正弦、余弦函数单调性、最值

1．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )

A ．[－π4，π4]

B ．[π4，3π4]

C ．[0，π2]

D ．[π2

，π] 2．函数y ＝2sin ?

???ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.????k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.?

???2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.????k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.?

???2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 3．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在区间[0，π2

]上的单调性相同，则φ的一个值是 A.π6 B.π4 C.π3 D.π2

4. 设函数f (x )＝|sin(x ＋π3

)|(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间[2π3，7π6]上是增函数 B ．在区间[－π，－π2

]上是减函数 C ．在区间[π3，π4]上是增函数 D ．在区间[π3，5π6

]上是减函数 8．函数f (x )＝(13

)|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为________． 解析：只需求出y ＝|cos x |在[－π，π]上的单调递增区间．答案：[－π2，0]和[π2

，π] 9．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2

]上为减函数的是________(填序号)． ①y ＝sin(2x ＋π2)； ②y ＝cos(2x ＋π2)； ③y ＝sin(x ＋π2); ④y ＝cos(x ＋π2

)． 11．求下列函数的单调递增区间：

(1) y ＝1＋2sin(π6

－x )；

(2) .x y cos log 2

1=

12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|＜π，若f (x )≤???

?f ????π6对x ∈R 恒成立，

且f ????π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间．

13．已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2

，π)上单调递减，则ω的取值范围是________． 14. 函数y ＝(12

)sin x 的单调递增区间为_______ 解析：设u ＝sin x ，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u ＝sin x 的单调

递减区间，结合u ＝sin x 的图象知：2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z .答案：[2k π＋π2，2k π＋3π2

](k ∈Z )

15．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )

A ．[－1，0]

B ．[0，1]

C ．[－1，1]

D ．[－2，0]

解析：选D.y ＝sin x －|sin x |＝?

????0， sin x ≥02sin x ， sin x <0?－2≤y ≤0.

16. 函数f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别是( )

A ．－2，2

B ．－2，52

C ．－12，2

D ．－52

，2 20. 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )

A ．[－1,1]

B ．[－54，－1]

C ．[－54，1]

D ．[－1，54

] 21．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12

]，则b －a 的最大值和最小值之和为 A.4π3 B ．2π C ．4π D.3π2

解析：选B.画出图象可知，b －a 的最大值为4π3，最小值为2π3

，∴最大值和最小值的和为4π3＋2π3

＝2π 22．函数y ＝4cos 2

x ＋4cos x －2的值域为

A ．[－2,6]

B ．[－3,6]

C ．[－2,4]

D ．[－3,8]

24. 函数y ＝3－sin 2x －4cos x 的最小值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．－6

D ．－3

解析：选B.y ＝3－sin 2x －4cos x ＝3－(1－cos 2x )－4cos x ＝cos 2x －4cos x ＋2＝(cos x －2)2

－2.

∵－1≤cos x ≤1，∴y min ＝(1－2)2－2＝－1.

25. 已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12

|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－22，1] C ．[－1，22] D ．[－1，－22] 解析：选C.当sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，当sin x ＜cos x ，f (x )＝sin x ，∴

f (x )＝?????

cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x ＜cos x ).图象如图实线表示．所以值域为[－1，22]，故选C.

26. 函数y ＝3＋3cos(2x ＋π3

)的值域是________． 解析：－1≤cos(2x ＋π3

)≤1，∴0≤y ≤6.答案：[0,6] 27. 已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时函数取得最大值．

解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2

(k ∈Z ) 28．函数y ＝sin 2x －6sin x ＋10的最大值是________，最小值是________．

解析：令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，则t 2－6t ＋10＝(t －3)2＋1，∴最大值为17，最小值为5.答案：17 5

29. 函数y ＝3cos ????12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．

解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2

(k ∈Z ) 30．已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3

]，则f (x )的值域是________ 解析：x ∈[0，π3]，x ＋π3∈[π3，23π]．sin(x ＋π3)∈[32，1]，则2sin(x ＋π3

)∈[3，2]．答案：[3，2]

31．若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为2，则ω＝________. 解析：由0＜ω＜1知，函数f (x )在[0，π3]上单调递增，所以f (π3)＝2，则可求出ω.

答案：34

33. f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)，在区间???

