(整理)(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析.

偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。

偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。

（2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。

（3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。

一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法

1.1建模原理

设有 q 个因变量{q y y ,...,1}和p 自变量{p x x ,...,1}。为了研究因变量和自变量的统计关系,我们观测了n 个样本点,由此构成了自变量与因变量的数据表X={p x x ,...,1}和.Y={q y y ,...,1}。偏最小二乘回归分别在X 与Y 中提取出成分1t 和

1u (也就是说, 1t 是p x x ,...,1 的线形组合, 1u 是q y y ,...,1 的线形组合).在提取这

两个成分时,为了回归分析的需要,有下列两个要求:

(1) 1t 和1u 应尽可能大地携带他们各自数据表中的变异信息; (2) 1t 与1u 的相关程度能够达到最大。

这两个要求表明，1t 和1u 应尽可能好的代表数据表X 和Y ,同时自变量的成分

1t 对因变量的成分1u 又有最强的解释能力。

在第一个成分1t 和 1u 被提取后，偏最小二乘回归分别实施X 对 1t 的回归以及 Y 对1u 的回归。如果回归方程已经达到满意的精度，则算法终止；否则,将利用 X 被1t 解释后的残余信息以及Y 被1t 解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此往复，直到能达到一个较满意的精度为止。若最终对 X 共提取了 m 个成分1

t ，…，

m

t ，

偏最小二乘回归将通过实施 k y 对1

t ，…，

m

t ，

的

回归,然后再表达成k y 关于原变量x

1

，…，

x

m

，

的回归方程,k=1,2,…,q 。

1.2计算方法推导

为了数学推导方便起见,首先将数据做标准化处理。X 经标准化处理后的数据矩阵记为0E =(E 01，…，E p 0)p n ?，j Y 经标准化处理后的数据矩阵记为

0F =(01F ，…，q F 0)p n ?。

第一步 记1t 是0E 的第一个成分，1w 是0E 的第一个轴，它是一个单位向量，

既||1w ||=1。

记1u 是0F 的第一个成分，1u =0

F c 1

。c 1

是0

F

的第一个轴，并且||c 1||=1。

如果要1

t ，

1u 能分别很好的代表X 与Y 中的数据变异信息，根据主成分分

析原理，应该有

Var(1u )→max Var(1t )→max

另一方面，由于回归建模的需要，又要求1t 对1u 有很大的解释能力，有典型相关分析的思路，1t 与1u 的相关度应达到最大值，既

r （1t ，1u ）→max

因此，综合起来，在偏最小二乘回归中，我们要求1t 与1u 的协方差达到最大，既

Cov(1

t ，

1u )=)()(11u t Var Var r(1t ，

1u ) →max

正规的数学表述应该是求解下列优化问题，既

因此，将在||1w ||2=1和||c 1||2=1的约束条件下，去求(w '

1

E '

F

c 1

)的最大

值。

如果采用拉格朗日算法，记

s=w '

1

E

'0

F c 1

－λ1

(w

'

1

1

w －1)－λ2 (c '

1c 1－1)

对s 分别求关于1

w ，c 1，λ1和λ2的偏导并令之为零，有

1

w s

??=E '00

F c 1

－λ

1

21w =0 (1 -2)

1

c s

??=F '00E 1w －λ2

2c 1

=0 (1-3)

1

λ??s =－(w '

11w －1)=0 (1-4)

2

λ??s =－(c '

1c 1－1)=0 (1-5) 由式(1-2)~(1-5),可以推出

>=<==1010100'1'21,22c F w E c F E w λλ

记100'1'21122c F E w ===λλθ,所以,1θ正是优化问题的目标函数值. 把式(1-2)和式(1-3)写成

11100'w c F E θ= (1-6) 11100'c w E F θ= (1-7)

将式(1-7)代入式(1-6),有

12

1100'00'w w E F F E θ= (1-8)

同理,可得

12

1100'00'c c F E E F θ= (1-9)

可见,1w 是矩阵00'00'E F F E 的特征向量,对应的特征值为2

1θ.1θ是目标函数值,它要求取最大值,所以, 1w 是对应于00'00'E F F E 矩阵最大特征值的单位特征向量.而另一方面, 1c 是对应于矩阵00'00'F E E F 最大特征值2

1θ的单位特征向量. 求得轴1w 和1c 后,即可得到成分

101w E t = 101c F u = 然后,分别求0E 和0F 对1t ,1u 的三个回归方程

11'10E p t E += (1-10)

11'10*+=F q u F (1-11) 11'10F r t F += (1-12) 式中,回归系数向量是

2

11

0'1||||t t E p = (1-13) 2

11

0'1||

||u u F q = (1-14) 2

11

0'1||||t t F r =

(1-15) 而1E ,1*F ,1F 分别是三个回归方程的残差矩阵.

