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复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用

⒈ 求下列函数的导数：

⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x =

； ⑷ y x

ln ； ⑸ y x =sin 3；

⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2

；

⑼ ??

? ?

=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1

222(sin )；

⑾ y x

x x =

+-1122

ln ； ⑿ y x

+12

csc ； ⒀ y x x =

-++2213

34； ⒁ y x =-e sin 2

； ⒂ y x a x x

a x

=-+-2

22.

解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。

（3）23

32323

3)1(2

)'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。

（4）2

ln 2ln 1ln ln 21'??

??-=??

? ????? ??=x x x

x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x

x x x y 2sin )'(sin '-

=-=。

（7

）1'2y =

（8

）2

'x x y --=

2--x e

x 。

（9）44

4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422

(1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3

sin 2()

cos 4(2x x x x ++-。（11

）'y =

322222)1()

21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x -

-+--。

（12

）2

'1csc x x y x =+

2222

322

1csc csc cot (1csc )

x x x x x ++=

+。

（13

）'y =+

452323

4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+

223

34827(21)(31)34

x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2

sin sin 2x x e -=-?。

（15

）2

'y =

222

(1)()(2)

x a x x -+?-?-=42242

222

23()

x a x a a a x -++=

-。

⒉ 求下列函数的导数：

⑴ y x =ln sin ； ⑵ )cot ln(csc x x y -=； ⑶ ??

? ??+-=

a x a x a x y arcsin 212

22； ⑷ y x x a =+

+ln()22；

⑸ y x x a a x x a =--+-12

22222(ln().

解（1）1

'(sin )'cot sin y x x x

=。（2）(csc cot )''csc cot x x y x x

-==

-2cot csc (csc )

csc csc cot x x x x x x ---=-。（3

）21'(arcsin )'2x y x x a a ??

=+ ???

111(22x a ?

??=+ ?

20,0.a a >=?

。（4

）'y =

=。

（5

）21'[2y x x a =-

212x a ?

??=-???

=22a x -。

⒊ 设f x ()可导，求下列函数的导数：

⑴ f x ()23

；

⑵ ??

??x f ln 1； ⑶ f x ()； ⑷ )(tan arc x f ； ⑸ f f e x (())2

；

⑹ sin ((sin ))f x ；

⑺ ???

? ??)(1x f f ；

⑻

f f x (())

. 解（1

）f f ==)('3

232

x f x -。

（2）111'ln ln ln f f x x x ''??????= ? ?????????

=)ln 1('ln 12

x f x x -。（3

）()]'f x =

(2)

('x f x f 。（4）21[arctan ()]'[()]'1[()]f x f x f x =

+=)

(1)

('2

x f x f +。（5）2

[(())]''(())[()]'x x x f f e f f e f e =2

'(())'()()'x x x f f e f e e =

=))((')('22

x x x e f f e f xe 。

（6）[sin ((sin ))]'cos((sin ))((sin ))'f x f x f x =cos((sin ))'(sin )(sin )'f x f x x =

=x x f x f cos )(sin '))(sin cos(。

（7）111'()()()f f f x f x f x ''????????=?? ? ????

???????=????

??-)(1')()('2

x f f x f x f 。（8）21'(())

[()]'(())(())f f x f x f f x f f x '??=- ???

=()2

))(()('))(('x f f x f x f f -。 ⒋ 用对数求导法求下列函数的导数：

⑴ y x x

=；

⑵ ()x

x x y 1

sin +=；

⑶ y x x =cos ； ⑷ y x x =+ln ()21；

⑸ y x x x =-+112

；

⑹ y x x i i n

=-=∏()1

；

⑺ y x x =sin .

解由于'

(ln )'y y y

=，所以'(ln )'y y y =。（1）ln ln y x x =,

'(ln )'['ln (ln )'](1ln )x y y y y x x x x x x ==+=+。

（2）()31ln ln sin y x x x

=+，

()()33

11'(ln )'ln sin ln sin 'y y y y x x x x x x ??'??????==+++ ? ?????????

=??

