第0章、数学基础：拉格朗日法
动态规划的基础：拉格朗日法
我们首先学习多元函数的微分，然后使用多元函数的微分学习无约束的极值问题，并推广到有约束的极值问题，最后学习包络定理、动态规划的基本原理和Ito 引理。这些数学知识是非常重要的。我们只需要掌握它们就可以求解绝大部分经济学和金融学中的动态规划问题。
第1节 多元函数微分
定义：设列向量12(,,...,)'n x x x =x ，此处上标“’”表示矩阵的转置（有时我们也用上标T 表示矩阵的转置），多元函数（向量函数）:n f R R →，那么多元函数的微分()
f ??x x
定义为如下n 维列向量
1()/()()/n f x f f x ????
? ?
≡ ?? ?
???
?x x x x 例：基于两种商品的效用函数为12()U Ax x αβ
=x ，那么
11211221
()A x x U A x x αβ
αβαβ--???
?= ????x x 例：基于劳动和资本的生产函数为()F AL K αβ=z ，那么
11()A L K F A L K αβαβαβ--??
?= ????
z z 引理：a 和x 都是n 维列向量，A 是n 维矩阵，那么如下等式成立：（1）、1(')n ??=?a x
a x
；（2）、
()'?=?Ax A x ；（3）、(')
(')?=+?x Ax A A x x
。 证明：因为a’x 和x’Ax 都是一维的，所以都可以视为关于x 的多元函数。因此，使用多元函数微分的定义就可以很容易证明（1）和（3）。对（1）使用n 次，就可以得到（2）。证明结束。
定义：多元函数()f x 的海塞（Hessian ）矩阵2()'
f ???x x x 定义为
22()'i j
n n
f f
x x ???
??= ? ???????x x x 即矩阵的第i 行第j 列是函数f 关于i x 和j x 的二阶偏导数。
第2节 无约束极值问题
由于研究函数()f x 的极大值问题与研究函数()f -x 的极小值问题是等价的，所以为了方便，我们主要研究函数的极大值问题。
定义：称向量x 为多元函数()f x 的（局部）极大值，如果对于向量x 附近的任意向量x ，都有()()f f ≤x x 。
定理（极值问题的一阶条件）：如果向量x 为函数()f x 的局部极大值，那么有
()()
|f f =??≡=??x x x x 0x x
此处的0表示n 维全0列向量。
证明：显然。证明结束。
定理（极值问题的二阶条件）：如果向量x 为函数()f x 的局部极大（小）值，那么函数
()f x 在x 处的海塞矩阵
2()
|'
f =???x x x x x 是负定（正定）矩阵。 证明：将函数()f x 在x 处进行泰勒展开，得到
2()1()
()()'()'2'
f f df d d d ??=+???x x x x x x x x x
显然，当海塞矩阵为负定矩阵时，()f x 在x 处取局部极大值。证明结束。
第3节 有约束极值问题：拉格朗日方法
定理（有等式约束的极值问题）：具有等式约束的极值问题
max ()f x
x ，
s.t.
1()0,
...
()0
m g g ==x x 等价于如下无约束的极值问题
111max (,,...,)()()...()m m m L f g g λλλλ=+++x
x x x x
其中()0i g =x 为第i 个等式约束方程，i λ为相应的拉格朗日乘子，L 为拉格朗日方程。1
定理（有不等式约束的极值问题：Kuhn －Tucker 条件2）：具有不等式约束的极值问题
max ()f x
x ，
s.t.
1()0,
...
