一次函数和反比例函数

一次函数和反比例函数

【知识点1】概念和关系式

1、 一次函数一般式y=kx+b （k ≠0，b 为常数，） ，当b=0时，为y=kx （k ≠0，k 为常数）的正比例函数。 其他表达形式：

①斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②两点式:

11121

2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---=+=+=α （斜率：1

212tan x x y y k --=

=α） ③截距式：

1=+b

y

a x 2、反比例函数关系式k

y x

=（k ≠0，k 为常数） ，其中x 和y 的值都不能取0

一次函数和反比例函数解析式的确定，解这类问题的一般方法是待定系数法。

【知识点2】：函数的图像和性质

1、 一次函数y=kx+b 的图象是经过点的（0，b ）和点（k

b

-

，0）的直线；（正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的直线）

2、反比例函数的性质和图像

【知识点4】图像的几何意义

1、 一次函数、正比例函数的图像都是一条直线

2、 平面直角坐标系中两直线的位置关系

（1）在坐标平面内，直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2的交点坐标为方程??

?+=+=2

21

1b x k y b x k y 的解。

（2）在坐标平面内，若直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2中，k 1 = k 2且b 1≠b 2，则两直线平行。 （3）两点间距离公式：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）

()()221221y y x x -+-

（4）点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离：

1

)

1(2002

2

00++-=

-++-=

k b

y kx k b y kx d

（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 2、反比例函数k

y x

=

（k ≠0）中的k 的几何意义 过双曲线k

y x

=

（k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 | k |。 特点：图像是关于原点中心对称图形

考点梳理

1.确定反比例函数的关系式

思路点拨

这种题型最常用的方法就是根据函数图像，根据已知条件求解。确定反比例函数的题型主要有三种：

（1）直接根据题意列出关系式；

（2）根据待定系数法，利用给出的一组自变量与函数的对应值求出关系式；

（3）根据待定系数法，利用函数图象上一个点的坐标求出关系式。

2.反比例函数图象及性质的应用

思路点拨

利用函数和函数图象比较数的大小，主要有三种方法：（1）直接把x值代入函数关系式，求出相应的y值，比较数的大小；（2）在函数图象上描出各点，再根据各点的位置情况，比较数的大小；（3）利用函数的增减性，比较数的大小。

3.利用反比例函数解决实际问题

思路点拨

利用反比例函数解决生活中的实际问题，关键是从实际问题中抽象出函数关系，将文字转化为数学语言。通过列函数关系式，利用反比例函数的性质和有关的数学思想方法去解决实际问题。要学会将数学知识应用到实际生活的各个领域中去。

4.综合考查一次函数与反比例函数

思路点拨

在中考中一次函数与反比例函数相结合的题目出现较多。尤其是与两种函数图象的交点有关的问题，更为常见。这些题型可以综合考查一次函数和反比例函数的知识，还能够与其他知识结合起来。解题时，要充分利用交点在两个函数的图象上这个条件。

考点一：一次函数与反比例函数的交点问题及不等式

考点二：一次函数与反比例函数值的图像与几何综合问题

考点三：一次函数与反比例函数图像特点及所涉及的常见面积计算问题

考点四：正比例函数与反比例函数图像交点的对称性

小结：1、看到正比例函数与反比例函数图像的交点，想到两交点关于原点对称。

2、看到一次函数与反比例函数的共存，想到函数图像特点。

3、看到两函数交点求不等式，像到观察图像特点。

4、看到求函数的关系式，想到利用待定系数法。

5、看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成方程的解

6、看到面积，想到三角形面公式，不规则图形的面积要转化为和它的有关的规定图形的面积来求解。

一次函数、反比例函数的图象和性质

热点5 一次函数、反比例函数的图象和性质 （时间：100分钟分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的） 1．在反比例函数y=2 x 的图象上的一个点的坐标是（） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，1 2 ） D．（ 1 2 ，2） 2．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（） A．第一、三象限； B．第二、四象限； C．第一、四象限； D．第二、三象限 3．已知正比例函数y=（3k-1）x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（） A．k<0 B．k>0 C．k<1 3 D．k> 1 3 4．直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰 三角形，则满足条件的点C最多有（）个 A．4 B．5 C．7 D．8 5．在函数y=k x （k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3 （x3，y3），已知x1

