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2017数列专题学生版

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2011届高三 专题二:数列.不等式 2011-3-8

数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

一、本章知识结构:

111111(2)(2)(1)(1)()22()

--=≥=←-=≥=+--=+=++=++=+?????

????

?????两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式数列等比数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解

的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q 1111(1)(1)11(1)()---=≠=--==+=+??

???

??

??

????

????

???

???

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??????

?????????????????

???

?????

???????????

????

等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明n n n n m p q a a q a q q S q q

na q a a a a m n p q 二、重点知识回顾

1.数列的概念与通项公式与递推关系式;等差、等比数列的有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常用三种方法: (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证11

(

)n

n n n a a a a ---为同一常数; (2) 通项公式法: ①若1(1)()=+-=+-n m a a n d a n m d ,则{}n a 为等差数列;

②若1

n n m a a q

a q --==,则{}a 为等比数列.

(3)中项公式法:验证()

212122n n n n n n a a a a a a n N +

++++=+=∈都成立

说明:(1).证明不是等差(等比)时,只要举反例即可。

(2).探究性问题,先用前三项特例求出参数值,在按一般情况证明。

3.掌握数列通项a n 与前n 项和S n 之间的关系;(另外,等比求和中也有讨论)

n a =1100n

n S S S -≤??

-≥? 21

≥=n n ,(注意讨论,检验) n a =∑=--+n

k k k a a a 211)( 4.在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当1a >0,d<0时,满足10

m m a a +≥??

≤?的项数m 使得m S 取最大值.

(2)当1a <0,d>0时,满足1

0m m a a +≤??≥?的项数m 使得m S 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 5.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列.

6.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累乘法、

归纳猜想证明法等.

7.数列的综合应用:

⑴函数与方程思想、转化与化归、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到.

⑵以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.

三、复习建议

1.基础题要确保,难题要有所为有所不为

基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和等内容,对基本的计算技能要求不是很高,建议要强化方程思想在解题中的作用,巧用性质、减少运算量”,知道前n 项和与通项的关系.

2.关于递推数列问题

能熟练地求一些特殊递推数列的通项和前n 项的和, 对于递推数列最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”, 这也是递推数列教学的难点。要突破这个难点学生要用到的是 “观察、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”.

3.重视数列的实际应用

这里主要是指递推思想方法在解题中的应用。数列是一类特殊的函数,其递推思想是解决问题的一种重要的思想和方法,利用递推思想解题能体现深刻独特、简洁明快的特点,而且许多考题均涉及到这一点。因此,我们在复习过程中要重视这一点,努力培养学生的递推意识.

4.数列与其它知识的交汇

数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

1. 求数列的通项公式通常有三种题型:一是根据所给的一列数,通过归纳与猜想求通项;二是等差、等

比数列,三是利用转化思想求通项. 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,不等式问题新颖多变,综合性强,时常被设置为压轴题,对不等式的证明有比较法、放缩法,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式;数学归纳法;有的还要用到条件不等式.

3. 数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{}n ,3,2,1上的特殊函数,可见,任何数列问题都蕴含着

函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征。而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个

第一讲:数列易错题型解析

1.在运用()12n n n a S S n -=-≥求通项时出错

例1:设数列的前n 项和为224()n S n n n N +=++∈,求这个数列的通项公公式

练习:已知数列

{}n

a 的前n 项的和为n

S

,且1(1)4,2,(2,)2

n n n n n n n a S a N +

-==+-

≥∈,求n a 。

2.设元时与题中条件不等价出错

例2:已知一个等比数列{}n a 前四项之积为1

16

3.忽视对公比是否等于1的讨论而出错 例3:求和(x+

x 1)2+(x 2+21x )2+……(x n

+n x

1)2

4.不能灵活运用等差等比数列性质出错

例4:方程(

)(

)

316

2

3162

=++++nx x mx x ·的四个实数根组成一个首项为23

的等比数列,则m n -=

例5:已知s n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数,则数列{s n }中是常数的项是( )A s 7 B s 8 C s 11 D s 13

第二讲: 递推数列

递推关系求通项的类型,包括一阶的,二阶的,整式的、分式的,甚至特征方程. 结合递推数列

的结构特征,直奔解题目标进行等价变换(变形) ,不等价放缩变换(变形)

1.结构为112n

n n a a +??

=+ ???

的式子,通过累加法进行转化

2.结构为11

n n n

a a n +=+的式子,通过叠乘法或迭代法进行转化 3.结构为S n =

()1

1221

n n S n S --≥+的式子,两边取倒数,把问题转变成等差数列;

4.结构为a n +1·a n =a n -a n +1的式子,两边同除于a n +1·a n ,把问题转变成等差数列;

5.结构为a n +1=

1

2

a n +1的式子,用待定系数法转化为等比数列问题求解; 6.结构为a n +1=2a n +2n 的式子,两边同除以2n +1转化为等差数列问题求解; 7.结构为(n +1)a n +12-na n 2+a n +1·a n =0的式子,通过因式分解进行转化, 8.结构为a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n =

()()

()112,3,3

n n n n -+= 的式子,利用S n 与a n 的关系进行转化

10.结构为)(2

1为正整数n a a n n =+的式子,通过取对数或迭代进行转化

11.

