1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)教案

1.5函数y=Asin(ωx+?)(A>0，ω>0)的图象

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4

课题：1.5函数y = Asin(ωx+?)的图象

一、教学目标：

1、知识与技能

1.?对y = sin(x+?)的图像的影响。

2.ω对y = sin(ωx+?)的图像的影响。

3. A对y = Asin(ωx+?)的图像的影响。

4. y = Asin(ωx+?)的图像的画法。

2、过程与方法

1.会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作y = sin(x+?)、y = sin(ωx+?)、y = Asin(ωx+?)的图像。

2.会用五点法和图形变换法作出y = Asin(ωx+?)的图像。

3、情感态度价值观

1.渗透数形结合思想、增强作图能力;了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；培养全面分析、抽象和概括的能力。

2.培养动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，并解决问题。

二、教学重点、难点

1、教学重点：将参数A，ω，?对函数y = Asin(ωx+?)图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。

2、教学难点：ω对函数y = Asin(ωx+?)的图象的影响规律的概括

3、教学关键：理解三个参数A、ω、φ对函数y = Asin(ωx+?)（ω＞0，A＞0）图像的影响。

三、课前准备

教师准备：教学课件

四、教学过程：

一、导入新课，提出课题

师：数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y 随着时间x 变化的图象图（1），如果将图象局部放大，便得到图（2），看图（2）它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y = Asin(ωx+?)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题。

揭示课题：函数y = Asin(ωx+?)的图像（一）（板书）

（1） （2） 二、推进新课

师： 要研究这个函数跟正弦函数的关系，那我们看这个解析式y = Asin(ωx+?)，它分别有三个参数，一个是A ，一个是ω，还有一个是?，那如果以此式研究它的话，有点困难，并且难以看出这三个参数的影响，因此我们一个一个去研究它。

探究一：参数?对y = sin(x+?)的图像的影响

1、用五点作图法在同一个坐标系里，作出函数y = sinx 和y = sin(x-

3π)的函数图像，并比较这两个函数图像的关系

教师引导学生从图像直接看出来只要将y= sinx 的图像向右平移3

π个单位便得到

函数y = sin(x-3

π)的图像。 1.1、请说明怎么由y = sinx 得图像得到y = sin(x+4

π)的图像？ 教师用多媒体动画演示让学生发现：只需将y = sinx 图像向左平移

4π个单位，就能够得到函数y = sin(x+4

π)的图像 1.2、怎样由函数y = sinx 图象得到y = sin(x+?)的函数图象？

思考1：如果再变换?的值，类似的情况是否不断出现？

结论：函数y = sin(x +?)的图象可由函数y = sinx 的图象向左(?＞0)或向右（?＜0）平移|?|个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少) |?|个单位，这种变换称为平移变换。

思考2：当?改变时，?改变了该函数的那些性质？

结论：教师利用几何画板为学生演示，让学生发现?其实只是改变了函数图像的位置，其他的没有改变。

探究二：参数ω对y = sin ωx 的图像的影响

2、用五点作图法在同一个坐标系里作出函数y = sinx 和y = sin2x 的简图，并讨论这两个函数图象的关系

学生通过作图，发现把y = sinx 图像上点的横坐标缩短到原来的

2

1倍，纵坐标不变，得到函数y = sin2x 的函数图像。

思考3：如果某时候你没有图像，你能否从解析式上看出来这个规律呢？

教师引导学生从列表中看出这些点的关系，当y 取1的时候对应的那两个自变量

x ，2x 中的x 恰好是sinx 里面x 的2

1倍，曲线上每一个点都有这种规律，导致整条曲线都有这样的关系，当然可以取一些其他的点，这样我们就可以得到y = sinx 和y = sin2x 的关系 2.1、请说明怎么由y = sin(x+

3π)得图像得到y = sin(2x+3

π)的图像？ 教师引导学生观察图像得出要想得到y = sin(2x+3

π)的图像，只需将函数y = sin(x+3π)上点的横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，就可以了 2.2、如何由y = sinx 图象得到函数y = sin ωx (ω>0)的图象呢？