?0，π3上的最大值是2，则ω＝_______ 34. ．已知函数f (x )＝2a sin(x －π4

)＋a ＋b . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；

(2)当a ＜0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．

35．求下列函数的最大值和最小值：

(1)y ＝

1－12

cos x ；

(2)y ＝3＋2cos(2x ＋π3

)． 36. ．已知：f (x )＝2sin(2x ＋π6

)＋a ＋1(a ∈R ，a 为常数)． (1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；

(2)若f (x )在[－π6，π6

]上最大值与最小值之和为3，求a 的值．

关于正弦函数和余弦函数的计算公式

同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)

正弦函数余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

二次函数在闭区间上的最值 (经典)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

正弦函数的单调性与最值

正弦函数的单调性 【复习回顾】 1观察正弦函数图像，写出 定义域： 值域： 单调增区间： 单调减区间： snx>0的解集： snx<0的解集： 题型一 定义域问题 例1.函数的定义域 （1）y=sinx (2)y= x sin 2 (3) y x x =-+162sin 题型二 值域问题 例2.函数的最大值，并指出取最大值时x 的值 （1）y=sinx+2 （2）y=sin2x (3) ()21sin 2+-=x y (4)y=sinx+cos 2x 变式练习：设sinx=t-3,x ∈R,求t 的取值范围。 题型三 求单调性 例3.求下列函数的单调增区间 （1）y=sinx (2)y=sin2x (3) sin(2)3y x π =+ 变式练习：不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零。 【巩固练习】 1.当x ∈[π-，π]时，函数y =3sin x （ ）

A ．在[π-，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的 B ．在[22ππ，-]上是增加的，在[π-，2π-]和[2 π ，π]上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[π-，0]上是减少的 D ．在[2π ，π]和[π-，2π-]上是增加的，在[22π π，-]上是减少的 2.在下列给定的区间中，使函数y=sin(x+4 π )单调递增的区间是（ ） A ．[0，4π] B ．[4π，2π] C ．[2π ，π] D ．[－π，0] 3. 使函数-sinx y =取得最小值时x 的集合 。 4.下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3 (2)sin 2x=0.5 5.求使下列函数取得最小值的自变量x 的集合，并写出最小值： ①R x x y ∈-=，sin 1 ②R x x y ∈=，2sin 2 6．下列函数的单调区间： （1）y=1-sinx,x R ∈ (2) y=sin2x, x R ∈ (3) y=sin 2x 7．函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为－4，求k,b 的值

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数 图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-―

正弦,余弦函数的单调性教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

正弦函数、余弦函数的单调性教学设计 教学目标： 知识目标：能够根据正弦函数和余弦函数的单调性比较函数值的大小；能求出求 形如的单调区间及)cos()sin(?ω?ω+=+=x y x y 。 情感目标： 通过经历新知识的探索，培养学生善观察、勤思考、爱探究良好的 学习品质。 能力目标： 培养学生能够灵活运用正，余弦函数图像写出单调区间，会利用单 调性解决相关问题 教学重点、难点： 教学重点：用数形结合法探索正、余弦函数的单调性。 教学难点：求形如情形的单调区间当及0)cos()sin(>+=+=ω?ω?ωx y x y 。 学情分析：学生在前节课已经学习了正余弦函数的一些性质，因此在学习其单调 性的时候不会太难，考虑到本班学生的基础参差不齐，对问题的理解 能力有不同，所以在教学中要照顾全局，仔细分析，耐心讲解 教学方法：讲授法，探究法，讲练结合法 教学过程: 一、复习引入: 前面已学过正弦函数和余弦函数的图象以及它们的性质现在我们要通过正弦、余弦函数图象去研究它的另一个重要的性质——单调性。 1. 正弦函数、余弦函数的图像 2．函数的单调性定义在某区间上单调增（或单调减）的图象特征。 二、新课: （一）、正弦函数的单调性 1、探究正弦函数]2 3,2[sin ππ-=在x y 上的单调性 (1) 让学生观察正弦函数y=sinx 的图象 启发学生思考：它有多段图象自左到右是呈现上升状态，也有多段呈下降状态，根据函数单调性知识可知它分段具有单调性，那么这里面有什么规律呢，先要找一个周期区间上的函数图象来分析研究。 引导学生分析所选用的那一个区间段的图是否最佳选择，最适合的是只有一个单 调增区间和单调减区间的用这两段上的图象。（选择区间]2 3,2[ππ-） (2)让学生再观察正弦函数在区间]2 3,2[ππ-上的图象的升降情况.