结构为

1

n n

a a -= 12.结构为n n n n a ,a a a 求,2111==+的式子,通过用二次进行转化

13.结构为 ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n 的式子,用二次进行转化求解

用二次进行转化求解,例:3tS n -(2t +3)S n -1=3t (t >0,n =2,3,4,…), 3tS n -(2t +3)S n -1=3t (t >0,n =2,3,4,…) ①

3tS n -1-(2t +3)S n -2=3t (t >0,n =3,4,5,…) ②

① -②,得1123)(23)()0(0,3,4,5,)n n n n t S S t S S t n -----+-=>= (

13(23)0n n ta t a -∴-+=123

(2,)3n n a t n n N a t

-+∴

=≥∈ 14.设数列{}n a 满足??

?=+-==-+0232

,111

21n n n a a a a a 求通项公式

一类问题:012=++++n n n qa pa a ,方法是待定系数法:设)(112n n n n a a a a αβα-=-+++ 如果r qa pa a n n n =++++12则变为:0)()()(12=-+-+-++b a q b a p b a n n n 解法说明:两组解联立求解。例题:1

2

115,6,n n n n a a

a a a a +-===+已知若求

解1:

解2:

15.设数列{}n a 满足??

?

??++==--4234111n n n

a a a a 求通项公式

一类类问题数列{}n a 满足??

?

??++==+s

ra q pa a a

a n n n 11设方程s rk q pk k ++=

的相异二根为βα, 令β

α

--=

n n n a a b

解决这个问题是计算2.1+-n n a a 然后相除构造新数列。

15.设数列{}n a {}n b 满足???

??+=+===++n n n n n n b

a b b a a b a 62230,11

111求数列{}n a {}n b 的通项。

题型:把等量关系下的递推关系类比到不等量关系中去

例1.

已知正项数列{}n a 满足a a =1 (10<

n n

a a n N a *+≤

∈+ 求证:()11n a

a n a

+-

例2、已知数列{}n a 满足12a =,()2

111,2,n n n a a a n +=-+= ,求证:121n n a -≥+(n ≥2,n ∈N )

练习2:设数列{}n a 满足3

*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数.设1

03

c <<

,证明:1*1(3),n n a c n N -≥-∈;

说明:(1)由于对递推式的变形(不管是等价变形还是不等价变形)没有固定的模式,如何变形不仅与条件式的结构有关,还也问题的形式有关,要实现条件与结论的联系需要用到观察、归纳、类比、猜想、推理等思想方法的综合应用,这就触及到了研究数学问题最根本的东西,也是最难的,因此这就构成了递推数列的难点.

(2)解决递推数列问题时并不一定要求出通项,只要知道递推数列中“项的特征”就可以了,如例2中“()111n n n a a a +-=-和1212n n n a a a a --≥≥≥≥= ”,变式1中“113(1)n n a c a --≤-”.

(3)这两题的解题过程还可以给我们一些启示:为了研究数列“项”的特征,最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”,这种变形包括等价变形,也包括不等价变形,如题例 2 “由211n n n a a a +=-+到

()111n n n a a a +-=-”是等价变形,而练习2 中“由311n n a ca c +=+-到113(1)n n a c a --≤-”是不等价变形.

应该挖掘数列中等量与不等量关系下的“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法、用二次”就可以了,

3.(浙江)已知数列

{}

n a ,0≥n a ,01=a ,)(12121?

++∈=-+N n a a a n n n .记

n n a a a S +++= 21.)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++

+++++=

. 求证:当n N *

∈时,(Ⅰ)1+n S n ;(Ⅲ)3

练习3、无穷数列

{}n a 满足:112010

a =

,2

1220(2)n n n a a a n --+=≥,. (1)求证:102n a <<

; (2)求证:

12111

2010222n

a a a +++<--- .

练习4、数列

{}n a 中,,且

1

1,n n

a kn a +=+ (1)求证:k 1=; (2)设()1

()1!

n n a x g x n -=-,()f x 是数列(){}g x 的前n 项和,求()f x 的解析式;

(3)求证:不等式

()()3

23f g n

<

对n N +∈恒成立。

第三讲:放缩法

1. 均分放缩对形如1n

i i a kn =<∑(其中k 是常数)的不等式,由于左边是k 项之和,右边可变形为n 个k 之和,所

以可想到左边的每一项能否放大到k .像这种每一项的放缩度是一样的,称为均分放缩,是化归等比的一种特例.均分放缩,应从欲证明不等式的结构形式上去考虑,由于每项放缩度是一样的, 例1:已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:122311 (232)

n n a a a n n

a a a +-<+++<

n-1n-2n n-11111. 1 (1)

23221111111111111

1.......=1++++++++.......+(++.......+)

