函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
①
21)(-=
x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -++=21
1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21
-x 无意义,
而2≠x 时,分式21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-3
2
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式
x
-21
同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ??
?≠-≥+020
1x x
??
?≠-≥2
1
x x
例2 求下列函数的定义域:
①
14)(2
--=x x f ②2
143)(2-+--=
x x x x f ③
=
)(x f x
11111++
④
x
x x x f -+=
0)1()( ⑤
3
7
3132+++-=
x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数
14)(2--=
x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:??
?≠-≠-≤≥??
??≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或
4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<
-- ③要使函数有意义,必须: 0 11110110≠++≠+≠? ?? ? ? ? ???x x x 2 110-≠-≠≠?? ? ??x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ??≠-≠+001x x x ???<-≠?01 x x ∴定义域为: {}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ?? ?-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 例3 若函数 a ax ax y 1 2+ -=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立, 01 2 ≥+ -a ax ax ∴?? ??? ≤≤?-=?>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数 )(x f y =的定义域为[ 1,1],求函数 )41(+=x f y )4 1 (-?x f 的定义域 第一页 解:要使函数有意义,必须: 43434 54 3 43 45 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数 )41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:? ??? ?? ≤ ≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2 )的定义域。 例5分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2 )的定义域。 答案:-1≤x 2 ≤1? x 2 ≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数 )2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7已知 f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 练习:已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 - ) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习: 【练1】已知f(x 2 )的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 【练2】若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) 第二页 A.[]1,1- B??? ?? ?- 21,21 C.?? ????1,2 1 D.10,2 ?????? 【练3】已知函数()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则 ( ) A.A B B =U B.B A ∈ C.A B B =I D. A B = 2、求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2-≤ }. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②) (3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 +=(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当x>0,∴ x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时, )1 (x x y -+ --==-2)1(2--- -x x -≤ ∴值域是Y ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数 x x y 1 + =的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① 142+-=x x y ; ②;]4,3[,142 ∈+-=x x x y 第三页 ③ ]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上, min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上, min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a b ac y 4)4(2 min -= ; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值a b a c y 4)4(2max -= . ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0 x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值. ②若0 x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ② 顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习:【练1】求函数y=3+√(2-3x)的值域 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 第四页 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为 [)+∞,3 . 【练2】求函数[]5,0,522 ∈+-=x x x y 的值域 解: Θ对称轴 []5,01∈=x [] 20,420,54 ,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x -√1-3x(x ≤1/3)的值域。 法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x -√1-3x 在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端 点的函数值,进而可确定函数的值域。 法二:换元法(下题讲) 例4 求函数x x y -+=12 的值域 解:(换元法)设 t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y [)(] 2,2 1,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下 ,对称轴y t t Θ 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y ≥3}) 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现 换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=√x-1 –x 的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 例5 (选)求函数 x x y -+-=53 的值域 解:(平方法)函数定义域为:[]5,3∈ x [][][] [] 2 ,24,21,0158,5,315 82)5()3(2 222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 第五页 例6 (选不要求)求函数 2 1x x y -+=的值域 解:(三角换元法) 11≤≤-x Θ ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [ ][] 2 ,12,1)4 sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π θθθθθy 小结:(1)若题目中含有 1≤a ,则可设 ) 0,cos (2 2 ,sin πθθπ θπ θ≤≤=≤ ≤- =a a 或设 (2)若题目中含有122 =+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ 20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有 2 1x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+ r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x == 其中?? ? ??∈2,0πθ 例7 求 13+--=x x y 的值域 解法一:(图象法)可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 如图, 观察得值域 {}44≤≤-y y 可得。 解法三:(选)(不等式法) 4 14114)1(134 )1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x Θ 同样可得值域 练习:1y x x =++的值域呢 ()[∞+,1)(三种方法均可) 例8 求函数 [])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解:(换元法)设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 -1 0 3 x 第六页 [][] 8,28,3;2,13,12 1 ,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴ ?= +-=y t y t t t t y Θ 例9求函数 x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解:(换元法)令1)1(22 2 +--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ?? ????