()0
m g g ≥≥x x 等价于如下无约束的极值问题
1 证明参见Mas-colell, Whinston, and Green （1995）第957页。 2
证明参见Mas-colell, Whinston, and Green （1995）第959页。
111max (,,...,)()()...()m m m L f g g λλλλ=+++x
x x x x
此处拉格朗日乘子i λ都是正数，1,...,i m =，并且如果x 是局部极大值，那么不等式取严格不等号时，拉格朗日乘子等于0，即()0i i g λ=x ，1,...,i m =。
第4节 包络定理
引理（包络定理）：定义值函数为规划问题的最优解所对应的极值：
()max (,)V f =x
a x a ，此处x 为规划问题的控制变量，a 为状态变量。若()x a 为最优解，则()((),)V f =a x a a 。那么，值函数关于状态变量的导数为
()(,)
|dV f d ?=?x=x(a)a x a a a
证明：由求偏导数的链式法则，有
()((),)()((),)dV f f d ???=+???a x a a x a x a a a x a a
由一阶条件，有
((),)
f ?=?x a a 0x
代入上面的方程，得到
()((),)(,)
|dV f f d ??==??x=x(a)a x a a x a a a a
证明结束。
第5节 动态规划原理
动态规划（Dynamic Programming ）的一般模型可以表示为如下规划问题：
0{}max (,)s s t
t t t u β∞
=∞=∑x x a s.t.
1(,)t t t +=a g x a
0a 给定
此处01β<<是贴现因子，t x 是控制变量（Control Variable ）向量，t a 是状态变量（State Variable ）向量。
动态规划问题的最优解是如下政策函数（Policy Function ）
()t t =x h a
注意到政策函数是时间不变的函数。政策函数、约束方程和初始的状态变量一起组成了递归的最优解路径。
定义值函数（V alue Function ）为使用状态变量初始值所达到的期望终身最大值，即
00{}()max (,)s s t
t t t V u β∞
=∞=≡∑x a x a
约束方程不变，状态变量初始值是给定的。因此，动态规划问题可以转化为求解值函数和政策函数，使之满足如下贝尔曼方程（贝尔曼最优性原理，Bellman Optimality Principle ）：
{}1()max (,)()t
t t t t V u V β+=+x a x a a
约束方程为
1(,)t t t +=a g x a
将约束方程代入贝尔曼方程，得到如下无约束的方程
{}()max (,)((,))t
t t t t t V u V β=+x a x a g x a
关于控制变量的一阶条件为
(,)((,))(,)
(,)t t t t t t t t t t
u V β???+=???x a g x a g x a 0x g x a x
对状态变量使用包络定理，得到
()(,)((,))(,)
(,)t t t t t t t t t t t t
V u V β
????=+????a x a g x a g x a a a g x a a 上述两个方程合并就可以得到描述跨期优化行为的欧拉方程。
在动态规划问题中，有一类非常广泛的问题就是家庭的优化问题。众所周知，跨期动态一般均衡模型必然需要考虑家庭的效用最大化问题和厂商的利润最大化问题。因而，家庭优化问题在动态规划问题中是非常常见和非常重要的。在宏观经济学、微观经济学和金融经济学学会遇到大量的家庭优化问题。虽然这些优化问题所要研究的问题是不同的，因而模型的设定是不同的，但是主要体现在效用最大化目标的具体设定上和预算约束方程的具体构造上。无论怎样，只要是家庭的效用最大化问题，两个变量就必不可少：作为控制变量的家庭消费和作为状态变量的家庭资源（或者财富等）。
我们将家庭的控制变量记为(,)t t t C =x z ，其中t z 是非消费的其它控制变量向量；将状态变量记为(,)t t t ω=a d ，其中t d 是非资源的其它状态变量向量。家庭的规划问题可以记为
{}11,(,)max (,,,)(,)t t
t t t t t t t t C V u C V ωωβω++=+z d z d d
预算约束方程则可以分解为不同时期的两个约束方程。然后使用预算约束方程将消费表示为其它变量的函数，将下一期的状态变量表示为其它变量的函数，再代入到贝尔曼方程，从而减少了消费这个控制变量和资源这个状态变量。我们将在第3章的大量例子中反复使用这个技巧。
第6节 布朗运动和Ito 引理
1、标准布朗运动
定义：称随机过程)(t X 为独立增量过程，若任给4321t t t t <<<增量)()(34t X t X -与
)()(12t X t X -相互独立。
定义：称连续时间随机过程()B t 是布朗运动或Wiener 过程，若其为独立增量过程，并且其增量服从正态分布。均值和方差分别定义为[()()]0t E B t dt B t +-=和
2var [()()]||t B t dt B t dt δ+-=，
即()()|~(0,t B t d t B t N δ+-
。若1δ=，称()B t 为
标准布朗运动。我们还可以知道布朗运动是几乎处处不可导的，因
为
00()()lim
lim ,t t B t t B t t ??→?→+?-==∞? 其中),0(~δ?N 。
2、Ito 引理 （a ）一维情形
若随机过程)(t X 服从Ito 过程，)(),(),(t dB t X dt t X dX σμ+=，其中()B t 为标准布朗运动，那么连续函数),(t X f 服从如下Ito 过程
)()2
1
(),(2t dB dt f f f t X df XX t X σσμ++
+= 当漂移项(,)X t μ和波动项(,)X t σ都是X 的比例线性函数时，称随机过程)(t X 是几何布朗运动。
（b ）多维情形
若多维随机过程()t X 服从多维Ito 过程，(,)(,)d t dt t d =+X μX G X B ，其中X 、μ和B
是N 维列向量，1000000N σσ??
?
= ? ?
??G 是N 维对角矩阵，那么()t X 和时间的连续函数
(,):F t X R R N →∞?),0(服从如下Ito 过程
1
(,)()()2
T t dF t F dt F d tr F dt =++X XX X X Ω,
其中)(?tr 表示矩阵的迹，即ii n i n n A A tr 1)(=?∑=，Ω表示多维随机过程()t X 的协方差矩阵。
