第十九章 勾股定理

第十九章勾股定理

单元要点分析

教材内容

本单元教学的主要内容：

本单元教学的主要内容是探索直角三角形的三边之间的关系，并运用所得结论解决问题，而且能根据三角形三边的长，判断这个三角形是不是直角三角形．

本单元知识结构图：

本单元教材分析：

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，其逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法．教材通过2500年前，毕达哥拉斯的发现来引入直角三角形三边关系，以及通过“赵爽弦图”来引进勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”，这个定理教材利用拼图的方法论证勾股定理存在的合理性．教材介绍了古埃及人做直角的方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5?个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．体现了如果围成的三角形的三边分别为3，4，5，有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在应用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边．注意a、b、c可以取满足于等式的适当数（整数、分数、小数等）．

教学目标（三维目标）

知识与技能：

具体的情境，理解和掌握勾股定理和逆定理以及应用．

过程与方法：

经历探索勾股定理的过程，理解勾股定理的意义以及内涵，掌握其应用方法．

情感态度与价值观：

以我国古代在勾股定理的研究方面所取得辉煌成就，激发学生的爱国热情，体会勾股定理的应用价值．

教学重点

本单元教学重点是理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用．

教学难点

本单元教学难点是理解勾股定理的推导．

教学关键

本单元教学关键是通过古今中外的科学家的探究思想，引入勾股定理和逆定理．单元课时划分

19．1 勾股定理 3课时

19．2 勾股定理的逆定理 3课时

复习与交流 1课时

教学活动设计

第一课时勾股定理（一）

一、教学内容与背景材料

本节课主要内容是探索、验证勾股定理．

二、教材分析：

勾股定理是平面几何中一个重要定理，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，是解直角三角形的重要工具。它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。由于勾股定理能把形与数密切联系起来，是数与形结合的典范，而学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，从而为后续学习解直角三角形打下基础。

三、教学目标：

★知识与能力目标：

经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理力；

★过程与方法目标：

1．让学生经历“探索—发现—猜想—验证—应用”的学习过程，并体会“特殊—一般—特殊”的数学思想方法；

2．通过一系列数学学习活动让学生体验学习过程中的乐趣．

★情感与态度目标：

1．通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.

2.在探究的过程中，体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.★教学重点：

探索发现并验证勾股定理．

★教学难点：

通过拼图验证勾股定理；

四、教法和学法分析

（一）学情分析

我校八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力．他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法（包括割补、拼接），但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够.

另外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流的能力还有待加强．

（二）教法分析

教学方法：引导—探究—讨论发现法。

为了让学生在学习过程中自我归纳发现勾股定理，本节课从探究等腰直角三角形入手，再自然过渡到探究一般直角三角形，引导学生通过观察图形、计算面积、分析数据，发现直角三角形三边上的正方形的面积关系，进而得到勾股定理．然后再引导学生通过小组合作、讨论交流来验证勾股定理.

为了让学生在学习过程中自我归纳发现勾股定理，本节课从探究等腰直角三角形入手，再自然过渡到探究一般直角三角形，引导学生通过观察图形、计算面积、分析数据，发现直角三角形三边上的正方形的面积关系，进而得到勾股定理．然后再引导学生通过小组合作、讨论交流来验证勾股定理.

（三）学法分析

学习方法：自主探究与合作交流相结合。

根据前述学情分析，结合本课教学内容，这节课采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行学习.

人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与他们取得联系。那么怎样才能与“外星人”沟通呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。

2、展标

（1）知识与能力目标：

经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力；

（2）过程与方法目标：

让学生经历“探索—发现—猜想—验证—应用”的学习过程，并体会“特殊—一般—特殊”的数学思想方法；

(3)情感与态度目标：

通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.在探究的过程中，体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.

3、达标

活动1、观察特例→发现新知

相传在2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家做客,发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性，现在请同学们也来观察一下,你有什么发现呢?

（结合预习从这两方面回答）

1、正方形A、B、C的面积有什么关系？

2、直角三角形三边有什么关系？

地面 图18.1-1

探究1：等腰直角三角形三边关系

（！）求出三个正方形的面积，思考怎样求正方形C 的面积？

（2）观察表中数据你能找正方形A 、B 、C 面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A 、B 、C 所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

活动2、深入探究→交流归纳

（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的

平方和等于斜边的平方”呢？

1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形.仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形.

