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2021考研数学线性代数32个重要考点

一、行列式常考题型

(1)行列式基本概念;

(2)低价行列式的计算;

(3)高阶行列式的计算;

(4)余子式与代数余子式。

二、矩阵常考题型

(1)计算方阵的幂;

(2)与伴随矩阵相关联的命题;

(3)相关初等变换的命题;

(4)相关逆矩阵的计算与证明;

(5)解矩阵方程;

(6)矩阵秩的计算和证明。

三、向量常考题型

(1)判定向量组的线性相关性;

(2)向量组线性相关性问题的证明;

(3)向量组的线性表示问题;

(4)向量组的极大线性无关组与向量组的秩;

(5)过度矩阵与向量的坐标表示(数一考生要求、数二、数三考生不要求)。

四、线性方程组常考题型

(1)涉及线性方程组理论的矩阵证明;

(2)线性方程组解得结构与性质;

(3)齐次线性方程组的基础解系与通解;

(4)非齐次线性方程组的通解;

(5)方程组的公共解。

五、特征值与特征向量常考题型

(1)求矩阵的特征值与特征向量;

(2)特征值与特征向量的定义与性质;

(3)非是对称矩阵的相似对教化;

(4)是对称矩阵的对教化;

(5)求矩阵的幂矩阵;

(6)根据特征值与特征向量反求矩阵;

(7)相关特征值与特征向量的证明。

六、二次型常考题型

(1)二次型的概念和性质;

(2)化二次型为标准型;

(3)含参数的二次型问题;

(4)正定二次型的判别与证明问题;

(5)矩阵的相似与合同。

线性代数公式大全最全最完美

线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲第一章、行列式 1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ?行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D ）（，t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。 3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。

考研数学三(线性代数)-试卷15.doc

考研数学三（线性代数）-试卷15 (总分：64.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设A为3阶非零矩阵，且满足a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij为a ij的代数余子式，则下列结论： ①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为 ( )（分数： 2.00） A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：①若A可逆，则B可逆；②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆；④A－E恒可逆．正确的个数为 ( )（分数：2.00） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知 2.00） A.t=6时P的秩必为1 B.t=6时P的秩必为2 C.t≠6时P的秩必为1 D.t≠6时P的秩必为2 5.设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00） A.若｜A｜＞0，则｜B｜＞0 B.如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E C.如果A≌E，则｜B｜≠0 D.存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B 6.设 2.00） A.1 B.3 C.1或3 D.无法确定 7. 2.00） A.AP 1 P 2 =B B.AP 2 P 1 =B C.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B 8.设 2.00） A.A －1 P 1 P 2 B.P 1 A －1 P 2 C.P 1 P 2 A －1

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法一、基本内容及历年大纲要求。本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。二、行列式在线性代数中的地位。行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。三、行列式的计算。由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。 1.数值型行列式的计算主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;

(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

(完整版 )2021年考研数学(二)线性代数考试大纲原文范围及内容

2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文范围及内容 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社出版的，规定线性代数考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等政策，2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文如下：一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式；二、矩阵考试内容矩阵的概念、矩阵的线件运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价及其运算。考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质；

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵； 4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法； 5．了解分块矩阵及其运算；三、向量考试内容向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法考试要求 1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念； 2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法； 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩； 4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系； 5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法；四、线性方程组考试内容

考研数学三(线性代数)-试卷3

考研数学三（线性代数）-试卷3 (总分：64.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设λ 1 ，λ 2 是n 阶矩阵A 的特征值，α 1 ，α 2 分别是A 的对应于λ 1 ，λ 2 的特征向量，则 ( ) （分数：2.00） A.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例 B.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量不成比例 C.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例 D.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必不成比例 √ 解析：解析：当λ 1 =λ 2 时，α 1 与α 2 可以线性相关也可以线性无关，所以α 1 ，α 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)． 3.已知α 1 =[－1，1，a ，4] T ，α 2 =[－2，1，5，a] T ，α 3 =[a ，2，10，1] T 是4阶方阵A 的3个不同特征值对应的特征向量，则a 的取值为 ( ) （分数：2.00） A.a≠5 √ B.a≠－4 C.a≠－3 D.a≠－3且a≠－4 解析：解析：α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由a≠5．故应选 (A)． 4.设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 ( ) （分数：2.00） A.λE －A=λE －B B.A 与B 有相同的特征值和特征向量 C.A 与B 都相似于一个对角矩阵 D.对任意常数t ，tE －A 与tE －B 相似 √ 解析：解析：A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得P －1 AP=B ，则 tE －B=tE －P －1 AP=P －1 (tE)P －P －1 AP=P －1 (tE －A)P ，即tE －A 与tE －B 相似，选(D)．对于(A)：由λE －A=λE －B ，有A=B ；对于(B)：A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与B 不一定能够相似对角化． 5.设A 为n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00） A.若α为A T 的特征向量，那么α为A 的特征向量 B.若α为A * 的特征向量，那么α为A 的特征向量 C.若α为A 2 的特征向量，那么α为A 的特征向量 D.若α为2A 的特征向量，那么α为A 的特征向量 √ 解析：解析：①矩阵A T 与A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误． ②假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A * 的特征向量．这是由于 A α=λα=>A * A α=λ A * α=A * α= λ －1 ｜A ｜α．但反之，α为A * 的特征向量，那么α不一定为A 的特征向量．例如：当r(A)＜n －1时，A * =O ，此时，任意n 维非零列向量都是A * 的特征向量，故A * 的特征向量不一定是A 的特征向量．可知(B)错误． ③假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，则α为A 2 的特征向量．这是由于 A 2 α=A(A α)=λA α=λ 2 α．但反之，若α为A 2 的特征向量，α不一定为A 的特征向量．例如：假设A β 1 =β 1 ，A β 2 =－β 2 ，其中 β 1 ，β 2 ≠0．此时有A 2 (β 1 +β 2 )=A 2 β 1 +A 2 β 2 =β 1 +β

