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求导法则

求导法则
求导法则

第3次课授课时间2016年11月4日第1~3节课教案完成时间2016年10月26日

第三军医大学理论与实验课教案末页

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用; 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数; 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导; 2. 会求反函数的导数; 3. 会求复合函数的导数 前面,我们根据导数的定义,求出了一些简单函数的导数。但是,如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此,本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义,有了这些法则和公式,就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导,则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导,且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证:' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意:这个法则可以推广到有限个函数的代数和,即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±, 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导,则函数()()y u x v x =在点x 也可导,且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意:1)特别地,当u c =(c 为常数)时, '''[()]()y cv x cv x ==, 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合,可得: ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2)函数积的求导法则,也可以推广到有限个函数乘积的情形,即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1)32 3254sin y x x x x =+-+; 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一:函数的平均变化率 (1)概念: 函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x ),其比值叫做函数从到+△x的平均变化率,即。 若,,则平均变化率可表示为,称为函数从 到的平均变化率。 注意: ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值; ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势,当取值越小,越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量,;而是函数值的改变量,可以是0。函数的平均变化率是0,并不一定说明函数没有变化,应取更小考虑。 (2)平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示,函数的平均变化率的几何意义是:直线AB的斜率。 事实上,。 作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二:导数的概念: 1.导数的定义: 对函数,在点处给自变量x以增量,函数y相应有增量。若极限存在,则此极限称为在点处的导数,记作或,此时也称在点处可导。 即:(或) 注意: ①增量可以是正数,也可以是负数; ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。 2.导函数: 如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数。 注意:函数的导数与在点处的导数不是同一概念,是常数,是函数在 处的函数值,反映函数在附近的变化情况。 3.导数几何意义: (1)曲线的切线 曲线上一点P(x 0,y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y),经过点P、Q作曲线的割线PQ, 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ,y ), 即△x→0时,割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为,则当△x→0时,割线PQ斜率的极限,就是切线的斜率。 即:。

基本求导公式

这是基本求导公式,只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx,求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限(当Δx→0时)。函数是Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n展开(按n为正整数),展开式写起来很麻烦,我给你叙述一下,你应能理解。展开式中,第一项是X^n,最末项是(Δx)^n,中间的项中,X是降幂,Δx是升幂,系数是前后对称,如n=2,系数是1,2,1;n=3,系数是1,3,3,1;等等。注意,n是几,第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n,它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[n X^(n-1)]*Δx,其后的项中,Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx,前边说过,第一项已消失,第二项除以Δx后为[nX^(n-1)],其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此,当Δx→0取极限时,就只剩下[nX^(n-1)],其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。(顺便说一下,上述是以n为正整数来证明的,n为任意实数时也是成立的。) (X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦,只是在这里写起来,为避免误会,需加的括号太多,就显得麻烦了。第一项系数是1,第二项系数是n, 第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10~12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'=secx*tanx。 (secx)'=(1/cosx)'=-(cosx)'/(cosx)^2=sinx/(cosx)^2=secx*tanx 13~16是利用反函数的求导法则:y=f(x)的反函数是x=g(y),则dx/dy=1/(dy/dx)。 如(arcsinx)'=1/√(1-x^2)。

常用的基本求导定律

1.基本求导公式 ⑴ 0)(='C (C 为常数)⑵ 1)(-='n n nx x ;一般地,1)(-='αααx x 。 特别地:1)(='x ,x x 2)(2=',21 )1(x x -=',x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(;一般地,)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln =';一般地,)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2.求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x ),g (x )均在点x 可导,则有:(Ⅰ))()())()((x g x f x g x f '±'='±; (Ⅱ))()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'=',特别)())((x f C x Cf '='(C 为常数); (Ⅲ))0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ,特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3.微分 函数()y f x =在点x 处的微分:()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (2) C x dx x +=?||ln 1; C e dx e x x +=?; )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ; (3)??=dx x f k dx x kf )()((k 为常数) 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (x )在[a ,b ]上具有连续导数)(),(x v x u '',则

求导法则及求导公式

§2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家:深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数(不管它是简单函数,还是复杂函数),总可用定义求其导数(只要极限存在).但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算(用定义求导)都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数: x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则: 定理1(和的导数) 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± (求导是线性运算) 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗?