23223456782+12+12+1111112+4+......+2=1+

24822

n n n n

n ++++≥+++++≥++???练习证明:()()*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 说明:利用最大项(或最小项或指定项的边界值)代替各项进行放缩

2. 等差数列求和结果的类型(无常数项二次函数)21

n

i i a an bn =<+∑

例2、求证

2<

1

n(n+2)

2

n+(n+1)a+b

)

22

11

[(1+2)+(2+3)+.....(n+n+1)]=n(n+2)22

112n(n+2;22

n n n n n n s b a b a ≤=?=+=>练习分析1分析:)即可。右侧可视为一个等差数列的前n 项的和

说明:上题分析1是利用常见的不等式或恒等式进行放缩(均值不等式放缩、二项式定理放缩)

3.裂项放缩与等比放缩

先放缩成等比数列再求和模型(一般地,若能将某数列的通项放缩到正项递缩等比数列的通项,

则可以进一步将数列的和式放缩到一个常数)

公式:21

1112311111(1).............(01,0)11n n n b q b a a a a b b q b q b q m q b q q

--++++<++++=<=<<>-- 例3:111

1......22!3!!

n +

+++<

4.裂项放缩的精细调整.

例4.

22211117.........35(21)72

n +++<+ 调整成功. 显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些,以此类推:当放缩的项数越少,放缩后的结果就越来越“精细” 练习4.11191......2!3!!5

n +

+++< 分析(1):

11111

(2)!(1)(2).....21(1) 1....111n n n n n n n n n

=≤=-≥---??-

,放缩“过头”. 造成“失控”的原因: 项放缩的太多, ,“精细度”不够,总和自然超过目标. 减少项放缩, , 可使分母整稍大些,砍去“过头”. 几个裂项不等式

(1)2211111

(2),11(1)(1)()()22

n n n n n n n n n <<≥<

+--+ (2

<<

<

(3

2)n <=≥ (4)1111

11111111

,313133323233n n n n n n n n n n +++++<++<++-+- (5)

1111

[]()()kn a kn b b a kn a kn b

=-++-++

(6)n n!=(n+1)!-n!

(7)m-1m m

n n+1n C =C -C

(8)

1111

=-n!n(n-1)n-1n

≤ 5.等比放缩的首项和公比的调整和确定

放缩成等比数列再求和模型(一般地,若能将某数列的通项放缩到正项递缩等比数列的通项,则可以进一步将数列的和式放缩到一个常数)作说明: 题型:123.......n a a a a m ++++< 公式:

21

1112311111(1).............(01,0)11n n n b q b a a a a b b q b q b q

m q b q q

--++++<++++=<=<<>--

诠释:先对n a 进行放缩:n n a b <,12312..............n n a a a a b b b ++++<+++

n b 是等比数列,

1

1b m q =-中,知1b (常与1a 相等)、m,求q 例5、0

1

2

1

22224

4

4

4 (3313131)

3

1

n n T -=+

+

++

<----

分析:

例6、求证:2311115 (212121213)

n ++++<---- 练习

5、已知数列

{}

n a ,0≥n a ,01=a ,)(12

121?++∈=-+N n a a a n n n .记

n n a a a S +++= 21.)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++

+++++=

. 求证:当?

∈N n 时,(Ⅰ)1+n S n ;(Ⅲ)3

练习6.11191......2!3!!5

n ++++<

6.利用数列的单调性证明

例7、111

1+1)(1+)(1+).......(1+352n+1

证明:(

练习7. 已知各项均为正数的数列{n a }的通项31n a n =-,设数列{n b }满足1)12(=-n

b n a ,

并记n T 为{n b }的前n 项和,求证:*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+.

7.积不等问题:123.......()(0)n n a a a a f n a <> 求解途径:

例8、111

1+1)(1+)(1+).......(1+352n+1

证明:(

8.数列中的含有(1)n

-的不等式放缩

说明:奇偶相邻项捆绑求和放缩当要证的和式是正负相间时,仅用通项n a 是不好放缩的,因为项数n 为奇数或偶数时,n a 的符号是变化的,此时(1)可以把奇偶相邻项捆绑求和进行放缩.(2)局部放缩为同号 例9.数列1n 2a =2

(1)]3

n -+-n-2

[ 证明:45m 1117m>4,++........+

点拔:奇偶相邻两项“捆绑”整体放缩

练习8.(武汉市2010届高中毕业生二月调研测试21) 已知数列{}n a 满足递推关系式: 11

22n n n n a a a a +--

=-

(2n ≥且n N *

∈),11a =,23a = (1)若1

1

n n b a =

+,求数列{}n b 的通项公式; (2)求证:

121111111312

n n a a a +++≥++++ ,

(n N *

∈); (3)求证:12|2||2||2|3n a a a -+-++-< ,(n N *

∈).

例10.(浙江)已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -,是关于x 的方程

2(32)320k k x k x k -++= 的两个根,且212(1

23)k k a a k -= ≤,,,, 记sin 1()32sin n f n n ??=+ ???

,(2)(3)(4)(1)

123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++

…, 求证:15

()624

n T n ∈*N ≤≤.

