毕业论文完整版

毕业论文（设计）

题目量子阱光波导中传波模式

和性能的研究

姓名陈威

所在学院理学院

专业班级 05光信1

学号 0511122132

指导教师陈义万

日期 2009年 6月 1日

量子阱光波导中传波模式和性能的研究

摘要：本文利用转移矩阵技术，分析了多量子阱波导的传波模式和色散特性，给出了适用于TE模和TM模两种偏振态的等效三层平板波导芯子折射率的解析公式，该公式清楚地说明了多量子阱波导的本征双折射行为。为了解决量子阱数很少的情况下使用薄膜近似带来误差这个问题，本文以曹庄琪先生的工作为基础，采用迭代的方法，导出了任意折射率多量子阱波导的色散方程，该方程的数值精度与量子阱数的多少无关。

关键词：量子阱光波导，转移矩阵，传波模式，色散方程

Abstract：Using technology of transfer matrix，the mode of transmission and

dispersion characteristics is investigated.Analytical formulas for the equivalent MQW waveguides are derived for two polarization states，and the intrinsic birefringence of MQW waveguides is clearly illustrated. In order to solve the problem that errors will be brought about by the use of thin-film approximation error in the circumstances of a small number of quantum wells, the iterative method is used in this paper and the dispersion equation of MQW waveguide is derived with arbitrary distribution of refractive index ,which is on the basis of Mr. Cao Zhuangqi’works.The numerical accuracy of the equation has nothing to do the number of quantum wells .

Keyords:quantum wells waveguides transfer matrix

mode of transmission dispersion equation

量子阱光波导中传波模式和性能的研究 (2)

第一章绪论 (4)

1.1超晶格与量子阱的概念 (4)

1.2研究意义 (4)

1.3国外发展状况 (5)

1.4 解决方法 (5)

第二章转移矩阵法简介 (7)

2.1 转移矩阵的引入 (7)

第三章转移矩阵法解决多量子阱光波导问题 (10)

3.1 用转移矩阵法解简单阶跃折射率分布多量子阱波导问题 (10)

3.2 任意折射率分布多量子阱光波导的新方法 (13)

3.21 等效折射率近似 (13)

3.22 任意折射率分布的多量子阱波导 (15)

3.23数值结果 (18)

第四章结束语 (21)

致谢 (22)

第一章绪论

1.1超晶格与量子阱光器的概念

超晶格【1】【2】【3】是指新型半导体材料的结构而言。这种新型半导体由交替的

多层薄膜组成，薄膜一般是两种或三种半导体材料，膜层厚度一般为几十埃到几百埃，膜层导电类型(通过掺杂控制)和厚度可根据性能要求加以改变。这种层数及每层厚度都确定的交替结构周期地重复排列，便形成超晶格结构。交替结构周期排列，周期厚度可为几百埃。这类似于晶体的晶格排列，而周期又比晶格周期(一般只有几埃)大几百倍，故将其称作超晶格。

量子阱就是两种不同势垒高度(不同禁带宽度)的材料，形成超晶格，当低势垒(窄禁带宽度)材料在高势垒(宽禁带宽度)材料之间时，低势垒材料中的电子由于受高势垒的约束，无法自由运动，犹如处在势阱中。但是，当势阱尺寸(宽度)减小到可与电子的德布罗依波长相比时，便产生了量子效应，即电子在势阱中运动量子化。在一定条件下，它可以穿越势垒自由运动，这便是量子阱效应的基础。

1.2研究意义

半导体超晶格量子结构的研究开拓了新的十分重大的应用前景它把固态电子器件和光电子器件推入到一个全新的发展阶段。一方面，由于超晶格量子结构的组份、掺杂和层次结构可以在原子尺度上随意控制，这就为设计新型固体器件提供了极大的自由度。精心的材料工程设计可保证获得最佳的器件性能。利用调制掺杂技术获得高电子迁移率的器件(HEMT器件)就是其中突出的实例之一在能带结构经过人工剪裁的多层异质结结构中，利用量子隧道穿透和热电子纵向弹道输运等各种量子效应，可以构成新的晶体管效应，并且由此而发展成新一类量子电子器件和量子集成电路(美国Taxas Instruments公司推出的新概念)，成为当前固态电子学注目的发展方向。另一方面，超晶格量子结构中呈现的新物理现象和效应不断开辟出新的器件应用领域。例如，利用量子阱中维度限制造成的激子饱和吸收和光学非线性效应，可构成通导时间快(PS量极)、高频性能好(GC量级)、能耗低(PJ量级)、可室温工作的光学双稳器件，以及光开关、光调制器等，为光计算技术提供了关键性的元件。量子阱中电子能态的量子化使量子阱激光器(以量子阱为有源区的半导体激

