2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题(含解答) -
2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题
一、选择题:
1．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为4(，)11-，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正
一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b 2．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作 往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米 /分，下山的速度是b 米/分，（a ＜)b ；乙 上山的速度是
1
2
a 米/分，下山的速度是 2
b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t （分），离开点A 的路程为S （米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（ ）
3．已知方程
20x px q ++=的两根之比为1∶2，判别式的值为1，则p ，q 的值分别是
（ ）
（A ） p=1，q= 2 （B ） p=3，q= 2 （C
） p=
±3，q= 2 （D ） p=3，q=±2 4．如图，在锐角△
ABC 中，以BC 为直径的半圆O
分别交AB ，AC 与
D ，
E 两点，且cosA=3
，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的值为 （ ）
（A ）
12 （B ） 13 （C ） 2 （D ） 3
5．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S 等于 （ ）.
（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12
A
（A ） t （分）
（B ） t （分） （C ） t （分） （D ） t （分） A
6．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，7．请用计算器计算下列各式，
（A ）3 （B ）13 （C ）
2
13
1- （D ）134- 二、填空题:
7．请用计算器计算下列各式，
3×4，33×34，333×334，3333×3334．
根据各式中的规律，直接写出333333×333334的结果是 ．
8．如果将字母a ，b ，c ，d ，e 按“aababcabcdabcdeaababcabcdabcde …”这样的方式进行排列，那么第2004个字母应该是 ． 9．已知，11x x -
=（x ＞0），则441x x
-= ． 10．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2
d kmn
T =
的关系(k 为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话 次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）
.
11．已知：如图，在△ABC 中，BC 边的长为12，且这边上的高AD
的长为3，则△ABC 的周长的最小值为 ．
12．实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值 是 . 三、解答题:（共3题，每小题20分，满分60分）
13．一列客车始终作匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它穿过长760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒. 从客车的对面开来一列长度为a 米，速度为每秒v 米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用t 秒. （1）写出用a 、v 表示t 的函数解析式；
（2）若货车的速度不低于每秒12米，且不到每秒15米，其长度为324米，求两车交错所用时间的取值范围.
A
B
14．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和
4020≤≤x 时，图象是线段.
（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
15．设点E 、F 、G 、H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，且
k HA
DH
GD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积.
参考答案：
一、选择题 1．（A ）2、（C ）．3、（C ）．4、（A ）．5、（B ）6、（D ） 二、填空题
7． 333333×333334=111111222222．8、c ． 9．
10． 2t 11．
12+12． 3
13
三、解答题（共3题，每小题20分，满分60分） 13．
解：（1）设客车的速度为每秒x 米，客车的长度为y 米. 依题意知
?
?
?=-=+.22760,
33450x y x y 解出??
?==.
276,
22y x
所以，)0,0(22
276
>>++=
a v v a t .
（2）当324=a ，1512<≤v 时， 由（1）得22
600
+=
v t .
又因为372234<+≤v ，
所以，
17
300
2260037600≤+ 300 2260037600≤+ ?? ? ??=++=++=.4810100,39525,20c b a c b a c 解得，51- =a ，524=b ，20=c . 所以205 24 512++ -=x x y ，100≤≤x . （2）当4020≤≤x 时，765 7 +-=x y . 所以，当100≤≤x 时，令y=36，得205 24 51362++ -=x x ， 解得x=4，20=x （舍去）； 当4020≤≤x 时，令 y=36，得765 7 36+- =x ，解得 7 4 287200== x . 因为247 4 2447428 >=-，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. 15．解：连结AC ，过点G 作GP ∥AC 交DH 于点P ，有 DC DG DA DP =. 由已知k HA DH GD CG ==，则1 +=k k DA DH . 于是有1 1 +==k DC DG DA DP ，从而k DP DH S S DPG DHG ==??. 又由于△DPG ∽△DAC ，我们有 2 )1(1 += ??k S S DAC DPG ， 故 2 ) 1(+=??k k S S DAC DHG . 因此DAC DHG S k k S ??+= 2 ) 1(. ① 同理 BAC BEF S k k S ??+= 2 ) 1(. ② ①+②得2 22)1()1()()1(+=+=++= +????k k S k k S S k k S S ABCD BAC DAC BEF DHG . 连结BD ，同理可证2 ) 1(+=+??k k S S CFG AEH . 所以 2 22) 1(1 )1(21)(++=+-=+++-=????k k k k S S S S S S DHG CFG BEF AEH ABCD EFGH 四边形四边形. 答：四边形EFGH 的面积是2 2)1(1 ++k k .