结论：将上述结论一般化，归纳出y = sin ωx (ω>0)的图像与y = sinx 图象的关系

当ω>1时，y = sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

ω

1倍（纵坐标不变）便得到y = sin ωx 的图象

当(0＜ω<1) 时，y = sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

ω1倍（纵坐标不变）便得到y = sin ωx 的图象

思考4：ω改变时，ω究竟影响了函数图像的什么性质？

结论：教师通过几何画板展示，引导学生发现ω实际上就是影响了这个函数的周期

探究三：参数A 对y = Asin x 的图像的影响

师：前面我们研究了2个参数，接下来研究第三个参数

3、用五点作图法在同一个坐标系里，作出函数y = sinx 和y =

21sinx 的简图，并讨论着两个函数图像的关系

学生通过作图发现：要想得到y = 2

1sinx 的图像，只需将y = sinx 图像上所有点的纵坐标缩短到原来的2

1倍，其中横坐标不变，那么我们就可以得到y = 21sinx 的图像 思考5：如果某时候你没有图像，从解析式上看它是怎么样的？

教师引导学生观察表格中的点发现：比如x 取2

π的时候，他们的纵坐标一个是1，另外一个是21，21恰好就是1的2

1倍，因此就形成了这么一种特殊的关系 3.1、怎么由y = sin(2x+3π)的图像得到y = 3sin(2x+3

π)的图像？ 教师通过几何画板展示引导学生发现：将y = sin(2x+3

π)横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的3倍，就可以得到y = 3sin(2x+3

π)的图像 3.2、怎么由y = sinx 的图像得到y = Asinx 的图像呢？

结论：

当A>1时，将y = sinx 图像上点的纵坐标伸长到原来的A 倍，（横坐标不变）便

得到了y = Asinx 的图像

当0

3.1、怎么由y = sin(2x+3π)的图像得到y = 3sin(2x+3

π)的图像？ 教师通过几何画板展示引导学生发现：将y = sin(2x+3

π)横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的3倍，就可以得到y = 3sin(2x+3

π)的图像 思考6： A 改变时，A 改变了这个函数的那个性质？

结论：A 影响了这个函数的值域，也就是最大值与最小值。

五、练习:（课本练习1，2）

六、小结与布置作业

（一）小结：

1、函数图象的变换过程

2、作正弦型函数y=Asin(ωx+?) 的图象的方法：

（1）利用变换关系作图; （2）用“五点法”作图.

3、本课蕴含着数形结合、类比、由简单到复杂、由特殊到一般等数学思想方法。

（二）布置作业：

1、教材P 57 习题1.5 第 1、

2、（1）、（3）题。

2、课下思考：由x y sin =到)sin(?+=wx A y 的变换过程？

独立同分布随机变量序列的顺序统计方法(2019)

独立同分布随机变量序列的顺序统计方法 设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ，对其按从小到大的顺序排列，得到新的随机序列12,,...,n y y y ，满足：12...n y y y ≤≤≤；假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量，每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。 (1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y 解：k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之 和：12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值，而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ，对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y 事件的个数(变量的组合数)为111n n k -???? ???-???? ，每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---，则 11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---????=- ???-???? => 1!()()[1()]() (1)(1)!()! k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --= -≤≤-- (2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解：(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率

初三数学 坐标与函数

初三数学坐标与函数 1. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（） A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1）D．（3，l） 2.已知M(3a－9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a等于（） A．1 B．2 C．3 D．0 3.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于原点的对称点在（） A．第一象限；B．第M象限； C．第M象限；D．第四象限 4.如图，△ABC绕点C顺时针旋转90○后得到AA′、B′C′， 则A点的对应点A′点的坐标是（） A．（－3，－2）； B．（2，2）； C．（3，0）； D．（2，l） 5.点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它 关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对 称点坐标为_____． 6.李明、王超、张振家及学校的位置如图所示． ⑴学校在王超家的北偏东____度方向上，与王超家 大约_____米。 ⑵王超家在李明家____方向上，与李明家的距离大约是____米； ⑶张振家在学校____方向上，到学校的距离大约是______ 米． 7.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为了促销制定了两种优惠方法，甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某书法兴趣小组欲购买这种毛笔10支，书法练习本x（x＞10）本． （1）写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙（元）与x（本）之间的关系式；（2）对较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠方法付款更省钱？ 8. 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0．4%． （1）若第x(x≥2）年小明家交付房款y元，求年付房款y（元）与x(年）的函数关系式；（2）将第三年，第十年应付房款填人下列表格中 9. 如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1；第二次将OA1B1变换