T值高以及易实现不同波长激射的优点。可以相信，随着光器)具有低阈值电流、

对超晶格量子结构研究的不断深化，不仅会使现有的应用获得更坚实的基础，而且更新的、内容丰富多彩的应用也必将被不断开发出来。综上所述，不难看出半导体超晶格量子结构的研究代表着当代半导体科学技术发展的主流方向。半导体超晶格研究的意义之重大是前所未有的，它的历史地位可以与40年代末P-N结晶体管的发明相提并。它必将对新一代计算信息处理技术、光电子技术和人工智能工程产生不可估量的深远影响。

1.3国外发展状况

美、日、西欧等科技先进国家高度重视半导体超晶格量子结构的研究和应用开发工作，在材料生长技术、基础物理研究和新器件的探索开发三个方面目前正处在一个生气勃勃的大发中国科学基金1990年展阶段，而且发展的速度和广度是前所未有的。分子束外延设备(MBE)已从初期实验室使用阶段迅速进人工业实用阶段。超薄生长技术本身又有了引人注目的发展，化学束外延(CBE)、气体源MBE(GSMBE)、原子束外延(ALE)、低压MOCVD(LPMOCVD)、热阱外延(HWE)等新生长技术正不断被开发出来和进人运用。另一方面超晶格材料体系已由III —V 族扩充至IV 族，II —VI 族、IV —VI 族和非晶态体系等等，为半导体科学技术提供了丰富多采、性能特异、自然界不存在的新材料和新结构。物理研究正向着更深层次和更宽广的领域发展。超晶格、量子阱中电子态、声子谱和各种元激发过程的理论、研究正向一维、零维系统扩展，各种相互作用过程和多体效应受到重视。电子沿超晶格量子结构纵向的量子隧道穿透、弹道输运过程中电子和杂质、声子的相互作用，电子隧穿时间等问题引起了极大的研究兴趣。但是最引人注目的动向是超微结构物理的出现和迅速发展。已有许多实验报道了由于电子波相干性引起的非定域量子相干电导现象。它们一方面推动了固体理论的发展，要求建立与之相适应的物理模型和理论处理方法;另一方面预计超微结构中出现的新物理规律和人们的新物理思想的结合将形成新的量子工程。各种利用超晶格量子结构的新型电子器件、光电子器件被开发出来和走向应用阶段.量子阱激光器的波长履盖范围已达到m μ206.0-。可作为光双稳、光电调制和光电开关的自光电效应器件(SEED)的电时间常数极限已小于ps 100。波长为m μ10、m μ5.2、m μ55.13.1-直至蓝光波段的各种光探测元件正不断开发出来。双势垒共振隧穿器件的电流峰/谷比已高达80，最

7、电流密度达25/10cm A 。振荡频率接近20GHz ，并在微波振荡、放大、多值高速逻辑上得到应用。由高电子迁移率晶体管(HEMT)和异质结双极晶体管(HBT)制成的逻辑电路，不仅实现了迄今半导体器件的最短开关时间，而且已进人L SI/VLSI 的应用领域。概括起来，近年来国际上的发展动态，表明了半导体超晶格生长技术日趋成熟、完备并得到极大的普及;物理研究不断深化，揭示出内涵丰富的重要新现象、新效应，开拓出凝聚态物理的重要前沿领域;新一代光电器件、电子器件研制和开发，不仅是层出不穷而且正迅速推向实用。半导体超晶格的发展迎来了整个半导体科学技术发展的新纪元。

1.4 解决方法

电磁波在无限扩展的周期性多层薄膜中传输的问题，是由Rytov 在30年前开始的。他建立了适用于TE 和TM 两种偏振态的这种无限结构的等效介电系数和色散关系。而对多量子阱波导(有限周期性结构)传输性质的理论研究则是由Ohke 等