常用的基本求导定律

1 .基本求导公式 ⑴(C) 0 (C 为常 数) ⑵ (x n ) nx ;般地,(x ) x 。 特别地: 2 (x) 1 , (x ) 2x , 1 (―) x 2 , ( '、x) x 2、X ⑶(e x ) x e ; -般地, (a x ) a x ln a (a 0,a 1)。 ⑷(lnx) 1 一般地, (lo g a x)- 1 (a 0,a 1)。 x xln a 2 .求导法则⑴四则运算法则 设 f (x ), g (x )均在点 X 可导,则有:(I) (f(x) g(x)) f (x) g (x); (n) (f (x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x),特别(Cf (x)) Cf (x)(C 为常数); 常用的不定积分公式 5、定积分 b b a f(x)dx F(x) |a F(b) b b & a f (x) dx k 2 a g(x)dx x dx (1) x 3 dx 1 x 1 4 x c 4 ( 1), dx x c, xdx c , x 2 dx (2) ^dx x In | x| C e x dx e x C ; a x dx x a ln a C (a 0,a 1); (3) kf(x)dx k f (x)dx (k 为常 数) 5)(g(x) f(x) ) f(x)g(x) 2‘ f(x)g(x) ,(g(x) g 2(x) 0) ,特别爲 g (x) 。 3 .微分函数y f (x )在点x 处的微分: dy y dx (x)dx F(a) b a [k 1 f (x) k 2g(x)]dx a

复合函数求导法则及其应用

习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数: ⑴ y x x =-+()2122; ⑵ y x x =e sin 23; ⑶ y x = +1 13 ; ⑷ y x x = ln ; ⑸ y x =sin 3; ⑹ y x =cos ; ⑺ y x x x =+-++11ln(); ⑻ y x =-arcsin (e )2 ; ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ; ⑽ y x x =+1 222(sin ); ⑾ y x x x = +-1122 ln ; ⑿ y x x = +12 csc ; ⒀ y x x = -++2213 31 23 34; ⒁ y x =-e sin 2 ; ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 (1))14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 (2))3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 (3)23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 (4)2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 (5)3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 (6)x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

(7 )1'2y = (8 )2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。 (9)44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 (10)2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 (11 )'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 (12 )2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 (13 )'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 (14)2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作用,我们必须熟练的掌握它,为了便于查阅,我们把这些导数公式和求导法则归纳如下: 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导,且

反函数求导法则

反函数求导法则 刘云 (天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000) 摘 要:主要叙述了反函数求导定理,基本初等函数的导数和微分公式,求导定理的推广以及在实际例题中的应用。 关键词:反函数;基本初等函数;求导 引 言 除了少数几个最简单的函数之外,可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微,因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则,故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理 若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导,且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明: 因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调,由反函数连续定理,它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调,这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ,并且当0→?y 时有0→?x 。 因此

[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式: 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(, 其中),,3,2,1(n i c i =为常数。 (2)多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.

求导法则(一)

§3.2 求导法则(一) 教学内容 1.函数的和、差、积、商的求导法则; 2.反函数的求导法则; 3.复合函数的求导法则. 教学重点与难点 导数的运算法则及导数基本公式. 简要复习上节内容 1.导数的定义; 2.导数的定义的几种形式; 3.可导的充要条件; 4.函数可导与连续的关系; 5.导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则 设),(x u u =)(x v v =都在x 处可导,则有 ①v u v u '±'='±)(; ②v u v u uv '+'=')(; u c cu '=')(; ③2 )(v v u u v v u '-'='. 我们现在只证明②. 证 设=)(x f )()(x v x u 则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→=h x v x u h x v h x u h ) ()()()(lim 0-++→ =h x v x u x v h x u x v h x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++→ =h x v h x v h x u h )()()(lim 0-++→+=-+→h x u h x u x v h ) ()() (lim 0=v u v u '+' 例1 2sin cos 4)(3π -+=x x x f ,求)(x f ',)2(π f '. 解 )(x f '=x x sin 432-, )2(πf '=443 2-π. 例2 求21 log 3tan sin a y x x x x =++的导数. 解 x x x a x x x x y a 2 22sin cos sec 3ln log 2-+++='.