图像融合

图像融合 实验目的 1.熟悉图像融合的意义和用途，理解图像融合的原理； 2.掌握图像融合的一般方法； 3.掌握运用MATLAB软件进行图像融合的操作。 实验原理 图像融合（Image Fusion）技术是指将多源信道所采集到的关于同一目标的图像经过一定的图像处理，提取各自信道的信息，最后综合成同一图像以供观察或进一步处理。 高效的图像融合方法可以根据需要综合处理多源通道的信息，从而有效地提高了图像信息的利用率、系统对目标探测识别地可靠性及系统的自动化程度。其目的是将单一传感器的多波段信息或不同类传感器所提供的信息加以综合，消除多传感器信息之间可能存在的冗余和矛盾，以增强影像中信息透明度，改善解译的精度、可靠性以及使用率，以形成对目标的清晰、完整、准确的信息描述。 这诸多方面的优点使得图像融合在医学、遥感、计算机视觉、气象预报及军事目标识别等方面的应用潜力得到充分认识、尤其在计算机视觉方面，图像融合被认为是克服目前某些难点的技术方向；在航天、航空多种运载平台上，各种遥感器所获得的大量光谱遥感图像（其中分辨率差别、灰度等级差别可能很大）的复合融合，为信息的高效提取提供了良好的处理手段，取得明显效益。 一般情况下，图像融合由低到高分为三个层次：数据级融合、特征级融合、决策级融合。数据级融合也称像素级融合，是指直接对传感器采集来得数据进行处理而获得融合图像的过程，它是高层次图像融合的基础，也是目前图像融合研究的重点之一。这种融合的优点是保持尽可能多得现场原始数据，提供其它融合层次所不能提供的细微信息。 图像融合最简单的理解就是两个（或多个）图像间的相加运算。这一技术广泛

应用于多频谱图像理解和医学图像处理等领域。主要分为空域和频域相加。 一、应用MATLAB软件进行两幅图像的融合的主要方法有： 1.图像直接融合； 2.图像傅立叶变换融合； 3.图像小波变换融合。 图像融合的MATLAB程序如下： （1）调入、显示两幅图像的程序语句 load A; X1=X;map1=map; load B; X2=X;map2=map; %打开图像 subplot(1,2,1) image(X1),colormap(map1); title(‘图像map1’) subplot(1,2,2) image(X2),colormap(map2); title(‘图像map2’) %显示两幅图像 （2）两幅图像直接融合的程序语句 figure,subplot(1,3,1) image((X1+X2)/2),colormap(map2); %在空域内直接融合 title(‘两图像直接相加融合’) %显示融合后的图像，并命名为“两图像直接相加融合” （3）两幅图像傅立叶变换融合的程序语句 F1=fft2(X1); F2=fft2(X2); %分别计算两幅图像的快速傅立叶变换

一次函数表达式与坐标

一次函数表达式与坐标（讲义） 一、 知识点睛 1. 一次函数表达式 直线（函数图象） 坐标 点 2. 坐标系中处理问题的原则 （1）坐标转线段长、线段长转坐标； （2）作横平竖直的线． 二、 精讲精练 1. 若点M 在函数y =2x -1的图象上，则点M 的坐标可能是（ ） A ．(-1，0) B ．(0，-l) C ．(1，-1) D ．(2，4) 2. 若直线y =2x +1经过点(m +2，1-m )，则m =______． 3. 一次函数y =-2x +3与x 轴交于点_____，与y 轴交于点_____． 4. 在一次函数2 1 21+=x y 的图象上，与y 轴距离等于1的点的坐标为 __________________． 5. 若点(3，-4)在正比例函数y =kx 的图象上，那么这个函数的解析式为（ ） A ．43y x = B ．43y x =- C ．34y x = D ．3 4 y x =- 6. 若正比例函数的图象经过点(-1，2)，则这个图象必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(-1，-2) C ．(2，-1) D ．(1，-2) 7. 已知某个一次函数的图象过点A (-2，0)，B (0，4)，求这个函数的表达式. 8. 已知某个一次函数的图象过点A (3，0)，B (0，-2)，求这个函数的表达式. 9. 如图，直线l 是一次函数y =kx +b 的图象，填空： （1）k =______，b =______； （2）当x =4时，y =______； （3）当y =2时，x =______．