【4】[5]人开始的。他们用量子阱区和垒区折射率平方的加权平均来代替多量子阱波导芯

子部分的交变折射率，并把这种方法称为均方根近似。在量子阱和垒的周期数N的情况下，这种近似对TE模是十分有效的，但不适合于TM模。Skinner【6】>>

1

等人利用均方根近似的结果和整个多量子阱区域转移矩阵在1

N时的趋近形式，

>>

导出了多量子阱波导的近似色散方程。但他们没有给出多量子阱波导芯子区域关于TM模的等效折射率公式，而且得到的色散方程是不自洽的。余守宪等人【7】【8】【9】也用均方根近似法处理过多量子阱光波导问题。但这种方法只能处理简单的阶跃型、三角形折射率分布的多量子阱结构，在实际应用中，有时会遇到双曲形或其它折射率分布的多量子阱结构。为解决此类向题，曹庄琪先生利用转移矩阵【10】【11】【12】【13】技术，并采用处理晶格周期势中电子态的Floquet理论,导出了薄膜近似下的任意折射率分布多量子阱波导芯子区域的等效折射率公式【14】【15】【16】。该公式适用于TE 和TM两种偏振状态，并能清楚地解释多量子阱波导的本征双折射行为。利用该公式，可直接得到自洽的多量子阱波导的色散方程，进而可分析多量子阱波导的模式传输性质。任意折射率分布多量子阱波导的分析可采用转移矩阵技术，只要导出一个周期转移矩阵的迹或转移矩阵本身，便可得到电磁波在该结构中传输的色散方程。但上述方法都采用了薄膜近似，即量子阱的周期Λ远小于电磁波的波长λ。通常情况下，砷化嫁多量子阱波导的周期约为10nm左右，而常用光波长在1μm近。因此，利用薄膜近似可获得极高的数值精度。但在量子阱数较少或考虑电子波的场合，薄膜近似不再有效，因而无法再导出一个周期转移矩阵的迹。通常，解决这个问题的途径是求助于数值方法。为避开了矩阵求迹的难题，曹庄琪等在《任意折射率分布多量子阱波导的色散方程》【17】将一个周期分成l层，将各层转移矩阵依次作用在对应边界条件的电磁场强度列向量上，然后采用等效折射率近似，把量子阱周期的任意折射率分布用一等效折射率代替，并在此基础上使用迭代的方法，推导出多量子阱波导的色散方程。本文参考了先生的论文，将他的新方法中只有TE 模推广到TE，TM模都适用的广义方程。

第二章 转移矩阵法简介

2.1 转移矩阵的引入

本节采用薄膜近似理论，引入介质平板波导转移矩阵概念。厚度为h 的三层介质平板波导的折射率分布如图1所示

以TE 波为例，光波导满足的标量波动方程为

2222()0,0,1,202k n j j x ψβψ?+-==? （1） 式中，()x ψ为TE 波任意电磁场分量的场分布。选取方程（1）的两个特解，使之满足边界条件

'(0)(0)112ψψ==和'(0)(0)121

ψψ== （2） 波动方程的一般解应是两特解的线性叠加，即

()()()1122

x C x C x ψψψ=+ （3） 在区间(0,)h 界面上，场分布及其导数为

0n

1

n 2n

O h x

()n x

Fig.1 refractive index profile of a three-layered

wave-guides

(0)1'(0)2()()()1122'''()()()1122

C C h C h C h h C h C h ψψψψψψψψ=???=??=+???=+? （4） 上面4式消去后，可得场分布及其导数的转移关系

()(0)()''()(0)h M h h ψψψψ????=????????????

（5） 式中

()()12()''()()12h h M h h h ψψψψ????=????

（6） 称为区间(0,)h 的转移矩阵，容易看出，它仅与区间内的折射率分布以及模本征值有关，而与区间外的折射率分布无关。

根据上述概念，若设()x ψ为()y E x ，而选取两个特解分别为cos()1

x κ和1sin()11

x κκ，则可得矩阵方程 1()(0)c o s ()s i n ()111''()(0)sin()cos()111E h E h h y y E h E h h y y κκκκκκ????????????=????????????-????

?? （7） 式中22?矩阵

1c o s ()s i n ()11()1sin()cos()111h h TE M h h h κκκκκκ????=????-??

