高一下学期期中考试数学试题 (必修五)

第二学期期中教学质量检测

高一数学试卷

满分：150分 时间：120分钟

一、选择题(每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC 中，2,60a b C ?

==，则ABC

S ?=（ ）.

A ．

B

C

D ． 32

2．已知1>x ，则函数1

1

)(-+

=x x x f 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．若集合{}

4|2>=x x M ，?

??

???>+-=013|

x x x N ，则M N = （ ） A ．{2}x x <- B ．{23}x x << C ．{23}x x x <->或 D ．{3}x x > 4．在△ABC 中，若

cos cos A b

B a

=，则△ABC 是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形 5．若

11

0a b

<<，则下列不等式中，正确的不等式有 （ ） ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a

a b

+>

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．下列不等式的解集是R 的为( )

A ．0122

>++x x B ．02>x C ．01)2

1(>+x

D ．

x

x 1311<- 7． 已知{}n a 是等差数列，12784,28a a a a +=+=，则该数列的前10项和10S 等于（ ）

A ．64

B ．100

C ．110

D ． 120

8．△ABC 的三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且

22

()1a b c bc

--=，则A=( ) A ．60? B ．120? C ．30?

D ．150?

9． 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ??

????

的前5项和为（ ） A ．

158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．15

8

10．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且

7413

n n A n B n +=

+，则使得n n a

b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

二、填空题（每题5分，共25分）

11．若实数a,b 满足a+b=2,则b

a 33+的最小值是 .

12．等差数列{}n a 中192820a a a a +++=，则37a a += . 13．不等式220ax bx ++＞的解集是11

(,)23

-

，则a b +的值是 . 14．已知数列{}n a 中，112,21n n a a a -==-，则通项n a = . 15．给出下列四个命题：

①函数x

x x f 9

)(+=的最小值为6； ②不等式

11

2<+x x

的解集是}11{<<-x x ； ③若b

b

a a

b a +>+->>11,1则； ④若1,2<

所有正确命题的序号是

三、解答题（共75分）

16．（本小题12分）已知函数4

()9f x x x

=

+， （1）若0x >，求()f x 的最小值及此时的x 值。 （2）若2(0,]5

x ∈，求()f x 的最小值及此时的x 值。

17．（文12分）在△ABC 中，已知a b =B =45? ，求A 、C 及c .

（理12分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=2， cosB=3

5

． （I ）若b=4，求sinA 的值；

（II ）若△ABC 的面积S △ABC =4，求b ，c 的值．

18．（12分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值.

19．（本小题12分）△ABC 中A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c

a b

C B +-=2cos cos 求：（1）角B 的大小；

（2）若4,13=+=c a b ，求△ABC 的面积.

20．（13分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化

合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

21．（14分）设数列{}n a 满足*11,1,,+==+-∈n n a a a ca c n N 其中,a c 为实数，且0c ≠ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）设11

,22

a c =

=，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若01n a <<对任意*

n N ∈成立，求实数c 的范围。（理科做，文科不做）

高一数学参考答案

选择：DCBDB CBACB

填空：11. 6 12. 10 13. -14 14.

15. ②③

16．（本小题6分） (1)

12)32()(min ==f x f (2)5

68

)52()(min ==f x f

17

文科解：根据正弦定理，sin sin a B A b === ∵B=45?<90?，且b

当A =60?时，C =75?

，sin sin b C c B ===； 当A =120?时，C =15?

，sin sin b C c B === 17. 理科解(1) ∵cosB=

35

>0，且0

45=.

由正弦定理得a b sinA sinB =， 42asinB 25sinA b 45

?

===.

(2) ∵S△ABC=1

2

acsinB=4 ∴

14

2c4

25

???=，∴c=5.

由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，

∴b==

18解：（1）由a n = a1 +（n-1）d及a3=5，a10= -9得

1

1

25

99

{a d

a d

+=

+=-解得

1

9

2

{a

d

=

=-

数列{a n}的通项公式为a n=11-2n ……..6分

(2)由(1) 知S n=n a1+

(1)

2

n n-

d=10n-n2。

因为S m= - (n - 5)2+25.

所以n=5时，S n取得最大值. ……12分

19.（1）由余弦定理得：a2+c2-b2=-ac,得B=1200

（2）由

??

?

?

?

=

+

+

=

+

+

13

16

2

2

2

2

2

ac

c

a

ac

c

a

得ac=3,∴SΔ=

4

3

3

sin

2

1

=

B

ac

20.解：设该儿童分别预订,x y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则 2.54

z x y

=+。可行域为

12 x+8 y ≥64

6 x+6 y ≥42

6 x+10 y ≥54

x≥0，x∈N

y≥0，y∈N

即

3 x+2 y ≥16

x+ y ≥7

3 x+5 y ≥27

x≥0，x∈N

y≥0，y∈N

作出可行域如图所示：

经试验发现，当x=4,y=3 时，

花费最少，为 2.54

z x y

=+=2.5×4+4×3=22元．

21. 21.解 (1) 方法一：

1

1(1)

n n

a c a

+

-=-

∵

∴当1

a≠时，{}1

n

a-是首项为1

a-，公比为c的等比数列。

1

1(1)n

n

a a c-

-=-

∴，即1

(1)1

n

n

a a c-

=-+。当1

a=时，1

n

a=仍满足上式。

∴数列}{

n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*()n N ∈。

方法二

由题设得：当2n >时，2111211(1)(1)(1)(1)n n n n n a c a c a c a a c -----=-=-==-=-

1(1)1n n a a c -=-+∴

1n =时，1a a =也满足上式。

∴数列}{

n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*()n N ∈。

(2) 由（1）得11(1)()2

n n n b n a c n -=-=

2121112()()222

n n n S b b b n =+++=

+++ 2311111()2()()2222n n S n +=+++ 2111111

()()()22222

n n n S n +=+++- ∴ 21111111

1()()()2[1()]()222222

n n n n n S n n -=++++-=-- ∴

1

2(2)()2

n n S n =-+∴

(3) 01<≤c

由（1）知1(1)1n n a a c -=-+

若10(1)11n a c -<-+<，则10(1)1n a c -<-<

101,a a <=<∵ 1*1

0()1n c n N a

-<<

∈-∴ 由10n c ->对任意*

n N ∈成立，知0c >。下面证1c ≤，用反证法

方法一：假设1c >，由函数()x f x c =的函数图象知，当n 趋于无穷大时，1

n c

-趋于无穷大

111n a

-<

-∴c 不能对*

n N ∈恒成立，导致矛盾。1c ≤∴。 01c <≤∴

方法二：假设1c >，111n c a -<-∵，1

1log log 1n c c c a -<-∴

即 *1

1log ()1c

n n N a

-<∈- 恒成立 （＊） ,a c ∵为常数，∴ （＊）式对*n N ∈不能恒成立，导致矛盾，1c ≤∴

01c <≤∴