证明：（a ）使用泰勒展开公式，利用标准布朗运动的性质：()t E dBdB dt =，并消去dt 的高阶无穷小，得到),(),(),(t X f dt t dX X f t X df -++=dXdX f dt f dX f XX t X 2
1
++= dt f dt f t dB dt f XX t X 221)]([σσμ+++=)()2
1
(2t dB dt f f f XX t X σσμ+++= （b ）使用与（a ）中一样的方法。
()()()11(,)(,)(,)
1
()()2
1()()2
1
()()2
T T t T T
t T T t dF t F d t dt F t F dt F d d F d F dt F d tr d F d F dt F d tr d d F ?=++-=++=++=++X XX X XX X XX X X X X X X X X X X X X X 其中最后一个等式使用了公式)()(BA tr AB tr =。注意到
()()()T T T T d d d d d d dt ===X X G B B G G B B G Ω,
因此得证。
3、几何布朗运动的性质
如果风险资产i 的价格)(t P i 服从几何布朗运动，那么价格服从对数正态分布。下面我们给出简单的证明。我们假定风险资产i 的价格)(t P i 服从几何布朗运动，设有
)(/t dB dt P dP i i i i i σμ+=。我们对风险资产i 的价格的对数))(log(t P i 使用Ito 引理，并注意
到))(log(t P i 不显性含有时间变量t ，可以得到
22
22[log(())][log(())]
1[log(())]()()()()2()()1
[(())]()()()2
1
()()
2
i i i i i i i i i i i i i i i i i P t P t d P t dP t dP t dP t P t P t dP t P t dP t dP t P t dt dB t μσσ-??=+??=
+-=-+
显然))(log(t P i 服从正态分布，因此)(t P
i 服从对数正态分布。几何布朗运动可以极大地简化模型。我们在以后将采用这一假定以求取模型的显示解。
数值分析拉格朗日插值法上机实验报告
课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include
插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");
scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ?=，为寻找(,)z f x y =在附加条件下的最值，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λ?=+，其中λ为参数．然后分解为几个不同部分，同时利用不等式求最值，再利用等号成立条件求出参数λ的值回代即可．范例：已知ax by k +=，其中a ，b ，x ，y 均为正数，求 d e x y +最小值．步骤：构造拉格朗日函数()(0)d e L ax by k x y λλ=+++->， 则()()d e L ax by k k x y λλλλ=+++-， 当且仅当d ax x λ=，e by y λ=时即x y =L 取得最小值．例3已知11112 x y z ++=，其中x ，y ，z 均为正数，求222x y z ++得最小值．解答：解法一：1 2224() 2x y z x y z ++=++1114()()x y z x y z =++++4(3)x x y y z z y z x z x y =+ +++++4(3)x y x z y z y x z x z y =++++++4(3222)36+++=≥， 当且仅当6x y z ===时等号成立， 所以222x y z ++得最小值为36．解法二：1111222222()2 x y z x y z x y z λ++=+++++-(2(2)(2) 22x y z x y z λλλλλ =+++++-， 当且仅当6x y z ====时等号成立， 所以222x y z ++得最小值为36． 变式1已知正数a ，b 满足1a b +=，求证： 228127a b +≥．解答：解法一引入常数λ(0)λ>， 2222 81812(1)a b a b a b λ++++-=2281()()2a a b b a b λλλλλ=+++++-
不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式实验课报告
数值分析实验报告三 插值法（2学时） 一实验目的 1．掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。二实验内容 1．已知函数表： 用牛顿插值公式求) (y的近似值。 102 2. 已知函数表： 用拉格朗日插值公式计算01 x以及所对应的近似值。 =y .5 4.1= 三实验步骤（算法）与结果 1．不等距节点下的牛顿插值公式 Ⅰ.按差商表计算n阶差商
12111[,,,][,,,] [,,,]i i i n i i i n i i i n i n i f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-= - 其中 Ⅱ.按以下公式，带入x 值 00010120101101()() ()[,] ()()[,,]()()()[,,] n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++--- Ⅲ.得出结果()f x 程序代码： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { int a,i,j; printf("输入x 系数的个数："); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a]; float y[a-1][a]; printf("输入x 的系数："); for(i=0;i 高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x 实验 一 .拉格朗日插值法C 语言的实现 1.实验目的： 进一步熟悉拉格朗日插值法。 掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。 2.实验要求： 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标 。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值 。