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概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}

2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 和C 不发生；（2）A 与B 都发生，而C 不发生；（3）A 、B 、C 都发生；（4）A 、B 、C 都不发生；（5）A 、B 、C 不都发生；（6）A 、B 、C 至少有一个发生；（7）A 、B 、C 不多于一个发生；（8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解所求的事件表示如下

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B C

A BC

ABC

A B C

ABC

A B C

A B B C AC AB BC CA

3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年

级学生，事件C 表示该学生是运动员，则（1）事件AB 表示什么？

（2）在什么条件下ABC =C 成立？

（3）在什么条件下关系式C B ?是正确的？（4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下

（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员.

（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ?是正确的.

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB 解由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以

P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3,

所以 P (AB )=0.4, 故

()P AB

= 1-0.4 = 0.6.

5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14

，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18

求A 、

B 、

C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,

?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0

则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)

111

00044488

++---+=

6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}.

解由题意，基本事件总数为2a b

A +，有利于A 的事件数为22a

A A +，有利于

B 的事件数为1111112a

A A A A A A +=,

则

222()()a b a b a b

a b

A A A A P A P

B A

+++=

7. 若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）设A={取得三件次品} 则 3

16()()120

720

或者=

C A P A P A C A .

（2）设B={取到三个次品}, 则

27()10

1000

P A .

8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人

会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率.

解设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得 (1) 32923()()()100

100

=-=

=P A B C P A B P A B C

(2)

()()()

P A BC P A B P A B C =-

()01()

P A B P A B =+-=-+

1()()()P A P B P AB =--+ 433532541100

100

-+=

9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：

（1）取到的都是白子的概率；

（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解

(1) 设A={取到的都是白子} 则 3

14()0.25555

=C P A C .

(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}

84312

()0.509=

=C C P B C .

(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .

(4) 设D={取到三颗子颜色相同}

312

()0.273+=

=C C P D C .

10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？

（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解

(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则 500500

364()1()10.746365

=-=-

=P A P A

(2)设所求的概率为P(B)

6126

()0.007312

??=

=C C P B

11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p. 解由于两个C ，两个E 共有222

A A 种排法，而基本事件总数为77

A ，因此有

227

0.000794

A A p A =

12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有?44

C 中取法. 设

A={4只手套都不配对}，则有

5410

280()210

C P A C

13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为

+11i p i

，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？

解设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i

i P A p i

所以

()11i i i P A p i

=-=

123123123(2)()()()

P x P A A A P A A A P A A A ==++

由于零件制造相互独立，有：

123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =

11112111311,(2)2

P x ==

所以

14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独

立射击至少有一次命中目标的概率p.

解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.

则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式

12()()()

()()(|)()(()|)

P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故

P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式

P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.588

15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件

次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.

解设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意

14911050192

48210501934731050

446110

(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303

===

P B A C C P B A C C C P B A C

C C P B A C C C P B A C

由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式

()()(|)0.196

=∑

i i i P B P A P B A

由Bayes 公式

000111222()(|)

(|)0()

()(|)

(|)0.255()()(|)

(|)0.333

()

=====

=P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B

故

()(|)0.588

=∑

i i P C P A B

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，

0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05. 因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式

()()(|)

0.80.980.150.900.050.10

0.8624

=?+?+?=∑

i i i P B P A P B A

由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

13233()(|)

0.80.98(|)0.8731

()

0.8624()(|)

0.150.90(|)0.1268

()0.8624()(|)

0.050.10(|)0.0001

()

0.8624

=?===?=

==i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B

由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且

含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解设H i ={箱中实际有的次品数},

0,1,2

=i , A={通过验收}

则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：

2314244222424

(|)1,5(|),

95(|)138

P A H C P A H C C P A H C ===

(1)由全概率公式

()()(|)0.96

α===

=∑

i i i P A P H P A H

(2)由Bayes 公式得

00()(|)

0.81(|)0.83

()

0.96

β?==

==i P H P A H P H A P A

18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的

概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故

(1) 223

155(2)(0.1)(0.9)0.0729

===P P C

(2) 2555(3)(4)(5)

P P P P =++

555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856

C C C =++=

第二章随机变量及其分布

1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：

2. 进行某种试验，设试验成功的概率为34

，失败的概率为14

，

以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：

13(),1,2,3,44k P X k k -??

=== ?

???

X 取偶数的概率：

13{}(2)441

1116331165116

k k

P X P X k -∞

∞

??=

== ?

???

??==?= ?

-??

∑

∑∑k=1

k=1k=1为偶数

3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数1

3,,x x

x .求：

X ＝max (1

,,x x x )的分布律及P(X ≤4)； Y ＝min (1

,,x x x )的分布律及P(Y>3).

解基本事件总数为：35

=， X 3 4

(1)X 的分布律为：

P(X ≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为

P(X>3) =0

4. C 应取何值，函数f(k) =!

k λ

，k ＝1，2，…，λ>0成为

分布律？解由题意, 1()1k f x ∞

==∑

, 即

0(1)1!

0!k

k k k k C

C C C e k k k λ

λλλλ∞

∞

∞===??==-=-= ???∑∑

∑ 解得：1(1)

C e λ

5. 已知X

的分布律 X －1

求：（1）X 的分布函数；（2）12P X

；（3）312P X

?<≤

解 (1) X 的分布函数为()()k k

x x

F x P X

x p ≤=≤=

∑

0,11/6,

11()1/2,121,

x x F x x x <-??

-≤

≤

(2) 11(1)26P X P X ?

?<==-=

(3)

31()0

2P X P ?

?<≤=?= ??

6. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.6，求一次投篮时投

中次数X

解 X 的分布函数

0()0.6

0111

x F x x x ≤??

=<≤??>?

7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p ，求：

（1）三次射击中恰好命中两次的概率；

（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？解设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则

(1) P(A) =22

(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=- (2) P(B) =22

(2)(3)(1)(1)

32P P C p p C p p p p

--+=-+-=-

8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解

(1) P(X=6) =6

0.104

e k λ

--=

=或者

P(X=6) =

k λ

-4

k k e

k k ∞

∞

--===

-∑

∑

= 0.21487 – 0.11067 =

0.1042.

(2) P(X ≤10)

114

110.00284

k k e e k k ∞

--====-=-∑

∑

0.99716

9. 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4)

解由已知可得， 1

,1!

e λ

--=

解得λ=2， (λ=0不合题意)

,(4)4!

P X e

-==

因此= 0.09

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X 服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此

(1) P(X=2)

0.224

(2)3

(2)1(2)110.80080.1992

k P X P X e

k ∞

-=<=-≥=-=-=∑

(3)3

(2)(2)0.5768

k P X

P X e

k ∞