()d x E x θ= .a s 时,)(d R 达到最小。 定理3.3 设θ的先验分布为)(θπ，取损失函数为加权平方损失函数 ()2 (,)()L θd λθd θ=? 则θ的贝叶斯估计为[()] *()[()] E λθθx d x E λθx ?= ,这里略去不证。 定理3.4 设参数θ为随机向量，()1,,T p θθθ="，对给定的先验分布)(θπ和二次损失函数 (,)()()T L θd d θQ d θ=??

《应用数理统计》吴翊李永乐第二章 参数估计课后习题参考答案

第二章 参数估计 课后习题参考答案 2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21Λ<<为其子样，求N 及p 的矩法估计。 解： ()()()p Np X D Np X E -==1, 令() ?????-==p Np S Np X 12 解上述关于N 、p 的方程得： 2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22 (),0(;)0,0x x f x x x ααααα ?-?=??≤≥?p p U 其中参数α的矩法估计。 解：12 2 ()()a E x x x dx α αα== -? 22 02 2 ()x x dx α α α=- ? 232 1 22 133 3 αααααα α = - =-= 所以 133a x α∧ == 其中121,21 (),,,n n x x x x x x x n = +++L L 为n 个样本的观察值。 2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。 ?? ? ??? ? -=-==X S p S X X p X N 2221???

解： () () () ∑∑====-= ===n i i n i i S X X n X D X X n X E 1 22 1 0255 .01 4025 .2321 2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1 ,<<=ββ βx f 的总 体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。 解： () ()()()4.22?2 ,1 ,407 .012 .110 1 2 2 1==== === =-===? ?∑∑==X X dx x dx x xf X E x f X X n S X n X n i i n i i β β β ββ ββ β参数：总体方差：总体均值： 2.5 设n X X X ,,,21Λ为()1N ， μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为( )2 1N σ，的 MLE 。 解：(1) ()()()()() ()()() () ()X x n x x L x n x L e x L x f e x f n i i n i i i n i i i x n i n i i x i n i i i =∑=∑=-=??∑---=∑= == ===--=-- =∏1 112 2 2 1 2 1?0,ln 212ln 2,ln 21 ,,21,1 2 2 μ μμ μμπμπμμπ μμμ

贝叶斯统计大部分课后习题答案

贝叶斯统计大部分课后习题答案习题讲解 一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x. 226pxC(0.1)*0.1*0.90.1488,,,,8 226pxC(0.2)*0.2*0.80.2936,,,,8 后验分布: 0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3， 0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3， 111233536mxpxdCdd,,,,,,,(|)(1)*2(1)112(1),,,,,,,,,,,，，，，8,,,00015 px(|)，，,,,36,,,,,x840(1),01，，,,,,,mx，， 1.6

1.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,), 1,,,0,,x,,px(), , ,0,其它, Xxxx,(,,)因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为 123 1,,,0,,,,xxx,1233 ,,pX(), ,其它0,, 4,192/,4,,, 又因为 (),,,,0,4,,, 所以，利用样本信息得 1192192,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx(,)()() (8,0,,) 123347,,, ，,，,192,,,,,mXhXdd()(,)于是 7,,88, ,的后验分布为 76hX(,)192/68,,， ()X,,,,,7，,192mX(),d,,78, 6,68，,8,,,7 ()X,,,,, ,0,8,,, 1.12样本联合分布为: 1pxx,,,,,(),0n,