10. 已知y 是x 的一次函数，下表给出了部分对应值，则m 的值是________． 11. 一次函数y=kx +3的图象经过点A (1，2)，则其解析式为____________. 12. 若一次函数y=2x+b 的图象经过点A (-1，1)，则b =______，该函数图象经过 点B (1，___)和点C (_____，0)． 13. 若直线y =kx +b 平行于直线y =3x +4，且过点(1，-2)，则将y =kx+b 向下平移3 个单位得到的直线是_____________． 14. 在同一平面直角坐标系中，若一次函数y =-x +3与y =3x -5的图象交于点M ， 则点M 的坐标为（ ） A ．(-1，4) B ．(-1，2) C ．(2，-1) D ．(2，1) 15. 直线y =2x+b 经过直线y=x -2与直线y =3x +4的交点，则b 的值为（ ） A ．-11 B ．-1 C ．1 D ．6 16. 当b=______时，直线y =2x +b 与y =3x -4的交点在x 轴上． 17. 一次函数y =kx +3的图象与坐标轴的两个交点间的距离为5，则k 的值为 __________． 18. 直线y =3x -1与两坐标轴围成的三角形的面积为_________． 19. 已知直线y =kx +b 经过(5，0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积为20，则 该直线的表达式为______________________． 20. 点A ，B ，C ，D 的坐标如图所示，求直线AB 与直线CD 的交点E 的坐标． 21. 如图，已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2：y =-x +5，直线l 1，l 2分别交 x 轴于B ， C 两点，l 1，l 2相交于点A ． （1）求A ，B ，C 三点坐标； （2）S △ABC =________．

三角函数图像变换顺序详解(全面).

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：

将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这

平面直角坐标系与函数知识要点归纳

平面直角坐标系与函数知识要点归纳 怎样确定自变量的取值范围

函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素。求函数自变量的取值范围通常有以下七种方法： 一、整式型：当函数解析是用自变量的整式表示时，自变量的取值范围是一切实数。 例1. 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）；（2） 5 3213-=x y ）（ 二、分式型：当函数解析式是用自变量的分式表示时，自变量的取值范围应使分母不为零。 例2. 函数中，自变量x 的取值范围是________。 三、偶次根式型（主要是二次根式）： 当函数解析式是用自变量的二次根式表示时，自变量的取值应使被开方数非负。 例3. 函数中，自变量x 的取值范围是________。 四、零指数或负指数： 当函数解析式是用自变量的零指数或负指数表示时，自变量的取值应使零指数或负指数的底数不为零。 例4、函数y=3x +(2x-1)0+(-x +3)-2 五、综合型：当函数解析式中含有整式、分式、二次根式、零指数或负指数时，要综合考虑，取它们的公共部分。 的取值范围是中，自变量、函数例x x x x x y 20 )3(1)2(5-++---= 。 六、实际问题型：当函数解析式与实际问题挂钩时，自变量的取值范围应使解析式具有实际意义。 例6. 拖拉机的油箱里有油54升，使用时平均每小时耗油6升，求油箱中剩下的油y （升）与使用时间t （小时）之间的函数关系式及自变量t 的取值范围。 七、几何问题型：当函数解析式与几何问题挂钩时，自变量的取值范围应使解析式具有几何意义。 例7. 等腰三角形的周长为20，腰长为x ，底边长为y 。求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围。

三角函数图像变换顺序详解

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《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. ? 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 ?

