搜档网
当前位置:搜档网 › 积分变换(12-13-1.A1)参考答案

积分变换(12-13-1.A1)参考答案

积分变换(12-13-1.A1)参考答案
积分变换(12-13-1.A1)参考答案

2012---2013学年第1学期

积分变换(A 卷)参考答案及评分标准

一.解:函数()t e

t f t

sin -=在()+∞∞-,连续. 根据Fourier 积分公式有

()??+∞

∞-+∞∞---??

????=

ωπ

ωωd e dt te e t f t i t i t sin 21. 3分 首先有

???

+∞

--∞

--+∞

---+=0

sin sin cos dt te e dt te

e dt te

e

t i t t

i t t

i t

ωωω. 5分

根据Euler 公式有 ()

it it

e e i

t --=

21sin , 于是有 ()()??? ??-=???

∞---∞

--++∞

---010121sin dt e dt e i dt te e

t i i t i i t

i t

ωωω

()()??? ?

?-+??+∞---+∞-+-010121dt e dt e i t i i t

i i ωω ()()???? ??---

-+=∞

---∞

--+010

11121ω

ω

ωωi i e i i e i t i i t i i ()()???

? ??+++

-+-+∞+++-∞

+-+-0

10

11121ω

ω

ωωi i e i i e i t i i t i i ???

??----+=

ωωi i i i i 111121

??

?

??++-+-+

ωωi i i i i 111121

()()???? ??-++--=

111

11121ωωi i i ()()???

? ??++++--

111

11121ωωi i i ()()???

? ??-+-++=22111

111ωωi

4

44

+-

=ωω

i . 7分 注意到被积函数的奇偶性, 所以有

()?

+∞

∞-+-

=ωωω

πωd e i

t f t i 424

?+∞+=044

sin 4ωωωωπd t . 9分

二.解:对方程两边关于函数自变量x 作Fourier 变换. 记()()[]x y F Y =ω, 根据Fourier 变换的微分和积分性质有

()()[]x F i Y Y i sin 2=-

ω

ωωω. 2分 根据Euler 公式和Fourier 变换的定义有

[]()

?

+∞

∞----=dx e e e i x F x i ix ix

ω21sin ()()??+∞

-+-+∞∞----=dx e i dx e i x i x i 112121ωω ()()()11--+=ωδωδπi . 4分

所以 ()()()()111

22--++=

ωδωδωπω

ωY . 5分

根据Fourier 逆变换的定义和-δ函数的筛选性质有

()()[]ωY F x y 1-=

()()()?

+∞∞

-+--+=ωωω

ωδωδωd e x i 1

112

()

()

??+∞

-+∞

-+--++=ω

ωωωδωωωωδωωd e d e

x i x

i 1

11

12

2

()

ix ix

e e -+-

=2

1 x cos -=. 8分

三.(1).解:信号的能量谱密度()()[]τωR F S =. 因此有

()?+∞

∞---=τωωττ

d e e

S i

??+∞

--∞

--+=00

ττωττωτ

τd e e d e

e i i

()()∞++-∞

--+-

-=

10111ω

ω

τωτωi e i e i i

ωωi i ++-=

11

11 1

2

2

+=ω. 2分 (2).解:()τττ

cos -=e R 信号的能量谱密度()()[]τωR F S =. 根据Fourier 变换的卷积定

理有

()[

]

τωτ

cos -=e

F S .

[]

[]τπ

τ

cos 21F e F *=

-. 6分

根据Euler 公式和Fourier 变换的定义有

[]()

?

+∞

∞---+=ττωτττ

d e e e F i i i 21cos ()()??+∞

-+-+∞∞---+=τττωτωd e d e i i 112121 ()()()11-++=ωδωδπ. 4分

根据(1)的结果有 []122

+=-ωτ

e

F , 所以根据卷积定义和-δ函数的筛选性质有

()()()()111

1

2

-++*+=

ωδωδωωS ()()()()

?

+∞

-+--++=τ

τωτδτδd 1

1

112

()

()

1

11

1

11

2

2

+-+

++=

ωω

4

2

24

2++=ωω. 8分 四.解:根据Laplace 变换的微分性质有

]sin []sin [0202dt t

t

e L ds d dt t t e t L t t t

t ??---=. 1分

根据Laplace 变换积分性质有

??