考研数学线性代数知识点梳理

从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点在考前再给大家梳理一遍。一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc

[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B 2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．（A）A无负特征值（B）A是满秩矩阵（C）A的每个特征值都是单值（D）A*是正定矩阵 3 下列说法正确的是( )．（A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 4 设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T AX与X T A-1X( )．

（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同 5 设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵 6 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．（A）A，B合同（B）A，B相似（C）方程组AX=0与BX=0同解（D）r(A)=r(B) 7 设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．（A）r(A)=r(B) （B）｜A｜=｜B｜（C）A～B

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

考研数学三必背知识点：线性代数

线性代数必考知识点一、行列式 1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵） 1．行列式的定义：用2 n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ? 行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑2 1t 211-D ）（，t 为n q q q ?2 1的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解 D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则其没有非零解。：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。 6. 1 1 2 n r r r n r r r r ==∏O ， () 1 1 (1)2 2 1n r n n r r n r r r r -==-∏N ()n a b a b ad bc c d c d =-O N N O , 12322221231 1 11112 3 1111() n n i j n i j n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ≥>≥----=-∏L L L M M M M L ，（两式要会计算）题型：Page21（例13）第二章、矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；范德蒙德行列

考研数学(数学三)公认教材及参考书：

考研数学（数学三）公认教材及参考书高等数学：同济五版线性代数：同济六版概率论与数理统计：浙大三版推荐资料： 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》考研数学规划：课本＋复习指导书＋习题集＋模拟题＋真题＝KO 复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）考试大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构：（一）试卷满分为150分考试时间为180分钟. （二）内容结构：高等教学约56％线性代数约22% 概率论与数理统计约22％（三）题型结构：单项选择：8小题，每小题4分，共32分填空题：6小题，每小题4分，共24 解答题(包括证明题)：9小题，共94分全国硕士研究生入学统一考试英语考试大纲完形填空：10分（20道选择题每题0.5分）[可以抛弃的题型] 阅读：60分其中阅读A部分（阅读理解）：40分（20道选择题每题2分）（这个是重中之重）阅读B部分（新题型）：10分（5道题每题2分一共有四种题型）阅读C部分（翻译）：10分（5道题每题2分）作文：30分（除了阅读A之外最重要的部分）小作文（书信作文）：10分大作文（图画作文）：20分

微积分一函数极限连续考试内容函数的概念及表示方法函数的有届性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数的关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质和无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质二一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数的单调性判别函数的极值函数的图形的凹凸性拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值三一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱不尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法反常积分定积分的应用四多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法语隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的机制和条件极值最大值最小值二重积分的概念基本性质和计算无界区域上的简单的反常二重积分五无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理冥级数及其收敛半径收敛区间（指开区间）和收敛域冥级数的和函数冥级数在其收敛区间的基本性质简单冥级数的和函数的求法初等函数的冥级数展开式六常微分方程和差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用

考研数学1——线性代数

第一章行列式（正方形） ............................................................................................................. 2 第二章矩阵（长方形、正方形） ...............................................................................................3 第三章向量组（长方形、正方形） ..............................................................................................6 第四章向量空间R N ...................................................................................................................... 7 第五章齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） .............................................................. 8 第六章关于秩的等式和不等式的总结 r(A) . (9) 第七章特征值（正方形） 1 1 1 A ()||n n n i ij i i i i tr A a A ξλξλ λ====?? →==??→=∑∑∏ (9) 第八章相似（正方形） ?方阵相似特征值完全相同 .................................................... 10 第九章二次型化标准型、规范型（正方形） ........................................................................... 11 第十章正定（正方形）T D A D D =存在可逆矩阵，使 (12)

考研数学线性代数题型归纳.doc

三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。 2019考研数学线性代数知识点总结【行列式】 1、行列式本质——就是一个数 2、行列式概念、逆序数考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。 4、余子式和代数余子式考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。 5、行列式展开定理考研：核心知识点，必考! 6、行列式性质考研：核心知识点，必考!小题为主。 7、行列式计算的几个题型 ①、划三角(正三角、倒三角) ②、各项均加到第一列(行) ③、逐项相加 ④、分块矩阵 ⑤、找公因这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法 ⑦范德蒙行列式 ⑧代数余子式求和 ⑨构造新的代数余子式 8、抽象型行列式(矩阵行列式) ①转置 ②K倍 ③可逆 ③伴随 ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型 (这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容) 考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。【矩阵】 1、矩阵性质考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。 2、数字型n阶矩阵运算

2020年考研数学一大纲：线性代数

2020年考研数学一大纲：线性代数出国留学考研网为大家提供2018年考研数学一大纲：线性代数，更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2018年考研数学一大纲：线性代数线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求 1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

5.了解分块矩阵及其运算. 三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求 1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念. 2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系. 5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念. 6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵. 7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的