点评:此题观察到n T 得表达式的特点,适当的保留一些项,放缩一些项,构造等比数列求和后再放缩,从而得证.

9.数列放缩中的常用不等式

例11.试证明:当2n ≥时,22n

n ≥+

10.加强命题(了解)

不等式右边是一个数,用数学归纳法证明不行,但是添加一个关于n 的式子后即可用归纳法证明 例12.已知数列{}n a 中21n a n =

,证明:222211115

1233

n

S n =+++< . 设222211115

()1233

g n n +++<- (()0g n >且()g n -递减) ∴

22222111115(1)123(1)3

g n n n ++++<-++ , ∴

222222

1111151

()123(1)3(1)

g n n n n ++++<-+++ 希望右边能进一步小于5(1)3g n -+,即需要2

1

()(1)(1)g n g n n -+>

+

若取1()g n n =

,即需证明:2222111151

1233n n

+++<- ,此式在1,2,3n =时不成立. 所以证明时先验证1,2,3n =,再从第4项开始用数学归纳法证明;

若取1()0.5g n n =

+,即需证明:2222111151

12330.5

n n +++<-+ ,

点评:处理和自然数n 有关的问题我们很容易联想到用数学归纳法,但是对于此类题目不能直接用数学归纳法,此时可以在式子中适当的添加一个关于n 项,再用归纳法证明.

例题13:求证:1

2

3

1

1

1

1

2

(1)(1)(1)...(1)34

4

4

4

n

-

--->

11.周期数列求和问题

例题:数列{}n a 的通项公式为2

2

2()33

cos

sin n n n a n ππ=-,其前n 项的和为n s (1)求n s 。(2)令3.4

n n

n n s b =

,求数列{}n b 的前n 项的和n T 。

练习1:数列

{}n

a 满足1

3,2

a

=211,()n n n n a a a N +

+=-+∈。求1

2

3

2011

1

1

1

1

...m a a a

a

=

+

+

++

的整数部分

练习2:若

2

2.3(1)

3n

n n

a =

-,求证:{}n

a 的前n 项和2n

T

<,()n N +

∈。

第四讲:应用问题举例:

题型一:数列与 利率问题

1. 利息计算

(1)单利:每期都按初始本金计算利息,当月利息不计入下期本金。

例如:某人存入银行1万元现金,年利率5%,三年后一次性取出,本利和为多少元?

例如:某人将1万元现金存一年定期,年利率为4.5%,每年到期后,存款均自动转为下一年的本金,三年后可取回多少元钱?

结论:按单利计算,每期的本利和组成等差数列;按复利计算,每期的本利和组成等比数列。

2. 零存整取储蓄(单利)本利和计算模型,若每期存入本金p 元,每期利率为r ,当n 期后,本利和为S n 。 S p r p n r p nr n =++++-++()[()]()1111…

=++++p n n r [()]12…=+

+p n n n r [()

]12

3. 按揭贷款的每期还款计算模型。(按揭贷款—分期等额归还本息的借款种类)。

若贷款p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n 次还清。如果每期利率为r (按复利),那么每期应还x 元满足: p r x r x r x r x n

n n ()()

()()11111

2+=+++++++--…

=-+-+=+-x r r x

r r n n [()()]()(*)111111

∴·x p r r r n

n

=++-()()111 p —贷款数 r —利率 n —还款期数

例 1. 某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a 1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d >0),因此,历年所交纳的储备金数目a 1,a 2,…是一个公差为d 的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定利率为r (r >0),那么,在第n 年末,第一年所交纳的储备金就变为a 1(1 + r)

n – 1

,第二年所交纳的储备金就变为a 2(1 + r)

n

– 2

,…,以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额. (1)写出T n 与T n – 1(n ≥2)的递推关系式;

(2)求证:T n = A n + B n ,其中{A n }是一个等比数列,{B n }是一个等差数列. 【解析】

题型二: 数列与概率综合:

例2:一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第0、1、2、……、100,共101点,一枚棋子开始在第0站(即10=P )

,由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若硬币出现正面则棋子向前跳动一站,出现反面则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时,游戏结束,已知硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第n 站时的概率为n P .(1)求1P 、2P 、3P ;(2)设1--=n n n P P a )1001(≤≤n ,求证:数列{}n a 是等比数列;(3)求玩该游戏获胜的概率.

解:(1)

练习2. 将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.