+∞,31 例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例11 求函数 2 1 +-= x x y 的值域 解法一:(逆求法){}1121,≠-+= y y y y x x 原函数值域为观察得解出 解法二:(分离常数法)由 12 3 1232≠+-=+-+= x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数 )0(≠++= c d cx b ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为???? ??≠c a y y ;如 果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c ad b c a y ≠+- + =,用复合函数 法来求值域。 例12 求函数1 33+=x x y 的值域 解法一:(逆求法)10013<<∴>-= y y y x Θ ()1,0原函数的值域为 ∴ 小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。 解法二:(换元法)设t x =+13 , 则()11 11 31113113>-=+-=+-+= t t y x x x 第七页 101 1 01<<∴<<∴>y t t Θ ()01原函数的值域为 ∴ 练习:y =121 2+-x x ;(y ∈(-1,1)). 例13 函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112<≤-∴≥-+= y y y x Θ [)1,1-∴ 原函数的值域为 解法二:(换元法)设t x =+12 ,则 原函数值域即得 ∴<≤-∴≤<∴≥1 12 201y t t Θ 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2=++?+-y x x y 1) 1=y 时 不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1)、2)值域}11|{<≤ -y y 解法四:(三角换元法)∴∈R x Θ 设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12 2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ θ Θy ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数 3 425 2 +-= x x y 的值域 解法一:(判别式法)化为0)53(422 =-+-y yx yx 1)0=y 时,不成立 2) 0≠y 时,0≥?得 500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 20 1 t 2 t 5 1 t t 5 第八页 50≤<∴y 综合1)、2)值域}50|{≤< y y 解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422 ,则t y 5 = 11)1(22≥+-=x t Θ 50≤<∴y 所以,值域}50|{≤ 例15 函数 11 ++ =x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2 =+-+x y x (][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,130 4)1(0 2Y Θ原函数值域为 或y y y 解法二:(不等式法)1)当0>x 时,321 ≥∴≥+ y x x 2) 0 综合1)2)知,原函数值域为 (][)∞+-∞-,31,Y 例16 (选) 求函数)1(1 2 22->+++= x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2 =-+-+y x y x [)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212 20 )2(4)2(02原函数值域为 舍去 或y x y y y y Θ Θ 解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2 例17 (选) 求函数)22(12 22≤≤-+++= x x x x y 的值域 解:(换元法)令t x =+1 。。 小结:已知分式函数)0(222 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 第九页 (选) ) (二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用 基本不等式的条件,转化为利用函数 )0(≠+ =x x a x y 的单调性去解。 练习: 【练1】 )0(91 2 2≠++ =x x x y ; 解:∵x ≠0, 11)1(912 2 2+-=++ =x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷: 119291 2 2=+≥++ =x x y (或利用对勾函数图像法) 【练2】3 425 2 +-= x x y 0 【练3】求函数的值域 ① x x y -+=2; ②2 42x x y --= 解:①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为 49 )21(222+--=+-=u u u y , ∵u ≥0,∴y ≤ 49,∴函数的值域是(-∞,49 ]. ②解:令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4 在此区间内 (4x 2x )m ax =4 ,(4x 2x )m in =0 ∴函数2 42x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 【练4】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式:?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3) 1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}. 解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 第十页 如图 O 12 -1x O 12 -1x O 12-1x 【练5】求函数x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 【练6】(选)求函数6 6 52 2-++-=x x x x y 的值域 方法一:去分母得 (y 1)2 x +(y+5)x 6y 6=0 ① 当 y 1时 ∵x R ∴△=(y+5)2+4(y 1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1) 2 ≥0 检验 51 -=y (有一个根时需验证)时 2) 5 6 (2551=-?+- -=x (代入①求根) ∵2 定义域 { x| x 2且 x 3} ∴ 5 1- ≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y 1 综上所述,函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y 1且 y 5 1- } 方法二:把已知函数化为函数 3 6 133)3)(2()3)(2(-- =+-=+---= x x x x x x x y (x 2) 由此可得 y 1,∵ x=2时51-=y 即 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y 1且 y 5 1 - } 第十一页 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号整体的取值围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用,从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件 a≤g(x)≤b的x的取值围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时,g(x)的取值围。 定义域是X的取值围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的围相同。 ():f(x),f[g(x)] 题型一已知的定义域求的定义域 () ():f g x,f(x) ?? ?? 题型二已知的定义域求的定义域 ()[] ():f g x,f h(x) ?? ?? 题型三已知的定义域求的定义域 () []()[])x(h f x f x g f→ → ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f 、函数定义域、值域求法总结 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→ (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ] 值域最值专题 一.知识点 1.函数的值域的定义 在函数y=f(x)中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、基本初等函数的值域 1.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R ,值域为R 2 2.二次函数的定义域为R , f(x) ax bx c(a 0)22(4ac b)(4ac b)当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}。 y|y y|y 4a4ak y (k 0) 3.反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}; xx+ 4.y =a(a>0且a≠1)的值域是R 5.y =logx(a>0且a≠1)的值域是R a 三.当函数y=f(x)用解析式给出时,求函数值域的方法 1.直接法分析:从自变量x 的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;(也可以利用常见函数的值域来求) 222x 0,1,2,3y x 2xx 1 1 xy 练习⑴, ⑵3 x y f(x) 2 4 x ⑶ . 答{ y| y2} ⑷ 答{ y| y R 且y -1/2} 2x 52.图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域; 222xy 2x x 1y 2x 4x 103练习⑴(≤≤) ⑵ xx y 1 x x 31f(x) 1 24 ⑶(≤≤) ⑷ 2f f(x) x 6, 2x 4x 6已知(取二者的大的函数值),则 max 3.利用函数的单调性――利用 函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f 函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。 高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2 函数值域方法汇总 一.单调性法 例1.求函数x 53x y ---= 的值域 例2.求函数11--+=x x y 的值域 例3.求函数x x y -+-=53的值域 解一: 例4.