（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A 、B 、C 面积？

（3）正方形A 、B 、C 面积之间的关系是什么？

（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？

活动3拼图验证→加深理解

猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（多媒体动画演示验证）

1、让学生利用学具进行拼图

（1）准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边c ）

（2）你能用这四个直角三角形方形？

（3）你拼的正方形中是否含有以斜边c 为边的正拼成一个正方形吗？拼一拼试试看．

（4）你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2吗？

2、多媒体课件展示拼图过程及证明过程，理解数学的严密性。

活动4：欣赏弦图拼法，了解勾股历史

多媒体展示：1、赵爽弦图的分割、拼接过程。2、数学史话，勾股定理的发现，古代我

国数学的伟大成就…

活动5：应用新知，解决问题。

活动6：回顾小结→整体感知

过程小结，知识小结.

活动7：布置作业→巩固加深

1.必做题：课本第77页，习题18.1 第1, 7题.

2.选做题：

课本第79页“阅读与思考”了解勾股定理的多种证法.（根据自己的情况选择完成）

3．预习：勾股定理的应用。

第二课时 勾股定理（二）

教学内容与背景材料

本节课继续探究勾股定理的应用。

教学目标

知识与技能：

掌握勾股定理在实际问题中的应用．

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．

情感态度与价值观：

培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．

重难点、关键

重点：掌握勾股定理的实际应用．

难点：理解勾股定理的应用方法．

关键：把握Rt △中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和

斜边的区分．

教学准备

教师准备：制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．

学生准备：复习勾股定理．

学法解析

1．认知起点：在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，?对勾股定理

的应用加以理解．

2．知识线索：实际问题 ??→←??

勾股定理 3．学习方式：采用讲练结合的学习方式，注重合作交流．

教学过程

一、复习提问

勾股定理内容，符号语言表示？

二、简单应用

（1）求出下列直角三角形中未知的边． 6

10A C B 8A

15C B 30°2

回答：

①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形哪条边最长？

三、联系实际，应用所学

问题探究1：（2）一个门框尺寸如下图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC 或BD 是斜着能通过的最大长度．只要测出AC 或BD ，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．

【活动方略】

教师活动：拿出教具：如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．

学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5，

2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！

问题探究2：如图18．1-5，一个3cm 长的梯子，AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为 2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？

思路点拨：从BD=OD-OB 可以看出，必需先求OB ，OD ，因此，?可以通过勾股定理在Rt △AOB ，Rt △COD 中求出OB 和OD ，最后将BD 求出．

【活动方略】

教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．

学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt △AOB ，Rt △COD ，以此为基础应用勾股定理求得OB 和OD

．

【课堂演练】

演练题：在Rt △ABC 中，已知两直角边a 与b 的和为pcm ，斜边长为qcm ，求这个三角形的面积．

思路点拨：因为Rt △的面积等于12

ab ，所以只要求出ab 即可，由条件知a+b=p ，c=q ，?联想勾股定理a 2+b 2=c 2，将几何问题转化为代数问题．由a+b=p ，a 2+b 2=q 2求出ab ． 教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形． 学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示．

