高中数学解析几何知识点大总结
第一部分:直线
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角α
(1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:?<≤?1800α
2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
αtan =k
(1).倾斜角为?90的直线没有斜率。 (2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。
(3)设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 则当21x x ≠时,2
121tan x x y y k --=
=α;当21x x =时,o
90=α;斜率不存在;
二、直线的方程
1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0)
注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =;
2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:b kx y +=;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kx y = 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。
3.两点式:若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且(2121,y y x x ≠≠则直线的方程:
1
21
121x x x x y y y y --=--;
注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线;
②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (0,0≠≠b a )则直线方程:
1=+b
y
a x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直
线方程可设为x-y=a
5一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:0=++C By Ax ;(B A ,不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。
注意:①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。
②指出此时直线的方向向量:),(A B -,),(A B -,???
?
??+-+222
2,B A A B
A B (单位向量);直线的法向量:),(B A ;(与直线垂直的向量)
6(选修4-4)参数式?
??+=+=bt y y at
x x 00(t 参数)其中方向向量为),(b a ,
单位向量???? ??++222
2,b a b
b
a a ; a
b k =;2
2||||b a t PP o +=; 点21,P P 对应的参数为21,t t ,则2
22121||||b a t t P P +-=
;
??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x (t 为参数)其中方向向量为)sin ,(cos αα, t 的几何意义为||o PP ;斜率为αtan ;倾斜角为)0(παα<≤。
设两直线的方程分别为:
222111::b x k y l b x k y l +=+=或0
:0
:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ;当21k k ≠或
1221B A B A ≠时它们相交,交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00222
111C
y B x A C y B x A
解;
注意:①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如:),(),(2211B A B A λ= 对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如0),(),(2211=?B A B A
②若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0 ,则两直线垂直。
③对于02121=+B B A A 来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用起来更方便.
④斜率相等时,两直线平行(或重合);但两直线平行(或重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角
(1)1l 到2l 的角:把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角;它是有向角,其范
围是πθ<≤0;
注意:①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的;②旋转的方向是逆时针方向;③绕“定点”是指两直线的交点。
(2)直线1l 与2l 的夹角:是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角),它的取值范围是2
0π
θ<
≤;
(3)设两直线方程分别为:
222111::b x k y l b x k y l +=+=或0
:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角,12121tan k k k k +-=
θ或2
1211
221tan B B A A B A B A +-=θ;
②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-=
θ或2
1211
221tan B B A A B A B A +-=θ;
③当0121=+k k 或02121=+B B A A o
注意:①上述与k 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。 ②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:)2
(π
θθα≤=或)2
(π
θθπα>
-=;
五、点到直线的距离公式:
1.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2
2
00|
|B
A C By Ax d +++=
;
2.两平行线0:11=++C By Ax l ,0:22=++C By Ax l 的距离为:2
2
21||B
A C C d +-=;
六、直线系:
(1)设直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222
=++C y B x A l ,经过21,l l 的交点
的直线方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ(除去2l );
如:①011=--?+=kx y kx y ,即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去0=x 的直线方程。
②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点 。
注意:推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为:0)()(21=+x f x f λ; (2)与0:=++C By Ax l 平行的直线为01=++C By Ax ; (3)与0:=++C By Ax l 垂直的直线为01=+-C Ay Bx ; 七、对称问题: (1)中心对称:
①点关于点的对称:
该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点),(b a A 关于),(d c C 的对称点
)2,2(b d a c --
②直线关于点的对称:
Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再
由两点式求出直线方程; Ⅱ、求出一个对称点,在利用21//l l 由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。
如:求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。 (2)轴对称:
①点关于直线对称:
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。
如:求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称:(设b a ,关于l 对称)
Ⅰ、若b a ,相交,则a 到l 的角等于b 到l 的角;若l a //,则l b //,且b a ,与l 的距
离相等。
Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点,则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a
的方程。
如:求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。 八、简单的线性规划:
(1)设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ,
①若点P 在直线l 上,则000=++C By Ax ;②若点P 在直线l 的上方,则
0)(00>++C By Ax B ;
③若点P 在直线l 的下方,则0)(00<++C By Ax B ; (2)二元一次不等式表示平面区域:
对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ,
①当0>B 时,则0>++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 上方的区域;
0<++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域;
②当0++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域;
0<++C By Ax
注意:通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中,根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。 (3)线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意:①当0>B 时,将直线0=+By Ax 向上平移,则By Ax z +=的值越来越大; 直线0=+By Ax 向下平移,则By Ax z +=的值越来越小;
②当0
如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个,则a 为 ; 第二部分:圆与方程
2.1圆的标准方程:2
2
2
)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ,半径r 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:2
2
2
r y x =+. 2.2点与圆的位置关系:
1. 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : (1)点在圆上 d=r ;(2)点在圆外 d >r ;(3)点在圆内 d <r .