???+-+++2

33213

)sin ln()sin (cos 3)sin

(x x x x x x x x x x x

。（3）ln ln cos y x x =，

'(ln cos )'['ln cos (ln cos )']y y x x y x x x x ==+=()x x x x x cos tan cos ln -。

（4）ln ln ln(21)y x x =+，

'['ln ln(21)(ln ln(21))']y y x x x x =+++

=)12(ln )12ln()12(2)12ln(ln +??

???

+++

+x x x x

x x 。

（5）2311ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+，

2311

'[(ln )'(ln(1))'(ln(1))']22y y x x x =+--+

=???

???+---+-)1(23111132232x x x

x x x x x 。（6）1

ln ln()n

i i y x x ==-∑，

'[ln'()]n i i y y x x ==-∑=∏∑

==-?-n

i n

i i

i x x x x 1

)(。（7

）令ln u u x ==，则

')']u u x x u u =+==，于是， '(sin )'()'y u u ==

x x

cos 2ln 2+。

⒌ 对下列隐函数求

： ⑴ y x y tan arc +=； ⑵ y x y +=e 1； ⑶ x y y x -=-cos sin ； ⑷ xy y -+=ln()10； ⑸ e xy x y 2

20+-=；

⑹ 0)tan(=-+xy y x ； ⑺ 20y x x y sin ln +=；

⑻ x y axy 3330+-=.

解（1）在等式两边对x 求导，得到

''(arctan )'11y y x y y

=+=+

+，解得

'y =22

y +。

（2）在等式两边对x 求导，得到

''''(1)0y y y y y x e xe y y xe e ++=++=，

解得

'y =y

e +-1。（3）等式两边平方，再对x 求导，得到

1sin ()'2(sin )(cos ()'1)y y y x y y +?=-?-，

解得

'y =

y x y x y sin cos )(sin 2)

(sin 21---+。

（4）在等式两边对x 求导，得到

''[ln(1)]'''01x y xy y y xy y y

+-+=+-

=+，解得

'y =

x y

y --+12。（5）在等式两边对x 求导，得到

222()'()'(2')(2')0x

e x y xy e x y y xyy +++-=+-+=，

解得

2'2x y

x y

xe y y e

++-=-

-。

（6）在等式两边对x 求导，得到

22sec ()()'()'sec ()(1')(')0x y x y xy x y y y xy ++-=++-+=，

解得

22sec ()'sec ()

x y y y x x y +-=-+。

（7）在等式两边对x 求导，得到

2'sin 2(sin )'(ln )'2'sin 2cos ln 0y y x y x x y y x y x y x y

++=+++?

=，解得

22cos ln '2sin y x y y y x y x

+=-+。

（8）在等式两边对x 求导，得到

222233'3'3'3('')0x y y ax y axy x y y ay axy +--=+--=，

解得

2'ay x y y ax

-=-。

6．设所给的函数可导，证明：

⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。证 ⑴设()f x 为奇函数，则

0()()[()][()]

'()lim

lim

x x f x x f x f x x f x f x x x

?→?→-+?----?---==?? 0

(())()

lim

'()()

x f x x f x f x x -?→+-?-==-?；

设()f x 为偶函数，则

0()()()()

'()lim

lim

x x f x x f x f x x f x f x x x ?→?→-+?---?--==?? 0

(())()

lim

'()()

x f x x f x f x x -?→+-?-=-=--?。

（2）设()f x 是周期为T 的函数，则

0(())()()()

'()lim

lim '()x x f x T x f x T f x x f x f x T f x x x

?→?→++?-++?-+===??。 7．求曲线1ln =+y xy 在)1,1(M 点的切线和法线方程。

解对方程两边求导，得到'

'0y y xy y

++=，解得2'1y y xy =-+，将(1,1)代

入得到1

'(1)2y =-。于是切线方程为11(1)2

y x -=--，即

230x y +-=，

法线方程为12(1)y x -=-，即

210x y --=。

8．对下列参数形式的函数求

： ⑴ ???==;,

2bt y at x ⑵ ???-=-=;

2t t y t x ⑶ ???==;cos ,

sin 2

2t t y t t x ⑷ ???==-;

e ,

e t

t b y a x ⑸ ???==;sin ,

cos 3

3t a y t a x

⑹ ?