????=--?t t e L s dt t t e L t t

t sin 1]sin [202. 2分 根据Laplace 变换象函数的积分性质有

[]

d s t

e L t

t

e L s t t ?∞--=sin ]sin [

22. 3分 由1

1

][sin 2

+=

s t L , 根据Laplace 变换的位移性质有 ()

1

21

]sin [2

2++=

-s t e L t . 5分

逐步回代有 ()?∞-++=s t s ds

t t e L 1

2]sin [22

()22

+-=

s arctg π

. 6分

()??

????+-=?-221]sin [02s arctg s dt t t e L t

t π. 7分 所以 ()()

()21

541][2

2++++=

s a r c c t g s

s s s t f L . 8分 五.解:根据Laplace 变换的线性性质和卷积定理有

()[](

)()()

(

)()()

??????++++??????++++=---121112122

21

2211s s L s s s L s F L

()()

??????

+++*??????+=--12211212

1

s s L s L

()()

??

????

++*?

?????++--121112121s L s L . 2分 根据Laplace 变换的位移性质有

()()??????+=??????+++---112221221s s L e s s L t , ()()

??????+=??

????++---1112121221s L e s L t . 注意到t s L sin ]11[

21

=+-, t s s L cos ]1

[2

1

=+-, 所以有 ()t t e t t e s F L t t sin sin sin cos ][221*+*=---. 6分

根据卷积的定义有

t

t e t t e t t sin sin sin cos 22*+*--

()()??-+=-t d t e 0

2sin sin cos τττττ

()?--

=t

d t 03cos 3

1ττ ()()??

??

??-?---=?t

t

t d t 00

3cos 3cos 31

τττ

τ

??-=t

d t 0

3cos 313ττ

9

3sin 3t t -=

. 9分 所以 ()[]()t t e s F L t 3sin 331-=-. 10分

复变函数与积分变换试卷1-答案

《复变函数与积分变换》期末试卷1 参考答案及评分标准 第一题:填空。 1.1; 2. 连通开集; 3. 奇点; 4. 3-; 5. 圆周; 6.解析; 7. 绝对收敛; 8. 本性奇点; 9. 0 0lim()()z z z z f z →-; 10. 保角性。 第二题:选择。 1:B ;2:A ;3:C ;4:D ;5:B 。 第三题:计算。 1:13(23)13(arctan 2)22 n n L i l i k ππ-+=+-+,k Z ∈; 模2分,辐角4分 2:C 的参数方程为0(02)i z z re θθπ=+≤≤ 22(1)10001()i i n n n in n C dz ire d e d z z r e r θ ππθθθθ---==-??? 221 1 cos(1)sin(1)n n i i n d n d r r π π θθθθ--= -+ -? ? (4分) 21 01i n n π=?=?≠? 。(2分) 3:1 10 ()1n k k n n k S z z z -+==-=-∑。 (1分) 当1z <时,lim 1n n S →∞ =-,故级数收敛于1-; 当1z =时,lim 0n n S →∞ =,故级数收敛于0; 当1z =-时,lim n n S →∞ 不唯一,故级数发散; 当1z =而i z e θ=(0)θ≠时,cos sin n z n i n θθ=+,因为cos n θ和sin n θ的极限都不存在,所以lim n n S →∞ 不存在,级数发散; 当1z >时,级数显然发散。 (以下讨论每步1分) 4:显然,点ai 是函数的二阶极点。 2 22 2R e [(),]l i m [()]() ibz z ai d e s f z ai z az dz z a →=-+2 l i m []()ibz z ai d e dz z ai →=+ (4分) 2321lim ()4ibz ab z ai ibz ab ab e i z ai a e →--+==-+。 (2分) 5:0 ()()j t j t F f t e dt Ae dt τ ωωω+∞ ---∞==??()(1)0j t j t A A e e j j ωωτω ω--=-=-。 (第一步4分,结果2 分)

复变函数与积分变换习题答案

习题六 1. 求映射1 w z = 下,下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠,为实数) 解:2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解: 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么? (1)Im()0, (1i)z w z >=+; 解: (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 00, 00. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222 ,u v y x u v u v ==++ 因为0 + 故i w z = 将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12 12w > (以(12,0)为圆心、 1 2为半径的圆)

复变函数与积分变换第五版习题解答

复变函数与积分变换第五版答案 目录 练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24) 练 习 一 1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 (1)i i i i 524321-- --; 解:i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re (2)3 ) 231(i + 解: 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2.将下列复数写成三角表示式。 1)i 31- 解:i 31-

)35sin 35(cos 2ππi += (2)i i +12 解:i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3.利用复数的三角表示计算下列各式。 (1)i i 2332++- 解:i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== (2)4 22i +- 解:4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4..设 321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又 ,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量

