创新班试题

中科大自主招生试题

数学：

选择（选项顺序已记不清，共四道）

第一题：a^2+b^2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是

1.a^2+b^2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<0

2.a^2+b^2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<0

3.a^2+b^2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=0

4.a^2+b^2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0

第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。另一道记不得。

第四道：sin6*sin42*sin66*sin78的值

1.1/2

2.1/4

3.1/16

4.1/32

编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把sin66打印成sin56。着实吓我。

填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）

1.x属于（-π/2,π/2，编者注：不确定）,求8/sinx+1/cosx的最小值。

2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是

编者评价：等我想起其他题，再补充。

解答题：（共六道）

1.证明：x^2+xy+y^2>=3*(x+y-1)对任意的实数x，y都成立。

2.数列Xn，Yn满足下式：

X(n+2)=2X(n+1)+Xn,Y(n+2)=Y(n+1)+2Yn

求证：存在n。，使得一切正整数n>n。，都使Xn>Yn。

3.

如图，三角形ABC的面积为1，D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.,求三角形GIH的面积。

4.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。

5.N+是正整数集，为全集。（n+n!，n是正整数）为A的集合，B是A的补集。

(1)试证明：不可能从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等差数列。(2)能否从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等比数列，说明理由。

6.边长为1的正方形ABCD,将正方形沿折痕折起，使得D点落在AB线段上，求折痕所在点集形成的面积

选择：一：3；四：3；

填空：第一题记错了：令x在左侧趋于0，8/sinx+1/cosx趋于－∞

第二题：13/25

解答题：1.令x=u+v;y=u-v带入化简成3*（u-1)^2+v^2≥0即可

2.缺条件，反例：x1=-1,x2=-2;y1=1,y2=2

3.把题叙述好点！

4.①若第一个是黑球，则命题显然成立。

②若第一个是白球。将球从左到右编号为1，2，3...4017。

假设命题不真，则第一个球不是黑球，而第一个出现的黑球k左侧，白球个数多于黑球（这是显然的）。

下面先证引理：不存在黑球，它的左边白球的个数少于黑球。否则，假设编号最小的黑球i 左边白球的个数少于黑球，并设它左边第一个黑球（它是肯定存在的，因其左侧有一球k，它左侧白球个数多余黑球）的编号为j，（显然i>j)。因为球i的左侧白球的个数少于黑球，而若i,j之间无白球则j的左侧白球的个数与黑球个数相等与假设矛盾。所以i,j之间必存在至少一个白球，这样j的左侧白球的个数会比i左侧减少至少1个，而黑球仅减少1个，于是，j的左侧白球的个数少于黑球，而j

下面证命题：事实上，最后一个黑球左侧有2008个黑球，而白球的个数少于2008（由假设它不会是2008个），但是由引理这种现象不会发生，故假设不真。于是命题得证。

5.设此等差数列存在为a。+b。*n并设a。，b。为任意正整数，下面证存在m，n,使得m+m!=a。+b。*n…………………………………………………………①

我们仅在m>b。时讨论这一情形，取m=a。+b。代入①求得n=[b。+（a。+b。）！]/b。它显然是整数，这样便找到了。即我们任找的等差数列就都有{x|x=m+m!}中的项。

6.建立坐标系A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)E(x0,0)(0≤x0≤1)

DE的斜率:-1/x0，设其中垂线为PQ，则其斜率为x0.PQ的方程为x0*x-y-（x0^2）/2+1/2=0……………………………………………………………①

反过来：任给x,y.若它在折痕上，则代入PQ的方程可解得x0的值Δ≥0→y≤(x^2+1)/2 其次：x0在[0,1]上判定①的根的取值方法这里略去了。

将会得到：所求面积为：y=(x^2+1)/2,x=0,y=x(x∈[0,1/2])y=1/2(x∈[1/2,1])所围成曲线的面积为：1/2+∫[(x^2+1)/2-x]dx=2/3(x从0到1的定积分)

zhoupj_123的第6题解错了，不是抛物线，是抛物线去掉一个一小块