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江苏省2012届高考数学二轮复习：第19讲 函数与方程思想
第19讲函数与方程思想
考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查．”
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．
函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．
函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．
由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．
1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
2.函数f(x)＝ax－a＋1存在零点x0，且x0∈[0,2]，则实数a的取值范围是________．
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，则该长方体的外接球体积为________．
4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________．
【例1】若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．
【例2】设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－a 2.
(1) 求证：函数f(x)有两个零点；
(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围；
(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内．
【例3】如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1) 求实数b的值；
(2) 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【例4】已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m>0
(1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；
(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m的取值范围；
(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．
1. (2011·北京)已知函数f(x)＝?????
2x ，x ≥2，
(x －1)3，x<2，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是________．
2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.
3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －1
x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实
数m 的取值范围是________．
5.(2011·辽宁) 设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.
(1) 求a ，b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2.
6.(2011·全国)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1) 求圆C 的方程；
(2) 若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．
(2009·广东)(本小题满分14分)已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平
行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g (x )
x
.
(1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值 (2) k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点． 解：(1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x)＝2ax ＋b ；
又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，a ＝1.(1分) 又g(x)在x ＝－1取极小值，－b
2＝－1，b ＝2，
∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分) f(x)＝
g (x )x ＝x ＋m
x
＋2，设P(x 0，y 0)， 则|PQ|
2
＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋
????x 0＋m x 02＝2x 2
0＋m 2
x 20
＋2m ≥22m 2＋2m ，(4分) 当且仅当
2x 02
＝m 2x 0
2时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值
2.
当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴ m ＝2－1(6分) 当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴ m ＝－2－1(7分) (2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m
x ＋2＝0，
得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)
当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m
2；(8分)
当k ≠1时，方程(*)有二解
＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m
，
函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )
k －1；(10分)
若m<0，k<1－
1
m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点，x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )
＝1±1－m (1－k )
k －1
；(12分)
当k ≠1时，方程(*)有一解＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1
m
， 函数y ＝f(x)－kx 有一个
零点，x ＝1
k －1.(14分)
第19讲 函数与方程思想
1. 在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则通项a n ＝__________.
【答案】 3n －5 解析：显然公差不为零，故通项为n 的一次函数，设a n ＝an ＋b ，a ，
b 为常数，由题意得?
??
??
5a ＋b ＝10，
12a ＋b ＝31?
????
a ＝3，
b ＝－5，∴ a n ＝3n －5.
2. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈????32，＋∞，f ????x
m －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是____________．
【答案】 ????－∞，－32∪???
?3
2，＋∞
解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ????x m ＋4m 2
f(x)≥0， 即(x －1)2
－1＋4m 2
－4－x 2
m
2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，
整理得???
?1－1
m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1
m 2＋4m 2≥2x ＋3x 2，设g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈????32，＋∞. 于是题目化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈????32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈????32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤2
3
. 函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间????0，23上是增函数，因而在u ＝2
3处取得最大值． h ????23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m 2＋4m 2
≥g(x)max ＝83， 整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0， 所以4m 2－3≥0，解得m ≤－
32或m ≥3
2
， 因此实数m 的取值范围是m ∈?
???－∞，－
32∪???
?32，＋∞.
(解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈????32，＋∞恒成立的问题．
为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈????3
2，＋∞的最大值． 设t ＝2x ＋3，则t ∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝4t
t 2－6t ＋9
＝
4
t ＋9t
－6. 因为函数t ＋9t 在(3，＋∞)上是增函数，所以当t ＝6时，t ＋9t 取得最小值6＋3
2
.
从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m 2＋4m 2≥g max (x)＝8
3，整理得12m 4－5m 2－3≥0，
即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，
所以4m 2－3≥0，解得m ≤－
32或m ≥32
， 因此实数m 的取值范围是m ∈?
???－∞，－
32∪???
?32，＋∞.
(解法3)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ???
?x m ＋4m 2
f(x)≥0，即 (x －1)2
－1＋4m 2
－4－x 2
m
2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得????1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，令F(x)＝???
?1－1
m 2＋4m 2x 2－2x －3.
由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得
到，
所以为使F(x)≥0对任意x ∈????32，＋∞恒成立，必须使F ???
?3
2为最小值， 即实数m 应满足??
?