（8）

是对应平板波导的转移矩阵，它使波导两端界面上0x =和x h =的电磁场矢量建立起关系。下面将要看到，利用这种传递关系，可完全确定光波导的传播特性。

利用类似的布骤，可得TM 波满足的矩阵方程

21(0)()cos()sin()11111''(0)()221sin()cos()021121

n H H h h h y y H H h y y n n h h n κκκκκκ?

????????

??????

?????=????????-????????????

（9） 对应的TM 波的矩阵方程为

21c o s ()s i n ()111()1sin()cos()1121TM n h h M h h h n κκκκκκ????????=????-????

（10） 若把TE 波和TM 波对应导波层的转移矩阵写成统一的形式，则有

cos()sin()111()1sin()cos()11f h h M h h h f κκκκκκ??????=????-???? （11） 式中

1,m o d 2,m o d 1T

E e

f n T M e ??=???

（12）

第三章 转移矩阵法解决多量子阱光波导问题

3.1 用转移矩阵法解简单阶跃折射率分布多量子阱波导问题

考虑如图1所示的多量子阱波导的折射率分布。设折射率为1n 的薄膜厚度为h ，

而2n 对应的薄膜厚度为rh ，整个量子阱区域的厚度为

[(1)1],w N r h =++ （13）

式中N 为量子阱和垒组成的周期数。图1中，3n 和0n 分别为覆盖和衬底的折射率。

不失一般性，假定1n >0n >2n >3n 。定义沿x 方向的四个区域的传播常数分别为

12222(),312222(),012222(),212222(),1q k n p k n k n k n ββαβχβ??=-???=-???=-???=-??

（14）

Fig.2 The dimensions and refractives index

Depth profile of the MQW waveguide

式中β为导波沿z 方向的传播常数，k c ω=为自由空间的波数。由各区域的电磁场分布和边界条件，可导出1n 区域和2n 区域的转移矩阵分别为

11

cos sin ()sin cos h f h M h h h f κκκκκκ?? ?= ?-? ?? （15

）

22

cos sinh ()sinh cosh rh f rh M rh rh rh f αααααα?? ?= ?? ?? （16） ()

1,mod 2mod 0,1,2,3,TE e f j e j n j TM ??=?=?? （17） 由量子阱和垒组成的一个周期的转移矩阵为

2121()()()cosh cos sinh sin sinh sin cos cosh M M h M rh rh h f f rh h rh h h rh f f ακακακακακκαΛ=?=

????

?? ??

-?? ?

???

（18） 记作 1112

()2122m m M m m ?? ?Λ= ???

（19） 式中

2cos cosh sin sinh 111

12

sin cosh cos sinh 12cos sinh sin cosh 2121

1

cos cosh sin sinh 222f m h rh h rh

f f

f m

h rh h rh

m h rh h rh

f f f m h rh h rh

f κ

κακαακακακαακ

κακαα

κακακ?=?-????=+????=?-

???=+???

（20） 按照Floquet 定理，在周期性介质中传播波数K 应满足关系

1

c o s ()()2r K T M Λ=Λ

（21） 由 （20）式可得：

（22）

式中K 为Bloch 波的波数，

12222(),K k n e β=-

(23) n e 是多量子阱波导芯子层的等效折射率。

()1

cos()1122211

2cos cosh ()sin sinh 221K m m f f h rh h rh f f ακ

κακακαΛ=+=+-

在1N >>情况下，h 可看作为小量，于是可对(22)式作级数展开，在只取二级小量的近似下，可得

（24）

利用(14)式和(23)式，由(24)式可得下列关系:

222()222121221(1)12n rn f f r n k e r f f r β+-=-?++ (25)

若定义

1,m o d 2,m o d T E e f e n T M e e

??=??? （26） 则多量子阱光波导芯子层对应的转移矩阵为

c o s ()s i n ()()sin()cos()e e

Kw f Kw M w K K Kw Kw f ??- ?= ?? ?

? （27） 于是，可得多量子阱光波导的色散方程 11()030q p M w f f ????????-=??-????????

