2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷(无附参考答案)

2020年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷

一、选择题

1． 下列三数32

，log 1682，log 27124的大小关系是( )

(A)32＜log 1682＜log 27124 (B)32＜log 27124＜log 1682

(C)log 27124＜32＜log 1682 (D)log 27124＜log 1682＜32

2． 已知两点A (1，2)，B (3，1)到直线l 的距离分别是2，则满足条件的直线l

共有( )条 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3． 设f (n )为正整数n (十进制)的各位上数字的平方之和，比如f (123)=12+22+32

=14，记

f 1(n )=f (n )，f k +1(n )=f (f k (n ))，k =1，2，3，…，则f 2020(2020)的值是( ) (A)20 (B)4 (C)42 (D)145

4． 设在xOy 平面上，0＜y ≤x 2

，0≤x ≤1所围成图形的面积为3

1，则集合M ={(x ，y )| |y |-|x |

≤1}，N ={(x ，y )| |y |≥x 2

+1}的交集M ∩N 所表示图形的面积是( )

(A)3

1

(B)23 (C)1 (D)43

5． 在正2020边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为( )

(A)2020 (B)10032 (C)10032-1003 (D)10032

-1002

6． 设函数f (x )=sin cos sin tan x x x x +++tan cot cos tan x x x x +++sin cos cos cot x x x x +++tan cot sin cot x x x x ++，则f (x )在(0，2

π

)内

的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 二、填空题

7． 手表的表面在一平面上，整点1，2，3，…，12这12的圆周上．从整点i 到整点(i +1)的向量记作1i i t t +u u u u r

，则1223233412112t t t t t t t t t t t t +++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g L g =____. 8． 设a i ∈R +

(i =1，2，…，n )，α，β，γ∈R ，且α+β+γ=0，则对任意x ∈R ，

()()()1

111()111n

x

x x x x

x

i i

i i i i i a a a a a a α

αβββγγγα+++=++++++++∑=_____. 9． 在1，2，3，…，2020中随机选取三个数，这三个数能构成递增等差数列的概率等于____. 10． 已知集合A ={(x ，y )| x 2

+y 2

-2x cos α+2(1+sin α)(1-y )=0，α∈R }，B ={(x ，y )| y =kx +3，

k ∈R }．若A ∩B 为单元素集，则k =______.

11． 设a ，b 为非零实数，x ∈R ，若442222sin cos 1x x a b a b +=+，则20082008

20062006sin cos x x a b

+=_____.

12． 2323

,,111max min{,,,}a b c R a b c a b c +

∈++=______.

三、解答题

13．在x轴同侧的两个圆：动圆C和圆4a2x2+4a2y2-4abx-2ay+b2=0外切(a,b∈N，a≠0)，且动圆C与x轴相切，求

（1）动圆C的圆心轨迹L的方程；

（2）若直线

1)abx-4ay+b2+a2-6958a=0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之

值．

14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n (n=1，2，3，…)，{b n}满足b1=1，

2

1

n

n n

b

b b

n

+

=+(n=1，

2，3，…)，证明:1

2

≤1 n

k=

<.

15．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问：

（1）共有多少种不同的骰子；

（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V，在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．