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、=c '0 2、=n n x nx -1'() (n 为正整数) 3、 ln =x x a a a '() =x x e e '() 4、ln =a long x x a 1'() 5、ln =x x 1 '() 6、 sin cos =x x '() 7、 cos sin =-x x '() 8、=-x x 211'() 知识点二:导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±() 2、 =u v uv v u '''+() 3、(=Cu Cu '' ) 4、u -v =u v u v v 2'''() 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内,()f x '>0,则()f x 在此区间是增区间,(,)a b 为()f x 的 单调增区间。 2、如果在(,)a b 内,()f x '<0,则()f x 在此区间是减区间,(,)a b 为()f x 的

单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数; (1)y x15 = (2) ) - y x x 3 =≠0 ( (3) ) y x x 5 4 =0 ( (4) ) y x x 2 3 =0 ( (5) ) - y x x 2 3 =0 ( (6)y x5 = (7) sin y x = (8) cos y x = (9) x y=2 (10) ln y x = (11) x y e = 2、求下列函数在给定点的导数; (1)y x 1 4 =,x=16

(2)sin y x = , x π=2 (3)cos y x = ,x π=2 (4)sin y x x = , x π=4 (5)3y x = ,1128(,) (6) +x y x 2=1 ,x =1 (7)y x 2= ,,24() 3、计算下列各类函数的导数; (1)x +-y x x 765 =3

常用的基本求导公式

盛年不重来,一日难再晨。及时宜自勉,岁月不待人。 1.基本求导公式 ⑴ 0)(='C (C 为常数)⑵ 1 )(-='n n nx x ;一般地,1 )(-='αααx x 。 特别地:1)(='x ,x x 2)(2 =',21 )1(x x - =',x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(;一般地,)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = ';一般地,)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2.求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x ),g (x )均在点x 可导,则有:(Ⅰ))()())()((x g x f x g x f '±'='±; (Ⅱ))()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'=',特别)())((x f C x Cf '='(C 为常数); (Ⅲ))0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ,特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3.微分 函数()y f x =在点x 处的微分:()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (2) C x dx x +=?||ln 1; C e dx e x x +=?; )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ; (3)? ?=dx x f k dx x kf )()((k 为常数) 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (x )在[a ,b ]上具有连续导数)(),(x v x u '',则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(

函数的求导法则解析

第二节 函数的求导法则 教学目的:1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则; 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则; 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。 教学重点:初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程: 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1:若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导,则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导,且 )()()(000x v x u x f '±'='。 证明:0 0000)] ()([)]()([lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0 000)()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。 注 1:本定理可推广到有限个可导函数上去。 2:本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。 定理2:若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导,则)()()(x v x u x f =在0x 点可导,且有 )()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。 证明:0 0000) ()()()(lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =0 0000) ()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0 0000) ()()(lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0 0000) ()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→