解：∵a+b=p ，c=q ，

∴a 2+2ab+b 2=（a+b ）2=p 2，a 2+b 2=q 2（勾股定理）

∴2ab=p 2-q 2

∴S Rt△ABC =12ab=14

（p 2-q 2）cm 2 【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．

四、随堂练习，巩固深化

1．课本P76 “练习”1，2．

2．【探研时空】

（1）若已知△ABC 的两边分别为3和4，你能求出第三边吗？为什么？

（2）如图，已知：在△ABC，∠A=90°，D 、E 分别在AB 、AC 上，你能探究出CD 2+BE 2=BC 2+DE 2

吗？

（提示：BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2）

五、课堂总结，发展潜能

1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．

2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，?已知任意两边的长都可以求出第三边的长．

六、布置作业，专题突破

1．课本P77 习题18．1 1，2，3，4，5．

2．选用课时作业优化设计

第三课时勾股定理（三）

教学内容与背景材料

本节课继续探究勾股定理及其应用

知识与技能：

掌握勾股定理在实际问题中的应用．

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．

情感态度与价值观：

培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．

重难点、关键

重点：掌握勾股定理的实际应用．

难点：理解勾股定理的应用方法．

关键：把握Rt△中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和斜边的区分．

教学准备

教师准备：制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．

学生准备：复习勾股定理．

学法解析

1．认知起点：在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，?对勾股定理的应用加以理解．

2．知识线索：实际问题??→

←??勾股定理

3．学习方式：采用讲练结合的学习方式，注重合作交流．

教学过程

一、回顾交流，小测评估

【课堂小测题】（投影显示）

1．填空题

（1）等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是_______．

（?填：

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=b=2cmm，S

=______（填：2cm）

△ABC

2．选择题

（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B，则BC：AC：AB=（A）．

A．1：1

．1：1：2 C．1：1：1 D．以上结论都不对

（2）等边三角形面积为8cm，它的边长（D）．

A．

．

．

．以上结论都不对

【活动方略】

教师活动：操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用．学生活动：独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解．

【设计意图】采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本节课解决．

二、数形结合，应用所学

【显示投影片2】

问题探究3：大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，?请你在数轴

思路点拨：

（1）?在数轴上找到

一点A，使OA=5，（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=12，（3）?连结OB，（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C

【活动方略】

教师活动：提出问题．

1

2

学生活动：借助课本图18．1-7

M．

【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点．

问题探究4：如图，△ABC中，∠B=90°，AC=12cm，BC=4cm，D?在AC?上，?且AD=8cm，

E在AB上，且△AED的面积是△ABC面积的1

4

，求AE和DE的长．

思路点拨：求AE的长时，可过D作DE⊥AB于F，可求出

DF=2

3

BC=

8

3

，?

这样先把AF?求出AF=

2

3

AB=

16

3

再由面积公式S

△AED

=

1

2

AE·DF先求出DF=

4

3

AE

，

由S

△ADE

=

1

4

S

△ABC

因而EF=

7

3

?应用勾股定理求

教师活动：操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考，?然后请两

位学生上台演示，纠正．

学生活动：小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题，?踊跃上台发言，“板演”．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P77 “练习”1，2．

2．【探研时空】

（1）已知，如图：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，

求证：AB2=AD2+2CD2+BD2．

（提示：AB2=AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+BD2=AD2+2CD2+BD2）

（2）有一正方形ABCD池塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，?向水深和芦苇长各是多少？

（提示：设水深EF=x尺，芦苇EG=（x+1）尺，则EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建△EFG，再应用勾股定理得（x+1）2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为13尺）．

四、课堂总结，发展潜能

本节课主要学习的内容是：（1）勾股定理的应用，?通过两个“探究”领会勾股定理的应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等．（2）感受勾股定理的历史．

五、布置作业，专题突破

1．课本P78 习题18．1 7，8，9，11，12，13．

2．选用课时作业优化设计

18.2 勾股定理的逆定理(一)

教学目标

一、知识与技能

1．掌握直角三角形的判别条件．

2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

二、过程与方法

1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．

三、情感态度与价值观

1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望

2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．

教学重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．

教学难点归纳、猜想出命题2的结论．

教具准备多媒体课件．

教学过程

一、创设问属情境，引入新课

活动1 (1)总结直角三角形有哪些性质．(2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形? 设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．

师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．

本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”．

生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?

生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?

二、讲授新课

活动2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．

设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．

生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．

生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．

再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?

活动3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c

5，12，13；7，24，25；8，15，17．

(1)这三组效都满足a2＋b2＝c2吗?

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件．

师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，

教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．本活动教师应重点关注学生：①对猜想出的结论是否还有疑虑．②能否积极主动的操作，并且很有耐心．生：(1)这三组数都满足a2＋b2＝c2．(2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．

命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．

“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢?

如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?

生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．

据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．

活动4 问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系?

设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你前面遇到过有互逆命题吗?

师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．教师认真倾听学生的分析．

教师在本活动中应重点关注学生；①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．

生：我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．

生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题．“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．

生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．三、课时小结

活动5问题：你对本节内容有哪些认识?

设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要．

师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边

的三角形能否构成直角三角形．

在活动5中，教师应重点关注学生：(1)不同层次的学生对本节的认知程度．(2)学生再谈收获是对不同方面的感受．(3)学生独立面对困难和克服困难的能力．

板书设计

18.2 勾股定理的逆定理(二)

教学目标

一、知识与技能1．了解证明勾股定理逆定理的方法．2．理解逆定理，互递定理的概念．

二、过程与方法1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．2．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．

三、情感态度与价值观1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．2．培养学生与人合作、交流的团队意识．

教学重点勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．

教学难点互逆定理的概念．

教具准备多媒体课件．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．

①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24 设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．

师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．

在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．

生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦

二、讲授新课

活动2 问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?如何证明呢?