第二步 用残差矩阵1E 和1F 取代0E 和0F ,然后,求第二个轴2w 和2c 以及第二个成分2t ,2u ,有

2t =1E 2w 2u =1F 2c

211'2'222,c F E w u t >==<θ

2w 是对应于矩阵11'11'E F F E 最大特征值2

2θ的特征值, 2c 是对应于矩阵11'11'F E E F 最大特征值的特征向量.计算回归系数

222

1'2||||t t E p =

2

22

1'2||||t t F r = 因此,有回归方程

22'21E p t E += 22'21F r t F += 如此计算下去,如果X 的秩是A ,则会有

A A p t p t E '1'10++= （1-16）

A A A F r t r t F +++='1'10 （1-17）

由于,A t t ,,1 均可以表示成p E E 001,, 的线性组合,因此,式(1-17)还可以还原

成k k F y 0*

=关于k j E x 0*=的回归方程形式，即

Ak p kp k k F x x y +++=**

11*αα k=1,2,…,q

Ak F 是残差距阵A F 的第k 列。

1.3交叉有效性

下面要讨论的问题是在现有的数据表下,如何确定更好的回归方程。在许多情形下,偏最小二乘回归方程并不需要选用全部的成分A t t ,,1 进行回归建模,而是可以象在主成分分析一样,采用截尾的方式选择前m 个成分

))(,(X A A m 秩=<,仅用这m 个后续的成分m t t ,,1 就可以得到一个预测性较好

的模型。事实上,如果后续的成分已经不能为解释0F 提供更有意义的信息时,采用过多的成分只会破坏对统计趋势的认识,引导错误的预测结论。在多元回归分析一章中,我们曾在调整复测定系数的内容中讨论过这一观点。 下面的问题是怎样来确定所应提取的成分个数。

在多元回归分析中,曾介绍过用抽样测试法来确定回归模型是否适于预测应用。我们把手中的数据分成两部分:第一部分用于建立回归方程,求出回归系数估计量

B b ,拟合值B y ?以及残差均方和2?B σ;再用第二部分数据作为实验点,代入刚才所求得的回归方程,由此求出2??T T y σ和。一般地,若有≈2?T σ2

?B σ,则回归方程会有更好的预测效果。若 >>2?T σ2

?B σ,则回归方程不宜用于预测。

在偏最小二乘回归建模中,究竟应该选取多少个成分为宜,这可通过考察增加一个新的成分后,能否对模型的预测功能有明显的改进来考虑。采用类似于抽样测试法的工作方式,把所有n 个样本点分成两部分:第一部分除去某个样本点i 的所有样本点集合(共含n-1个样本点),用这部分样本点并使用h 个成分拟合一个回归方程;第二部分是把刚才被排除的样本点i 代入前面拟合的回归方程,得到j y 在

样本点i 上的拟合值)(?i hj y

-。对于每一个i =1,2,…,n,重复上述测试,则可以定义j y 的预测误差平方和为hj PRESS ,有

∑=--=n

i i hj ij hj y

y PRESS 12)()?( (1-18)

定义Y 的预测误差平方和为h PRESS ,有

∑==p

j hj h PRESS PRESS 1 (1-19)

显然,如果回归方程的稳健性不好,误差就很大,它对样本点的变动就会十分敏感,这种扰动误差的作用,就会加大h PRESS 的值。

另外,再采用所有的样本点,拟合含h 个成分的回归方程。这是,记第i 个样本

点的预测值为hji y

?,则可以记j y 的误差平方和为hj SS ,有 ∑=-=n

i hji ij hj y

y SS 1

2)?( (1-20) 定义Y 的误差平方和为h SS ,有

∑==p

j hj h SS SS 1 (1-21)

一般说来,总是有h PRESS 大于h SS ,而h SS 则总是小于1-h SS 。下面比较1-h SS 和

h PRESS 。1-h SS 是用全部样本点拟合的具有h-1个成分的方程的拟合误差; h PRESS 增加了一个成分h t ,但却含有样本点的扰动误差。如果h 个成分的回归方

程的含扰动误差能在一定程度上小于(h-1)个成分回归方程的拟合误差,则认为增加一个成分h t ,会使预测结果明显提高。因此我们希望)/(1-h h SS PRESS 的比值能越小越好。在SIMCA-P 软件中,指定

2195.0)/(≤-h h SS PRESS

即

195.0-≤h h SS PRESS 时,增加成分h t 就是有益的;或者反过来说,当

195.0->h h SS PRESS 时,就认为增加新的成分h t ,对减少方程的预测误差无明显的改善作用.