1－1
m
2＋4m 2＞0，F ???
?32≥0，
解得m 2≥3
4
，因此实数m 的取值范围是
m ∈?
???－∞，－
32∪???
?32，＋∞. 基础训练
1. 1 解析：a ＋2＝3，a ＝1，a 2＋4＞3，不用讨论．
2. a ≤－1或a ≥1 解析：f(0)·f(2)≤0，(a ＋1)(a －1)≥0.
3.
6π 解析：设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，???
xy ＝
2，xz ＝
3，yz ＝
6
???
x ＝1，y ＝2，z ＝3，
2r ＝x 2＋y 2＋z 2＝6，V ＝4
3
πr 3＝6π.
4. ????－54，1 解析：a ＝－sin 2x －cosx ＝????cosx －122－54，最小值为－5
4，最大值为1. 例题选讲
例1 点拨：本题解法很多，关键要学会转化．
解：(解法1)将ab ＝a ＋b ＋3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到a ＋b 中，转化为一元函数．
b ＝a ＋3a －1，a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝2＋(a －1)＋4a －1，由b ∈R ＋得a ＞1，∴ a ＋b ＝2＋(a －1)＋4a －1≥2＋2
(a －1)×4a －1＝6，当且仅当a －1＝4a －1
即a ＝3时取等号，故a ＋b 的取值范围是
[6，＋∞)．
(解法2) 直接利用基本不等式ab ≤????a ＋b 22
，构造不等式，然后解不等式即可．
ab ＝a ＋b ＋3≤??
?
?a ＋b 22
，(a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0，(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.
从而得a ＋b ≥6.(当且仅当a ＝b ＝3时取等号)
变式训练 若a ，b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围． 【答案】 ab ≥9.
例2 点拨：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决．
(1) 证明：∵ f(1)＝a ＋b ＋c ＝－a
2，∴ 3a ＋2b ＋2c ＝0.
∴ c ＝－3
2
a －b.
∴ f(x)＝ax 2＋bx －3
2
a －
b ，
判别式Δ＝b 2－4a ???
?－3
2a －b ＝b 2＋6a 2＋4ab ＝(2a ＋b)2＋2a 2， 又∵ a ＞0，∴ Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点．
(2) 解：若x 1，x 2是函数f(x)的两个零点，则x 1，x 2是方程f(x)＝0的两根， ∴ x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－b a －3
2.
∴ |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝
????－b a 2－4????－b a －32＝
???
?b a ＋22＋2≥ 2.
|x 1－x 2|的取值范围是[2，＋∞]．
(3) 证明：f(0)＝c ，f(2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴ f(2)＝a －c. ①当c ＞0时，有f(0)＞0，又∵ a ＞0，∴ f(1)＝－a
2
＜0，
∴ 函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．
②当c ≤0时，f(2)＝a －c ＞0，f(1)＜0，f(0)＝c ≤0， ∴ 函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点，
综合①②可知函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
变式训练 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1) 若S 5＝5，求S 6及a 1； (2) 求d 的取值范围．
解：(1) 由题意知S 6
＝－15
S 5
＝－3，∴ ???
S 5
＝5a 1
＋5×4
2d ＝5，S 6
＝6a 1
＋6×5
2
d ＝－3，
解得a 1＝7，d ＝－3.∴ S 6＝－3，a 1＝7.
(2) ∵ S 5S 6＋15＝0，
∴ (5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，
即2a 21＋9da 1＋10d 2
＋1＝0.
故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，∴ d 2－8≥0. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.
例3 解：(1) 由?
????
y ＝x ＋b ，
x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*)
因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b ＝－1.
(2) 由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，
解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A(2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
例4 (1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x 2)＝3x －x 3， 因为f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x 2)>0，所以f(x)是增函数， (2) 解：令g(x)＝x|x 2－3|，x ≥0，
则g(x)＝?
??
3x －x 3
，0≤x ≤3，
x 3－3x ，x> 3.
