二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量a 与b 的夹角为045，(1,1),1a b =-=，则2a b +=__________．
14．已知实数,x y 满足约束条件2001x y x y k x -+≥??
++≥??≤?
，且2z x y =+的最小值为3，则常
数k =__________．
15．考虑函数x
y e =与函数ln y x =的图像关系，计算：
2
1
ln e xdx =?__________．
16．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AD =，4CD =， ABC ?为正三角
形，则BCD ?面积的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0()n a n N *>∈，令1
(+2)
n n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（12分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=?． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（2）求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．
19．(12分)
某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[
)260,280，
[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值；
（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布()
2
,N μσ
（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于240μ～度之间的概率；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市．．所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于240μ～ 度之间的户数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．
20．（12分）
如图，圆22:4O x y +=，(2,0),(2,0)A B -，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2x =和2x =-于,E F 两点，连,AF BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C .
（1）记,AF BE 斜率分别为12,k k ，求12k k ?的值并求曲线C 的方程； （2）设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ，与直线
2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，求O
P Q ?的面积与OST ?面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值．
21．(12分)
已知函数2
()(1+)1x
f x ax e =-．
（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
已知直线l 的参数方程
为22
x y a ?=-????=+??（t 为参数，a R ∈），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.
（1）分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 经过点(0,1)，求直线l 被曲线C 截得线段的长．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数()241,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()9f x ≤；
（2）若方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．
湖北省八校2018届高三第二次联考参考答案及评分说明
理科数学
【提示】
11．若//BC x 轴；不妨设AC 与x 轴交于点G ，过A 作//AD x 交直线l 于点D 则：FD AG DE BC AC CD ==，EG CE AD CD =
两次相除得：FG AD DE EG BC CE
?=
又由第二定义：
AD AF DE BC BF CE ==1FG
EG
∴=∴G 为EF 的中点
反之，直线AB 斜率为零，则BC 与x 轴重合 12．构造函数()F x =
求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数ln ()x F x x =也可）
16．设,ADC ACD αβ∠=∠=，由余弦定理可知：2
2016cos AC α=-，
212cos 8AC AC β+=又由正弦定理：22sin sin sin sin AC AC
αββα=?=
1112sin sin()2(sin )2(2
3
2
2BCD S BC CD BC BC AC
παβββ?∴=?+==4sin()3
πα=-+所以最大值为4+17．（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）323
42(1)(2)
n n T n n +=
-
++． 解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =
当2n ≥时，2211
122
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)
0n n n n n n a a a a a a ---+--=?=-或11n n a a -=+
1(1)n n a -∴=-或n a n = (6)
分
（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22
n b n n n n ==-++ 11111111113
23
[(1)()()][1]2324222+1
242(+1)(2)
n n T n n n
n n n +∴=-+-++
-=+--=-
+++ ………………12分 18．（1）见解析；（2
解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，
∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,
又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .
…………………5分
（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且
60DBF ∠=?，∴DBF ?为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=?，∴2,BD AC == ∵DBF ?为等边三角形，∴OF =.
∴)()(),0,1,0,0,1,0,A B D F -，
∴()()()
1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =-=-=-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则30
30
AF n x AB n x y ??=-=??
?=-+=??， 取1x =，得()
1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，
………10分 则1sin co 5s ,AD n AD n AD n
θ?==
=
?…………………12分 注：用等体积法求线面角也可酌情给分
19．（1）0.0075,225.6x μ==；（2）（ⅰ）
15（ⅱ）分布列见解析，3
()5
E Y = 解析：（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++?=得0.0075x =
………………2分
1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05225.6
μ=?+?+?+?+?+?+?=
…………………4分
（2）（ⅰ）()()11
225.62401224025P X P X ??<<=->=?? ……………6分 （ⅱ）因为513,Y B ?? ?
?
?
～，()33
1455i
i
i P Y i C -????∴== ? ?????
，0,1,2,3i =.
所以()355
E Y =?=.
…………………………12分 20．（1）1214k k ?=-，221(0)4x y y +=≠；
（2）5
3m =
- ， 解析：（1）设000(,)(0)D x y y ≠，
易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22004x y +=
则00004242(2,),(2,)x x E F y y -+-，00
220000122200424216441
4416164x x y y x y k k y y -+--∴?=?===---…………3分
设(,)G x y ，由2
212111(0)42244
y y x k k y y x x ?=-??=-?+=≠-+
故曲线C 的方程为2
21(0)
4
x y y +=≠
…………………5分
（2）222
2
5844044
y x m x mx m x y =+??++-=?
+=?，
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2
1212844,55
m x x m x x -+=-?=， …………………7分
由22=6420(44)0m m m ?-->?<且0,2m m ≠≠±
……………8分
与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T (2,2),(1,1)S m T m ∴+---
∴
∴
，令3+,(3m t t =∈且1,3,5t ≠
则……………10分
当
，即45,33t m =
=-时，
…………………12分
21．（1）见解析；（2）见解析. 解析：（1）
2'()(21)x f x ax ax e =++ ……………1分
当0a =时，'()0x f x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；
……………2分
当0a >时，2
=44a a ?-
①当01a <≤时，0?≤，2
210ax ax ++≥恒成立，'()0f x ∴≥，此时()f x 在R 单调递增；
(3)
分
……5分 综上：当01a ≤≤时，在R 单调递增；
当1a >时，()f x 在(,
1-∞-和(1)-+∞上单调递增；在(11
--上
单调递减；
…………………
6分
（2）由（1）知，
当01a ≤≤时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当1a >时，10-
且10-
，()f x ∴在[0,1]单调递增；(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当0a <
时，令'()010f x x =?=->（负值舍去）
①当11-即1
03
a -
≤<时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
②当11-即13
a <-时
若(1)0f >即
11
13a e -<<-时，()f x 在[0,
1-
单调递增，在[11]-单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
若(1)0f ≤即11a
e ≤-时，()
f x 在[0,1-
单调递增，在[1-单调递减，(0)=0f ，
此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =和在区间[1-有一个零点共两个零点；
综上：当1
1a e ≤
-时，()f x 在区间[0,1]上有2个零点； 当1
1a e >-时，()f x 在区间[0,1]上有1个零点.
…………………12分
22．（1）0x y a +-=，2
4y x =；（2）8. 解析：（1）显然y x a =-+?0x y a +-= …………………2分
由可得
，即
， …………………5分
（2）
直线
x y a ?=???
?=?
? 过(0,1)，则1a =
将直线的参数方程代入得
，12122
t t t t ?+=-???=??由直线参数方程的几何意义可知，
.
…………………10分
注：直接用直角坐标方程联立计算也可
23．（1）；（2）19
[,7]4a ∈.
解析：（1）
可化为
2339x x >??-≤?或1259x x -≤≤??
-≤?或1
339x x <-??-+≤?
；
或
或；
不等式的解集为
； …………………5分
（2）由题意：2()f x x a =-+25,[0,2]a x x x ?=-+∈
故方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解?函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[0,2]上有交点 当[0,2]x ∈时，2195[,7]4
y x x =-+∈
19
[,7]4
a ∴∈ (10)
分