另有一种等价的定义称为交叉有效性。对每一个变量k y ,定义

k

h hk

hk SS PRESS Q )1(2

1--

= (1-22)

对于全部因变量Y ,成分h t 交叉有效性定义为

)

1()1(1

211--=-

=-

=∑∑h h

k

h q

k hk

h

SS PRESS SS

PRESS

Q (1-23)

用交叉有效性测量成分h t 对预测模型精度的边际贡献有如下两个尺度。 (1)

当0975.0)95.01(22

=-≥h Q 时, h t 成分的边际贡献是显著的。显而易见, 0975.02

≥h

Q 与2195.0)/(<-h h SS PRESS 是完全等价的决策原则。 (2) 对于k=1,2,…,q,至少有一个k,使得

0975.02

≥h Q

这时增加成分h t ,至少使一个因变量k y 的预测模型得到显著的改善,因此,也可以考虑增加成分h t 是明显有益的。

明确了偏最小二乘回归方法的基本原理、方法及算法步骤后，我们将做实证分析。

附 录

function w=maxdet(A) %求矩阵的最大特征值 [v,d]=eig(A); [n,p]=size(d); d1=d*ones(p,1);

d2=max(d1);

i=find(d1==d2);

w=v(:,i);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%

function [c,m,v]=norm1(C)

%对数据进行标准化处理

[n,s]=size(C);

for i=1:n

for j=1:s

c(i,j)=(C(i,j)-mean(C(:,j)))/sqrt(cov(C(:,j)));

end

end

m=mean(C);

for j=1:s

v(1,j)=sqrt(cov(C(:,j)));

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%

function [t,q,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,C)

% px自变量的输入个数

% py输入因变量的个数。

% C输入的自变量和因变量组成的矩阵

% t提取的主成分

% q为回归系数。

% w最大特征值所对应的特征向量。

% wh处理后的特征向量

% f0回归的标准化的方程系数

% FF原始变量的回归方程的系数

c=norm1(C); %norm1为标准化函数

y=c(:,px+1:px+py); %截取标准化的因变量

E0=c(:,1:px);

F0=c(:,px+1:px+py);

A=E0'*F0*F0'*E0;

w(:,1)=maxdet(A); %求最大特征向量

t(:,1)=E0*w(:,1); %提取主成分

E(:,1:px)=E0-t(:,1)*(E0'*t(:,1)/(t(:,1)'*t(:,1)))'; % 获

得回归系数

p(:,1:px)=(E0'*t(:,1)/(t(:,1)'*t(:,1)))';

for i=0:px-2

B(:,px*i+1:px*i+px)=E(:,px*i+1:px*i+px)'*F0*F0'*E(:,px*i+1:px*i+px);

w(:,i+2)=maxdet(B(:,px*i+1:px*i+px));

% maxdet为求最大特征值的函数

t(:,i+2)=E(:,px*i+1:px*i+px)*w(:,i+2);

p(:,px*i+px+1:px*i+2*px)=(E(:,px*i+1:px*i+px)'*t(:,i+2)/(t(:,i+2)'*t(:,i+2)))';

E(:,px*i+px+1:px*i+2*px)=E(:,px*i+1:px*i+px)-t(:,i+2)*(E(:,px*i+1:px*i+px)'*t(:,i+ 2)/(t(:,i+2)'*t(:,i+2)))';

end

for s=1:px

q(:,s)=p(1,px*(s-1)+1:px*s)';

end

[n,d]=size(q);

for h=1:px

iw=eye(d);

for j=1:h-1

iw=iw*(eye(d)-w(:,j)*q(:,j)');

end

wh(:,h)=iw*w(:,h);

end

for j=1:py

zr(j,:)=(regress1(y(:,j),t))'; %求回归系数

end

for j=1:px

fori=1:py %生成标准化变量的方程的系数矩阵

w1=wh(:,1:j);

zr1=(zr(i,1:j))';

f0(i,:,j)=(w1*zr1)';

end

[normxy,meanxy,covxy]=norm1(C); %n ormxy标准化后的数据矩阵

%meanxy每一列的均值

%covxy每一列的方差

ccxx=ones(py,1)*meanxy(1,1:px);

ccy=(covxy(1,px+1:px+py))'*ones(1,px);

ccx=ones(py,1)*(covxy(1,1:px));

ff=ccy.*f0(:,:,j)./ccx;

fff=-(sum((ccy.*ccxx.*f0(:,:,j)./ccx)')-meanxy(1,px+1:px+py))';

FF(:,:,j)=[fff,ff]; %生成原始变量方程的常数项和系数矩阵

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [r,Rdyt,RdYt,RdYtt,Rdytt,VIP]=fun8y(px,py,c)

X=c(:,1:px);

