广东省高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设i为虚数单位，则复数z=i（2-i）的共轭复数=（）
A. -1+2i
B. -1-2i
C. 1+2i
D. 1-2i
2.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（?R B）=（）
A. {x|-1＜x＜2}
B. {x|-1＜x≤2}
C. {x|2≤x＜6}
D. {x|2＜x＜6}
3.在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8
个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）
A. 0.2
B. 0.25
C. 40
D. 50
4.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是
（）
A. （1，8）
B. （-16，-2）
C. （1，-8）
D. （-16，2）
5.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若公差d=1，S9-S4=10，则S17=（）
A. 34
B. 36
C. 68
D. 72
6.某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇
形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）
A.
B.
C.
D.
7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数
学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）
A. B. C. D.
8.函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增，且为奇函数．已知f（1）=2，f（2）=3，则
满足-3＜f（x-3）＜2的x的取值范围是（）
A. （1，4）
B. （0，5）
C. （1，5）
D. （0，4）
9.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随
机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（）
A. B. C. D.
10.函数的部分图象不可能为（）
A. B.
C. D.
11.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）
A. [0，+∞）
B.
C.
D.
12.已知直线x=2a与双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点P，双曲
线C的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠PF2F1=-，则双曲线C的离心率为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则a=______．
14.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．
15.在四棱锥P－ABCD中，PA与矩形ABCD所在平面垂直，AB＝3，，，
则直线PC与平面PAD所成角的正切值为．
16.在数列{a n}中，a n＋1＝2(a n－n＋3)，a1＝－1，若数列{a n－pn＋q)为等比数列，其中
p，q为常数，则a p＋q＝_____________．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，AC=3，C=120°．
（1）若AB=7，求BC边的长；
（2）若cos A=sin B，求△ABC的面积．
18.《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选
手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为
“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．
（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．
（）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生．
（ⅰ）求这11名学生中女生的人数；
（ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．
附：K2=，其中n=a+b+c+d．
19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，
点E，F分别为CA1与AB的中点．
（1）证明：EF∥平面BCC1B1．
（2）求三棱锥B1-AEF的体积．
20.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点．
(1)证明：△AOB为钝角三角形．
(2)若直线l与直线AB平行，直线l与抛物线C相切，切点为P，且△PAB的面积为
16，求直线l的方程．
21.已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a ln x．
（1）当a=-4时，求f（x）的单调区间；
（2）已知a∈（1，2]，b∈R，函数g（x）=x3+bx2-（2b+4）x+ln x．若f（x）的极小值点与g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于．
22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已
知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．
23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．
（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式对x∈恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵z=i（2-i）=1+2i，
∴．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，
则?R B={x|x≥2或x≤-2}，
则A∩（?R B）={x|2≤x＜6}，
故选：C．
求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，
中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，
设其他8组的频率数和为m，
则由题意得：m+m=200，
解得m=150，
∴中间一组的频数为=50．
故选：D．
设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间一组的频数．
本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵；
∴；
∴k=-3；
∴；
∴；
∴（-16，-2）与共线．
故选：B．
根据即可得出，从而得出k=-3，从而可求出，从而可找出与
共线的向量．
考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】C
【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，且S9-S4=10，
所以10=5a1+（36d-6d）=5（a1+6d）=5a7，所以a7=2，
所以a9=a7+2d=2+2=4，
S17===17a9=17×4=68．
故选：C．
数列{a n}是等差数列，S9-S4=10=5a1+（36d-6d）=5（a1+6d）=5a7，所以a7=2，所以
a9=a7+2d=2+2=4，S17===17a9，将a9代入可得S17．
本题考查了等差数列的前n项和公式，通项公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，
S=3×+=，
r=，几何体的体积为：=．
故选：A．
首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的
应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.
