2011届高三 专题二:数列.不等式 2011-3-8
数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
一、本章知识结构:
111111(2)(2)(1)(1)()22()
--=≥=←-=≥=+--=+=++=++=+?????
????
?????两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式数列等比数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解
的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q 1111(1)(1)11(1)()---=≠=--==+=+??
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等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明n n n n m p q a a q a q q S q q
na q a a a a m n p q 二、重点知识回顾
1.数列的概念与通项公式与递推关系式;等差、等比数列的有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常用三种方法: (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证11
(
)n
n n n a a a a ---为同一常数; (2) 通项公式法: ①若1(1)()=+-=+-n m a a n d a n m d ,则{}n a 为等差数列;
②若1
n n m a a q
a q --==,则{}a 为等比数列.
(3)中项公式法:验证()
212122n n n n n n a a a a a a n N +
++++=+=∈都成立
说明:(1).证明不是等差(等比)时,只要举反例即可。
(2).探究性问题,先用前三项特例求出参数值,在按一般情况证明。
3.掌握数列通项a n 与前n 项和S n 之间的关系;(另外,等比求和中也有讨论)
n a =1100n
n S S S -≤??
-≥? 21
≥=n n ,(注意讨论,检验) n a =∑=--+n
k k k a a a 211)( 4.在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当1a >0,d<0时,满足10
m m a a +≥??
≤?的项数m 使得m S 取最大值.
(2)当1a <0,d>0时,满足1
0m m a a +≤??≥?的项数m 使得m S 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 5.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列.
6.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累乘法、
归纳猜想证明法等.
7.数列的综合应用:
⑴函数与方程思想、转化与化归、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到.
⑵以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.
三、复习建议
1.基础题要确保,难题要有所为有所不为
基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和等内容,对基本的计算技能要求不是很高,建议要强化方程思想在解题中的作用,巧用性质、减少运算量”,知道前n 项和与通项的关系.
2.关于递推数列问题
能熟练地求一些特殊递推数列的通项和前n 项的和, 对于递推数列最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”, 这也是递推数列教学的难点。要突破这个难点学生要用到的是 “观察、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”.
3.重视数列的实际应用
这里主要是指递推思想方法在解题中的应用。数列是一类特殊的函数,其递推思想是解决问题的一种重要的思想和方法,利用递推思想解题能体现深刻独特、简洁明快的特点,而且许多考题均涉及到这一点。因此,我们在复习过程中要重视这一点,努力培养学生的递推意识.
4.数列与其它知识的交汇
数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
1. 求数列的通项公式通常有三种题型:一是根据所给的一列数,通过归纳与猜想求通项;二是等差、等
比数列,三是利用转化思想求通项. 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,不等式问题新颖多变,综合性强,时常被设置为压轴题,对不等式的证明有比较法、放缩法,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式;数学归纳法;有的还要用到条件不等式.
3. 数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{}n ,3,2,1上的特殊函数,可见,任何数列问题都蕴含着
函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征。而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个
第一讲:数列易错题型解析
1.在运用()12n n n a S S n -=-≥求通项时出错
例1:设数列的前n 项和为224()n S n n n N +=++∈,求这个数列的通项公公式
练习:已知数列
{}n
a 的前n 项的和为n
S
,且1(1)4,2,(2,)2
n n n n n n n a S a N +
-==+-
≥∈,求n a 。
2.设元时与题中条件不等价出错
例2:已知一个等比数列{}n a 前四项之积为1
16
3.忽视对公比是否等于1的讨论而出错 例3:求和(x+
x 1)2+(x 2+21x )2+……(x n
+n x
1)2
4.不能灵活运用等差等比数列性质出错
例4:方程(
)(
)
316
2
3162
=++++nx x mx x ·的四个实数根组成一个首项为23
的等比数列,则m n -=
例5:已知s n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数,则数列{s n }中是常数的项是( )A s 7 B s 8 C s 11 D s 13
第二讲: 递推数列
递推关系求通项的类型,包括一阶的,二阶的,整式的、分式的,甚至特征方程. 结合递推数列
的结构特征,直奔解题目标进行等价变换(变形) ,不等价放缩变换(变形)
1.结构为112n
n n a a +??
=+ ???