当0≤x ≤3时，g ′(x)＝3－3x 2，由g ′(x)＝0得x ＝1，
所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．
当x>3时，g ′(x)＝3x 2－3>0，所以g(x)在[3，＋∞)上是增函数， 所以x ∈[0，3]时，g(x)max ＝g(1)＝2，g(x)min ＝g(0)＝g(3)＝0， 所以03时，在x ∈[0，3]时，f(x)∈[0,2]， 在x ∈[3，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，
这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，
即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3(3) 由(2)可知，02m
2，m ∈[1,2]时这是减函数，∴ λ∈????12，2. 当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m 3－3m ，由题意知m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3
m ，
这是增函数，∴ λ∈????12，＋∞.
综上，当m ＝2时，实数λ取最小值为1
2.
变式训练 已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ， 求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ??
??
a ＋
b 2＜(b －a)ln2.
点拨：确定变量，构造函数证明不等式． 证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1. 构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ??
??a ＋x 2，
则F ′(x)＝g ′(x)－2???
?
g ????a ＋x 2′＝lnx －ln a ＋x 2.
当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；
当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0， 即0＜g(a)＋g(b)－2g ??
??a ＋b 2.
再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，
则G ′(x)＝lnx －ln a ＋x
2
－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．
当x ＞0时，G ′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0， 即g(a)＋g(b)－2g ??
??
a ＋
b 2＜(b －a)ln2.
综上得0＜g(a)＋g(b)－2g ????
a ＋
b 2＜(b －a)ln2.
高考回顾
1. (0,1) 解析：f(x)＝2
x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值
域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．
2. 10 解析：S 9＝S 4,9a 1＋9×82d ＝4a 1＋4×32d ，a 1＝1，d ＝－1
6；
由1＋(k －1)????－16＋1＋3×???－1
6＝0，得k ＝10. 本题也可用数列性质解题，S 9＝S 4
7＝0.
3. (－∞，0) 解析：由题意可知f ′(x)＝3ax 2＋1
x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所
以3ax 2＋1
x
＝
＝－1
3x
3(x ＞
∈(－∞，0)．
4. (－∞，－1) 解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －
1mx －m
x
＜0恒成立，显然m ≠0.所以当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述实数m 的取值范围是m ＜－1.
5. (1) 解：f ′(x)＝1＋2ax ＋b
x
.
由已知条件得????? f (1)＝0，f ′(1)＝2.即?
???
?
1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝3.
(2) 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则 g ′(x)＝－1－2x ＋3
x ＝－(x －1)(2x ＋3)x
.
当0＜x ＜1时，g ′(x)＞0；当x ＞1时，g ′(x)＜0. 所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少． ∴ x ＝1时，g(x)取极大值即为最大值．
而g(1)＝0，故当x ＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.
6. 解：(1) 曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.
则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：
?
????
x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2
＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.
因此，x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12，①
由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，
所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0，②
由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.
江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)
计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.
2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)
专题1 函数的性质及应用（2） 高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。 考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它 醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称 函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。 定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。 定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称 特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析 例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右 平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 （-2，2） ． 例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中 （1） 当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2） 求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。 （2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】
2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 ． 【答案】 6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．
【答案】4 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20?? ??? 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在 点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，， 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21 ()22 f x x x =-+．若函 数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．． 作答, 解答时应写出文字
(江苏专用)2021高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(一)
综合仿真练(一) 1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3} 2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：1 3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由题意知????? x >0，1－2log 6x ≥0，解得02，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故x ＝8. 答案：8 6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2 )分别为： 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
高考数学二轮复习专题 02：函数与导数
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 17 题；共 34 分)
1. （2 分） (2016 高一上·厦门期中) 已知函数 f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（ ）
A . 当 a=0 时，f（x）没有零点
B . 当 a＜0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（2，+∞）
C . 当 a＞0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（1，2）
D . 当 a＞0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（2，+∞）
2. （2 分） (2018 高二下·沈阳期中) 函数 A. B. C. D.
恰有一个零点，则实数 的值为（ ）
3. （2 分） 已知函数 f(x)＝ －cosx，若 A . f（a）＞f（b） B . f(a)0
， 则（ ）
4. （ 2 分 ） (2019 高 二 上 · 浙 江 期 中 ) 已 知
的两个相邻的零点，且
，则
，且
，
，
是函数
的值为（ ）
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A. B. C. D.
5. （2 分） 定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x≥0 时，f（x）= =f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A . 3a﹣1 B . 1﹣3a C . 3﹣a﹣1 D . 1﹣3﹣a
， 则关于 x 的函数 F（x）
6. （2 分） 已知函数 取值范围是（ ）
A. B.
的图像为曲线 C，若曲线 C 存在与直线
垂直的切线，则实数 m 的
C.