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X 坐标； （3）分别输入已知点的Y 坐标； （4）通过调用函数lagrange 函数，来求某点所对应的函数值。 拉格朗日插值多项式如下： 0L ()()0,1,n n j k k j j k x y l x y j n ====∑…… 其中00()()0,1,,()k k x x l x k n x x -= =-k-1k+1n k k-1k k+1k n ……(x-x )(x-x )?…(x-x )…………(x -x )(x -x )?…(x -x ) 程序流程图： ↓ 程序如下： #include 【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成 实验一 拉格朗日插值法 基本信息 实验课程：计算方法 设课形式：非独立 课程学分：3 实验项目：拉格朗日插值法 项目类型：基础 项目学时：2 目的和要求 该实验在计算机上实现拉格朗日插值法并进行验证。要求对拉格朗日插值法的流程进行分析，设计算法，并使用一种编程语言实现，最后通过具体例子进行验证，得到正确结果。 实验条件 装有编程语言的计算机一台、项目相关材料。 实验内容和原理或涉及的知识点 公式： 基点x i 的n 次插值基函数( i=0,1,…,n)： n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l j i j n i j j n i i i i i i i n i i i ,,1,0) ())(())(() ())(())(()(011101110 =--∏ =----------= ≠=+-+- n 次拉格朗日插值多项式： ∑∏ =≠=--=+++=n i n i j j j i j i n n n x x x x y x l y x l y x l y x P 0 01100)()()()( 流程图： 输入及x y x i i i n ,,,,,=012 P i ??00 ,L ?1 L L x x x x j i j j n j i ?--=≠()() ,,,() 01 P P y L i ?+i i ?+1 开始T F 输出P 结束 i n = 验证例子 已知如下的函数表，试编写程序，用拉格朗日插值多项式求0.5,0.7,0.85三点处的函数值。 x 0.40.550.80.91y 0.410750.578150.88811 1.02652 1.1752 实验结果： 插值点的个数 m=3 数值计算方法作业 专业：测控1002 学号：10540226 姓名：崔海雪 拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab 算法程序； 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,???,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称- x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1(1L 设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ） ，（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0101x x y y --（x-0x ）. （2） §4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好 方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <==ΛΛ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f Λ 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x . 代入 ) ,() ,()(00000y x y x x g y x ??- =', 就有 0) ,() ,() ,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, ( 以下x f 、y f 、x ?、y ?均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ?—y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?) 线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f ,y f ) + λ(x ?,y ?)0=.亦即 ???=+=+. 0 , 0y y x x f f λ?λ? Lagrange 乘数法 : 求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法A年级：上机实践成绩： 指导教师：姓名： 上机实践名称：拉格朗日插值和牛顿插值法学号：上机实践日期： 上机实践编号：1上机实践时间： 一、目的 1．通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解； 2．能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。 二、内容与设计思想 自选插值问题，编制一个程序，分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求解某点的函数近似值。（从课件或教材习题中选题） 已知y=f( 三、使用环境 操作系统：windows XP 软件环境：Microsoft Visual C++6.0 四、核心代码及调试过程 (一) 拉格朗日插值法： lude { dividend=product(x,newx[th],i,9); divisor=product(x,x[i],i,9); quotient=dividend/divisor; result+=quotient*y[i]; } printf("%lf处的近似值为%lf\n",newx[th],result); } } double product(double *p,double newx,int k,int n) { int cycle_times; double result=1; for(cycle_times=0;cycle_times<=n;cycle_times++) if(cycle_times!=k) result=result*(newx-p[cycle_times]); return result; } （二）牛顿插值法： #include 第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。 