?==;ch ,

sh bt y at x

⑺ ??

?-=+=;

1,1t t y t t x

⑻ ??

?-=+=;

1t y t x ⑼ ???==--;

sin e ,

cos e 2

222t y t x t t

⑽ ??

?-=+=.

tan arc ),

1ln(2t t y t x 解：（1）2'33'22dy y bt bt

dx x at a ===。

（2）22'1331

'22dy y t t dx x t t

--===-。

（3）22'2cos sin 2cos sin '2sin cos 2sin cos dy y t t t t t t t

dx x t t t t t t t

--===++。

（4）2''()t t

dy y be b e dx x ae a

-===--。（5）22'3sin cos '3cos (sin )

dy y a t t

dx x a t t ==-=t tan -。

（6）

'sh 'ch dy y b bt dx x a at

==。

（7）12

2'(1)'1'(1)'dy y t t dx x t t

----+-====--。（8

）''dy y dx x ===。

（9）222222'2sin 2sin cos (sin cos )tan '2cos 2cos (sin )sin cos t t t t

dy y e t e t t t t t

dx x e t e t t t t -----+-===-+-+。（10）22

1'12'21dy y t

t t dx x t -

+===+。

9．求曲线3

212t t t x ++=，3

12t t t y +-=上与1=t 对应的点处的切线和法线方程。

解将1t =代入参数方程，有31,22

x y ==。经计算，

2323322

3232

(2)'(1)(2)(1)'(22)(1)(2)3'((1)(1)t t t t t t t t t t t x t t ++-++++-+==++t)

224(1)t t t t +--=+，

2323322

3232

(2)'(1)(2)(1)'(22)(1)(2)3'()(1)(1)t t t t t t t t t t t y t t t -+--+-+--==++ 34

224(1)t t t t --+=+。

于是

34224224dy t t t dx t t t

--+=+--。当1t =时，3431

dx -

==-，所以切线方程为

3()3422

y x x =-+=-，

法线方程为

131()13223

y x =--+=-+。

10．设方程??

???=+-++=.

02sin ,

1232π

y y t t t e x 确定y 为x 的函数，其中t 为参变量，求0

=t dx

。

解将0t =代入参数方程，可得1,02

x e y π

=-+=，即0,2

x y π

。在两

个方程的两端对t 求导，得到

'62,

sin cos ''0,x e x t y t y y y ?=+?

+?-=?

再将0t =代入，解得'(0)2,'(0)1x y ==。所以

t dy dx ===。 11. 证明曲线

?-=+=).

cos (sin ),

sin (cos t t t a y t t t a x 上任一点的法线到原点的距离等于||a 。证利用参数形式所表示的函数的求导公式，

(cos cos sin )tan (sin sin cos )

dy a t t t t t dx a t t t t -+==-++，曲线在对应于参数t 的点处的法线方程为

(sin cos )cot ((cos sin ))y a t t t t x a t t t --=--+，

简化后为

cos sin 0t x t y a ?+?-=，

法线到原点的距离为

22||cos sin a

d a t t

=+。

12．设函数u g x =()在x x =0处连续，()y f u =在u u g x ==00()处连续。请举例说明，在以下情况中，复合函数y f g x =(())在x x =0处并非一定不可导：

⑴ u g x =()在x 0处可导，而y f u =()在u 0处不可导； ⑵ u g x =()在x 0处不可导，而y f u =()在u 0处可导；

⑶ u g x =()在x 0处不可导，y f u =()在u 0处也不可导。解（1）22200(),()||,0,0,(())||u g x x f u u x u y f g x x x ========。

（2）22200()||,(),0,0,(())||u g x x f u u x u y f g x x x ========。（3）()max{0,},()min{0,}g x x f u u ==，则u g x =()在00x =处不可导，

y f u =()在0(0)0u g ==处也不可导，但(())0y f g x =≡处处可导。

13．设函数f u ()，g u ()和h u ()可微，且h u ()>1，u x =?()也是可微函数，利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分： ⑴ f u g u h u ()()()； ⑵

f u

g u

h u ()()

()

； ⑶ h u g u ()()；

⑷ )(log )(u g u h ； ⑸ ??