复变函数及积分变换试题及答案

第一套 第一套 一、选择题(每小题3分,共21分) 1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。 A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?( ) 。 A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的( )。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。 A. 22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. k s 1 . 二、填空题(每小题3分,共18分) 1. 23 (1)i += [1] ; ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数与积分变换第六章测验题与答案

第六章 共形映射 一、选择题: 1.若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小,那么该区域G 是 ( ) (A )21< z (B )211<+z (C )21>z (D )2 11>+z 2.映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) (A )0 (B ) 2 π (C )π (D )2 π - 3.映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) (A )1 (B )2 (C)1-e (D )e 4.在映射i e iz w 4 π +=下,区域0)Im( w (B )22)Re(->w (C )22)Im(> z (D )2 2 )Im(->w 5.下列命题中,正确的是( ) (A )n z w =在复平面上处处保角(此处n 为自然数) (B )映射z z w 43 +=在0=z 处的伸缩率为零 (C ) 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1w 的分式线性变换,那么)()(21z f z f = (D )函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6.i +1关于圆周4)1()2(2 2 =-+-y x 的对称点是( )

(A )i +6 (B )i +4 (C )i +-2 (D )i 7.函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π<w (C ) 0)Im(>w (D )0)Im(z 映射为( ) (A )ππ <<- w arg 2 (B ) 0arg 2 <<- w π (C ) ππ <z 映射成圆域2

(1) (2) 六、(10)1、求将上半平面lm(z>0映射到单位圆域,且满足 arg r(n =匸 ■,的分式线性映射,。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域? 「2 (f f(t)-- 七、(5分)求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、(6分)求’1的拉普拉斯变换。 九、(5分)求的拉氏逆变换。 十、(6分)利用拉氏变换(其它方法不得分)求解微分方程: 一、参考答案及评分标准:(本大题共3小题,每小题5分,总计15分) 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、

2 1 四、参考答案及评分标准:(每小题 5分,共25分) 由柯西-黎曼方程得: ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准:(10分) v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」;、’;J/' 二、参考答案及评分标准:( 8 分) 解: ■ 异上F ,因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ,所以 为调和函数. 证明:

复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题(一) 一、填空(3分×10) 1.)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2.-8i的三个单根分别为: , , 。 3.Ln z在 的区域内连续。 4.z z f =)(的解极域为:? ?? ? 。 5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 6.=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 7.指数函数的映照特点是:??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (t)],则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且f(0)=0。 三、(10分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分(5分×2) 1.?=-2 ||) 1(z z z dz

2.? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、(10分)求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1.1||0<-

积分变换课后答案

1-1 1. 试证:若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件,则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析:由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题,请读者试 用三角形式证明. 证明:利用Fourier 积分的复数形式,有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2.求下列函数的Fourier 积分: 1)()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数,其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F

复变函数与积分变换试题与答案

复变函数与积分变换试题与答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设复数z 1cos i sin 33π π =++,则arg z=( ) A.-3π B.6π C.3π D.23π 2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的( ) A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是( ) A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.e z ≠0 D.z -3的定义域为全平面 4.设C 为正向圆周|z|=1,n C sin z dz z ?=2π i ,则整数n 为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2,则2C z dz z ?=( ) A.-2πi B.0 C.2πi D.4πi 6.设C 为正向圆周|ξ|=2,f(z)=2C sin 6 d (z) π? ??-?,则f′(1)=( ) A.-3 i 36 π B.3 i 36π 7.设n n n 0a z ∞ =∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0 (a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1,R 2和R ,则( ) A.R=R 1 B.R=min{R 1,R 2} C.R=R 2 D.R≥min{R 1,R 2} 8.罗朗级数n n n 1n 0n 0 1z z 2∞ ∞-==+∑∑的收敛域为( ) A.|z|<1 B.|z|<2 C.1<|z|<2 D.|z|>2 9.已知sinz=n 2n 1 n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑,则Res 4sin z ,0z ?? =????( ) A.1 B.-1 3!

复变函数与积分变换答案马柏林、李丹横、晏华辉修订版,习题2

习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解:设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=,表示椭圆. 2. 在映射2w z =下,下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形,设e i w ?ρ=或i w u v =+. (1)π02,4r θ<<= ; (2)π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解:设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=,则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段,即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=,则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域,即π04,0.2 ρ?<<<<

(3) 记w u iv =+,则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解:令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解:设z =x +y i ,则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. (3) 2lim (1) z i z i z z →-+; 解:2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.

相关主题