解三角形 高一期末复习
解三角形
一、知识梳理：
三角形中的有关公式：
（1）内角和定理：π=++C B A ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方。
（2）正弦定理：
R R C
c
B b A a (2sin sin sin ===为三角形外接圆的半径）. ①
C B A c b a sin :sin :sin ::=；②R a A 2sin = R b B 2s i n = R
c
C 2s i n =
③=a R A 2sin ? R B b 2s i n
?= R C c 2sin ?= 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
A 为锐角 A 为钝角或直角 图形
关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数
一解
两解
一解
一解
(3)余弦定理：bc
a c
b A A b
c c b a 2cos ,cos 22
222
2
2
-+=-+=等，常选用余弦定理鉴定三角
形的形状.
(4)面积公式：)(2
1
sin 2121c b a r C ab ah S a ++===
（其中r 为三角形内切圆半径） 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意π=++C B A 这个特殊性：
C B A -=+π,2
cos 2sin ,sin )sin(C
B A
C B A =+=+；（2）求解三角形中含有边角混合关
系问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
二、典型例题：
题型一：利用正、余弦定理解三角形
1、在ABC ?中，若,60,2,6 ===B BC AC 则______=C 。
2、下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______
①
30,16,8===A b a ，有两解； ②
60,20,18===B c b ，有一解； ③
90,2,15===A b a ，无解 ④
150,25,30===A b a ，有一解 3、设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知4
1cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ?的周长
（2）求)cos(C A -的值.
题型二：判断三角形形状
1、在ABC ?中，,cos sin 2sin C B A =且C B A 2
22sin sin sin +=，试判断ABC ?的形状。
2、在ABC ?中，已知A b B a tan tan 2
2=，试判断ABC ?的形状.
3、在ABC ?中，已知c
c b A 22cos 2
+=（c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），判断ABC ?的形状.
4、在ABC ?中，若A A c b B B c a sin )cos (sin )cos (-=-，判断ABC ?的形状.
题型3：三角恒等变形
1、在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B . （1）求A ∠的度数；
（2）若,3,3=+=c b a 求c b ,的值.
2、在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，已知C 2cos =4
1
-. （1）求C sin 的值；
（2）当C A a sin sin 2,2==时，求b 及c 的长.
题型4：正弦定理余弦定理综合应用
1、在ABC ?中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，已知b c a 22
2=-，且
,s i n c o s 3c o s s i n C A C A =求b .
2、在ABC ?中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，（1）求角C 的大小；（2）求
B A sin sin +的最大值.
题型5：其他知识综合
1、已知向量),,(),,(a b c a n b c a m --=+=
且0=?n m ，其中C B A ,,是ABC ?的内角，
c b a ,,分别是角C B A ,,的对边.
（1）求角C 的大小
（2）求B A sin sin +的取值范围.
2、在ABC ?中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且满足5
5
22cos =
A ，3=?AC A
B . （1）求AB
C ?的面积； （2）若1=c ，求a 的值.
课后练习
1、在ABC ?中，20=bc ，35=?ABC S ，ABC ?的外接圆半径为3，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3
2、在ABC ?中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于（ ）
A.
22
6- B. 2
2
6+ C. 12+ D. 23-
3、在ABC ?中 3,3,2=?==AC BA AC AB ，则A ∠等于（ ）
A.
120 B.
60 C.
30 D.
150 4、在ABC ?中，下列条件中解三角形其有两个解的是（ ） A. 75,45,10===C A b B. 60,48,60===C b a C. 80,5,7===A b a C. 45,16,14===A b a 5、在ABC ?，7:5:3::=c b a ，则这个三角形的最大角为（ ）
A.
30 B.
90 C.
120 D.
60
6、在ABC ?中，已知三边之比4:3:2::=c b a ，则
=-C
B
A 2sin sin 2sin （ ）
A. 1
B. 2
C. 2-
D. 2
1
7、在ABC ?中，已知,sin cos sin 2C B A =那么ABC ?的形状是_______三角形。 8、在平行四边形ABCD 中，已知1,2,1=?==AD AB AD AB ，则=AC _____ 9、在钝角ABC ?中，2,1==b a ，则最大边c 的取值范围是________。 10、在ABC ?中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，向量))sin(,2
cos
2(B A C
m +-=
，n m B A C n
⊥+=)),sin(2,2
(cos .
（1）求角C ；
（2）若22
22
1c b a +=，试求)sin(B A -的值.
11、在ABC ?中，角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且.2tan tan 1b
c
B A =+ （1）求角A ；
（2）)2
cos
2,(cos ),1,0(2
C B n m =-=
，试求n m
+的最小值.