D.
7. （2 分） (2016 高一上·沈阳期中) 已知函数 f（x）满足：当 f（x）= （）
A.
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，则 f（2+log23）=
2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．
1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．
高三数学二轮复习重点及策略
高三数学二轮复习重点及策略 高三数学二轮复习时间安排 1：第一阶段为重点知识的强化与巩固阶段，时间为3月1日—3月27日。 2：第二阶段是对于综合题型的解题方法与解题能力的训练，时间为3月28日—4月 16日。 专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点 函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。这些性质通常会综 合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。 一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些 基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向， 与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负， 最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。 不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。 当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的 综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。 专题二：数列。以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式， 通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法， 这些知识点需要掌握。 专题三：三角函数，平面向量，解三角形。三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单 调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定 理是很好的工具。向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还 可以和数学的一大难点解析几何整合。 专题四：立体几何。立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。 另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中， 应该掌握三棱柱，长方体。空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察 的方法为间接证明。
高考数学二轮复习 函数概念与性质
2008高考数学二轮复习 函数概念与性质 一、考点、要点、疑点： 考点：1、理解函数的有关概念；2、理解函数的有关性质。 要点： （一）函数的有关概念： 1、传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x 、y ，并且对于x 在某个范围内的每一个确 定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应， 那么y 就是x 的函数，记作y ＝f (x ) 近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射. 2、函数的三要素： 函数是由定义域．．．、值域．．以及从定义域到值域的对应法则．．．． 三部分组成的特殊映射。 ① 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1。 ② 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。 3、函数的表示法：解析式法、列表法、图象法。 （二）函数的有关性质： 1、函数的单调性： ① 一般地，设函数f (x )的定义域为 I ， 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x , 2x ， 当1x ＜2x 时，都有f (1x ) ＜ f (2x )，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 当1x ＜2x 时，都有f (1x ) ＞ f (2x )，那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数2 x y =，当x ∈),0[+∞时是增函数， 当x ∈]0,(-∞时是减函数。 ② 单调区间： 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. ③ 用定义证明函数单调性的步骤 (1) 取值：对任意1x , 2x ∈M ，且1x ＜2x ； (2) 作差：f (1x ) － f (2x )； (3) 判定差的正负； (4) 根据判定的结果作出相应的结论。 ④ 导数方法判断函数的单调性
2014年江苏高考数学(理科)答案与解析
2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题)
【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=-
(word完整版)高三数学专题复习(函数与方程练习题)
高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］
江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)
江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10.
答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．
2021年高考数学二轮复习专项训练：函数与导数
一、选择题 1．函数的界说域为（） A．B．C．D． 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间上递加的是（）A．B． C．D． 3．函数y=x2﹣2x﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（） A．﹣1B．0C．1D．2 4．界说在上的函数满意，，恣意的，函数在区间上存在极值点，则实数m的取值规模为（） A．B．C．D． 5．已知，，，则的巨细联系是（） A．B．C．D． 6．已知函数的图象如图所示，则函数的单调递加区间为（） A．，B．，
C．，D．， 7．界说在上的偶函数满意，且当时，，函数是界说在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（） A．9B．10C．11D．12 8．已知函数，若关于，，使得，则的最大值为（）A．eB．1-eC．1D． 9．已知为界说在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列出题正确的是（） A．B．函数在界说域上是周期为的函数 C．直线与函数的图象有个交点D．函数的值域为 10．曲线在点处的切线方程为（） A．B． C．D． 11．已知函数的导函数,且满意，则＝() A．B．C．1D． 12．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒建立．则实数m（）
A．有最大值B．有最大值e C．有最小值e D．有最小值 二、填空题 13．函数的界说域为 14．已知函数的导函数是，设、是方程的两根．若，， 则的取值规模为 . 15．若函数在区间两个不同的零点，则的取值规模是_____ 16．已知界说域为的函数，若关于恣意，存在正数，都有建立，那么称函数是上的“倍束缚函数”，已知下列函数：①； ②；③；④， 其间是“倍束缚函数”的是_____________．（将你以为 正确的函数序号都填上） 17．关于三次函数有如下界说：设是函数的导函数，是 函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．若点是函数的“拐点”，也是函数图画上的点，则当时，函数的函数值是__________． 参考答案 1．B
高三数学一轮复习必备精品6：函数与方程 【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】
第6讲 函数与方程 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】 一．【课标要求】 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．【命题走向】 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关 预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．【要点精讲】 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()(2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：填空题专练(一)
填空题专练(一) 1.(2018南京高三学情调研)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q= . 2.(2018江苏南京高三期中)若复数z满足z(1-i)=2i,其中i是虚数单位,则复数z= . 3.(2017无锡普通高中高三期末)某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生的人数为. 4.(2017江苏泰州姜堰模拟)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.3,甲、乙下成和棋的概率为0.4,则乙获胜的概率为. 5.(2018江苏南京高三上学期期中)下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是30,那么输入的x值是. ,8a6+2a4=a2,则{a n}的前6项和S6的值为________. 6.(2019江苏高三模拟)在等差数列{a n}中,若a5=1 2 7.(2018南京第一学期期末调研)已知角α的终边经过点P(12,5),则sin(π+α)+cos(-α) 的值 是. 8.(2018江苏泰州姜堰高三上学期期中)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程是.