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

正弦函数余弦函数的性质

正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．

解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．

正弦函数和余弦函数的图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,

人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值

1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??－π4，π4 B.?????? π4，3π4 C.? ?? ???0，π2 D.???? ??π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π 2＋k π(k ∈Z )． ∴? ?? ???k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而? ?? ? ??0，π2显然是上述区间中的一个． 答案 C 2．函数y ＝cos ? ????x ＋π6，x ∈??????0，π2的值域是( ) A.? ???? －32，12 B.?????? －12，32 C.???? ?? 32，1 D.? ??? ?? 12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π 3， ∴－12≤cos ? ????x ＋π6≤3 2，选B. 答案 B

3．设M 和m 分别表示函数y ＝1 3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1 3－1 ＝－4 3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0，π3上单调递增，在区间???? ?? π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a

正弦、余弦函数的单调性

§4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾： 1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1sin β. C.sin α≥sin β D.sin α,sin β大小不定 7、下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是 A.y=x sin B.y=x 2log C.y=sin x D.y=log x 2 7、求下列函数的单调递增区间： （1）)42cos(2π- =x y （2）)24sin(2x y -=π （3）x y sin 21?? ? ??= （4）x y cos log 2=

6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(含答案)

【课堂例题】 例1.试画出正弦函数在区间[0,2]π上的图像. 例2.试画出余弦函数在区间[0,2]π上的图像. 课堂练习 1.作函数sin y x =-与sin 1y x =+在区间[0,2]π上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系. 3.作函数cos ,[,]y x x ππ=∈-的大致图像. 4.利用3.解不等式：cos sin ,[,]x x x ππ≥∈-

【知识再现】 正弦函数：y = ，x ∈ ； 余弦函数：y = ，x ∈ . 正弦函数和余弦函数在[0,2]π上的大致图像: 【基础训练】 1.(1)若MP 和OM 分别是角 76 π 的正弦线和余弦线，则( ) A.0MP OM <<；B.0OM MP >>； C.0OM MP <<；D.0MP OM >>. (2)正弦函数与余弦函数在区间[,]ππ-内的公共点的个数是( ) A.1； B.2； C.3； D.4. 2.我们学过的诱导公式中， (1)说明余弦函数cos ,y x x R =∈的图像关于y 轴对称的是 ； (2)说明正弦函数sin ,y x x R =∈的图像关于直线2 x π = 对称的是 . 3.(1)函数cos 3,y x x R =+∈的值域是 ； (2)函数24sin 2,(0,)y x x π=-∈的值域是 . 4.函数cos ,[0,2]y x x π=∈和1y =的图像围成的封闭的平面图形的面积为 . 5.利用“五点法”,画出下列函数的大致图像：(步骤：列表、描点、联线) (1)1sin ,[,]y x x ππ=+∈-; (2)cos ,[0,2]y x x π=-∈. O y x

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.

例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? -

正弦函数和余弦函数的图象

1．4．1 正弦函数和余弦函数的图象 编写人: 杨朝书 审核人：王维芳 时间 2010-3-22 一、学习目标 1、 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。 2、 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。 二、重点难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象。 难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数和余弦函数图象间的关系。 三、知识链接 1、sin(2)k απ+=_____________,cos(2)k απ+=____________,tan(2)k απ+=__________ （其中k Z ∈） 2、三角函数的几何表示，即___________，作出角 23 π 的正弦线、余弦线和正切线。 3、诱导公式：sin()2πα-= sin()2 πα+= cos()πα-= cos()πα+= 4、函数的定义__________________________________________________________________ 四、学习过程 [知识探究]正弦函数、余弦函数的图象 阅读课本30p 第一段：正弦函数、余弦函数的定义是：__________________________________. 问题1、用描点法作出正弦函数sin y x =的图象（试填写下表并描点，作出图象） 阅读课本31p 完成问题2、用几何法作出正弦函数sin y x =的图象。 1、利用几何法作正弦函数的图象可分为两步：一是画出______________的图象；二是把这一图象向_____________________________连续平移（每次2π个单位长度） 2、“五点法”作图的一般步骤是①_________;②_____________;③________________ 3、“五点法”作正弦函数图象的五个点是_______________________________;“五点法”作余弦函数图象的五个点是 _______________________________ 4、函数cos y x =（x R ∈）的图象可以通过sin ()y x x R =∈的图象向_______平移_____个单位长度得到。 5、通过图象能说出正弦曲线和余弦曲线是否是轴对称图象和中心对称图形？若是对称轴是什么？对称中心是什么？ [典型例题] 例题 画出下列函数的简图： ⑴1sin y x =+，[0,2]x π∈；⑵cos ,[0,2]y x x π=-∈；⑶1sin(2)26 y x π= + 变式：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象来得到1sin y x =+， [0,2]x π∈的图象？同样的，能否从函数cos ,[0,2]y x x π=∈的图象得到函数cos ,[0,2] y x x π=-∈的图象？