91 B.121 C.151 D.18

1 解:

上题就是从概率与特殊数列求和这两个知识的交汇点处出题,令人耳目一新。概率和递推数列间也有交汇点。当今教育的一个显著特点就是与时俱进的新课程改革,从近几年高考试题中我们看到,向量、概率、导数等内容所占比例逐年增加,考察的层次也呈现逐步深入态势。在知识的交汇点设计试题出现了新

数列基本性质【学生版】

“数列基本性质”(A ) 【教学目标】 教学目标1:掌握数列基本性质,数列前n 项和S n 与数列每一项a n 的关系; (难度系数:★☆☆☆☆) 数学目标1: 掌握数列基本性质,数列前n 项和S n 与数列每一项a n 的关系 例1、(原创)已知数列{a n }前n 项和为S n ,2n S an bn =+,其中,a b ∈,0a ≠且为定值,求证数列{a n }为等差数列。 例2、(原创)已知数列{a n }前n 项和为S n ,()1n n S a b =-,,其中,a b ∈为定值且0a ≠, 1b ≠,求证数列{a n }为等比数列。 例3、(改编)已知数列 ,满足,其中 (I) 若,求数列的通项公式; (II) 若,且。设6k k i c a +=,i 为{0,1,2,3,4,5}中任意一个固定的数。求证{c k }为等差数列

例4、(改编)已知数列{}() :2,n A a n n +≥∈Z 满足10n a a ==,且对于所有2,3,...,1i n =-有11i i a a --=,S n 为数列{a n }前n 项和。 (I) 求证:n 为奇数 (II) 求S n 最大值 (III) 是否存在数列A 使得()234n n S -=,若存在则找出数列A ,若不存在则给出证明。 【练习】 一、选择题 1、设a n =-n 2+10n +11,则数列{a n }从首项到第几项的和最大( ) A .第10项 B .第11项 C .第10项或11项 D .第12项 2、数列7130,,,...55- 的一个通项公式是( ) A . B . C . D . 3、已知(z-x )2=4(x-y )(y-z ),则( )

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

人教版小学四年级数学第6讲:数列(学生版)

第6讲数列 1、数列:按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差:一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=(首项+末项)?项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 末项=首项+公差?(项数-1) 首项=末项-公差?(项数-1) 公差=(末项-首项)÷(项数-1) 等差数列(奇数个数)的总和=中间项?项数 1、重点是对数列常用公式的理解掌握 2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用 例1、在数列3、6、9……,201中,共有多少数?如果继续写下去,第201个数是多少?

例2、全部三位数的和是多少? 例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 例4、求下列方阵中所有各数的和: 1、2、3、4、……49、50; 2、3、4、5、……50、51; 3、4、5、6、……51、52; …… 49、50、51、52、……97、98; 50、51、52、53、……98、99。 例5、班级男生进行扳手腕比赛,每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次,那么共有多少男生参加了这项比赛? 例6、若干人围成16圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少6人,如果共有912人,问最外圈有多少人?最内圈有多少人? A 1、有一串数,已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003个数是。 2、等差数列0、 3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。 从2开始的连续100个偶数的和是。 3、一个剧院共有25排座位,从第一排起,以后每排都比前一排多2个座位,第25排有70个座位,这个剧院共有个座位。 4、一个五层书架共放了600本书,已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层 放本书,最下面一层放本书。 5、除以4余1的三位数的和是。 B 6、在等差数列中4、10、16、22、……中,第48项是多少?508是这个数列的第几项? 7、求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差。 8、求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 C 9、求下列方阵中100个数的和。

10数列 (学生版)

高考文科数学(客观题)考点分类训练<<数列>> 1.等差数列}{n a 中,482=+a a ,则它的前9项和=9S ( ) A .9 B .18 C .36 D .72 2.已知等差数列{n a }中,74 a π = ,则tan(678a a a ++)等于( ) A . B . C .-1 D .1 3.已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和100,那么615a a ?最大值是( ) A .25 B .50 C .100 D .不存在 4.已知数列{}n a 是等比数列,且251 2,4 a a == ,则12231n n a a a a a a +++???+=( ) A .16(14)n -- B .16(12)n -- C .32(14)3n -- D .32 (12)3 n -- 5.在等比数列{}n a 中,531=+a a ,1042=+a a ,则=7a ( ) A .64 B .32 C .16 D .128 6.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:*),(N n m S S S m n m n ∈=++且 ==101,6a a 那么( ) A .10 B .60 C .6 D .54 7.以双曲线15 422=-y x 的离心率为首项,以函数()24-=x x f 的零点为公比的等比 数列的前n 项的和=n S ( ) A .()2 3 123--?n B .n 2 3 3- C .3 2321-+n D . 3 234n - 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21()n n S a n *=-∈N ,则5a =( ) A. 16- B. 16 C. 31 D. 32

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案) 1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+. (1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ,求函数)(n f 最小值. 3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,8 1)和Q (4,8) (1) 求函数)(x f 的解析式; (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。 4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15. 求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式. 5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数. (1)求证: {}n a 为等比数列; (2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ?? ???? 的通项公式,并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线, 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12

数学押题30天之专题三数列(学生版)