设计意图：由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑

推理能力

师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．

本活动中，教师应重点关注学生：①能否在教师的引导下，理清思路．②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．

师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?

我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?

生：我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c △ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC 为直角三角形．即命题2是正确的．

师：很好，当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理．

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗?

生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．

师：你还能举出类似的例子吗?

生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．

逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．

显示原命题成立，而逆命题不成立．

活动3

练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?

2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?

(1)两条直线平行，内错角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

(3)全等三角形的对应角相等．

(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

设计意图进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．

师生行为：学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注学生．①学生对勾股定理的逆定理的理解．②学生对互为逆命题的掌握情况．③学生面对困难，是否有克服困难的勇气．

师：我们先来完成练习第1题．

生：a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．

生：2．(1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．

(2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．

(3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．

(4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．

三、巩固提高

活动4[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?

[例2](1)判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．

解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．

请问：上述解法对吗?为什么?

(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．

求证：AB＝AC．

设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．

学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．

师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣。

生：例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．

解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC 是直角．

因此这个零件符合要求．

例2：(1)解：上述解法是不对的．因为a＝10，b＝8，c＝6，b2＋c2＝64＋36＝100＝102＝a2，即b2＋c2＝a2．所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边．评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边．往往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和．

(2)证明：根据题意，画出图形，AB＝13cm，BC＝10cm．

AD是BC边上的中线→BD＝CD＝5cm，在△ABD中AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，AB2＝169，AD2＋BD2＝122＋52＝169．所以AB2＝AD2＋BD2．则∠ADB＝90°．∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°．

在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝122＋52＝132．

所以AC＝AB＝13cm．

四；课时小结

活动5

问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．设计意图：

这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．

小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．

师生行为：

教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗?

在活动5，教师应重点关注学生：

①不同层次的学生对本节知识的认识程度．

②学生再谈收获是对不同方面的感受．

③学生独立面对困难和克服困难的能力，

勾股定理的逆定理的证明

构造Rt△A'B'C'，使两直角边为a，b，∠C'＝90°，从而得斜边A'B'＝c，得到△ABC≌△A'B'C'，所以∠C＝∠C＝90°，△ABC为直角三角形．

活动与探究

给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．

(1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子；

(2)请你证明你所发现的规律．

过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“( )2＋( )2＝( )2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32＝(22－1)2，82＝(32－1)2，152＝(42－1)2，242＝(52－1)2；所以我们可推想，第—项一定是(n2－1)2．(其n＞1，n为整数)，同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2＋1)2(其中n＞1，n为整数)．

(1)解：上面的式于是有规律的，即(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2(n为大于1的整数)．

第5个式子是n＝6时，即(62－1)2＋(2×6)2＝(62＋1)2化简，得352＋122＝372．

(2)证明：左边＝(n2－1)2＋(2n)2＝(n4－2n2＋1)＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝右边，证毕．

18.2 勾股定理的逆定理(三)

教学目标

一、知识与技能能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．

二、过程与方法

1．经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用章识．

2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

三、情感态度与价值观

1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．

2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯．教学重点运用勾股定理的逆定理解决实际问题．

教学难点将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．

教具准备多媒体课件．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗?

问题2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．

(1)你能替他想想办法完成任务吗?

(2)李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗?

(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗?BC边与AB边呢?

设计意图：

通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力．在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径．

师生行为：

先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．

教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导．

在此活动中，教师应重点关注学生，

①能否独立思考，寻找解决问题的途径．

②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．

③能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．

生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝．小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB的长度(如下图所示)

生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边垂直，也就是要检测∠DAB＝90°，∠CBA＝90°，连接BD或AC，也就是要检测△DAB 和△CBA是否为直角三角形．很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．

根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DA月是否为直角三角形，即∠DAB＝90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB，BD、DA的长度，然后计算AB2＋DA2和BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD⊥AB，同理可检测BC是否垂直于AB．师：很好，对于问题2中的第(2)个小问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗?

生：可以，因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500，而BD2＝2500，所以AD2＋AB2＝BD2．可得AD与AB垂直．

师：小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗?