基本求导公式

基本求导公式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

这是基本求导公式,只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx,求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限(当Δx→0时)。函数是Y=X^nΔY=(X+Δx)^n-X^n把(X+Δx)^n展开(按n为正整数),展开式写起来很麻烦,我给你叙述一下,你应能理解。展开式中,第一项是X^n,最末项是(Δx)^n,中间的项中,X是降幂,Δx是升幂,系数是前后对称,如n=2,系数是1,2,1;n=3,系数是1,3,3,1;等等。注意,n是几,第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n,它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中,Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx,前边说过,第一项已消失,第二项除以Δx后为[nX^(n-1)],其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此,当Δx→0取极限时,就只剩下[nX^(n-1)],其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。(顺便说一下,上述是以n为正整数来证明的,n为任意实数时也是成立的。)(X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦,只是在这里写起来,为避免误会,需加的括号太多,就显得麻烦了。第一项系数是1,第二项系数是n,第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10~12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'=secx*tanx。(secx)'=(1/cosx)'=-(cosx)'/(cosx)^2=sinx/(cosx)^2=secx*tanx 13~16是利用反函数的求导法则:y=f(x)的反函数是x=g(y),则dx/dy=1/(dy/dx)。如(arcsinx)'=1/√(1-x^2)。y=arcsin x的反函数是x=siny。已知dx/dy=(siny)'=cosy=√(1-x^2)。所以dy/dx=1/(dx/dy)=1/√(1-x^2)。即(arcsinx)'=1/√(1-x ^2) f(x)=c,则f'(x)=0f(x)=x^n,则f'(x)=nx^n-1f(x)=sinx,则f'(x)=cosxf(x)=cosx,则f'(x)=-sinxf(x)=a^x,则f'(x)=a^xlna(a>0)f(x)=e^x,则f'(x)=e^xf(x)=logax,则f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1) f(x)=lnx,则f'(x)=1/x 四、基本求导法则与导数公式 1.基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作 用,我们必须熟练的掌握它,为了便于查阅,我们把这些导数公式和求导法则归纳如 下: 基本初等函数求导公式 (1) ) (=' C (2) 1 ) (- ='μ μμx x (3) x x cos ) (sin=' (4) x x sin ) (cos- = ' (5) x x2 sec ) (tan=' (6) x x2 csc ) (cot- =' (7) x x x tan sec ) (sec= ' (8) x x x cot csc ) (csc- =' (9)(10)(e)e x x '= (11)(12) x x 1 ) (ln=' ,

基本求导法则与导数公式

基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作用,我们必须熟练的掌握它,为了便于查阅,我们把这些导数公式和求导法则归纳如下: 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且

常用的基本求导法则与导数公式

常用的基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作用,我们必须熟练的掌握它,为了便于查阅,我们把这些导数公式和求导法则归纳如下: 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导,且

求导基本法则和公式精修订

求导基本法则和公式集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

四、基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作用,我们必须熟练的掌握它,为了便于查阅,我们把这些导数公式和求导法则归纳如下: 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = ', (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211 )(arccos x x -- =' (15) 21 (arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则

常用的基本求导公式

1.基本求导公式 ⑴ (C为常数)⑵ ;一般地,。 特别地:,,,。 ⑶ ;一般地,、 ⑷ ;一般地,。 2。求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x),g (x )均在点x可导,则有:(Ⅰ); (Ⅱ),特别(C 为常数); (Ⅲ),特别。 3.微分 函数在点x 处得微分: 常用得不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (2) ; ; ; (3)(k 为常数) 5、定积分 ⑴ ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (x)在[a ,b ]上具有连续导数,则 6、线性代数

特殊矩阵得概念 (1)、零矩阵(2)、单位矩阵二阶 (3)、对角矩阵(4)、对称矩阵 (5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 (6)、矩阵转置转置后 6、矩阵运算 7、MATLAB软件计算题 例6试写出用MATLAB软件求函数得二阶导数得命令语句。解:〉〉clear; 〉>syms x y; 〉〉y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2) 例:试写出用MATLAB软件求函数得一阶导数得命令语句。>>clear; 〉〉syms xy; 〉>y=log(sqrt(x)+exp(x)); 〉〉dy=diff(y) 例11 试写出用MATLAB软件计算定积分得命令语句。解:>>clear; >>syms x y; >〉y=(1/x)*exp(x^3);

>〉int(y,1,2) 例试写出用MATLAB软件计算定积分得命令语句。 解:〉>clear; >>syms xy; >>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y) MATLAB软件得函数命令 表1MATLAB软件中得函数命令 运算符号 典型例题 例1设某物资要从产地A1,A2,A3调往销地B1,B2,B3,B4,运输平衡表(单位:吨)与运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表