已知函数.2]2,0[34)(2的值,求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解:(1)当0=a 时,舍去;,2324)2(≠-?=f (2)当↑??- =?上在时,对称轴方程为]2,0[)(02 0x f a x a 舍去,04 3 254)2(?-=?=+=?a a f ; (3)当时, 0?a 02 ?-=a x 对称轴方程为, ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈?-∈?∈-a a a 154 2384)2(-?-=?=--=-?a a a a f ,舍去 ②122-???-a a ↑?上在]2,0[)(x f 4 3-=?a 纵上,4 3 -=a 例5.求|1||3||2|-+-+-=x x x y 的值域 例6.求|2||4||1||3|-+-+-+-=x x x x y 的值域 【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y ???-++-+-= 的最值时,①n 为奇数时, 取得最小值;时,当y x x n 2 1+=②取得最小值。 时,为偶数时,当y x x x n n n ],[1 22 +∈ 例7.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y 例8.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y 【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f ???-++-+-= , ,无最大值; 时,当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i n i x f x f x f x f a =?∑= ; ,时,当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i n i x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ,无最小值。 时,当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1 n i n i x f x f x f x f a =?∑= 例9.已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0, f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 解:0)0()0()0()00(=?+=+f f f f 为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ?-=-?-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x ???+-??-??-?则令 上单调递增在R x f )(? 422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f [-4,2][-2,1])(上的值域为在x f ? 2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++ 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 解:设b ax x f +=)()0(≠a ,则 ∴???=+=342b ab a , ∴??????=-===3 212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 . 二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式 容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法.但要注意所求函数()f x 的定义域不是原 复合函数的定义域,而是()g x 的值域. 例2 已知221)1 (x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式. 解:2)1()1(2-+=+x x x x f Θ, 21≥+x x , 2)(2-=∴x x f )2(≥x . 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配 凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f . 解:令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x . Q x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x . 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式. 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点. 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2. 把???-='--='y y x x 64代入得:)4()4(62--+--=-x x y . 整理得672---=x x y , ∴67)(2---=x x x g . 五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造 方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f . 解 Θx x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1,得:x x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组,得:x x x f 323)(--=. 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式. 例7 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立, 求)(x f . 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而 3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 (2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。 解:因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤,,。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为R ,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项 求函数定义域和值域方法总结 一、求函数定义域方法总结 (一)简单函数定义域的类型及方法【必会!!!】 (1)f(x)为整数型函数时,定义域为R. 例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R. (2)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合. 例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠= x x f x x f (3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时,定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合. 例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f (4)f(x)为对数型函数时,定义域为使真数大于零的实数集合. 例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a (5)正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ 例如Z)k ,2 k 4(x )2tan()(∈+≠=ππ x x f (6)00没有意义. 例如)2 1(x ,)12()(0≠-=x x f (二)对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围; 例如:已知)(x f 的定义域为]5,1[,则)23(+x f 的定义域为]1,3 1[-. (2)若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域. 例如:已知)3(-x f 的定义域为]7,0[,则)(x f 的定义域为]4,3[-. 二、求函数值域方法总结 (一)常见函数的值域(结合图像)【必会!!!】 (1)一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R . (2)二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为: 当0>a 时,值域为}44|{2a b ac y y -≥;当0=a a a y x 且的值域为}0|{>y y . (5)对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R . (6)三角函数: 求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一) 求值域 一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例3.求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函 数的值域,如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法 求解。例4.求函数2y x = 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数()0>+=k x k x y 的值域(k x <<0时为减函数;k x >时为 增函数))例5.求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)例7.求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ,通过方程有实根,0≥?,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。 周期 一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数; 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 (6)0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈ ,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a << 确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1.直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形高中数学-函数定义域、值域求法总结
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