有限区间上含参数的二次函数的最值问题

有限区间上含参数的二次函数的最值问题 执教：吴雄华 时间：2006-9 班级：高三（1） 班 教学目标： 知识与技能： 1．掌握定义在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法； 2．掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法； 过程与方法： 3．加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验； 情感、态度与价值观：4．通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心； 5．培养学生严密的分析和解决问题的能力。 教学重点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解。 教学难点：分类讨论与数形结合数学思想方法的运用。 教学内容 教师活动 学生活动 一．复习一元二次函数最值的求 法。 1． 没有限定区间的情况。 2． 有限定区间的情况。 提问一：我们已学习了哪些一元二次函数求最值问题？请同学指出类型和求解方法。 回答一：两种情况，分别为没有限定区间的情况和有限定区间的情况。 前者用配方法即可，后者先配方，再借助图像来观察函数在给定区间上的单调性，从而得出函数的最值。 二．研究定义在变化区间上的一 元二次函数最值问题的求解。 例1已知函数()222++=x x x f ， （1）若R x ∈，求函数的最值； （2）若[]1,3x ∈，求函数的最值； （3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值； （4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值； （5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。 ?? ? ??-<++-<≤--≥++=.3,106;13,1; 1,2222min a a a a a a a y ?????-<++-≥++=. 2,22;2,1062 2max a a a a a a y 给出例1。 借助（1）（2）（3）复习，请同学口头回答解法。 提问二：（4）题与（1）（2）（3）题有什么联系和区别？ 提示后请同学们完成（4）题。 允许讨论。 其中请两位同学在黑板上分别完成（4）（5）题。 教师巡视，若多数同学感到困难，则再提示要不要通过图像来解答。 学生完成后讲评。 提问三：请同学指出分类讨论的依据，并对问题类型归纳。 读题后思考（1）（2）（3）题，口头回答解法。 回答二：都是一元二次函数求最值的问题，但（4）题中函数的定义域（区间）是变化的。 区间变化，函数的最值相应变化。故要进行分类讨论。 先独立思考，有困难再讨论，最后完成解答。 回答三： 最小值：对此区间是否有函数的对称轴穿过进行讨论； 最大值对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。

正弦函数和余弦函数的图像与性质教案

6.1课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质（2）教案 教学目的：1、理解正、余弦函数的值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2、会求简单函数的值域、最小正周期和单调区间； 3、掌握正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期及求法。 教学重点：正、余弦函数的性质。 教学过程： （一）、引入 回顾三角函数的图像： 函数y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象， （二）、新课 1．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 2．值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， ｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ，x ∈R ①当且仅当x ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1 3．周期性 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。 注意： （1）周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无 下界； （2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） （3）T 往往是多值的（如y=sinx ，2π，4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数 叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。 4．奇偶性 由sin(－x)＝－sinx ， cos(－x)＝cosx 可知：y ＝sinx 为奇函数， y ＝cosx 为偶函数 ∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 5．单调性 从y ＝sin x ，x ∈［－ 23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2 π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1 当x ∈［2 π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－ 2π＋2k π，2 π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1。 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1 （三）典型例题（3个，基础的或中等难度） 例1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。 （1）y ＝cosx ＋1，x ∈R ； （2）y ＝sin2x ，x ∈R 解：（1）使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取 得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝。 ∴函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2。