高一数学解三角形练习题
必修五 第一章 解三角形 一、选择题 1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )． A ．10 km B ．103km C ．105km D ．107km 2．在△ABC 中，若2 cos A a ＝ 2 cos B b ＝2 cos C c ，则△ABC 是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )． A ．15° B ．45° C ．60° D ．120° 4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )． A ．3∶2∶1 B ．2∶3∶1 C ．1∶2∶3 D ．1∶3∶2 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )． A ．△A 1 B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形 C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150° B ．60° C ．60°或120° D ．30°
解三角形经典练习试题集锦(附答案)
解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则 底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 60 30或 B ．0 060 45或 C ．0 060120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是 _______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值 是________。 三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
高一数学-解三角形综合练习题
必修五 解三角形 一、选择题 1. 在ABC ?中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135< 三角函数及解三角形 一、选择题： 1．设α是锐角,223)4 tan(,+=+απ 则=αcos （ ） 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增，在区间??? ???2,3ππ上单调递减，则=ω( ) A ．3 B ．2 4．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距 离 等 于 , π则 ) (x f 的单调递增区间是 （ ） A.Z k k k ∈????? ?+ - ,125,12 πππ π B. Z k k k ∈????? ? ++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈?? ??? ?+-,6,3 ππππ D.［Z k k k ∈?? ??? ? ++,32,6 ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为 （ ） 2 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos -=α且,,2 ? ? ? ??∈ππα则?? ? ? ? +4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．1 7 D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2） D ．（ ， ） 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin ? ????4x ＋π6 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π6＋2 9．函数)3 2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12 (π - 成中心对称 （ ） A.向左平移 12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12 π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6 π -=x 对称，那么=a （ ） 第一章 解三角形 一、选择题 1．在A B C ?中，a =03,30;c C == (4) 则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ?中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ） A ； B C D 4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ） A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A B ．120≤ 三、解答题 11. 已知在ABC ?中,cos A = ,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()2 B π += ,c =求ABC ?的面积. 解: 12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5 82 22bc b c a - =-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。 ⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解： 高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 高二数学必修5解三角形单元测试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 2. 在△ABC 中，，c=3，B=300，则a 等于（ ） A ． C ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ） A ．41- B ．41 C ．32- D ．3 2 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．2 39 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 7.关于x 的方程02 cos cos cos 22=-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8. 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． () 10,8 D ．() 8,10 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.45° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 12. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ） A ． 14 B ．142 C ．15 D ．152 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 解三角形单元测试题 班级： ____ 姓名 成绩：______________ 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 高一解三角形 1.（2011东城区4月文）（15）（本小题共13分） 在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且满足，c 2bcosA . 所以 sin (A B) 2s in B cosA , sin (A B) 0, 在厶ABC 中，因为0 A n , 0 B n , ...................... 6分 所以 n A 所以A B . B n n ）解：由（I ）知 a b . 4 因为cosC 一 , 又0 A n ,所以 sinC 3. 5 5 因为△ ABC 的面积S 15 所以S -absinC 15 ，可得a b 5. 2 2 2 由余弦定理c 2 a 2 b 2 2abcosC 10 , 所以c . .............. 13分 2.(2011西城区4月文)15.(本小题满分13分) 4 设 ABC 的内角A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且cosB - , b 2. 5 (I)当A 30o 时，求a 的值；(n)当 ABC 的面积为3时，求a c 的值. 4 3 解：(I)因为cosB ，所以sin B . .................. 5 5 由正弦定理一 a b ，可得一 J 10 . ...... sin A sin B sin 30 3 5 所以a 5. ............ 3 1 3 (n)因为 ABC 的面积 S acsinB , sinB -, 2 5 3 所以 一 ac 3 , ac 10. ................. 10 由余弦定理b 2 a 2 c 2 2accosB , ..................... 得 4 a 2 c 2 8 ac a 2 c 2 16，即 a 2 c 2 20. (5) 所以(a c)2 2ac 20 , (a c)2 40 , ..................... 所以，a c 2、10. ..................... （I ）求证: B ; （□）若厶AB C 的面积S 15 ,cosC 2 -，求c 的值. 5 （I ）证明：因为 c 2b cosA ，由正弦定理得sin C 2sin B cosA , 2分 4分 6分 8分 9分 10分 12分 13分 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 三角函数及解三角形练习题 一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点． （Ⅰ）数a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值； （Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0． 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 解三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网https://www.sodocs.net/doc/452055450.html, 专题8 解三角形 【考题回放】 1．设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2 a b b c =+是2A B =的 （ A ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2 tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤+ 第一章解三角形 一、选择题 1．在A B C 中，(1)2sin b a B ;(2) ()()(22)a b c b c a bc , (3) 32a ,03,30;c C (4) sin cos B A b a ;则可求得角045A 的是（） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A ．10b ，45A ，70C B ．60a ，48c ，60 B C ．14a ，16b ，45A D ．7a ，5b ，80 A 3．在ABC 中，若12c b ，45C ，30 B ，则（） A ．2,1c b ； B ．1,2c b ； C ．221,22c b ； D ．2 2 ,221c b 4．在△ABC 中，已知5 cos 13A ，3 sin 5B ，则cosC 的值为（） A. 16 65或56 65 B. 16 65 C . 56 65 D. 16 65 5．如果满足60ABC ，12AC ，k BC 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A ．38k B ．120k C ．12k D ．120k 或3 8k 二、填空题 6．在ABC 中，5a ，60A ，15C ，则此三角形的最大边的长为． 7．在ABC 中，已知3b ，33c ，30B ，则a _ _． 8．若钝角三角形三边长为1a 、2a 、3a ，则a 的取值范围是． 9．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 10.在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin ，则ABC △的形状是. （2）若sinA=C B C B cos cos sin sin ，则AB C △的形状是. 三、解答题 高中数学-解三角形应用举例练习 一、选择题 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为………………………………………………( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是……………………………………………………….( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4. .已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-?+→ -→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是………( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( ) A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里 6．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( ) A. 21d d > B. 21d d = C. 21d d < D. 不能确定大小 二、 填空题 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长）三角函数及解三角形测试题(含答案)
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