2009年高考最后30天抢分必备 专题三 数列 【押题理由】数列在教材中的内容不多,但高考所占分值比重不小,.数列中蕴含中丰富的数学思想方法,故备受命题专家的青睐.数列是一类特殊的函数,是知识的一个交汇点.可以和函数、方程、三角、不等式、解析几何、数学归纳法等相结合出综合解答题. 高考题以两种基本数列为载体,有小题和大题.选择、填空题多考查数列的基础知识和基本性质属于低、中档题;解答题多是综合题,低档题也有,中、高档题居多.这些题目重点考查数列的基本概念、基本公式和基本性质,恰当选择、灵活运用是关键,加强数列的运算是重中之重.因此,押题重点是小题强化双基,大题强化综合,兼顾知识点与方法的覆盖面. 【押题1】在等差数列{}n a 中,若10031004100610074a a a a +++=,则该数列的前2009项的和是( ) A .2007 B .2008 C .2009 D .2010 【押题2】数列{}n a 中,10a >,且满足1 1 3(2)32n n n a a n a --=≥+,则数列{}lg n a 是: ( ) A 递增等差数列 B 递减等差数列 C 递减数列 D 以上都不是 【押题3】数列{}n a 中,13a =,27a =,当n N * ∈时,2n a +等于1n n a a +的个位数,则数 列{}n a 的第2010项是 ( ) A. 1 B. 3 C. 9 D. 7 【押题4】公差不为零的等差数列}{n a 中,022112 73=+-a a a ,数列}{n b 是等比数列, 且 ==8677,b b a b 则( ) A .2 B .4 C .8 D .16 【押题5】已知{n a }是等差数列,57a =,555S =,则过点2(3,)P a ,4(4,)Q a 的直线的斜率为 ( ) A .4 B . 4 1 C .— 4 D .14 - 【押题6】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10:S 5=1:2,则S 15:S 5=( ) A . 34 B . 23 C . 12 D . 13 【押题7】设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++,1 (0)2 f = ,数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈,则数列{}n a 的通项n a 等于 . 【押题8】已知数点()1,n n a a +在直线10x y -+=上, 11a =,n S 是数列{}n a 的前n 项和,数列()132n n S n S +??? ? ? ?+??? ?的最大值为

全国卷数列高考题汇总附答案

数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为,=1, , ,其中为常数. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.(本小题满分12分) 已知数列 满足=1, . (Ⅰ)证明是等比数列,并求 的通项公式; (Ⅱ)证明: . (2015·I)(17)(本小题满分12分) 为数列的前项和.已知, (Ⅰ)求的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)(4)等比数列 满足 ,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )

(A )21 (B )42 (C )63 (D )84 (2015·I I)(16)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________. (2016·I)(3)已知等差数列 前9项的和为27, ,则 (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016·I)(15)设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)(17)(本题满分12分) S n 为等差数列的前项和,且=1 ,=28 记 ,其中表示不超过的最大整数, 如 . (I )求,, ; (II )求数列的前1 000项和. (2016·III)(12)定义“规范01数列” 如下: 共有项,其中项为0,项为1,且对任意, 中0的个数不少于1的个数.若 ,则不同的“规范01数列”共有 (A )18个 (B )16个 (C )14个 (D )12个 (2016·III)(17)(本小题满分12分) 已知数列的前项和 ,其中 (I )证明是等比数列,并求其通项公式; (II )若 ,求. (2017·I)4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 (2017·I)12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列

高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)

数列求和 概述:先分析数列通项的结构特征,再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和,即求和抓通项。 1、直接(或转化)由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=; ②等比数列求和公式:?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ; ③)1(211+==∑=n n k S n k n ; ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ; ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法 思路:把数列正着写和倒着写再相加。(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 例1:设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ,若)(2121OP OP OP +=,且点P 的横坐标为2 1。 (1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; (2)若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法

思路:设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。 例2:在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>。 (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法 思路:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。一般地,数列{}n a 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为0,∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。 常见的通项分解(裂项)如下: ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=,(当1≠k 时,通项裂项后求和是隔项相消的,注意观察剩余项) 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ;(通项裂项后求和是逐项相消的,剩余的是所裂项的首项和末项) ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ; ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。 例3:求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。 补充练习:已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点,其导函数为26)('-=x x f ,数列{}n a 的前n 项

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析:专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1.【2018年浙江卷】已知成等比数列,且 .若 , 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断. 详解:令则 ,令 得,所以当时, ,当 时, ,因此 , 若公比 ,则 ,不合题意;若公比 ,则

但,即 ,不合题意;因此, ,选B. 点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如 2.【2018年浙江卷】已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________. 【答案】27 【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如),符号型(如),周期型(如). 3.【2018年理数天津卷】设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.

(I)求和的通项公式; (II)设数列的前n项和为, (i)求; (ii)证明. 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析. 【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合等差数列通项公式可得(II)(i)由(I),有,则. (ii)因为,裂项求和可得. 详解:(I)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得 从而故所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (II)(i)由(I),有,故 . (ii)因为, 所以. 点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

专题12 数列-三年(学生版)

专题12数列 1.【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 2.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2+b ,n *∈N ,则 A .当101,102b a => B .当101,104 b a =>C .当102,10b a =->D .当104,10 b a =->3.【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则 A .1324 ,a a a a <D .1324 ,a a a a >>4.【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5.【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音, 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 A f B . C . D .6.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7.【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314 a S ==,,则S 4=___________.