反比例函数与一次函数的综合

一、反比例函数的定义 函数k y x = (k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 二、反比例函数的图象 反比例函数k y x = (k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线. 反比例函数k y x =与k y x =-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称. 三、反比例函数图象的性质 反比例函数k y x = (k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大. 注意： ⑴反比例函数k y x =(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， 如当0k >时，双曲线k y x =的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小． 这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故． 如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的． ⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式． 一、反比例函数与一次函数综合 【例1】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x = 的图像，则关于x 的方程2 kx b x +=的解为（ ） A ．1212x x ==， B ．1221x x =-=-， C ．1212x x ==-， D ．1221x x ==-， 反比例函数与一次函数综合

(完整版)反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅 能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。 一. 探求同一坐标系下的图象 例1. 已知函数m x y =与x n y =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. 0n ,0m >> B. 0n ,0m <> C. 0n ,0m >< D. 0n ,0m << 分析：由图知，一次函数m x y =中，y 随x 的增大而增大，所以0m >；反比例函数x n y = 在第二、四象限，所以0n <。观察各选项知，应选B 。 评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例2.在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x k y ≠= 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 图2 分析：本题可采用排除法。由选项A 、B 的一次函数图象知，0k >-即0k <，则一次函数k kx y +-=图象与y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A 、B 都不符合要求，故都排

除；由选项D 的一次图象知，0k <-即0k >，则反比例函数)0k (x k y ≠= 图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C 。 评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二. 探求函数解析式 例3.如图3，直线b x k y 1+=与双曲线x k y 2 = 只有一个交点A （1，2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲线的解析式。 解析：因为双曲线x k y 2 = 过点A （1，2）， 所以2k ,1 k 222 == 得双曲线的解析式为x 2y = 。 因为AD 垂直平分OB ，A 点的坐标为（1，2）。所以B 点的坐标为（2，0）。 因为b x k y 1+=过点A （1，2）和B （2，0）， 所以???=+=+0b k 22b k 11 解得? ??=-=4b 2k 1 所以直线的解析式为4x 2y +-=

一次函数和反比例函数结合

2017中考数学专题训练(三)一次函数与反比例函数结合 纵观近5年中考试题,一次函数与反比例函数的综合就是中考命题的重点内容.侧重考查用待定系数确定反比例函数与一次函数解析式及解决相关问题. 类型1 利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式 【例1】如图,一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴,y 轴分别交于A (1,0),B (0,－1)两点,且与反比例函数y ＝m x (m ≠0) 的图象在第一象限交于C 点,C 点的横坐标为2、 (1)求一次函数的解析式; (2)求C 点坐标及反比例函数的解析式. 【解析】(1)将点A (1,0),B (0,－1)代入y ＝kx ＋b 即可.(2)将C 点的横坐标代入公式y ＝kx ＋b 即可求出纵坐标,再代入y ＝m x 中即可. 【学生解答】解:(1)由题意得???k ＋b ＝0b ＝－1、解得? ????k ＝1 b ＝－1一次函数的解析式为y ＝x －1;(2)当x ＝2时,y ＝2－1＝1,所 以C 点坐标为(2,1);又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上,∴1＝m 2,解得m ＝2、所以反比例函数的解析式为y ＝2 x 、 针对练习 1.(2016重庆中考)在平面直角坐标系中,一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图形与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象交于第 二、四象限内的A ,B 两点,与y 轴交于C 点,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H ,OH ＝3,tan ∠AOH ＝4 3,点B 的坐标为(m ,－ 2). (1)求△AHO 的周长; (2)求该反比例函数与一次函数的解析式. 解:(1)由OH ＝3,tan ∠AOH ＝4 3,得AH ＝4、即A (－4,3).由勾股定理,得AO ＝OH 2＋AH 2＝5,△AHO 的周长＝AO ＋AH ＋OH ＝3＋4＋5＝12;(2)将A 点坐标代入y ＝k x (k ≠0),得k ＝－4×3＝－12,反比例函数的解析式为y ＝－12x ;当y ＝

(完整word版)一次函数与反比例函数综合题中考专题

一次函数与反比例函数综合题专题 1、如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3， 点C的坐标为（2，2）． （1）求该双曲线的解析式； （2）求△OFA的面积． 2、如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是 双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D 作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC （1）求k的值； （2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

x y A O P B C D 3、如图，已知反比例函数x k y =的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．若直线y =ax +b 经过点A ，并且经过反比例函数x k y = 的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线y =ax +b 的解析式； ⑵设直线y =ax +b 与x 轴交于点M ，求AM 的长． 4、如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m y x =（x>0）的图象交于点P ，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，12 OC CA =. （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，

BC⊥OB，过点A的双曲线y= k x 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E． （1）填空：双曲线的另一支在第________ 象限，k的取值范围是___________ （2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？ （3）若 1 2 OD OC =，S△OAC=2，求双曲线的解析式． 6、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和n的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长． 7、如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．