生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的长度．

生：这样做误差太大，可以AB，AD上各量一段较小的长度．例如在AB边上量一小段AE＝8cm，在AD边上量一小段AF＝6cm，而AE2＋AF2＝82＋62＝64＋36＝100＝102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可．

如果EF＝10cm，EF2＝100，则有AE2＋AF2＝EF2，根据勾股定理的逆定理可知△AEF 是直角三角形，∠EAF＝90°即∠DAB＝90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，则EF2≠100，所以AE2＋AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB．

师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们．

接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．

二、讲授新课

活动2

问题：[例1]判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

(2)a＝13，b＝14，c＝15；

(3)求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长．

设计意图：

进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第(3)题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．

师生行为：

先由学生独立完成，然后小组交流．

教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．

在此活动中，教师应重点关注学生：

①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

②能否发现问题，反思后及时纠正．

③能否积极主动地与同学交流意见．

生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．

解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，

172＝289，

所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．

(2)因为132＋142＝169＋196＝365

152＝225

所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．

生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．

(3)证明：m＞n、m、n是正整数

(m2－n2)＋(m2＋n2)＝2m2＞2mn，

即(m2－n2)＋(m2＋n2)＞2mn

又因为(m2－n2)＋2mn＝m2＋n(2m－n)，

而2m－n＝m＋(m－n)＞0，

所以(m2－n2)＋2mn＞m2＋n2

这三条线段能组成三角形．

又因为(m2－n2)2＝m4＋n4－2m2n2

(m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2

(2mn)2＝4m2n2，

所以(m2－n2)2＋(2mn)2

＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2

＝m4＋n4＋2m2n2

＝(m2＋n2)2

所以，此三角形是直角三角形，m2－n2、2mn、m2＋n2(m＞n、m、n是正整数)这三边是直角三角形的三边．

师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．而且我们不难发现m2－n2、m2＋n2、2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m可取值的不同会得到不同的勾股数，

例如m＝2，n＝1时，m2－n2＝22－12＝3，m2＋n2＝22＋12＝5，2mn＝2×2×1＝4，而3、4、5就是一组勾股数．

你还能找到不同的勾股数吗?

生：当m＝3，n＝2时，m2－n2＝32－22＝5，m2＋n2＝13，2mn＝2×3×2＝12，所以5、12、13也是一组勾股数，

当m＝4，n＝2时，m2－n2＝42－22＝12，m2＋n2＝20，2mn＝2×4×2＝16，所以12、16、20也是一组勾股数．

……

师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法．17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想——费马大定理，即当n＞2时，找不到任何的正整数组，使等式x n＋y n＝z n成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．活动3

问题：[例2]“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

设计意图：

让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值，

师生行为：

教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师需巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径．

在此活动中，教师应重点关注：

①学生能否根据题意画出图形．

②学生能否积极主动地参与活动．

③学生是否充满信心解决问题．

生：我们根据题意画出图形，(如下图)，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果

求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．

解：根据题意画出下图

PQ＝16×1.5＝24，

PR＝12×1.5＝18，QA＝30．

因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2

所以∠QPR＝90°

由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，所以∠RPS＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．

三、巩固提高

活动4

问题：A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?

设计意图：

进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用．

师生行为：

由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解．

解：BC2＋AB2＝52＋122＝169，

AC2＝132＝169，

所以BC2＋AB2＝AC2，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC＝90°，C地应在B地的正北方向．

四，课时小结

活动5

问题：谈谈这节课的收获有哪些?掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．

设计意图：

这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会．

师生行为：

教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答．

勾股定理的应用 (2)

勾股定理的应用 一、知识框架 1、勾股定理的猜想 2、勾股定理的验证 3、勾股定理的应用 二、目标点击 1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。 2、能够利用定理解决一些简单的实际问题 3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程 三、重难点预见 学习重点：经历探索勾股定理的过程。 学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。 四、学法指导 1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。 2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。 五、自主探究 情境导入： 2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。 学法指导： 通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。 （一）猜一猜 测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：

三角尺直角边a 直角边b 斜边 c 关系 1 2 根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。。 （二）想一想 1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？ 解后感悟： 通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。 方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。 2、观察图 3、并填下表： 正方形A的面积=_______平方单位。正方形B的面积=_______平方单位。正方形C的面积=_______平方单位。 你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。 解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。 预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。 预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。 （三）议一议 三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。 学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。 （四）记一记