2017高考模拟卷 数列专题一

2017全国模拟卷解析(数列汇总) 一、选择题 1、(徽.文)《九章算术》有这样一个问题:今有织女善织,日増等尺。七日织二十一尺,第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺,问第十日所织尺数为(D ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、15 2、(广东.理)等比数列 {}n a 的前n 项和为n s ,若032=+s a ,则公比q=(A ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 3、已知数列 {}n a 满足01 =a ,且1121+++=+n n n a a a ,则13a =(C ) A 、142 B 、156 C 、168 D 、195 (贵州.理) 解 析 : 由 1 121+++=+n n n a a a 可得 2 1)11(1++=++n n a a , 1111++=++n n a a ,且01=a 。 {}1+n a 是以1为首项公差为1的等差数列,求 得12-=n a n ,16813=a 4、在正项等比数列 {}n a 中,存在两项m a 、n a 使得 14a a a n m =,且 4562a a a +=,则 n m 4 1+的最小值是(A ) (贵州.文) A 、3/2 B 、2 C 、7/3 D 、25/6 解析:由4562a a a +=得44242a q a q a +=,解得q=2或q=-1(舍去),14a a a n m = 得4222=-+n m ,即m+n=6, 16 6=+n m 成立;所以 2 366426566465664141=?+≥++=??? ??+??? ??+=+m n n m m n n m n m n m n m 5、(河北.文)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,且201 -=a 。在区间(3,5) 内任取一个数作为数列 {}n a 的公差,则n s 的最小值为6s 的概率为( D )

天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)

数列(理) 考查内容:本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+。 (1)设1 2 n n n a b -= 。证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (1)证明:当2b =时,{} 12n n a n --?是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =…。 (1)证明:数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列; (2)数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足:1±≠n a ,2 11=a ,()() 2211213n n a a -=-+,记数列21n n a b -=,221n n n c a a +=-, n N *∈。 (1)证明数列 {}n b 是等比数列; (2)求数列{}n c 的通项公式; (3)是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,,k j i <<,使之成为等差数列?若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,,k j i <<;若不存在,请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中,对任何正整数n 都有:

11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 (1)若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)若数列{}n b 是等比数列,数列{}n a 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,求证:1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =,22a =,121 (2)3 n n n a a a --= +,(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k ,都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)记(1,2,)n n n c na b n ==L ,求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列,设第m 个数列的第k 项为mk a , (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥,公差为m d ,并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 (1)证明1122m d p d p d =+,n m ≤≤3,12,p p 是m 的多项式,并求12p p +的值; (2)当121, 3d d ==时,将数列{}m d 分组如下:123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列),设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >,求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 (3)设N 是不超过20的正整数,当n N >时,对于(2)中的n S ,求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ,其前n 项和为n S 。 (1)求n S ; (2)设n n n n S b 4 3?= ,求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。

等差数列(学生版)

等差数列 导引: 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列:4、7、10、13、…、25,这个数列共有多少项 练习: 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例题2 有一等差数列:2,7,12,17,…,这个等差数列的第100项是多少? 练习: 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习: 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算(1+3+5+...+l99l)-(2+4+6+ (1990) 练习: 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数:2,5,8,11,14,…,80,…,求80是这列数中第几个数。 练习: 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

专题:数列试题1[学生版]

专题 数列 第1讲 数列的基本概念 1.已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *满足a p +q =a p +a q ,且a 2=-6,那么a 10等于( ) A .-165 B .-33 C .-30 D .-21 2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2+2n -1,则( ) A .a n =2n +1(n ∈N *) B .a n =2n -1(n ∈N *) C .a n =? ??? ? 2,(n =1),2n +1,(n ≥2,n ∈N * ) D .a n =? ???? 2,(n =1), 2n -1,(n ≥2,n ∈N * ) 3.在数列{a n }中,已知a 1=1,且当n ≥2时,a 1a 2…a n =n 2,则a 3+a 5等于( ) A.73 B.6116 C.3115 D.114 4.(2010年安徽)设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64 5.(2011年江西)已知数列(a n )的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10 =( ) A .1 B .9 C .10 D .55 6.已知数列{a n }满足:a 4n -3=1,a 4n -1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009=________,a 2 014=________. 7.我们可以利用数列{a n }的递推公式a n =2 ,n n n a n ?? ???,为奇数时,为偶数时,(n ∈N *)求出这个数列 各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则a 24+a 25=________;研究发现,该数 列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第________项. 8.(2011年浙江)若数列??? ? ??n (n +4)(23)n 中的最大项是第k 项,则k =__________. 9.(2011年广东广州)数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1(n ≥1),求{a n }的通项公式.