2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?
( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2.3 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .
当042
2
>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心???
??--2,2
E D C ,半径2
422F
E D r -+=
.
当0422=-+F E D 时,方程表示一个点???
?
?--
2,2E D . 当0422<-+F E D 时,方程无图形(称虚圆).
注:(1)方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .
圆的直径系方程:已知AB 是圆的直径
0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A
2.4 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种,d 是圆心到直线的距离,(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
(1)
??>相离r d ;(2)
=???=相切r d ;(3)
0>???<相交r d 。
2.5 两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21。
(1)条公切线外离421??+>r r d ;(2)条公切线外切321??+=r r d ;
x
y
O
A(1,1)
B(5,1)
C(4,2)
(3)条公切线
相交2
2
1
2
1
?
?
+
<
<
-r
r
d
r
r;(4)条公切线
内切1
2
1
?
?
-
=r
r
d;
(5)无公切线
内含?
?
-
<
<
2
1
0r
r
d;
外离外切相交内切内含
2.6 圆的切线方程:
1.直线与圆相切:(1)圆心到直线距离等于半径r;(2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数)
2.圆2
2
2r
y
x=
+的斜率为k的切线方程是r
k
kx
y2
1+
±
=过圆0
2
2=
+
+
+
+F
Ey
Dx
y
x上一点)
,
(0
y
x
P的切线方程为:0
2
2
=
+
+
+
+
+
+F
y
y
E
x
x
D
y
y
x
x.
一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x– a)(x0– a)+(y– b)(y0– b)=R2.
特别地,过圆2
2
2r
y
x=
+上一点)
,
(0
y
x
P的切线方程为2
r
y
y
x
x=
+.
若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则
?
?
?
?
?
+
-
-
-
=
-
=
-
1
)
(
)
(
2
1
1
1
1
R
x
a
k
y
b
R
x
x
k
y
y
,联立求出?
k切线方程.
2.7圆的弦长问题:1.半弦
2
L
、半径r、弦心距d构成直角三角形,满足勾股定理:2
2
2
2
d
R
L
-
=
?
?
?
?
?
2.弦长公式(设而不求):
]
4
)
[(
1
)
(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
x
x
x
x
k
y
y
x
x
AB
-
+
+
=
-
+
-
=
)
(
)
(
第三部分:椭圆
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数()21
2F
F
a>的点的轨迹叫做
椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(c
F
F
a2
2
2
1
=
=时为线段
2
1
F
F,c
F
F
a2
2
2
1
=
<无轨迹)。
2.标准方程:
222
c a b
=-
①焦点在x 轴上:122
22=+b
y a x (a >b >0); 焦点F (±c ,0)
②焦点在y 轴上:122
22=+b
x a y (a >b >0); 焦点F (0, ±c )
注意:①在两种标准方程中,总有a >b >0,2
2
2
c b a +=并且椭圆的焦点总在长轴上;
②一般形式表示:
22
1x y m n
+=或者 ),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 二.椭圆的简单几何性质: 1.范围
(1)椭圆122
22=+b
y a x (a >b >0) 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b
(2)椭圆122
22=+b
x a y (a >b >0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a
2.对称性
椭圆关于x 轴y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点
(1)椭圆的顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )
(2)线段A 1A 2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ,短轴长等于2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比
22c a ,即a
c
称为椭圆的离心率, 记作e (10< 2 22 1()b e a a ==-c e 越接近于0 (e 越小),椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 (e 越大),椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 (2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e ,(0<e <1)的点的轨迹为椭圆。( e d PF =| |)