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知识框架
圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①∟AOB=∟DOE ;②AB=DE ;
③OC=OF ;④ 弧BA =弧BD
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵∟AOB 和∟ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∟AOB=2∟ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O 中,∵∟C 、∟D 都是所对的圆周角 ∴∟C=∟D
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∟C=90° ∴∟C=90°∴AB 是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ABC 中,∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∟C=90°
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
【典型例题】
考点一:圆心角,弧,弦的位置关系
例1、如图,BE 是半径为6的圆D 的四分之一圆周,C 点是BE 上的任意一点,
△ABD 是等边三角形,则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是( ) 例2、下列语句中正确的是( )
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、平分弦的直径垂直于弦
C 、长度相等的两条弧是等弧 D\经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例3、有下列说法:①等弧的长度相等;②直径是圆中最长的弦;③相等的圆心角对的弧相等;④圆中90°角所对的弦是直径;⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有( ) 例4、(2007?重庆)如图,AB 是⊙O 的直径,AB=AC ,BC 交⊙O 于点
D ,AC 交⊙O 于点
E ,∠BAC=45°,给出下列五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC ;③AE=2EC ;④劣弧AE 是劣孤DE 的2倍;⑤AE=BC .其中正确结论的序号是
考点二:圆周角定理
例1 如图, ABC 中,∠A=60°,BC 为定长,以BC 为直径的⊙O 分别交AB ,AC 于点D ,E .连接DE ,已知DE=EC .下列结论:①BC=2DE ;②BD+CE=2DE .其中一定正确的有( ) 例2、(2011?衢州)一个圆形人工湖如图所示,弦AB 是湖上的一座桥,已知桥AB 长100m ,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径AD 为( ) 例3、 (2010?荆门)如图,MN 是⊙O 的直径,MN=2,点A 在⊙O 上,∠
AMN=30°,B 为 AN^的中点,P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值为( )
、
F
E D C
B
A
O
D
C
B A
O
C
B
A
O
C
B
A
O
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D C B
E A O A C
B E
D
O
A
C
B
考点三:内接圆的四边形的性质
例1、(2006?宁德)如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD=110°,则∠BAD 为( )
例2、(2008?济宁)如图,四边形ABCD 中,AB=AC=AD ,若∠CAD=76°,则∠CBD=度. 例3、如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 平分∠BAD 交BD 于点E ,⊙O 的半径为4, ∠BAD=60°,∠BCA=15°,则AE=
【课堂练习】
1、(2004?南宁)如图,D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,CD=CE ,则 AC^与 CB^弧长的大小关系是
2、如图,已知AB 是⊙O 的直径,PA=PB ,∠P=60°, 则弧CD 所对的圆心角等于度.
3、(2009?哈尔滨)如图,在⊙O 中,D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点,
且AD=BE .点C 为弧AB 上一点,连接CD 、CE 、CO ,∠AOC=∠BOC .求证:CD=CE .
4、 (2011?重庆)如图,⊙O
是△ABC 的外接圆,∠OCB=40°,则∠A 的度数等
于
( )
5、(2011?福建)如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 两点在⊙O 上,若∠C=40°,则∠ABD 的度数为( )
6、(2005?镇江)如图,⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,D 、E 是⊙O 上两点,则∠D=度,∠E=度
7、在△ABC 中,∠A=150°,BC=6cm ,则△ABC 的外接圆的半径为cm .
8、如图,点A 、B 、C 、D 、E 将圆五等分,则∠CAD =度。
9、如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠C =150°,则∠AOB =。
10、如图,△ABC 内接于⊙O ,AD 是直径,AD 、BC 相交于点E ,若∠ABC =50°,通过计算,请
再写出其他两个角的度数(不添加新的字母或线段):。 第8题 第9题 第
10题
11.如图所示,已知:AB 和DE 是⊙O 的直径,弦A C ∥DE ,
求证:CE=BE 12.如图所示,△ABC 为圆内接三角形,A B >AC ,∠A 的平分线AD 交圆于D ,作D E ⊥AB 于E ,D F ⊥AC 于F ,求证:BE=CF
☆ 13.如图所示,在△ABC 中,∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于
点E ,延长AE 交△ABC 的外接圆于D 点,连接BD 、CD 、CE ,且∠BDA=60° (1) 求证△BDE 是等边三角形;
(2) 若∠BDC=120°,猜想BDCE 是怎样的四边形,并证明你的猜想。
O
E
D
A
B
C
A
B
C D E F
A
B
C
D
E