【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 ? 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法 2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. ? 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变 （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” ? 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式

《图像与知识点的整合》教学设计

九年级化学《金属与盐酸、稀硫酸的反应》微课教学设计 教学目标 1．知识与技能 初步认识常见金属与盐酸、硫酸的置换反应，能用置换反应解释一些与日常生活有关的化学问题。 2．过程与方法 认识科学探究的基本过程，能进行初步的探究活动；初步学会运用比较、归纳、概括等方法对获取的信息进行加工，使学生逐步形成良好学习习惯和方法。 3．情感态度与价值观 培养学生勤于思考、勇于创新实践、严谨求实的科学精神。 导入 很多金属不仅能与氧气反应，而且还能与盐酸或稀硫酸反应。金属与盐酸或稀硫酸能否反应以及反应的剧烈程度，也可反映金属的活泼程度。下面，我们就通过实验来比较镁、锌、铁、铜的活动性。 探究活动 金属与盐酸、稀硫酸的反应 1、观看实验视频； 3、讨论： ①哪些金属能与盐酸、稀硫酸发生反应？反应的剧烈程度如何？反应后生成什么气体？哪些金属不能与盐酸、稀硫酸发生反应？根据反应时是否有氢气产生，将金属分为两类。 ②对于能发生的反应，从反应物和生成物的物质类别如单质、化合物的角度分析，这些反应有什么特点？将这一类反应与化合反应、分解反应进行比较。 教师点拨 1、这几个反应的共同特点为：由一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物。

2、概念：由一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应叫做置换反应。 3、表示式：A+BC==B+AC 4、结论：镁、锌、铁的金属活动性比铜的强，它们能置换出盐酸或稀硫酸中的氢。 5、根据金属能否与盐酸、稀硫酸反应及其反应的剧烈程度可以判断金属活动性的强弱。知识应用 1、根据上述探究实验的现象，你能推断出：镁、锌、铁、铜中，的化学性质最活泼， 的化学性质最不活泼；活动性由强到弱的顺序为：。 2、判断下列反应的类型： ①2Mg+O22MgO ②3Fe+2O2Fe3O4 ○3Fe+H 2 SO 4 ==FeSO 4 +H 2 ↑○42Al+3CuO 4 =Al(SO 4 ) 3 +3Cu ○52LiOH+CO 2 ═Li 2 CO 3 +H 2 O ○62KMnO 4 =====K 2 MnO 4 +MnO 2 +O 2 ↑ 应用拓展 1、将X、Y、Z三块大小相同的金属片分别投入到10﹪的稀盐酸中，X表面无明显现象，Y表面缓慢地产生气泡，Z表面迅速产生大量气泡，则X、Y、Z的金属活动顺序为（） A、X>Z>Y B、Z>Y>X C、X>Y>Z D、Z>X>Y 2、镁条和铁片中分别与溶质质量分数相等的稀盐酸反应，有关量的关系图像如下，其中错误的是（） 本课小结 很多金属不仅能与氧气反应，而且还能与盐酸或稀硫酸反应。金属与盐酸或稀硫酸能否反应以及反应的剧烈程度，也可反映金属的活动性：能与盐酸、稀硫酸发生的比不反应的强；反应越剧烈的活动性越强；根据化学反应方程式能够定性和定量分析金属与酸反应的图像问题。 △

函数图像与坐标

图像与坐标专练 例1：一次函数y=ax+b 的图象L 1关于直线y=-x 轴对称的图象L 2的函数解析式是_____ 练习：如图，已知点P(2m-1，6m-5)在第一象限角平分线OC 上，一直角顶点P 在OC 上，角两边与x 轴y 轴分别交于A 点B 点。 (1)求点P 的坐标 （2）当∠APB 绕着P 点旋转时，OA+OB 的长是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求其值 的坐标坐标是____A1则点1=AB 3= OA ， A1落在点A 对折，点OB 沿OABC 将矩形如图图在直角坐标系中2，，已知：例 的解析式．AM ′处处，求直B 轴上的点x 恰好落在B 折叠叠，AM 沿ABM 若将△上的一点，OB 是M ，B 和点A 轴分别交于点y 轴、x 与练习：直线83 4+-=x y