八年级上华东师大版第十四章勾股定理复习教案

第十四章 勾股定理 回顾与思考 教学目标 1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的 勾股定理和其他性质解决实际问题。 2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。 3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱 国热情，培养探索知识的良好习惯。 教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。 教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。 教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等 教学方法：启发式教育 教学过程 一、回顾与思考 1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？ 3．直角三角形还有哪些性质？ 4．如何判断一个三角形是直角三角形？ 5．你知道勾股定理的历史吗？ 一、 讲例 问题：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？ （留几分钟的时间给学生思考） 分析：1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ 2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜： （1）底端也将滑动0.5米吗？ （2）能否求出OD 的长？ 解：根据勾股定理，在Rt △OAB 中，AB=3m ，OA=2.5m ，OB 2 =AB 2 -OA 2 = 32 -2.52 =2.75。 ∴OB ≈1.658m ；在Rt △OCD 中，OC=OA-AC=2m ，CD=AB=3m ，OD 2 =CD 2 -OC 2 = 32 2 。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m

∴如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.58m 。 例2 议一议P19 拼图与勾股定理 观察图 2 验证：c 2 ＝a 2 ＋b 2 证明：大正方形面积可表示为c 2 ，也可以表示为2 1ab ·4＋（b —a ）2 所以c 2 ＝ 2 1ab ·4＋（b —a ）2 ＝2ab ＋b 2 －2ab ＋a 2 ＝a 2 ＋b 2 故c 2 ＝a 2 十b 2 例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD ＝4，AB ＝3，DB ＝5，DC ＝12，BC ＝13，这个零件符合要求吗？ 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。 解：在△ABC 中，AB 2 ＋AD 2 ＝32 ＋42 ＝9＋16＝25＝BD 2 所以△ABC 为直角三角形，∠A ＝90° 在△DBC 中，BD 2 ＋DC 2 ＝52 ＋122 ＝25＋144＝169＝132 ＝BC 2 所以△DBC 是直角三角形，∠CDB ＝90° 因此这个零件符合要求。 二、 随堂练习 一、判断题。 1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 二、填空题。 1．已知三角形的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个三角形是 2．△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，以BC 为边的正方形面积为 3．三条线段m 、n 、p 满足m 2 一 n 2 ＝ p 2 ，以这三条线段为边组成的三角形为 三、选择题。 B A 3 4

勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2. 参考答案与解析 1．D 2. 3 55解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2×2×1－ 1 2×2×1－ 1 2×3×3－1＝9－1－1－ 9 2－1＝ 3 2，AB＝1 2＋22＝5，∴ 1 2×5h＝ 3 2，∴h＝ 35 5.故答案为 35 5.

第14章《勾股定理》

第60课时 14.1.1《直角三角形三边的关系》 一、教学目标 【知识与技能目标】：能说出勾股定理的内容,并运用它进行简单的计算和解决一些简单的实际问题。【能力与方法目标】：经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—探索—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。 【情感与态度目标】：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。 二、教学重点 探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。 三、教学难点 勾股定理的探索过程。 四、教学方法 引导探索法、自主探究法、合作交流法、演示法 五、教学过程 （一）创设情境，引发思考 1、设置疑问：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。但小明量出长58厘米和宽46厘米，是不是售货搞错了呢？此时教师应向学生介绍“我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度”这一生活常识，进而引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题，激发学生的探究欲望。 2、回忆有关直角三角形的相关知识，教师引导提问直角三角形的三边有什么关系？揭示课题。（二）自主探索，合作交流 探究活动1： 1、猜想：将等腰直角三角形放到方格纸中研究，分别以等腰直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生猜想这三个正方形的面积有什么关系？ 2、观察思考：直角三角形三边的关系与猜想是否一样？ 3、引导点拨：将“R”分“割”成若4个大小一样的直角三角形或“补” 成边长为2的正方形面积的一半. 4、得出结论：S P+S Q=S R 探究活动2： 1、提出问题：是否所有的一般直角三角形都有这个结论呢？ 2、观察填空：学生交流合作，共同寻找办法，发现三个正方形的面积，并抽生交流方法。 3、议一议：（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。 4、得出结论：S P+S Q=S R 从而由面积的求法推出a2＋b2＝c2 5、验证结论：学生在P117页方格纸上作一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形。通过测

八年级数学上册 第14章 勾股定理复习导学案1 华东师大版

八年级数学上册第14章勾股定理复习导学案 1 华东师大版 一、知识要点： 1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理、该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度、②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方、③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角、④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 4、最短距离问题：主要运用的依据是。 二、知识结构：直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法 三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆、2、如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系、考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例（09年山东滨州）如图2，已知△ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（） A、21 B、15 C、6 D、以上答案都不对 【强化训练】 XXXXX： 1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为、 2、（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是

勾股定理的应用(人教版)(含答案)

勾股定理的应用（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，Rt△ABC的直角边长分别为12和16，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形周长之和为( ) A.28 B.48 C.36 D.56 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图形的平移 2.暑假中，小明到某海岛探宝．如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，则登陆点到埋宝藏点 的直线距离是( )km．

A. B. C.10 D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 3.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的对应的值为( ) A.2 B. C. D.