（28） 化简（28），得到

2()tan()()20303K pq K p q Kw f f f f f f e e

-=+ （29） 由(29)式即可完全确定多量子阱波导的传波模式和色散性质。

为深入了解多量子阱光波导的特性，下面对（25）式进行分析。

① 对TE 模，根据（25）式，可得多量子阱光波导芯子层TE 模的等效折射率公式

2221122()12

n h n h TE n e h h +=+ （30） 式（30）与无限扩展多层薄膜中的等效介电系数公式是完全一致的。

②对TM 模，同样利用(25)式可得

222222221211()21111()1()22212K f f h rh rh f f ακκα-Λ=??-???? ?-++???? ???????

22222()2211221212()()0222()121212

n h n h h h n n TM n k e h h h h n n β+-=-?++ (31) 由上式可见，TM 模的等效折射率TM n e

不是一个常数，它与波导的有效折射率0k β有关。在0,12

r n n ≠≠的条件下，22k β前面的因子是一个正数，因此必有TM TE n n e e

<。两种偏振态对应于不同的等效折射率，这就是多量子阱波导具有双折射性质的根源。因此，(25)式是反映多量子阱波导双折射性质的清楚的解析表达式。当0r =或12

n n =时，则有TM TE n n e e =，多量子阱光波导退化为普通三层平板波导。

3.2 任意折射率分布多量子阱光波导的新方法

3.2.1 等效折射率近似

为说明等效折射率近似的实质，考虑图2所示的四层波导的折射率分布，设0n 、n s ，分别代表覆盖层和衬底的折射率，厚度为1h 和2h 的两薄膜层的折射率分别为1n 和2n ，且有12

h h w +=。设导波沿z 方向传播，传播常数为β。则覆盖层和衬底中TE 模的电场或TM 的磁场分布可写为:

exp()(0)0()exp[()]()12A P x x U x B P x h h x w s ??

（32） 式中，1

122222222(),(),0000P k n P k n s s

ββ=-=- 2/0k πλ=为真空波数，λ为真空光波长。则由转移矩阵可得到以下方程： ()(0)21cos()sin()cos()sin()2222111121'',()(0)21sin()cos()sin()cos()22221111021f f U w U k h k h k h k h y y k k U w U y y k k k h k h k h k h f f f f s ????????????????????????=????????????????--????????????????????

(33) 式中一撇(')代表对x 的一阶导数，而1

k 和2k 分别为薄膜1和薄膜2中的横向波数

1122222222(),(),

101202k k n k k n ββ=-=- 利用(32)式，并经过简单的代数运算，(33)式可写成如下的色散方程:

202

P P s f f s += (34) 式中，

0211t a n [a r c t a n ()),t a n [a r c t a n ())222212112110

P f P f P k k h P k k h k f k f =?-=?- （35

） Fig.3 refractive index profile of a Fig.4 refractive index profile of a

four-layered wave-guides three-layered wave-guides

若把图2所示的四层波导等效成图3所示的三层波导，其中厚度为w 的芯子层的折射率为n e

。，则同样可得矩阵方程: ()(0)c o s ()s i n ()''()(0)sin()cos()0f U w E e k w k w y y e e k e U w E y y k e k w k w f f e e f s e ??????????????????=????????????-??????????????

(36) 代入边界条件后，可得色散方程

0P P s e f f s

e

+= （37） 式中 122202t a n [a r c t a n ()),()00

f P e P k k w k k n e e e e e k f e β=?-=- 利用(34)、(37)两式，可得以下等效方程

22P P e f f e

= （38）

由(37)式可确定1n 、2n 与等效折射率e n 的关系。容易验证，当1n =2

n 时，由(37)式可得1

n n e =。 依据相同的原理，可把一任意多层波导等效成一简单的三层波导。

3.2.2 任意折射率分布的多量子阱波导

任意折射率分布的多量子阱波导如图4所示设多量子阱波导芯子区域的厚度为w ，包括N 个周期，设一个周期的长度为Λ，则有w N =

Λ。

Fig.5 The MQW wave guide with arbitrary refractive

Index profile

为利用转移矩阵求解，把周期Λ分成l 等份，每一等份的厚度为h ，则有x l l

=,h =Λ。按照Floqite 定理，只要求出一个周期转移矩阵的迹，能导出多量子阱波导芯子区域的等效折射率。曹庄琪先生已在薄膜近似下解决了上述问题。若不采用薄膜近似，目前尚无办法求出一个周期矩阵的迹，为避开这难点，使对应每个小区的转移矩阵依次作用于对应边界条件的电磁场强度列向量上，导出多量子阱波导一个周期的等效折射率，再把这一等效折射率作为整个多量子阱芯子区域的折射率，然后可导出任意折射率分布多量子阱波导的色散方程。

根据转移矩阵理论，对应第j 个区域的转移矩阵为

c o s ()s i n ()s i n ()c o s ()j f j k h k h j k j k j k h k h j j f j M j ????????????-????