基本求导公式

这是基本求导公式,只能根据导数的定义来求。 导数的定义就是给X一个增Δx,求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限(当Δx→0时)。 函数是Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n展开(按n为正整数),展开式写起来很麻烦,我给你叙述一下,你应能理解。 展开式中,第一项是X^n,最末项是(Δx)^n,中间的项中,X是降幂,Δx是升幂,系数是前后对称,如n=2,系数是1,2,1;n=3,系数是1,3,3,1;等等。注意,n是几,第二项的系数就是几。 只需考虑展开式中的前两项。 第一项是X^n,它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。 第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中,Δx的方次都比1大。 现在来考虑比值ΔY/Δx,前边说过,第一项已消失,第二项除以Δx后为[nX^(n-1)],其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此,当Δx→0取极限时,就只剩下[nX^(n-1)],其后的项都成为0了。 这就是你要证的求导公式。 (顺便说一下,上述是以n为正整数来证明的,n为任意实数时也是成立的。) (X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦,只是在这里写起来,为避免误会,需加的括号太多,就显得麻烦了。 第一项系数是1,第二项系数是n, 第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10~12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'=secx*tanx。 (secx)'=(1/cosx)'=-(cosx)'/(cosx)^2=sinx/(cosx)^2=secx*tanx 13~16是利用反函数的求导法则:y=f(x)的反函数是x=g(y),则dx/dy=1/(dy/dx)。 如(arcsinx)'=1/√(1-x^2)。 y=arcsinx的反函数是x=siny。已知dx/dy=(siny)'=cosy=√(1-x^2)。 所以dy/dx=1/(dx/dy)=1/√(1-x^2)。即(arcsinx)'=1/√(1-x^2) f(x)=c, 则f '(x)=0 f(x)=x^n,则f '(x)=nx^n-1 f(x)=sinx,则f '(x)=cosx f(x)=cosx,则f '(x)=-sinx f(x)=a^x,则f '(x)=a^xlna(a>0) f(x)=e^x,则f '(x)=e^x f(x)=logax,则f '(x)=1/xlna(a>0且a不等于1) f(x)=lnx,则f '(x)=1/x

1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则(1)

1.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则(一) 一、教学目标:掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用. 二、教学重点:应用八个函数导数求复杂函数的导数.. 教学难点:商求导法则的理解与应用. 三、教学过程: (一)新课 1.P14面基本初等函数的导数公式(见教材) 2.导数运算法则: (1).和(或差)的导数 法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(u±v)'=u'±v'. 例1 求y=x3+sin x的导数. 解:y'=(x3)'+(sin x)'=3x2+cos x. 例2 求y=x4-x2-x+3的导数. 解:y'=4x3-2x-1. (2).积的导数 法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即(uv)'=u'v+uv'. 由此可以得出(Cu)'=C 'u+Cu'=0+Cu'=Cu'. 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即(Cu)'=Cu'. 例3 求y=2x3-3x2+5x-4的导数. 解:y'=6x2-6x+5. 例4 求y=(2x2+3) (3x-2) 的导数. 解:y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.

或:692623-+-=x x x y ,9418'2+-=x x y 练习 1.填空: ⑴ [(3x 2+1)(4x 2-3)]'=( 6x )(4x 2-3)+ (3x 2+1)( 8x ); ⑵ (x 3sin x )'=( 3 )x 2·sin x +x 3· ( cos x ). 2.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正: [(3+x 2)(2-x 3)]'=2x (2-x 3)+3x 2(3+x 2). [(3+x 2)(2-x 3)]'=2x (2-x 3)-3x 2(3+x 2). 3.求下列函数的导数: ⑴ y =2x 3+3x 2-5x +4; ⑵ y =ax 3-bx +c ; ⑶ y =sin x -x +1; (4) y =(3x 2+1)(2-x ); (5) y =(1+x 2)cos x ; (6)x x y x 2log 3cos 2-= 例5. 已知函数f (x )=x 2(x -1),若f ' (x 0)=f (x 0),求x 0的值. (3)商的导数 例6.求下列函数的导数 (1)x x y tan = (2)x x y cos 1sin += (3)x x y 2log sin = 练习:求下列函数的导数 (1)32521x x x y +-= (2)x x x y cos tan -= 例7.求函数x x x y cos sin =的导数 思考:设 f (x )=x (x +1) (x +2) … (x +n ),求f '(0). 练习. 函数f (x )=x (x -1) (x -2)(x -3) …(x -100)在x =0处的导数值为( ) A. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!

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