第七套答案

一、选择题：BCBCD ABABA BA 二、填空题：13．－1 14. 2

3π 15. 3 16. ②、③、④

17． 解：（I

）∵1cos 21()2sin(2)12

2

2

6

x

f x x x π

+=-

-=--

∴函数()f x 的最小值为-2，最小正周期为22

T ππ

==．

（II ）由题意可知，()sin(2)10,sin(2)16

6

f C C C π

π

=-

-=-

=，

∵0C π<<∴1126

6

6

C π

π

π-

<-

<

∴2,6

2

3

C C π

π

π

-

=

=

． ∵(1,sin )

m A =

与

(2,sin )n B = 共线∴1sin 2sin A a B b

=

=

∵

222

2

2

2cos 33

c a b ab a b ab π

=+-=+-=由①②解得，1,2a b ==．

18．解：（I ）由题意知,0,22>+=n n n a S a

2,22,1111=∴+==a a a n 时.

2,2}{42:

,22,22,22,21

111为公比的等比数列

为首项是以数列分整理得两式相减得

时当n n n n n n n n n n a a a a a a a S a S n ∴=-=-=-=≥---- .22

22

1

1

1n

n n n a a =?=?=∴--

（II ）由（I ）知n n a 2=n

n n b 2

=

∴

,2

8

34

22

1n

n n T +

++

+

=

①以下用错位相减法可证得结论。

19．解：（I ）由题意AO=1，AC=3，∴AO ：AC=1：3

又AE ：AP=1：3∴在PAC ?中，OE//PC 。

又OE ?平面PBC ，∴OE//平面PBC 。

（II ）如图建立空间直角坐标系O —xyz ，由已知

B （1，0，0），

C （0，2，0），

D （-1，0，0），P （0，0，2）

)2,2,0(),2,0,1(-=-=∴PC PB

设平面PBC 的法向量为),,z y x n =，则

.1,1,2,022020

===??

?=-=-??????=?=?z y x z y z x PC n PB n 取 得n=（2，1，1）

设平面PBD 的法向量为m=（0，1，0）

.6

66

1

|

|||,cos =

=

??>=

<∴n m n m n m ∵二面角

D —PB —C 为锐二面角，∴二面

角D —PB —C 的大小为.6

6arccos

20解：（I ）设圆C 半径为r ，由已知得：

a b r a ?

?=??

=?= ∴11a b r ==??=?

，或1

1a b r ==-??=?

∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋. ---------6分 (II)直线0l nx my mn +-=方程为，

∴

1,

= 222(),n m m n n m +-=+左边展开，整理得，

22 2.m n m n =+-

∴2.2

m n m n ++=

∵0,0,m n m n >>+≥

，∴

22

m n +≥

∴220,-≥

22≥+≤- ∵2,2m n >>

2≥+

6mm ≥+ 21．（本题满分12分）

（1）线面垂直，面面垂直

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ，

(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ；设平面A C M 的一个法向量(,,)

n x y z =

，由

,n A C n A M ⊥⊥ 可得：240220

x y y z +=??

+=?，令1z =，则(2,1,1)

n =-

。设所求角为α，

则

sin 3C D n C D n

α?==

， 所以所求角的大小

为arcsin

3。

（3）由条件可得，A N N C ⊥．在R t P A C ?中，2PA PN PC =?,所以83

P N =,

则103

N C P C P N =-=

,

59

N C P C

=

，所以所求距离等于点P 到平面C A M 距离的

59

，设点P 到平面C A M 距离为h ，

则3A P n h n

?==

，

所以所求距离为5h 9

27

=

12分

22．解：（1）

2(1)

'()(31)

a a f x x a x

+=+

-+，因为函数()f x 在1x =处的切线与直线

30x y +=平行，所以'(1)3f =，即223a a -=，2

230a a --=，所以

32

a =

或1a =-。

又因为0a >，所以

32

a =

。（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，在定义域上

2

2(1)

(31)2(1)

(2)[(1)]

'()(31)a a x a x a a x a x a f x x a x

x

x

+-++

+

--+=+

-+=

=

,

①当1a >时，21a a >+。当2x a >或01x a <<+时，'()0f x >；

当12a x a +<<时，'()0f x <。因此函数()f x 的单调增区间是(0,1)a +和(2,)a +∞，减区间是(1,2)a a +。②当01a <<时，21a a <+。当1x a >+或02x a <<时，

'()0f x >；

当21a x a <<+时，'()0f x <。因此函数()f x 的单调增区间是(0,2)a 和(1,)a ++∞，减区间是(2,1)a a +。

③当1a =时，21a a =+，'()0f x ≥（只在2x a =处等于0），所以函数在定义域(0,)

+∞上是增函数。

（3）当

32

a =

时，

2

1511()ln 2

2

2x

x

f x x =

+

-

，由（2）知该函数在

5(0,

)

2

上单调递增，

在

5(,3)

2上单调递减，在(3,)+∞上单调递增。因此()f x 在区间[1,]e 上，最小值只能

在(1)f 与()f e 中取到。

2

1511(1)5,()2

2

2

e

f f e e

=-=

+

-

?，

2

2

15111125

()(1)52

2

2

2

e

e e

f e f e -?+-=

+

-

?+=

因为2

()1125g x x x =-+在(,5.5)-∞上单调递减，3e <，

所以2

()1125(3)1g e e e g =-?+>=，所以()(1)f e f >，因此()f x 在区间[1,]e 上的最小值是

(1)5f =-，若要保证对任意[1,]

x e ∈，

2

()60

f x b b --≥恒成立，应该有

2

56b b -≥+，即2

650b b ++≤，解得51b -≤≤-，因此实数b 的取值组成的集合是

{|51}b b -≤≤-。