数列求和专题(学生版)

数列求和专题 讲点1.公式法:用于等差与等比数列,必须记住数列前n项和公式 ; 例1.(2014福建卷)在等比数列中,a2=3,a5=81. (1)求a n; (2)设,求数列的前n项和S n. 讲点2.分组求和 (等差+等比) 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 例2.(2014·北京卷)已知是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前n项和. 变式1.求和 变式2.求数列的前n项和:,… 变式3.在数列中,,其前项的和=__________ 变式4.等差数列中, (1)求数列的通项公式;

(2)设数列是首项为,公比为的等比数列,求数列的前项和. 讲点3.错位相减 (等差×等比) 例3.(2014·全国新课标卷Ⅰ)已知是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求的通项公式; (2)求数列的前n项和. 变式1.设数列满足 (1) 求的通项公式; (2) 设,求数列的前n项和. 变式2.已知正项数列满足:(),且 (1)求得通项公式; (2)设,求数列的前项和

讲点4.裂项相消 (分式型) 常用的裂项公式有 例4.(2014-2015武汉中学期中)等比数列的各项均为正数,且,(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求的前项和. 变式1. 在数列中,,又,求数列的前项和. 变式2.求和 变式3. .求数列的前n项和. 变式4.求数列的前n项和. 例5.(襄阳四中2011-2012高一下期中)数列的通项公式是 ,前项和为9,则等于. 变式5.求数列的前项和. 讲点5.倒序相加 前后对应项的和为定值 例6. 已知函数当时,,则 =_________. 变式1.设求的值.

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》真题汇编及答案

新数学高考《数列》专题解析 一、选择题 1.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32S =,618S =,则10 6 S S 等于( ) A .-3 B .5 C .-31 D .33 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式,求得公比q ,再利用等比数列的前n 项和公 式,即可求解10 6 S S 的值,得到答案. 【详解】 由题意,等比数列{}n a 中32S =,618S =, 可得313366316(1)1121(1)1118 1a q S q q a q S q q q ---====--+-,解得2q =, 所以1011051055 16 (1)11133(1)11a q S q q q a q S q q ---===+=---. 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用,其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力. 2.已知等差数列{}n a 中,若311,a a 是方程2210x x --=的两根,单调递减数列 {}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是( ) A .(),3-∞- B .1,3??-∞- ??? C .1,3??-+∞ ??? D .()3,-+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出71a =,再根据{}n b 是递减数列,得到1 21 n λ<-+对*n N ∈恒成立,即得解. 【详解】 ∵311,a a 是方程220x x --=的两根,∴3112a a +=.

2.数列计算-学生版

第2讲 数列计算 第一部分:知识介绍 1、等差数列三个重要的公式: ① 通项公式:递增数列:末项=首项+(项数1-)?公差,11n a a n d =+-?() 递减数列:末项=首项-(项数1-)?公差,11n a a n d =--?() ② 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式:和=(首项+末项)?项数÷2 2、中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与 末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数. 3、公式综合: 1) 连续自然数求和(1) 1232 n n n ?+++++=L 2) ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L 3) N 个连续自然数的平方和 2222(1)(21) 1236 n n n n ?+?+++++= L 4) N 个连续自然数的立方和 () 22 2 3 3 3 3 (1)1231234 n n n n ?+++++=++++= L L 5) 平方差公式:()()22a b a b a b -=+- 完全平方公式()2 222a b a ab b ±=±+ 6) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n =-??+ 7) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 4、等比数列:如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用q 表示()0q ≠。(或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的,这个数列就叫做等比数列。)一般地,等比数列求和采用“错位相减法”。(公比不为1) 其它复合型数列 整数与数列本讲 数表 应用题找规律计算 等差数列 应用题 求和方法初步认识等比数列

数列大题专题训练1(学生版)

精选 数列大题专题训练1 1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且. *1 1()2n n S a n N +=∈ (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设* 3log (1)()n n b S n N =-∈,求满足方程 2334111125 51 n n b b b b b b ++++=L 的n 值. 【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如?? ? ? ?? c a n a n +1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列,c 为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如1(n -1)(n +1)(n≥2)或1 n (n +2). 2.已知数列是等比数列,首项,公比,其前项和为,且,成等差数列. (1)求 的通项公式; (2)若数列满足为数列前项和,若恒成立,求的最大值. {}n a 11a =0q >n n S 113322,,S a S a S a +++{}n a {}n b 11,2n n a b n n a T +?? = ? ?? {}n b n n T m ≥m

【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式,涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.第二小题首 先由 再由错位相减法求得为递增数列当时, .再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为. 3.已知数列中,,其前项和满足,其中. (1)求证:数列为等差数列,并求其通项公式; (2)设,n T 为数列{}n b 的前n 项和. ①求n T 的表达式; ②求使2>n T 的n 的取值范围. 4.为等差数列的前项和,且,,记.其中表示不超过的最大整数,如 ,. (1)求; (2)求数列的前1000项和. n 1111222n n n n a b n a b n n a b +?? ????=?=?= ? ? ??? ???? 12n n -?g 2112232...n T =?+?+?+12n n -+g ()112n n T n =+-1n n T T +?-=()120n n +>g {}n T ??1n =()min 1n T =()min n T m ≥1m m ?≤?1{}n a 3,221==a a n n S 1211+=+-+n n n S S S *∈≥N n n ,2{}n a n n n a b -?=2n S {}n a n 11a =728S =[lg ]n n b a =[]x x [0.9]0=[lg99]1=111101b b b ,,{}n b

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