答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 4.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离为( )m． A.0.6 B.0.8 C.1.2 D.1.6 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉

开7米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为( )米． A.8 B.12 C.24 D.25 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 6.路旁有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )米． A.8 B.10 C.12 D.14 答案：B 解题思路：

14勾股定理

第14章勾股定理 §14.1勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 2. 直角三角形的判定 阅读材料勾股定理史话 美丽的勾股树 §14.2勾股定理的应用 小结 复习题 课题学习勾股定理的“无字证明”

第14章勾股定理 还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标． 那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图． §14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺． 试一试 测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：

的面积之和等于大正方形的面积．即 AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2， 图14.1.1 这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 试一试 观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米； 正方形Q的面积＝平方厘米；

（每一小方格表示1平方厘米） 图14.1.2 正方形R的面积＝平方厘米． 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是． 由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系． 做一做 在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系 对这个直角三角形是否成立．

（每一小格代表1平方厘米） 图14.1.3 概括 数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理． 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系． 例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）

勾股定理与面积计算

勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图

华师版八年级上册第十四章14.2 勾股定理的应用

一．导 1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？ 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________. 2.勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________. 二．思 阅读课本完成探究一 探究点1：勾股定理的应用 例1如图，一根12米高的电线杆CD两侧各用15米的铁丝固定，求两个固定点A、B之间的距离. 【方法总结】解题关键是利用转化思想将实际问题转化成直角三角形模型，然后利用勾股定理求出未知的边长.

【针对训练】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ 探究点2：勾股定理逆定理的应用 例2如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理. 【方法总结】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 例3一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？

第14章 勾股定理的无字证明 勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2 21 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴ ()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,

八年级数学上册第十四章勾股定理14.2勾股定理的应用1教案新版华东师大版

14.2勾股定理的应用（1） 教学目标 1．知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力. 教学重点、难点 教学重点：勾股定理的应用. 教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析： 1.例1中学生因为其空间想象能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点：突出重点的教学策略： 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”， 教学过程

小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则c2= a2+b2 . 加深定理的记忆理解，突出定理的作用. 新课讲解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学 中有着广泛的应用． 例3：如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上 底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程． 【解析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸 卷折圆柱成圆柱形状，标出A.B.C.D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬 行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根 据是什么？（学生回答） D C B A 根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩 形ABCD对角线AC之长．我们可以利用勾股定理计算出AC的长. D C B A 解：如图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm， ∴AC＝2 2BC AB+＝2 210 4+ 通过动手作模 型，培养学生的动 手、动脑能力，解 决“学生空间想像 能力有限，想不到 蚂蚁爬行的路径” 的难题，从而突破 难点. 由学生回答“AC 之间的最短距离及 根据”，有利于帮 助学生找准新旧知 识的连接点，唤起 与形成新知识相关 的旧知识，从而使 学生的原认知结构 对新知识的学习具 有某种“召唤力” 再次提问，突出勾 股定理的作用，加 深记忆.

勾股定理与面积计算

图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图

5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。

华师大八年级上《第14章勾股定理》单元测试(2)含答案解析

第14章勾股定理 一、选择题（共13小题） 1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（） A．48 B．60 C．76 D．80 2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（） A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理 3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（） A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，， 6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）

A．5 B．C．D．5或 7．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（） A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（） A．B．C．D． 10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（） A．2 B．4 C． D． 11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限D．有无数个 12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（） A．1 B．1或C．1或D．或

最新华东师大版 第14章勾股定理复习导学案1

第14章勾股定理复习导学案 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2，b2= c2-a2 。 勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方= 最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 4、最短距离问题： 主要运用的依据是。 二、知识结构： 三、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．直角三角形 勾股定理 应用 判定直角三角形的一种方法