Y=c(:,px+1:px+py);

x=norm1(X);

y=norm1(Y);

[t,q,w]=fun717(px,py,[X,Y]);

r1=corrcoef([y,t]);

r=r1(py+1:px+py,1:py)';

Rdyt=r.^2;

RdYt=mean(Rdyt)

for m=1:px

RdYtt(1,m)=sum(RdYt(1,1:m)');

end

for j=1:py

for m=1:py

Rdytt(j,m)=sum(Rdyt(j,1:m)');

end

end

for j=1:px

for m=1:px

Rd(j,m)=RdYt(1,1:m)*((w(j,1:m).^2)');

end

end

for j=1:px

VIP(j,:)=sqrt((px*ones(1,px)./RdYtt).*Rd(j,:));

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [r,Rdxt,RdXt,RdXtt,Rdxtt]=fun8x(px,py,c)

X=c(:,1:px);

Y=c(:,px+1:px+py);

x=norm1(X);

y=norm1(Y);

[t,q,w]=fun717(px,py,[X,Y]);

r1=corrcoef([x,t]);

r=r1(px+1:px+px,1:px)';

Rdxt=r.^2;

RdXt=mean(Rdxt);

for m=1:px

RdXtt(1,m)=sum(RdXt(1,1:m)');

end

for j=1:px

for m=1:px

Rdxtt(j,m)=sum(Rdxt(j,1:m)');

end

end

% for j=1:px

% for m=1:px

% Rd(j,m)=RdXt(1,1:m)*((w(j,1:m).^2)');

% end

% end

% for j=1:px

% VIP(j,:)=sqrt((px*ones(1,px)./RdYtt).*Rd(j,:));

% end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%

function [t,u]=TU(px,py,C)

%t提取的自变量的主成分

%u 提取的因变量的主成分

c=norm1(C);

y=c(:,px+1:px+py);

E0=c(:,1:px);

F0=c(:,px+1:px+py);

A=E0'*F0*F0'*E0;

w(:,1)=maxdet(A);

t(:,1)=E0*w(:,1);

B=F0'*E0*E0'*F0;

cc(:,1)=maxdet(B);

u(:,1)=F0*cc(:,1);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function drew(px,py,c)

X=c(:,1:px);

Y=c(:,px+1:px+py);

[line,l]=size(Y);

[t,q,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,c);

YY=X*FF(:,2:px+1,3)'+ones(line,1)*FF(:,1,3)';

subplot(1,1,1,1)

bar(f0(:,:,3))

title(' 直方图')

legend('SG','TZBFB','FHL','JK','HPZD','JPZD','TZ','ZG','GPK')

grid on

plot(YY(:,4),Y(:,4),'+');

lsline

for i=1:py

v=mod(i,4);

d=(i-v)/4;

subplot(2,2,v,d+1)

plot(YY(:,i),Y(:,i),'*');

lsline

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%

function [ Qhj,Qh,prey]=crossval7(px,py,c)

%px是自变量的个数；

%py是因量

PRESShj=zeros(px,py);

X=c(:,1:px);

Y=c(:,px+1:px+py);

x=norm1(X);

y=norm1(Y);

[line,row]=size(x);

for h=1:px

for j=1:line

newx=X;

newy=Y;

newx(j,:)=[];

newy(j,:)=[];

[t,p0,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,[newx,newy]);

prey(j,:,h)=X(j,:)*FF(:,2:px+1,h)'+FF(:,1,h)';

end

PRESShj(h,:)=sum((Y-prey(:,:,h)).^2);

end

PRESSh=(sum(PRESShj'))';

for h=1:px

[t1,p0,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,c);

prey2(:,:,h)=X(:,:)*FF(:,2:px+1,h)'+ones(line,1)*FF(:,1,h)';

SShj(h,:)=sum((Y-prey2(:,:,h)).^2);

end

SSh=(sum(SShj'))';

Qhj=ones(px-1,py)-PRESShj(2:px,:)./SShj(1:px-1,:); % 错位

Qh=ones(px-1,1)-PRESSh(2:px,1)./SSh(1:px-1,1);

多元线性回归模型的案例分析

1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/千 克 X/ 元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/ 千克) P 2/(元/ 千克) P 3/(元/千克) 1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：

非线性回归分析

SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：

点击确定按钮，得到如下结果：

放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面

在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于

excel一元及多元线性回归实例

野外实习资料的数理统计分析 一元线性回归分析 一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。 对两个现象X和Y进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2,…，Xn和Y1，Y2，…，Yn,假如要找出一个函数Y=f(X),使它在 X=X1,X2, …,Xn时的数值f(X1),f(X2), …,f(Xn)与观察值Y1，Y2，…，Yn趋于接近。 在一个平面直角坐标XOY中找出（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）各点，将其各点分布状况进行察看，即可以清楚地看出其各点分布状况接近一条直线。对于这种线性关系，可以用数学公式表示： Y = a + bX 这条直线所表示的关系，叫做变量Y对X的回归直线，也叫Y对X 的回归方程。其中a为常数，b为Y对于X的回归系数。 对于任何具有线性关系的两组变量Y与X，只要求解出a与b的值，即可以写出回归方程。计算a与b值的公式为：