一次函数和反比例函数_有答案

【例1】 两个反比例函数1k y x = 和()2120k y k k x =>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ， 交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2k y x =的图象于点B ． ⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求 DB BP 的值； 【例2】 如图，点A 、B 在反比例函数k y x = (0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ?的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ?的面积． 【例3】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图 象与AC 边交于点E ． k 2x

（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】 如图，点()1A m m +， ，()31B m m +-，都在反比例函数k y x =的图象上． （1）求m k ，的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． y x O B A 【例5】 如图，已知反比例函数12 y x = 的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ， ．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。

如何比较一次函数与反比例函数的大小

如何比较一次函数与反比例函数的大小一次函数和反比例函数是初中数学教学的重要内容，也是学生应掌握的最基础，最核心的内容。它们之间的大小关系是一次函数和反比例函数的综合应用，遇到这样的问题时同学们不知从何下手，易出现错误。下面我们就结合一条例题的讲解，介绍如何轻松的解决这样的问题。 例：如图,一次函数y 1=x－1与反比例函数y 2 = x 2 的图像交于点A(2 ，1)； B(－1，－2)，则使y 1>y 2 的x的取值范围是（） A. x>2 B. x>2或－12或x<－1 分析：根据图象特点结合A，B两点就可以找出使y 1>y 2 的x的取值范围 解：由A(2，1)，B(－1，－2)两点可知当x>2 或－1

点坐标。如本题两函数的交点坐标分别是A(2，1)和B(－1，－2)。 3、画三线：根据两条函数的交点画出三条垂x直于轴的直线。如本题的三条直线分别为x=－1；x=0(即y轴)和x=2。 4、分四域：以三线为界可将直角平面划分为四个区域。如本题可分为 ①x＜－1；②－1＜x＜0；③0＜x＜2；④x＞2。 5、定大小：根据“上大下小”原则。在“4”中我们已经得到4个区域，下面我们就根据分的区域比较大小：①x＜－1时，一次函数图像在反比例函数图像的 下面，即y 1＜y 2 ；②－1＜x＜0时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即 y 1＞y 2 ；③0＜x＜2时，一次函数图像在反比例函数图像的下面，即y 1 ＜y 2 ； ④x＞2时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即y 1＞y 2 。 (-1 -2) (2 1) (-1 -2) (2 1) x=-1 x=2 x=0 (-1 -2) (2 1) x=-1 x=2 x=0 区域①区 域 ② 区 域 ③ 区 域 ④

反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数 的交点问题 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

反比例函数与一次函交点问题 1．如图，直线y=x ﹣6分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x 轴交AB 于C ，MD⊥MC 交AB 于D ，AC?BD=4 ，则k 的值为（ ）A ．﹣3 B ．﹣4 C ．﹣5 D ．﹣6 2．如图，直线y=-x+m 交双曲线y= 于A 、B 两点，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，过点A 作AH⊥x 轴于点H ，连结BH ，若OH ：HC=1：5，S △ABH =1，则k 的值为（ ）A ．1 B ． C ． D ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B （1，3），连接BO ，下面三个结论：①S △AOB =1.5，；②点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在反比 例函数的图象上，若x 1＞x 2，则y 1＜y 2；③不等式x+2＜的解集是0＜x ＜1．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．如图，过C （2，1）作AC∥x 轴，BC∥y 轴，点A ，B 都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x ＞0）与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是 ． 5．直线y=kx （k ＞0）与双曲线y=交于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两 点，则3x 1y 2﹣9x 2y 1的值为 ．

6．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为． 7．如图，过点O的直线AB与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A （2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为． 8．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是． 10．如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0，x＞0）相交于点A，将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值是． 11．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D 两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积； （3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x 的取值范围．

(完整word版)一次函数和反比例函数的练习题

函数综合复习 例题讲解： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（） 5．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 6．要得到y=-3 2 x-4的图像，可把直线y=- 3 2 x（）． （A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 7．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k<1 3 （B） 1 3 1 （D）k>1或k< 1 3 8．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________． 9．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．10．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 11．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．

一次函数与反比例函数 练习及答案

一次函数、反比例函数的图象和性质一、选择题 1．在反比例函数y=2 x 的图象上的一个点的坐标是（） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，1 2 ） D．（ 1 2 ，2） 2．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（） A．第一、三象限； B．第二、四象限； C．第一、四象限； D．第二、三象限3．已知正比例函数y=（3k-1）x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（） A．k<0 B．k>0 C．k<1 3 D．k> 1 3 4．直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个 A．4 B．5 C．7 D．8 5．在函数y=k x （k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x10，则这个函数的图象一定不经过第______象限． 12．如图6-2，点A在反比例函数y=k x 的图象上，AB垂直于x轴，若S△AOB=4，?那么这个反比例函数的解 析式为________．