???)()(tan arc u h u f ；

⑹

f u h u ()()

+. 解（1）[()()()]d f u g u h u ['()()()()'()()()()'()]f u g u h u f u g u h u f u g u h u du =++

['()()()()'()()()()'()]'()f u g u h u f u g u h u f u g u h u x dx ?=++。

（2）()()()f u g u d h u ???

???

['()()()'()]()[()()]'()

(())f u g u f u g u h u f u g u h u du h u +-= 2

'()()()()'()()()()'()

'()(())f u g u h u f u g u h u f u g u h u x dx h u ?+-=

。

（3）()[()]g u d h u []()ln(())()ln(())

()ln(())g u h u g u h u e du e g u h u du ''??==??

()'()

()()'()ln ()'()()g u h u h u g u g u h u x dx h u ???=+????

。

（4）()log ()h u d g u 2

ln ()[ln ()]'ln ()ln ()[ln ()]'

ln ()ln ()

g u g u h u g u h u d

du h u h u -== 2()'()ln ()'()()ln ()

'()()()ln ()

h u g u h u h u g u g u x dx h u g u h u ?-=

。

（5）()arctan ()f u d h u ??

???

22()()'()()()'()'()()()()1()f u h u f u h u f u h u du x dx f u h u f u h u ?'

????

-??==+??

+????

。（6

）d

33222222

()()()'()()'()'()2(()())(()())f u h u f u f u h u h u du x dx f u h u f u h u ?'??++??=-=-++。

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000）指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。（8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

复合函数求导及应用

复合函数求导及应用求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))． 2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．题型一简单的复合函数求导问题 [例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)??? ? ?+=32sin πx y ；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设21u y =，u ＝1－2x 2，则y ′＝(21u )′(1－2x 2 )′＝2121-u ·(－4x ) ＝()21 2 2-121-x (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos （2x+3 π）. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝ 102x ＋1ln 2 . 复合函数的求导步骤

复合函数求导公式-复合函数综合应用

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程

高中数学复合函数的求导法则教案

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

复合函数求导公式,复合函数综合应用

复合函数求导公式,复合函数综合应用 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式 11.(),'()0; 2.(),'(); 3.()sin ,'()cos ; 4.()cos ,'()sin ; 5.(),'()ln (0); 6.(),'(); 17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>==== >≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' ='' +'='?' ±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25 x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程

复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

复合函数求导与应用

课时作业4 复合函数求导及应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1 答案：A 2．函数y ＝? ????x ＋1x 5 的导数为( ) A ．y ′＝5? ????x ＋1x 4 B ．y ′＝5? ????x ＋144? ????1＋1x C ．y ′＝5? ????x ＋1x 4 (1－x －2) D ．y ′＝5? ?? ??x ＋1x 4 (1＋x －2) 解析：y ′＝5? ????x ＋1x 4·? ???? x ＋1x ′ ＝5? ????x ＋1x 4? ?? ?? 1－1x 2.故选C. 答案：C 3．函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( ) A ．y ′＝2x sin(1＋x 2) B ．y ′＝－sin(1＋x 2)

C．y′＝－2x sin(1＋x2) D．y′＝2cos(1＋x2) 解析：y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′＝－2x sin(1＋x2)．故选C. 答案：C 4．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为( ) A．y′＝ln(2x＋5)－x 2x＋5B．y′＝ln(2x＋5)＋ 2x 2x＋5 C．y′＝2x ln(2x＋5) D．y′＝x 2x＋5 解析：y′＝[x ln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5) ＋x·1 2x＋5·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋ 2x 2x＋5 . 答案：B 5．已知函数y＝e x－e－x，下列说法正确的是( ) A．y′＝e x－e－x B．y′＝2e x C．y′>0恒成立D．方程y′＝0有实数解解析：由于y′＝(e x－e－x)′＝e x＋e－x>0，所以选项C正确．答案：C 6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3简单的复合函数求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究复合函数的导数求解法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。例2：求下列函数的导数（1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西汉中 723000）指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数 []()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算定理1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且：

复合函数的求导法则---重点

§复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 ()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为

x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－ 41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1 cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3 1 或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14 ），

复合函数求导法则及其应用

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