的值 a 的面积面积相等ABC 与△ABP △使),2 1(a,P 有一点90=BAC 是等腰直角三角形，∠ABC 且△点在第一象限，C 两点，B 、A 轴分别交于y 轴x 1的的图的x 3 3-＝y 函数3，在第二象限：例? + 的值值 a 面积积相等，求实ABP 与△ABC ）若△3（的面积面 ABC ）求△2（； m ）画出直线1（,a)(1P 90=BAC 是等腰直角三角形，∠ABC 且△点在第一象限，C 两点，B 、A 轴分别交于y 轴x 1的的图的x 3 3- ＝y 函数为坐标系中一动点，，点练习：?+

随堂练习： 1.如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y=x(改为y=2x-4时又如何)上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是? （1图）（2图） 2.直线AB ： y=1/2 x+1 分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ；直线CD ：y=x+b 分别与x 轴、y 轴交于点C 、点D ．直线AB 与CD 相交于点P ．已知S △A B D =4，则点P 的坐标是？ 3.如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 为正 方形边上一动点，若点P 从点A 出发沿A→D→C→B→A 匀速运动一周．设点P 走过的路程为x ，△ADP 的面积 为y ，则下列图象 能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 4.点A 坐标（5,0），直线y=x+b(b>=0)与y 轴交于点B ，连接AB ，角a=75度，则b 的值为_______ （4图） （5图） 5.已知OB 是一次函数y=2x 的图像，点A （0,2），在直线OB 上找一点C ，使得三角形ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标。

数值分析编程及运行结果(高斯顺序消元法)

高斯消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x

2.运行结果：

高斯选列主元消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp); tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解')

x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果：

影像引导

影像引导经皮立体定向椎体成形术 技术介绍：最初进针点的定位是手术操作中至关重要的步骤之一。在进针的过程中，为保持穿刺针正确地置入，往往需要进行多次细微的调整。但是，这些位置的调整却不能弥补因进针点选择不当或进针角度考虑不周所造成的错误。在“经典穿刺过程”中，应将椎体置于标准的前后位和侧位X线投照中。前后位透视观察，上下终板应呈一直线，双侧椎弓根显示良好，棘突位于正中线。侧位透视观察，肋骨、椎弓根、神经孔和连续的椎体后缘应排列成行，这种体位可清晰显示椎体的两侧，利于穿刺针的进针。如果使用单项透视系统，建议在手术开始时应记录C形臂前后位和侧位的坐标，以此来提高术中视野转换的效率。应该注意的是很多病人在不经意的情况下会轻微地挪动身体，随着手术的进行，这种情况会一直持续并会越来越频繁，病人会越来越疲惫和烦躁。这是，为了保证一个合适的穿刺针位置，必须不断地调整C形臂的角度。 笔者使用了一种稍微不同的定位策略，应用一个向椎弓根倾斜的角度投照。开始，将C形臂向头足方向旋转，是椎弓根与椎体的中上1/3重叠，然后倾斜旋转C形臂使椎弓根内侧皮质显示最佳。这种斜位的透视方法在进针的全过程中均能清楚地显示椎弓根（最重要的是椎弓根的内侧皮质）。这种方法的另一优点是由可能通过单一的椎弓根入路将骨水泥注入到椎体的两侧，避免了第二次穿刺。 一旦确定了手术节段和进针点，用1%的利多卡因或0.25%的布比卡因皮下注射局部麻醉。针道要谨慎地抵达椎弓根，并使得骨膜得到充分的麻醉。完成这些措施之后，在应用较大口径穿刺针的手术中病人就很少有不适感。用手术刀作一小皮肤切口，以利于较大口径的穿刺针通过皮肤。将针置于椎弓根的中上外1/3处，小心地通过椎弓根进入椎体。穿刺针的最终位置是使外套管的前端位于椎体的前中1/3交界处并尽可能靠近椎体（上、下、外）的中央。当穿刺针轨道需要调整时，应尽可能在针尖位于椎弓根内时及早进行。随着穿刺针的进一步深入，针道调整的效果渐差，并且可由于穿刺针的过度扭转造成椎弓根骨折。透视下，针尖应始终保持在椎弓根内侧皮质边缘的外侧，直到其向前进入到椎体内为止。若内侧皮质找到破坏可损伤硬膜囊、脊髓和撕裂硬膜外静脉。若椎体塌陷相对较轻并局限在一侧，则应选择病变侧椎弓根进针。若塌陷较为严重，则开始应在椎体残留较多的一侧进针。若椎体中央部严重塌陷，则单一的椎弓根穿刺不大可能使PMMA的分布越过中线到达椎体的另一侧。这种病例往往需要经双侧椎弓根穿刺进行手术。 一旦在侧位透视观察到针尖已经通过椎体的后缘，则可在连续X线透视引导下加快进针的速度。有意识麻醉下的病人在术中可轻微地挪动身体，使得透视不能反映真正的侧位图像。椎体是一个圆形的结构，如果穿刺针在椎体内进针过前，可使偏离中线的针尖穿透椎体前侧的骨皮质。若侧位透视显示针尖未超越椎体的前中1/3交界处，即使针尖偏离中线处也仍然会位于椎体内。错误的前置穿刺针可能刺破位于胸椎和上腰椎的前方的主动脉和下腔静脉。