一次函数与反比例函数综合应用(经典)

一次函数与反比例函数 —专项提升

1. 如图1，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =（0x <）的图象交于A （-3，2）， B （n ，4）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C （-1，0）是x 轴上一点，求△ABC 的面积． 2、如图2，直线y 1=kx +2与反比例函数23 y x -=（x <0）相交于点A ，且当x <-1时，y 1>y 2，当-1

3、如图，直线1 32 y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B . (1)求点A 、B 的坐标 (2)若点P 在直线1 32 y x = +上，且横坐标为-2， 求过点P 的反比例函数图象的解析式. 4、如图9，在平面直角坐标系中，双曲线y =m x 和直线y =kx +b 交于A ，B 两点，点A 的坐标 为（﹣3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC =6BC ． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出不等式m x ＞kx +b 的解集． 图9

图10 x y A O B 5、如图10，一次函数y=x+1的图象与反比例函数x k y =（k 为常数，且0k ）的图象都经过点A （m ，2）． （1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）设一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足△ABP 的面积是2，请直接写出点P 的坐标． 6、正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x （k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小. O M y 图11 A x

一次函数和反比例函数

一次函数和反比例函数 【知识点1】概念和关系式 1、 一次函数一般式y=kx+b （k ≠0，b 为常数，） ，当b=0时，为y=kx （k ≠0，k 为常数）的正比例函数。 其他表达形式： ①斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②两点式: 11121 2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---=+=+=α （斜率：1 212tan x x y y k --= =α） ③截距式： 1=+b y a x 2、反比例函数关系式k y x =（k ≠0，k 为常数） ，其中x 和y 的值都不能取0 一次函数和反比例函数解析式的确定，解这类问题的一般方法是待定系数法。 【知识点2】：函数的图像和性质 1、 一次函数y=kx+b 的图象是经过点的（0，b ）和点（k b - ，0）的直线；（正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的直线）

2、反比例函数的性质和图像 【知识点4】图像的几何意义 1、 一次函数、正比例函数的图像都是一条直线 2、 平面直角坐标系中两直线的位置关系 （1）在坐标平面内，直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2的交点坐标为方程?? ?+=+=2 21 1b x k y b x k y 的解。 （2）在坐标平面内，若直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2中，k 1 = k 2且b 1≠b 2，则两直线平行。 （3）两点间距离公式：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） ()()221221y y x x -+- （4）点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离： 1 ) 1(2002 2 00++-= -++-= k b y kx k b y kx d （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 2、反比例函数k y x = （k ≠0）中的k 的几何意义 过双曲线k y x = （k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 | k |。 特点：图像是关于原点中心对称图形

反比例函数与一次函数问题

反比例函数中的面积问题 导学案 第 页 姓名： 一、反比例函数中的基础面积问题 1、基础图像 2、演变 二、练习 1、如图，已知双曲线(0)k y k x =≠（0x f ）经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F 、E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ． 2、在反比例函数4y x =的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）

A ． B ． C ． D ． 3、如图，点A 、B 是双曲线3y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 三、两个基本三角形的面积问题 1、如图，已知(4,),(2,4)A n B --是一次函数y kx b =+的图像和反比例函数m y x =的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及三角形AOB 的面积．（3）求一次函数大于反涵的x 取值范围。 x y A B O 1S 2 S 8题图

2、如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数2y m x =的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于 点C（8，0）．（1）求这两个函数的解析式；（2）求三角形AOB的面积，（3）求一次函数小于等于反涵的x 取值范围。 3、如图，直线与反比例函数 m y x =（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中 点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4。（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOB的面积. 4、如图，一次函数y=－x+8和反比例函数 k y x =（x>0）的图象在第一象限内有两个不同的公共点A(x 1， y 1)、B(x2，y 2)． (1)求实数k的取值范围． (2)若△AOB的面积S△AOB=24，求k的值．