式中：为变量X的均值，Xi为第i个自变量的样本值，为因变量的均值，Yi为第i个因变量Y的样本值。n为样本数。 当前一般计算机的Microsoft Excel中都有现成的回归程序，只要将所获得的数据录入就可自动得到回归方程。 得到的回归方程是否有意义，其相关的程度有多大，可以根据相关系数的大小来决定。通常用r来表示两个变量X和Y之间的直线相关程度，r为X和Y的相关系数。r值的绝对值越大，两个变量之间的相关程度就越高。当r为正值时，叫做正相关，r为负值时叫做负相关。r 的计算公式如下： 式中各符号的意义同上。 在求得了回归方程与两个变量之间的相关系数后，可以利用F检验法、t检验法或r检验法来检验两个变量是否显著相关。具体的检验方法在后面介绍。

SPSS线性回归分析案例

回归分析 实验内容：基于居民消费性支出与居民可支配收入的简单线性回归分析 【研究目的】 居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。影响各地区居民消费支出的因素很多，例如居民的收入水平、商品价格水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状况、消费信贷状况、消费者年龄构成、社会保障制度、风俗习惯等等。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的经济模型去研究。 【模型设定】 我们研究的对象是各地区居民消费的差异。由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，现选用城镇居民消费进行比较。模型中被解释变量Y选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。从理论和经验分析，影响居民消费水平的最主要因素是居民的可支配收入，故可以选用“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X，选取2010年截面数据。 1、实验数据 表1： 2010年中国各地区城市居民人均年消费支出和可支配收入

2、实验过程 作城市居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)的散点图，如图1：

表2 模型汇总b 表3 相关性 从散点图可以看出居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)大体呈现为线性关系，所以建立如下线性模型：Y=a+bX

表4 系数a 3、结果分析 表2模型汇总：相关系数为0.965，判定系数为0.932，调整判定系数为0.930，估计值的标准误877.29128 表3是相关分析结果。消费性支出Y与可支配收入X相关系数为0.965，相关性很高。 表4是回归分析中的系数：常数项b=704.824，可支配收入X的回归系数a=0.668。a的标准误差为0.034，回归系数t的检验值为19.921，P值为0，满足95%的置信区间，可认为回归系数有显著意义。得线性回归方程Y=0.668X+704.824. 【实验结论】 （1）结果显示，变量之间具有如下关系式：Y=0.668X+704.824.也就是说消费与收入之间存在稳定的函数关系。随着收入的增加，消费将增加，但消费的增长低于收入的增长。这与凯尔斯的绝对收入消费理论刚好吻合。但为了研究方便，这里假设边际消费倾向为常数。由公式知X每增长1个单位，Y增加0.668个单位。

eviews多元线性回归案例分析

中国税收增长的分析 一、研究的目的要求 改革开放以来，随着经济体制的改革深化和经济的快速增长，中国的财政收支状况发生了很大的变化，中央和地方的税收收入1978年为519.28亿元到2002年已增长到17636.45亿元25年间增长了33倍。为了研究中国税收收入增长的主要原因，分析中央和地方税收收入的增长规律，预测中国税收未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国税收收入增长的因素很多，但据分析主要的因素可能有：（1）从宏观经济看，经济整体增长是税收增长的基本源泉。（2）公共财政的需求，税收收入是财政的主体，社会经济的发展和社会保障的完善等都对公共财政提出要求，因此对预算指出所表现的公共财政的需求对当年的税收收入可能有一定的影响。（3）物价水平。我国的税制结构以流转税为主，以现行价格计算的DGP等指标和和经营者收入水平都与物价水平有关。（4）税收政策因素。我国自1978年以来经历了两次大的税制改革，一次是1984—1985年的国有企业利改税，另一次是1994年的全国范围内的新税制改革。税制改革对税收会产生影响，特别是1985年税收陡增215.42%。但是第二次税制改革对税收的增长速度的影响不是非常大。因此可以从以上几个方面，分析各种因素对中国税收增长的具体影响。 二、模型设定 为了反映中国税收增长的全貌，选择包括中央和地方税收的‘国家财政收入’中的“各项税收”（简称“税收收入”）作为被解释变量，以放映国家税收的增长；选择“国内生产总值（GDP）”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表；选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表。由于税制改革难以量化，而且1985年以后财税体制改革对税收增长影响不是很大，可暂不考虑。所以解释变量设定为可观测“国内生产总值（GDP）”、“财政支出”、“商品零售物价指数” 从《中国统计年鉴》收集到以下数据 财政收入（亿元） Y 国内生产总值(亿 元） X2 财政支出（亿 元） X3 商品零售价格指 数（%) X4 1978519.283624.11122.09100.7 1979537.824038.21281.79102 1980571.74517.81228.83106