利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．
【解答】
解：由题意可得：，
解得a=4，b=3，
因为椭圆的焦点坐标在y轴上，
所以椭圆方程为：．
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．
【解答】∵f（x）是奇函数，且f（1）=2，f（2）=3，
∴f（-2）=-3，
则不等式-3＜f（x-3）＜2等价为f（-2）＜f（x-3）＜f（1），
∵f（x）是增函数，
∴-2＜x-3＜1得1＜x＜4，
即x的取值范围是（1，4），
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，
从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．
这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，
基本事件总数n==10，
至少有2个轮胎的宽度在195±3内包含的基本事件个数m==7，
∴这批轮胎基本合格的概率为p==．
故选：C．
基本事件总数n==10，至少有2个轮胎的宽度在195±3内包含的基本事件个数
m==7，由此能求出这批轮胎基本合格的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】B
【解析】解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，
此时f（x）=2sin（x-）=-2cos x为偶函数，对应图象为A，故A图象可能
B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，
当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B图象不可能，
当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，
C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，
当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，
此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，
综上不可能的图象是B，
故选：B．
根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．
本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．
令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的
最大值即可得出k的范围．
【解答】
解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，
∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴k在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，x＞0，
则，
当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，
x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=，
则k，
故选：C．
12.【答案】B
【解析】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），cos∠PF2F1=-，可得sin∠PF2F1==，
即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，
由直线x=2a与双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x交于点P，
可得P（2a，2b），
可得=，
即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），
化为11c2-60ac+64a2=0，
由e=可得11e2-60e+64=0，
解得e=或e=4，
由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．
故选：B．
设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】【分析】
根据题意，由函数零点的定义可得f（-2）=log2（a-2）=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，
则f（-2）=log2（a-2）=0，即a-2=1，
解可得a=3，
故答案为：3
14.【答案】
【解析】解：设z=，则z的几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率，
作出不等式组对应得平面区域如图：
由图可知OA的斜率最大，
由，解得A（3，4），
则OA得斜率k=，则的最大值为．
故答案为：．
本题主要考查线性规划求最值，是基础题．
设z=，作出不等式组对应得平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
15.【答案】
【解析】解：∵在四棱锥P-ABCD中，PA与矩形
ABCD所在平面垂直，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD是直线PC与平面PAD所成的角，
∵AB=3，AD=，PA=，
∴直线PC与平面PAD所成角的正切值：
tan∠CPD===．
故答案为：．
推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥平面PAD，进而∠CPD是直线PC与平面PAD所成的角，由此能求出直线PC与平面PAD所成角的正切值．
本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
16.【答案】40
【解析】解：数列{a n}中，a n+1=2（a n-n+3），a1=-1，
若数列{a n-pn+q）为等比数列，
则a n+1-p（n+1）+q=2（a n-pn+q），
解得：p=2，q=4，
故：数列{a n-pn+q}是以-1+4-2=1为首项，2为公比的等比数列．
所以：，
整理得：．
故：a p+q=a6=40，
故答案为：40
首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
17.【答案】解：（1）由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC×AC×cos C，
代入数据整理得BC2+3BC-40=0，
解得BC=5（BC=-8舍去）．
（2）由cos A=sin B及C=120°，
得cos（60°-B）=sin B，
展开得cos B+sin B-sin B=0，
即sin B=cos B，tan B==，
所以B=30°．
从而A=60°-B=30°，
即A=B=30°，
所以BC=AC=3．
故△ABC的面积为×3×3×sin120°=．
【解析】（1）直接利用余弦定理和一元二次方程的解的应用求出结果．
（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
因为K2的观测值k==＜2.706
所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关
（2）（ⅰ）这11名学生中，被抽到的女生人数为
（ⅱ）因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数，
所以这11名学生中女生的平均分的最小值为×（120+121+122+123+124）=122
【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与平均数的计算问题，是基础题．
（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）（ⅰ）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数；
（ⅱ）由题意计算所求平均分的最小值．
19.【答案】（1）证明：如图，连接BC1．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AC1的中点．
又因为F为AB的中点，
所以EF∥BC1．
又EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
所以EF∥平面BCC1B1．
（或先证面面平行，再证线面平行，也是常见的方法）
（2）解：因为AC⊥AB，AA1⊥AC，AA1∩AB=A，AA1、
AB平面ABB1A1,
所以AC⊥平面ABB1A1，
又AC=4，E为A1C的中点，
所以E到平面ABB1A1的距离为：×4=2．
因为△AB1F的面积为：×2×6=6，
所以==×2×6=4．
【解析】（1）连接BC1．证明EF∥BC1，然后证明EF∥平面BCC1B1．
（2）求证AC⊥平面ABB1A1，求出E到平面ABB1A1的距离，通过=求解
体积即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20.【答案】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2-4kx-4=0，则x1x2=-4，
所以y1y2==1，
从而?=x1x2+y1y2=-3＜0，
则∠AOB为钝角，故△AOB为钝角三角形．
（2）解：由（1）知，x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，
由题知，直线y=kx+1经过抛物线的焦点，
则|AB|=y1+y2+p=4k2+4．
由x2=4y，得y=，y'=，设P（x0，y0），则x0=2k，y0=k2，
则点P到直线y=kx+1的距离d==．
从而△PAB的面积S=d|AB|=2（k2+1）=16，
解得k=±，
故直线l的方程为y=±x-3．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2-4kx-4=0，利用韦达定理以
及向量的数量积证明△AOB为钝角三角形．
（2）求出|AB|=y1+y2+p=4k2+4，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点P到直线y=kx+1的距离，利用△PAB的面积，转化求解即可.
21.【答案】（1）解：当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．
f'（x）=x+3-=．
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）的单调递减区间为（0，1）．
（2）证明：f'（x）==，
g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．
令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．
因为a∈（1，2]，所以f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，
所以p（a）=0，即3a2+（2b+3）a-1=0，即b=，
此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b=-3-=a--．
因为a∈（1，2]，所以a-≤3-=．
故g（x）的极大值不大于．
【解析】（1）当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．即可得出单调区间．
（2）f'（x）=，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+
（2b+3）x-1．由a∈（1，2]，可得f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，可得p（a）=0，b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）代入利用函
数的单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，
即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．
（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，
则|PM|=3+sinα，
又直线ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1，
所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，
所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），
故当α=时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．
【解析】（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．
（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，
不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，
当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，
当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成立，则-1≤x≤2，
当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，
综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；
（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k
≥|x+1+2-x|-k=3-k，
所以f（x）的最小值为3-k；
又不等式对x∈恒成立，
所以3-k≥，
所以，解得k≤1，
所以k的取值范围是（-∞，1]．
【解析】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．
（1）k=4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为
3-k≥，求出不等式的解集即可．