函数与坐标系

第十五讲 函数与坐标系 【学习目标】 1、复习平面直角坐标系的有关概念，明确点的位置与点的坐标之间的关系 2、复习函数的一般概念，以及用解析法表示简单的函数，会画函数的图像 3、进一步培养函数的思想以及数形结合的思想 【知识要点】 1、 平面直角坐标系的基本知识： ①直角坐标系的画法；②坐标系内各象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号 2、函数的定义，以及用解析法表示函数时要注意考虑自变量的取值必须使解析式有意义 3、函数的图象： （1）函数图象上的点的坐标都满足函数解析式，以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上． （2）知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象： 列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表． 描点．把自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点． 连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来． 【典型例题】 例1、点P （－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是_____________;关于x 轴的对称的点的坐标是 ____________；关于原点对称的点的坐标是____________。 例2、（1）若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （2）已知点P (a ,b )，a ·b >0，a ＋b <0，则点P 在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （3）已知点P (x ,y )的坐标满足方程|x ＋1|＋y －2 =0,则点P 在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 （4） 已知点A 233x x --，在第二象限，化简491232x x x +---=________ 例3、函数自变量的取值范围： (1)函数y ＝1x －1 中自变量x 的取值范围是

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀 对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。 一、口诀 “反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。 将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。 （分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。） 反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领 当出现两种函数相乘时 指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算 而反三角函数不需要动 再具体点就是： 反*对->反(对) 反*幂->反(幂) 对*幂->对(幂) 二、相关知识 （一）不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C （二）求不定积分的方法： 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。 分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）

像素级图像融合

毕业设计（论文）设计(论文)题目像素级图像融合方法 姓名：李桂楠 学号： 2 学院：机电与信息工程学院 专业：自动化 年级2011级 指导教师：孙甲冰

目录 摘要 (4) Abstract (5) 第一章绪论 (1) 1.1课题背景及来源 (1) 1.2图像融合的理论基础和研究现状 (1) 1.3图像融合的应用 (1) 1.4图像融合的分类 (1) 第二章像素级图像融合的预处理 (3) 2.1图像增强 (3) 2.2图像校正 (6) 2.3图像配准 (6) 第三章像素级图像融合的方法综述 (8) 3.1加权平均图像融合方法 (8) 3.2 HIS空间图像融合方法 (8) 3.3 主成分分析图像融合方法 (8) 3.4 伪彩色图像融合方法 (9) 第四章基于小波变换的像素级图像融合概述 (10) 4.1 小波变换的基本理论 (10) 4.2 基于小波变换的图像融合 (11) 4.3基于小波变换的图像融合性能分析 (12)

第五章像素级图像融合方法的研究总结与展望 (19) 参考文献 (20) 谢辞.................................. 错误!未定义书签。

摘要 近些年，随着科学技术的飞速发展，各种各样的图像传感器出现在人们的视野前，这种样式繁多的图像传感器在不同的成像原理和不同的工作环境下具有不同功能。而因为多传感器的不断涌现，图像融合技术也越来越多的被应用于医学、勘探、海洋资源开发、生物学科等领域。 图像融合主要有像素级、决策级和特征级三个层次，而像素级图像融合作为基础能为其他层次的融合提供更准确、全面、可依赖的图像信息。本文的主要工作是针对像素级的图像融合所展开的。 关键词 图像融合理论基础、加权平均、图像融合方法、小波变换、