巧用Excel解决多元非线性回归分析

农业网络信息 AGRICULTURE NETWORK INFORMATION ·研究与开发· 2011年第1期 巧用Excel 解决多元非线性回归分析 龚江，石培春，李春燕 (石河子大学农学院，石河子832003) 摘 要：非线性回归是回归分析的重要内容和难点，而多元非线性回归在农业生产中有重要的应用。应用Excel “工具” 菜单“数据分析”选项中的“回归”分析工具，以二元二次非线性回归为例，阐述了用Excel 做多元非线性回归的详细过程，并与SPSS 软件做的结果进行比较，证明使用Excel 做多元非线性回归完全可行，且操作简单、易行，并就方程的统计意义进行了分析。 关键词：Excel ；多元；非线性回归中图分类号：S126 文献标识码：A 文章编码：1672－6251（2011）01－0046－03 Application of Excel Software in Multi-nonlinear Regress Analysis GONG Jiang,SHI Peichun,LI Chunyan (Agriculture College of Shihezi Univerity,Shihezi 832003) Abstract:Nonlinear regress analysis was a difficult and significant method of regress analysis ，the application of which was important in agriculture production.In this paper,with the multi-linear regression analysis by “data analysis ”tool of Microsoft Excel as example,a 2times nonlinear regress analysis ’s process was described,and the results showed that the output was same with SPSS software ，then the statistical significance of the 2times nonlinear regress equation was analyzed.Key words:Excel software;multi analysis;nonlinear regress 注：新疆石河子大学农学院一类课程“生物统计学”支助。 作者简介：龚江（1976-），男，硕士，讲师，研究方向：生物统计教学和植物营养。收稿日期：2010-12-10 大量统计软件的问世，使统计分析在科研领域迅速普及应用。众所周知，统计软件如SAS 、SPSS 等虽然功能强大，但较难掌握，并且市面上出售的统计软件大都是盗版软件，不但运行结果的可靠性无法保证，也侵犯了知识产权。对于大多数科研工作者，尤其是基层的科研工作者来说，经常使用的统计软件与涉及的方法也很有限，主要集中在方差分析、回归与相关分析等少数几种方法上，并不需要包罗万象、功能强大的统计软件。而正版统计软件也由于其价格不菲，难以被大多数科研工作者承受。Excel 是Office 家族的一个成员，是功能强大、使用方便的电子表格式数据综合管理与分析系统，可用来记录和整理试验数据。另外，Excel 也具备一些统计运算的功能 [1] ，若能 巧妙地使用，也可以解决一些较为复杂的农业统计运算问题，如多元非线性回归的问题等，其统计结果和 SPSS 软件结果一致。 1Excel 统计功能的安装 单击Microsoft Excel 中文版菜单栏中“工具”的 “加载宏”命令，在“加载宏”对话框中选定“分析工具库”，再按“确定”钮（见图1）， “数据分析” 这一项就出现在工具菜单栏中（见图2）。若Excel “工具”中的“加载宏”没有“分析工具库”，则将 Office Excel 中文专业版光盘放入光驱中，运行“安装”程序，点击“添加/删除”按钮，出现“Microsoft Office 维护”对话框后，在“选项”一栏中，选中“Microsoft Excel ”，然后单击“更改选项”按钮，出现新的对话框，再选中“加载宏”继续单击“更改选项”按钮，在新的对话框中选取分析工具库，确定即可，之后按照安装向导的指示即可顺利安装。 图1Excel 统计功能的安装

非线性回归分析(教案)

1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.

多元线性回归分析预测法

多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释

因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得

案例分析报告(一元线性回归模型)

案例分析报告（2014——2015学年第一学期） 课程名称：预测与决策 专业班级：电子商务1202 学号： 2204120202 学生姓名：陈维维 2014 年 11月

案例分析（一元线性回归模型） 我国城镇居民家庭人均消费支出预测 一、研究目的与要求 居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为11242.85元，最低的青海省仅为人均8192.56元，最高的上海市达人均19397.89元，上海是黑龙江的2.37倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。 二、模型设定 我研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。 所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。 因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模

非线性回归分析

非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+， 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.