9.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l 与线段AB 有公共点时,实数a 的取值范围为 . 10.(2017徐州王杰中学高三月考)在三棱锥S-ABC 中,平面SAB,平面SBC,平面SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC 的表面积是 . 11.(2018江苏南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为C,若AF 2??????? =2F 2C ?????? ,则该椭圆的离心率为 . 12.(2018南京高三学情调研)已知函数f (x)={2x 2,x ≤0,-3|x -1|+3,x >0.若存在唯一的整数x,使得f (x )-a x >0成 立,则实数a 的取值范围为 . 13.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则AB ????? ·AC ????? 的值为 . 14.(2019江苏高三下学期期初联考)已知实数x,y,z 满足x+y+z=0,xyz=-3,则|x|+|y|+|z|的最小值是 . 答案精解精析 1.答案 {0,2} 解析 本题考查交集.集合P ∩Q={0,2}. 2.答案 -1+i
最新高考数学第二轮专题复习- 函数图象和性质 (含答案)
函数图象和性质 一、选择题 1. 已知函数 在 上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） ),2.(]2,3.(),2()2,3.() 2,.(+∞--+∞----∞D C B A 2. 函数)10(|log |)(<<=a x x f a 的单调递减区间是（ ） 3. 给出下面四个函数：2222sin ||11x x x y x x x y x x y +=-=-+-= ③②① 有其中是偶函数的有且只④x x y +-=11lg （ ） A.① B.②和④ C.①和③ D.③ 4. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且 的值为则时，又当)5.113(,2)(23,)(1)3(f x x f x x f x f =-≤≤--=+（ ） 72 .72 .51 .51 .--D C B A 5. 函数y=f (2x-1)是R 上的偶函数，则函数y=f (x )的图象的对称轴是 （ ） 21 .1.0.1.-===-=x D x C x B x A ) ,1.[]1,0.(),0.(].0.(+∞+∞D C B a A m x mx x f ++=4)([)+∞,3
8. 水池有两个进水口，1个出水口，每个进出水口进出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6 点， 该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口） 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4 点到6点不进水不出水，则一定正确的论断是（） A.① B.①② C.①③ D.①②③ 9. 设函数的图象是 则其反函数) ( ), 3 () 3(2 4 ) (1x f x x x f- - ≥ + + = b b f c c f a a f D c c f a a f b b f C a a f b b f c c f B c c f b b f a a f A c c f b b f a a f c b a x x f m D m C m B m A m m t f t f t ax x x f ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( ,0 ),1 ( log ) ( .7 4 . 2 . 2 4 . 2 . 1 5 ]0 [ 4 5 ) ( .6 2 2 > > > > > > > > > > > + = ≤ ≤ - ≤ ≤ - - ≤ ≤ - - ≤ - - = + + = 、 的大小关系是 、 、 则 且 已知 的取值范围是 ，则 ，最小值是 上的最大值是 ， ），且在闭区间 （ ） （ 都有 对任意 设二次函数 )0, 4 3 (-) 2 3 ( ) (+ - =x f x f
