傅里叶变换性质及常用变换
正反变换 2()()j ft
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12()()x t x t αβ+ 12()()X f X f αβ+ 12()()X X αωβω+ *()x t *()X f - *()X ω-
()X t ()x f - 2()X πω- 02()j f t x t e π 0()X f f - 0(2)X f ωπ-
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+∞=-∞=-∞-=∑∑ 1()n n f T T δ+∞=-∞-∑ 0002()()n n T π
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(0)t e αα-> 22
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傅里叶变换的性质
§3–4傅里叶变换的性质 设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数， 则有如下性质： 一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω) 二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω) 证明： 将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t， 或： ， 即：F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3：已知 ， 再令 ==> ←→2πG(-ω) 三、尺度变换： (α≠0的实数) 可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性： (此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移)： P.69-70例3-4请大家浏览。
五、频移性：
(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理： 欧拉公式 ? 例如门信号的调制：
显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积： f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω) 证明： 时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法： 时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)] 八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论: 条件： 例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性：
实验3 傅里叶变换及其性质
实验3 傅里叶变换及其性质 1. 实验目的 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 2. 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞==?， 傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞--∞==?。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方 法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1） F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2） F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω， 即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞=?。 （3） F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的 函数，即()()jvu F v f t e du ∞ --∞=?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1） f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默 认返回是关于x 的函数。 （2） f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。 （3） f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号 变量或者符号表达式。
傅里叶变换的基本性质.
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若-'1 ' 一 1 一八 餐丄I 则 嗽（0 +罰⑷ G 迅（j 由）+ 碍（Jtu ） （3-55） 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数 ，； 「" 由式（3-55）得 =侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ — 2 2 2 2 JtD J QJ 、对称性 （3-56） 则」 将上式中变量少换为x ，积分结果不变，即 证明因为 fC ）二丄「EQ 讣叫田 N J 2^(i) = f F(J 噪叫 a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕 J —TO
」一 再将t用夕代之，上述关系依然成立，即 2戒（―型）-[ Jr-CD 最后再将x用t代替，则得—Lm—? ” 所以,fl- —■-'■ ■■* 证毕 若八」是一个偶函数，即-'二丿■，相应有-，："J，则式（3-56） 尺〔血—2对'（创）C3-57） 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数二丁。式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：/（0 =郭）一S）=l FS）= 1一2才㈣=2斶眄 例3-7若信号；二的傅里叶变换为 < r 72 G3> r <2 试求。 解将中的"换成t,并考虑;-"；1为兰的实函数，有 M |r|G 戈 0 |t|>r/2 该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为 頁恥）卜2氓旳（号）
傅里叶变换的基本性质 (2)
3-5 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、 线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数)(ωj F 。 解 因 由式(3-55)得 二、对称性 若 证明 因为 有 将上式中变量ω换为x ，积分结果不变，即 再将t 用ω代之，上述关系依然成立，即 最后再将x 用t 代替，则得 所以 证毕 若)(t f 是一个偶函数，即)()(t f t f =-，相应有)()(ωωf f =-，则式(3-56)成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数π2。式中的ω-表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如
例3-7 若信号)(t f 的傅里叶变换为 试求)(t f 。 解 将)(ωj F 中的ω换成t ，并考虑)(ωj F 为ω的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为 根据对称性 故 再将)(ω-f 中的ω-换成t ，则得 )(t f 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 观看动画 若 则 证明 因a ＞0，由 令at x =，则adt dx =，代入前式，可得 函数)(at f 表示)(t f 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a 倍，而 ) (a j F ω 则表示 )(ωj F 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a 倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8 已知 ,求频谱函数)(ωj F 。 解 前面已讨论了
傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用
1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的 成分。Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少 方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理 论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论 依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展 也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和 拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论， 并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理） 若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：
二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波
实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波 一、实验目的 1、了解图像傅里叶变换的物理意义； 2、掌握频域滤波原理； 3、熟悉傅里叶变换的基本性质； 4、熟练掌握FFT的变换方法及应用； 5、通过实验了解二维频谱的分布特点； 二、实验平台 计算机和Matlab语言环境 三、实验内容 1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示 2、频域滤波器处理图像 3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性) 四、实验步骤 1、二维傅里叶变换的性质 1> 二维傅里叶变换 构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换 f = zeros(64,64); for j=1:5 f(:,j*10:j*10+1)=1; end F=fft2(f);Fc=fftshift(F); subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换'); 2> 比例变换性 将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 fresize=imresize(f,2); fresize=fresize(31:94,31:94);
Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize); subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶'); 3> 旋转 将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 frotate=imrotate(f,45);%图像旋转 Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶'); 4> 可分性 首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶 for i=1:64 fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 end for j=1:64 fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 end Fc3=fftshift(fft_col); figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');
傅里叶变换性质证明
2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为「"和F』-, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广，若- - - 「出■,则 其中匚为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒心?］的?卜伽）1 2.6.2反褶与共轭性 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 綁new九 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(幼 因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳 寻共觇提到积分之外根据傅里 叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 町(卯訂:厂(号叫fe 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则 *曾筍％芳遛凸■_苗苫 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
FLTH)] = F? 町甘D FLH 心FH) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相 位或者实部与虚部两部分，即 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得 尺(耐=][/(f)cosaf 址 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是 FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询) 根据定义，上式还可以写成 (2-33) 呎弊)=arc tan ［制 (曲)=2[
傅立叶变换
傅里叶变换 ●傅里叶变换 ?傅里叶变换及其反变换 ?傅里叶变换的性质 ?快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 ?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通 ?滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ?可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ?一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行
● 一维连续傅里叶变换及反变换 ?单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为 其中，?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) ?∞ ∞-=f u F )(1 -=j ?∞ ∞-=x f )(
● 二维连续傅里叶变换及反变换 ?二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 ?给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y) () dy dx e y x f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=π2),(),(() dv du e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞∞-+=π2),(),(傅里叶变换
● 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换?单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为 u=0,1,2,…,M-1?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) x=0,1,2,…,M-1∑-==1 1 )(M x f M u F ∑-==1 0)(M u x f
● 一维离散傅里叶变换及反变换 ?从欧拉公式()(∑-=-=1 2cos(1 M x x f M θcos e j =()∑-=-=1 )2(1)(M x ux j e x f M u F π()(∑-==1 02cos 1 M x x f M π
常用函数傅里叶变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换 .
.
. 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质 2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 (1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
(2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