的式子,通过累加法进行转化
2.结构为11
n n n
a a n +=+的式子,通过叠乘法或迭代法进行转化 3.结构为S n =
()1
1221
n n S n S --≥+的式子,两边取倒数,把问题转变成等差数列;
4.结构为a n +1·a n =a n -a n +1的式子,两边同除于a n +1·a n ,把问题转变成等差数列;
5.结构为a n +1=
1
2
a n +1的式子,用待定系数法转化为等比数列问题求解; 6.结构为a n +1=2a n +2n 的式子,两边同除以2n +1转化为等差数列问题求解; 7.结构为(n +1)a n +12-na n 2+a n +1·a n =0的式子,通过因式分解进行转化, 8.结构为a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n =
()()
()112,3,3
n n n n -+= 的式子,利用S n 与a n 的关系进行转化
10.结构为)(2
1为正整数n a a n n =+的式子,通过取对数或迭代进行转化
11.
结构为
1
n n
a a -= 12.结构为n n n n a ,a a a 求,2111==+的式子,通过用二次进行转化
13.结构为 ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n 的式子,用二次进行转化求解
用二次进行转化求解,例:3tS n -(2t +3)S n -1=3t (t >0,n =2,3,4,…), 3tS n -(2t +3)S n -1=3t (t >0,n =2,3,4,…) ①
3tS n -1-(2t +3)S n -2=3t (t >0,n =3,4,5,…) ②
① -②,得1123)(23)()0(0,3,4,5,)n n n n t S S t S S t n -----+-=>= (
13(23)0n n ta t a -∴-+=123
(2,)3n n a t n n N a t
-+∴
=≥∈ 14.设数列{}n a 满足??
?=+-==-+0232
,111
21n n n a a a a a 求通项公式
一类问题:012=++++n n n qa pa a ,方法是待定系数法:设)(112n n n n a a a a αβα-=-+++ 如果r qa pa a n n n =++++12则变为:0)()()(12=-+-+-++b a q b a p b a n n n 解法说明:两组解联立求解。例题:1
2
115,6,n n n n a a
a a a a +-===+已知若求
解1:
解2:
15.设数列{}n a 满足??
?
??++==--4234111n n n
a a a a 求通项公式
一类类问题数列{}n a 满足??
?
??++==+s
ra q pa a a
a n n n 11设方程s rk q pk k ++=
的相异二根为βα, 令β
α
--=
n n n a a b
解决这个问题是计算2.1+-n n a a 然后相除构造新数列。
15.设数列{}n a {}n b 满足???
??+=+===++n n n n n n b
a b b a a b a 62230,11
111求数列{}n a {}n b 的通项。
题型:把等量关系下的递推关系类比到不等量关系中去
例1.
已知正项数列{}n a 满足a a =1 (10< n n a a n N a *+≤ ∈+ 求证:()11n a a n a ≤ +- 例2、已知数列{}n a 满足12a =,()2 111,2,n n n a a a n +=-+= ,求证:121n n a -≥+(n ≥2,n ∈N ) 练习2:设数列{}n a 满足3 *010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数.设1 03 c << ,证明:1*1(3),n n a c n N -≥-∈; 说明:(1)由于对递推式的变形(不管是等价变形还是不等价变形)没有固定的模式,如何变形不仅与条件式的结构有关,还也问题的形式有关,要实现条件与结论的联系需要用到观察、归纳、类比、猜想、推理等思想方法的综合应用,这就触及到了研究数学问题最根本的东西,也是最难的,因此这就构成了递推数列的难点. (2)解决递推数列问题时并不一定要求出通项,只要知道递推数列中“项的特征”就可以了,如例2中“()111n n n a a a +-=-和1212n n n a a a a --≥≥≥≥= ”,变式1中“113(1)n n a c a --≤-”. (3)这两题的解题过程还可以给我们一些启示:为了研究数列“项”的特征,最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”,这种变形包括等价变形,也包括不等价变形,如题例 2 “由211n n n a a a +=-+到 ()111n n n a a a +-=-”是等价变形,而练习2 中“由311n n a ca c +=+-到113(1)n n a c a --≤-”是不等价变形. 应该挖掘数列中等量与不等量关系下的“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法、用二次”就可以了, 例 3.(浙江)已知数列 {} n a ,0≥n a ,01=a ,)(12121? ++∈=-+N n a a a n n n .记 n n a a a S +++= 21.) 1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++ +++++= . 