= (1,2,,)j l =??? （39）

式中，12222[()]0k k n x j j

β=-。 使对应一个周期的l 个转移矩阵依次作用于对应边界0x =处的电磁场强度列向量上，即有

（40）

式中，

1,mod

2,mod TE e

f j n TM e j ??=???

（41） 1cos()sin()111101sin()cos()01(0)'(0)121110

1cos()sin()111001

sin()cos()110112120U y M M M M U l l y f k h k h k P k f k h k h f P f k h k h k f A P k k h k h

f f f AM M M l l M M M l l ??????

??

?

?? ?

?? ?

-?????

??

?????

-??

????

???

????+==???-?? ?

??? - + ??-0

1sin()cos()110

1cos()sin()1011100

1cos()sin()11100

1cos(1121112)sin()1110cos(1[1P k k h k h P f f

f k h k

h k f P f

k h k h k f P f k

A M

M M l l P

A M

M M l l f l

A h f j k h k k j ?

?

??

???

?

??? ?

??=??? ?

-???? ?

? ???

???? ?

??=??? ?

-?? ?????

=??-++?

=++=∏1)sin()]11f P j j h k

P

l

f h j k j j l f ??

?

?

-??

-+?

11000111sin()cos()tan()tan()11111001100001111cos()sin()tan()tan()1111101010tan[ar 1111c an 11t 1P P P k k f k h k h k h k h f f f f k f k P P P f f f f k h k h k h k h k f k f k f k f ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ??????--?

+=-+101()]tan()10110tan[arctan()]101110)]tan 11tan[arctan(1()10111P f k h P f k f k k P h P f f k f h f k k f ?? ??? ? ? ?= ?

? ? ??? ?+ ???

?? --?= ? ???

(42) 记1tan[arctan()]1

f P j j P k k h j j j k f j j -=--， (1,2,,)j l =??? 设多量子阱波导一个周期的等效折射率为n e ，则有(0)'cos((0)sin()sin()c )010[cos()sin(os())]()f

e U y U y

f P A k k e e P k k k e e k e k e k k e e e e f e ??????????????

??=??ΛΛ????????-ΛΛΛ??+Λ ? ?Λ?????? (43) 式中，

0tan[arctan()]0

()f P e k k e e k f e e P -ΛΛ= （44） 由（40），（43）两式可以确定等效折射率为n e

与一个周期折射率分布()n x 的关系 ()P P l e f f l e

Λ= （45）

再把n e

作为整个多量子阱波导芯子区的等效折射率，则有

0tan[arctan(0

))(]f P e k k w e e k f w e e P -= （46） 于是任意折射率分布多量子阱波导的色散方程为

()0P P w s e f f s e

+= （47） 利用方程(45)，（46）和(47)式可同时确定任意折射率分布多量子阱波导的等效折射率e n 和模折射率0

k β。 3.2.3数值结果

为证明本文所建立理论的可靠性，考虑一个简单的阶跃折射率分布的对称多量子阱波导。这个结构的精确色散关系由Lenz 【18】等建立。本文的等效折射率理论与薄膜近似以及精确理论的数值比较由表1所示。表中计算的是模折射率0

k β对光波长的依赖关系。所采用的GaAs/GaAlAs 多量子阱波导如图6【17】所示，典型参数为m N w n n n μ1,20.3,50.3,30.3210=Λ====，其中N 为周期数。

Fig.6 Refractive index profile of symmetric MQW waveguide

由表1可见，对100=N ，三种理论都符合得很好，但对周期数较少的10=N 和5=N ，薄膜近似已有相当的误差，甚至不再适用，但等效折射率理论在六位有效数字的情况下，与精确理论完全符合，表明本文所建立的理论不仅适用于光波范围，也可适用波长较短的电子态。