多元线性回归模型案例

我国农民收入影响因素的回归分析 本文力图应用适当的多元线性回归模型,对有关农民收入的历史数据和现状进行分析,探讨影响农民收入的主要因素,并在此基础上对如何增加农民收入提出相应的政策建议。?农民收入水平的度量常采用人均纯收入指标。影响农民收入增长的因素是多方面的，既有结构性矛盾因素，又有体制性障碍因素。但可以归纳为以下几个方面：一是农产品收购价格水平。二是农业剩余劳动力转移水平。三是城市化、工业化水平。四是农业产业结构状况。五是农业投入水平。考虑到复杂性和可行性，所以对农业投入与农民收入，本文暂不作讨论。因此，以全国为例，把农民收入与各影响因素关系进行线性回归分析，并建立数学模型。 一、计量经济模型分析 (一)、数据搜集 根据以上分析，我们在影响农民收入因素中引入7个解释变量。即：2x -财政用于农业的支出的比重，3x -第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重，4x -非农村人口比重，5x -乡村从业人员占农村人口的比重，6x -农业总产值占农林牧总产值的比重，7x -农作物播种面积，8x —农村用电量。

资料来源《中国统计年鉴2006》。 (二)、计量经济学模型建立 我们设定模型为下面所示的形式： 利用Eviews 软件进行最小二乘估计，估计结果如下表所示： DependentVariable:Y Method:LeastSquares Sample: Includedobservations:19 Variable Coefficient t-Statistic Prob. C X1 X3 X4 X5 X6 X7 X8 R-squared Meandependentvar AdjustedR-squared 表1最小二乘估计结果 回归分析报告为： () ()()()()()()()()()()()()()()() 2345678 2? -1102.373-6.6354X +18.2294X +2.4300X -16.2374X -2.1552X +0.0100X +0.0634X 375.83 3.7813 2.066618.37034 5.8941 2.77080.002330.02128 -2.933 1.7558.820900.20316 2.7550.778 4.27881 2.97930.99582i Y SE t R ===---=230.99316519 1.99327374.66 R Df DW F ====二、计量经济学检验 (一)、多重共线性的检验及修正 ①、检验多重共线性 (a)、直观法 从“表1最小二乘估计结果”中可以看出，虽然模型的整体拟合的很好，但是x4x6

多元非线性回归

多元非线性回归 目录 1 什么是多元非线性回归分析 2 多元非线性回归分析方程 3 多元非线性回归分析模型[1] 什么是多元非线性回归分析 多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。 多元非线性回归分析方程 如果自变数X_1,X_2,\cdots,X_m与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。例如，二元二次多项式回归方程为：{y}=a+b_{11}x_1+b_{21}x_2+b_{12}x_1^2+b_{22}x_2^2+b_{11 \times22}x_1x_2 令b_1=b_{11},b_2=b_{21},b_3=b_{12},b_4=b_{22},b_5=b_{11\tim es22},及x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1\cdot x_2,于是上式化为

五元一次线性回归方程： \widehat{y}=a+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4+b_5x_5 这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。 多元非线性回归分析模型[1] 一、常见的内蕴多元性回归模型 只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。 1.多重弹性模型 (y_1;x_{11},x_{12}\cdots,x_{1k}),(y_2;x_{21},x_{22}\cdots,x_{2k}),\ cdots,(y_n;x_{n1},x_{n2}\cdots,x_{nk})是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型 y_i=\beta_0x_{i1}^{\beta_1}x_{i2}^{\beta_2}\cdots x_{ik}^{\beta_k}e^{\epsilon_{i}} (1) 上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。 2.Cobb-Dauglas生产函数模型 y_i=AK_{i}^aL_i^{\beta}e^{\epsilon_{i}},i=1,2,\cdots,n (2) 其中，yi表示产出总量，Ki为资本要素，Li为劳动力要素，A、

实验六-用SPSS进行非线性回归分析

实验六用SPSS进行非线性回归分析 例：通过对比12个同类企业的月产量(万台)与单位成本(元)的资料(如图1)，试配合适当的回归模型分析月产量与单位成本之间的关系

图1原始数据和散点图分析 一、散点图分析和初始模型选择 在SPSS数据窗口中输入数据，然后插入散点图(选择Graphs→Scatter命令)，由散点图可以看出，该数据配合线性模型、指数模型、对数模型和幂函数模型都比较合适。进一步进行曲线估计：从Statistic下选Regression菜单中的Curve Estimation命令；选因变量单位成本到Dependent框中，自变量月产量到Independent框中，在Models框中选择Linear、Logarithmic、Power和Exponential四个复选框，确定后输出分析结果，见表1。 分析各模型的R平方，选择指数模型较好，其初始模型为 但考虑到在线性变换过程可能会使原模型失去残差平方和最小的意义，因此进一步对原模型进行优化。 模型汇总和参数估计值 因变量: 单位成本 方程模型汇总参数估计值 R 方 F df1 df2 Sig. 常数b1 线性.912 104.179 1 10 .000 158.497 -1.727 对数.943 166.595 1 10 .000 282.350 -54.059 幂.931 134.617 1 10 .000 619.149 -.556 指数.955 212.313 1 10 .000 176.571 -.018 自变量为月产量。 表1曲线估计输出结果