求证:当n N * ∈时,(Ⅰ)1+ 练习3、无穷数列 {}n a 满足:112010 a = ,2 1220(2)n n n a a a n --+=≥,. (1)求证:102n a << ; (2)求证: 12111 2010222n a a a +++<--- . 练习4、数列 {}n a 中,,且 1 1,n n a kn a +=+ (1)求证:k 1=; (2)设()1 ()1! n n a x g x n -=-,()f x 是数列(){}g x 的前n 项和,求()f x 的解析式; (3)求证:不等式 ()()3 23f g n < 对n N +∈恒成立。 第三讲:放缩法 1. 均分放缩对形如1n i i a kn =<∑(其中k 是常数)的不等式,由于左边是k 项之和,右边可变形为n 个k 之和,所 以可想到左边的每一项能否放大到k .像这种每一项的放缩度是一样的,称为均分放缩,是化归等比的一种特例.均分放缩,应从欲证明不等式的结构形式上去考虑,由于每项放缩度是一样的, 例1:已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:122311 (232) n n a a a n n a a a +-<+++< n-1n-2n n-11111. 1 (1) 23221111111111111 1.......=1++++++++.......+(++.......+) 23223456782+12+12+1111112+4+......+2=1+ 24822 n n n n n ++++≥+++++≥++???练习证明:()()*122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 说明:利用最大项(或最小项或指定项的边界值)代替各项进行放缩 2. 等差数列求和结果的类型(无常数项二次函数)21 n i i a an bn =<+∑ 例2、求证 2< 1 n(n+2) 2 n+(n+1)a+b ) 22 11 [(1+2)+(2+3)+.....(n+n+1)]=n(n+2)22 112n(n+2;22 n n n n n n s b a b a ≤=?=+=>练习分析1分析:)即可。右侧可视为一个等差数列的前n 项的和 说明:上题分析1是利用常见的不等式或恒等式进行放缩(均值不等式放缩、二项式定理放缩) 3.裂项放缩与等比放缩 先放缩成等比数列再求和模型(一般地,若能将某数列的通项放缩到正项递缩等比数列的通项, 则可以进一步将数列的和式放缩到一个常数) 公式:21 1112311111(1).............(01,0)11n n n b q b a a a a b b q b q b q m q b q q --++++<++++=<=<<>-- 例3:111 1......22!3!! n + +++< 4.裂项放缩的精细调整. 例4. 22211117.........35(21)72 n +++<+ 调整成功. 显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些,以此类推:当放缩的项数越少,放缩后的结果就越来越“精细” 练习4.11191......2!3!!5 n + +++< 分析(1): 11111 (2)!(1)(2).....21(1) 1....111n n n n n n n n n =≤=-≥---??- ,放缩“过头”. 造成“失控”的原因: 项放缩的太多, ,“精细度”不够,总和自然超过目标. 减少项放缩, , 可使分母整稍大些,砍去“过头”. 几个裂项不等式 (1)2211111 (2),11(1)(1)()()22 n n n n n n n n n <<≥< +--+ (2 << < (3 2)n <=≥ (4)1111 11111111 ,313133323233n n n n n n n n n n +++++<++<++-+- (5) 1111 []()()kn a kn b b a kn a kn b =-++-++ (6)n n!=(n+1)!-n! (7)m-1m m n n+1n C =C -C (8) 1111 =-n!n(n-1)n-1n ≤ 5.等比放缩的首项和公比的调整和确定 放缩成等比数列再求和模型(一般地,若能将某数列的通项放缩到正项递缩等比数列的通项,则可以进一步将数列的和式放缩到一个常数)作说明: 题型:123.......n a a a a m ++++< 公式: 21 1112311111(1).............(01,0)11n n n b q b a a a a b b q b q b q m q b q q --++++<++++=<=<<>-- 诠释:先对n a 进行放缩:n n a b <,12312..............n n a a a a b b b ++++<+++ n b 是等比数列, 1 1b m q =-中,知1b (常与1a 相等)、m,求q 例5、0 1 2 1 22224 4 4 4 (3313131) 3 1 n n T -=+ + ++ <---- 分析: 例6、求证:2311115 (212121213) n ++++<---- 练习 5、已知数列 {} n a ,0≥n a ,01=a ,)(12 121?++∈=-+N n a a a n n n .记 n n a a a S +++= 21.) 1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++ +++++= . 求证:当?