一次函数与反比例函数综合题

中考数学一次函数与反比例函数的综合运用复习 本专题是对一次函数与反比例函数的综合问题进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强.试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合又有与空间几何的综合.解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型. 例 (2014·成都)如图，一次函数y=kx+5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例 函数y=-8 x 的图象交于A(-2,b)，B 两点. (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线AB 向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值 . 【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A(-2,b)在y=-8 x 上， ∴-2b=-8，b=4.∴A(-2,4). ∵A(-2,4)在y=kx+5上， ∴k ＝12 ， ∴一次函数为y ＝1 2 x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y=1 2 x+5-m ，由题意，得 15. 82 y y x m x =-=+??? ?-???，整理得12x 2+(5-m)x+8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m)2-4×1 2 ×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数

的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0. 针对训练 1.(2014·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数 y＝m x (x＞0)的图象相交于点B(2，1). (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>m x 的解集. 2.(2014·广州)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-2k x 的图象交于A、 B两点，点A的横坐标为2. (1)求k的值和点A的坐标； (2)判断点B的象限，并说明理由. 3.(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=n x 相交于A(-1， a)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1. (1)求m、n的值；

一次函数和反比例函数知识点总结

一次函数知识点总结： 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一.中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组,一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k。即:y=kx+b(k,b为常数,k≠0）, ∵当x增加m，k （x+m）+b=y+km，km/m=k。 2。当x=0时,b为函数在y轴上的点，坐标为(0，b)。 3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交; 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k，b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤: （1）列表. (2）描点;[一般取两个点,根据“两点确定一条直线"的道理,也可叫“两点法”. 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0)两点画直线即可. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点. (3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是—k分之b与0，0与b）. 2．性质: （1)在一次函数上的任意一点P(x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b）,与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0,y与x成正比例)： 当k〉0时，直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大; 当k〈0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小. y=kx+b时：

一次函数和反比例函数知识点总结81071

一次函数知识点总结: 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x 增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 （3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；

反比例函数与一次函数典型大题

反比例函数与一次函数典型大题 1.若反比例函数x k y = 与一次函数42-=x y 的图象都经过点A （a ,2） (1)求反比例函数x k y = 的解析式； (2) 当反比例函数x k y = 的值大于一次函数42-=x y 的值时，求自变量x 的取值范围． 2.如图，已知直线x y 2-=经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数x k y =（0≠k ） 的图象上． （1）求a 的值；（2）直接写出点P ′的坐标；（3）求反比例函数的解析式． 3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，1 tan 422 ABO OB OE ∠= ==，，． （1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB 的解析式． （第2题） x y O x y 2-= P P ' x k y = 1 1

4.已知一次函数2y x =+与反比例函数k y x =，其中一次函数2y x =+的图象经过点P (k ，5)． ①试确定反比例函数的表达式； ②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标 5.如图，已知反比例函数1 1k y x = （k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C .若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值？ 6.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）。 ⑴求点D 的坐标； ⑵求经过点C 的反比例函数解析式.

一次函数与反比例函数练习及答案

一次函数、反比例函数的图象和性质 一、选择题 1．在反比例函数y= 2 x 的图象上的一个点的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，12） D ．（1 2 ，2） 2．函数y=（a-1）x a 是反比例函数，则此函数图象位于（ ） A ．第一、三象限； B ．第二、四象限； C ．第一、四象限； D ．第二、三象限 3．已知正比例函数y=（3k-1）x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．k<0 B ．k>0 C ．k< 13 D ．k>13 4．直线y=x-1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多 有（ ）个 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 5．在函数y= k x （k>0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知x 10，则这个函数的图象一定不经过第______象限． 12．如图6-2，点A 在反比例函数y=k x 的图象上，AB 垂直于x 轴，若S △AOB =4，?那么这个反比例函数的解析式为________．

专题：反比例函数与一次函数

专题：反比例函数与一次函数 1、已知反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点A （2，3）． （1）求这个函数的解析式； （2）判断点B （﹣1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当31x -<<-时，求y 的取值范围． 2、如图，已知一次函数4y kx =-的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数8y x =在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k = . 3、如图，A （-4，n ）、B （2，-4）是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求方程0m kx b x +- =的解（请直接写出答案）； （3）求不等式0m kx b x +- <的解集（请直接写出答案）.

4、如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x = 的图象交于A （2，3）、B （-3，n ）两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式m kx b x +> 的解集 ； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求ABC S △. 5、如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2）、B （2，5）、C （6，1）.若函数k y x =在第一象限内的图象与△ABC 有交点，求k 的取值范围. 6、如图，已知反比例函数k y x = 的图象经过第二象限内的点A （-1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，若直线y ax b =+经过点A ，并且经过反比例函数k y x =的图象上另一点C （n ，-2）. （1）求直线y ax b =+的解析式； （2）设直线y ax b =+与x 轴交于点M ，求AM 的长.