二、非线性模型的优化 SPSS提供了非线性回归分析工具，可以对非线性模型进行优化，使其残差平方和达到最小。从Statistic下选Regression菜单中的Nonlinear命令；按Paramaters按钮，输入参数A：176.57和B：-.0183；选单位成本到Dependent框中，在模型表达式框中输入“A*EXP(B*月产量)”，确定。SPSS输出结果见表2。 由输出结果可以看出，经过6次模型迭代过程，残差平方和已有了较大改善，缩小为568.97，误差率小于0.00000001， 优化后的模型为： 迭代历史记录b 迭代数a残差平方和参数 A B 1.0 104710.523 176.570 -.183 1.1 5.346E+133 -3455.813 2.243 1.2 30684076640.87 3 476.032 .087 1.3 9731 2.724 215.183 -.160 2.0 97312.724 215.183 -.160 2.1 83887.036 268.159 -.133 3.0 83887.036 268.159 -.133 3.1 59358.745 340.412 -.102 4.0 59358.745 340.412 -.102 4.1 26232.008 38 5.967 -.065 5.0 26232.008 385.967 -.065 5.1 7977.231 261.978 -.038 6.0 797 7.231 261.978 -.038 6.1 1388.850 153.617 -.015 7.0 1388.850 153.617 -.015 7.1 581.073 180.889 -.019 8.0 581.073 180.889 -.019 8.1 568.969 182.341 -.019 9.0 568.969 182.341 -.019 9.1 568.969 182.334 -.019 10.0 568.969 182.334 -.019 10.1 568.969 182.334 -.019 导数是通过数字计算的。 a. 主迭代数在小数左侧显示，次迭代数在小数右侧显示。 b. 由于连续残差平方和之间的相对减少量最多为SSCON = 1.000E-008，因此在 22 模型评估和 10 导数评估之后，系统停止运行。

(完整word版)多元线性回归模型案例分析

多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据

设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024

多元非线性回归

多元非线性回归分析是一种多元非线性回归模型。传统的求解多元非线性回归模型的方法仍然是将其转化为标准的线性多元回归模型。 一些非线性回归模型通过适当的数学变换可以得到线性化的表达式，而对于其他非线性回归模型，仅仅通过变量变换是没有帮助的。属于前者的非线性回归模型通常称为内在线性回归，而后者称为内在非线性回归。 补充资料：线性回归 线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两个或多个变量之间的定量关系的一种统计分析方法。表达式形式为y=w'x+e，e为误差的正态分布，平均值为0。 在回归分析中，只包含一个自变量和一个因变量，二者之间的关系可用直线近似。这种回归分析称为单变量线性回归分析。如果回归分析包含两个或两个以上的自变量，且因变量与自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。 在统计学中，线性回归是一种回归分析，它使用称为线性回归方程的最小二乘函数来建模一个或多个自变量和因变量之间的关系。这个函数是一个或多个模型参数的线性组合，称

为回归系数。只有一个自变量的情况称为简单回归，有多个自变量的情况称为多元回归。（这应该再次通过由多个因变量而不是单个标量变量预测的多元线性回归来区分。）在线性回归中，数据由线性预测函数建模，未知模型参数由数据估计。这些模型称为线性模型。最常用的线性回归模型是仿射函数，其中给定值x的条件平均值为x。在不太常见的情况下，线性回归模型可以是Y或其他分位数条件分布的中值。与所有形式的回归分析一样，线性回归侧重于给定x值的Y的条件概率分布，而不是x和Y的联合概率分布（在多元分析领域）。 线性回归是第一个经过严格研究并在实际应用中得到广泛应用的回归分析方法。这是因为与未知参数线性相关的模型比与位置参数非线性相关的模型更容易拟合，并且更容易确定结果估计值的统计特性。 线性回归模型通常采用最小二乘法进行拟合，但也可以采用其他方法进行拟合，如最小化其他规范中的“拟合缺陷”（如最小绝对误差回归）或最小化桥梁回归的惩罚函数最小二

多元回归分析SPSS

多元线性回归分析预测法 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。

设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b 0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x 1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即，x 2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b 0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加 一个单位对y的效应，即x 2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b 0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自 变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之 因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b 0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得

多元线性回归实例分析

SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：

点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：

将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）