例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y 多项式插值法和拉格朗日插值 教案一多项式插值法和拉格朗日插值 基本内容提要 1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多 项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求 1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉 格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法 5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗 日插值法处理问题的基本过程教学重点 1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断 误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点 1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计 3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法 结合提问，以讲授法为主教学过程 问题引入 实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数 的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的 有效工具之一。 §2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念 假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0 P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。 (2.1) 把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0 数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把 求P(x)的过程称为插值法。 §4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给 较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数，返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下： 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n]（double*x） 存放n个节点的值 doubley[n]（double*y） 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值 #include 拉格朗日乘数法 §4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等 式，是个好方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为?Skip Record If...?的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为?Skip Record If...?，则水箱容积 ?Skip Record If...?焊制水箱用去的钢板面积为?Skip Record If...?这实际上是求函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件 ?Skip Record If...? 限制下，求函数?Skip Record If...?的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面?Skip Record If...?被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件?Skip Record If...?之下求函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的极值 . 当满足约束条件的点?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?的条件极值点 , 且在该点函数?Skip Record If...?满足隐函数存在条件时, 由方程?Skip Record If...?决定隐函数?Skip Record If...?, 于是点?Skip Record If...?就是一元函数?Skip Record If...?的极限点 , 有 ?Skip Record If...?. 代入?Skip Record If...?, 就有 ?Skip Record If...?, 拉格朗日插值算法的实现 实验报告 姓名：** 年级：****专业：计算机科学与技术科目：数值分析题目：拉格朗日插值算法的实现 实验时间: 2014年5月27日实验成绩: 实验教师: 一、实验名称：拉格朗日插值算法的实现 二、实验目的： a. 验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值 b. 验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。 三、实验内容： 拉格朗日插值基函数的一般形式： 也即是： 所以可以得出拉格朗日插值公式的一般形式： 其中， n=1时，称为线性插值，P1(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) n=2时，称为二次插值或抛物插值，精度相对高些,P2(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) + y2*l2(x) 四、程序关键语句描写 double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x) { double result=0; for (int i=0;i for(int j=0;j高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
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