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 例（09年山东滨州）如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD ＝8，则边BC的长为（） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch） 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、（09年湖南长沙）如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例、（09年滨州）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为． 分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。 考点五、利用列方程求线段的长（方程思想） １、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

八年级数学上册 第十四章 勾股定理教案 华东师大版

《勾股定理》教学设计 一、地位与作用： 这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面： 1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。 2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。 3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。 二、教学目标： 1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。 2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和逻辑推理能力以及解决问题的能力。 3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。 三、教学重点：勾股定理的证明及应用 四、教学难点：学生数学语言的运用 五、教学媒体的选择与使用：多媒体课件 六、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形。 七、分课时教学过程设计： §14.1.1 直角三角形三边的关系 【教学目标】 一、知识目标 1.在探索基础上掌握勾股定理。 2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。 二、能力目标 1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。 三、情感态度目标 学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。 【重点难点】 重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 疑点：灵活运用勾股定理。 【教学设想】 课型：新授课 教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。

八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习(新版)华东师大版

勾股定理 本章总结提升 问题1 勾股定理 直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________． 【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边． 问题2 用拼图证明勾股定理 勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 例 2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：

① ② 图14－T －1 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2 . 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1 2 ab ， S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝1 2c 2＋12 a ( b －a )， ∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1 2a (b －a )． ∴a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想． 问题3 勾股定理的应用 勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？ 例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？

吉林省长春市双阳区八年级数学上册 第14章 勾股定理复习教案1 华东师大版

勾股定理 教学目标 知识与技能 掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。 过程与方法 正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。 情感态度与价值观 熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。 教学重点 掌握勾股定理及其逆定理。 教学难点 准确应用勾股定理及其逆定理。 教学内容与过程 教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 想一想 1 直角三角形有那些特征？ 二、合作交流自主探究 探究1 如图，以 Rt△ABC 的三边 为边向外 作正方 形，其面积分别为 123S S S ，，，请同学们想一想123S S S ，，之间有何关系呢？ 二. 导入课题，研究知识： 本节课我们来解决一些问题，达到复习直角三角形有关知识的目的 三.归纳知识，培养能力： 直角三角形的有关知识 四.运用知识，分析解题： 探究1 如图，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为123S S S ，，， 面向全体学生提出 相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。 A B C 3S 2 S 1 S A B F C D E A B C 3S 2 S 1S

123S S S ，，之间有何关系呢？ 探究2 .如图沿AE 折叠矩形，点D 恰好落在 BC 边上的点F 处，已知AB =8cm ，BC = 10cm ，求EC 的长. 探究3 有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的 水面,请问这个水池的深度和这根芦苇 的长度各是多少? 五.课堂练习： 1 . 你能说说出本章的知识结构吗？ 六.课后作业：本节课有什么收获，请你谈谈？ 分析： 1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ 2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜： （1）底端也将滑动0.5米吗？ （2）能否求出OD 的 长？ 教学反思 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ A B F C D E 5尺 1尺 x 水池 直角三角形 勾股定理 应用 判定直角三角形的一种方法

勾股定理的应用教案

勾股定理的应用 教学目标： 知识与技能： （1) 能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。 （2) 学会选择适当的数学模型解决实际问题。 过程与方法： 通过问题情境的设立，使学生明白数学来源于生活，又应用于生活，积累 利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。 情感、态度和价值观：使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、 用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力， 初步形成积极参与数学活动的意识。 教学重点： 应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点; 教学难点.： 把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的难点。 教学关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找可应用的RT △，然后有针对性解决。 教学媒体：电子白板 教学过程： 一、导入 1、由犍为岷江大桥图片引入（一是拉近和学生的关系，激发学生对家乡的热爱之情， 同时由斜拉桥上的直角三角形引入勾股定理的应用） 另出具复习引入题 如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子 的底部离墙角1.5m ，如何求梯子的顶 端与地面的距离h? 先让学生复习勾股 定理的简单应用。 2、复习勾股定理内容 3、板书课题 二、新课探究 1、例 小明想知道学校旗杆的高度，但又不能把旗杆放倒测量，但他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能帮小明算算旗杆的高度吗？ 首先让学生审题并画出几何图形，再引导其完成。题中隐含了什么条件？ 解：设旗杆高AB=x 米，则绳子长AC=(x+1) 米，在Rt ABC 中，由勾股定理得： 答：旗杆的高度为12米。 12 ,)1(52 22222==+=++x x x AC BC AB 解方程，得即