引导图像滤波

图像引导滤波 摘要：这篇文章中,我们提出一个新颖的显式图像滤波器称为引导过滤器。起源于一个局部的线性模型,指导滤波器通过考虑指导图像的内容计算滤波输出,这种滤波器可以输入图像本身或另一个不同的形象。引导过滤器可以像流行的双边滤波器[1]一样作为edge-preserving平滑算子,但它具有更好的边缘附近的效果。引导滤波器也是一个超越平滑的更一般的概念:它可以将指导图像的结构转化为滤波输出,使新的过滤应用程序像图像去雾和引导羽化一样。此外,无论要点大小和强度范围,引导自然过滤器有一个快速和非近似线性时间算法。目前,这是一个最快的edge-preserving过滤器。实验表明,引导滤波器是在多种多样的计算机视觉和计算机图形学的应用都可以起作用的和有效率滤波器,包括边缘感知平滑、细节增强,HDR压缩,图像消光/羽化、去雾、联合采样等等。 关键词：边缘保持滤波，双边滤波器，线性时间过滤 1简介 在计算机视觉和计算机图形学大多数应用涉及到图像滤波，以抑制和/或提取的图像内容。简单的线性平移不变（LTI）滤波器具有明确的内核，诸如均值(均值滤波是典型的线性滤波算法，它是指在图像上对目标像素给一个模板，该模板包括了其周围的临近像素（以目标象素为中心的周围8个像素，构成一个滤波模板，即去掉目标像素本身），再用模板中的全体像素的平均值来代替原来像素值。概述: 均值滤波也称为线性滤波，其采用的主要方法为邻域平均法。线性滤波的基本原理是用均值代替原图像中的各个像素值，即对待处理的当前像素点（x，y），选择一个模板，该模板由其近邻的若干像素组成，求模板中所有像素的均值，再把该均值赋予当前像素点（x，y），作为处理后图像在该点上的灰度个g（x，y），即个g（x，y）=1/m ∑f（x，y）m为该模板中包含当前像素在内的像素总个数。不足: 均值滤波本身存在着固有的缺陷，即它不能很好地保护图像细节，在图像去噪的同时也破坏了图像的细节部分，从而使图像变得模糊，不能很好地去除噪声点。 clear all; img2=imread('D:\3.bmp'); I=rgb2gray(img2); %读入预处理图像 imshow(I) %显示预处理图像 K1=filter2(fspecial('average',3),I)/255; %进行3*3均值滤波 K2=filter2(fspecial('average',5),I)/255; %进行5*5均值滤波 K3=filter2(fspecial('average',15),I)/255; %进行7*7均值滤波 figure,imshow(K1) figure,imshow(K2) figure,imshow(K3))，高斯(高斯滤波是一种线性平滑滤波，适用于消除高斯噪声，广泛应用于图像处理的减噪过程。通俗的讲，高斯滤波就是对整幅图像进行加权平均的过程，每一个像素点的值，都由其本身和邻域内的其他像素值经过加权平均后得到。高斯滤波的具体操作是：用一个模板（或称卷积、掩模）扫描图像中的每一个像素，用模板确定的邻域内像素的加权平均灰度值去替代模板中心像素点的值。在图像处理中，高斯滤波一般有两种实现方式，一是用离散化窗口

坐标系与函数

平面直角坐标系与函数 基础题目 一选择题 1.在平面直角坐标系中，点P（x2+2，-3）所在的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标是（） A．（3，-4）B．（4，-3）C．（-4，3）D．（-3，4） 3.已知：如图，等边三角形OAB的边长为23边OA在x轴正半轴上，现将等边三角形OAB 绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2020次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（）A.（3，1）B．（0，-1）C．（3-1） D．（0，-2） 4.如图，一个函数的图象由射线BA，线段BC，射线CD组成、其中点A(-2，2)，B(1，3)，C（2,1），D(6，5)，则（） A.当＜2时，y随x的增大而增大 B.当x＜2时，y随x的增大而减小 C.当x＞2时，y随x的增大而增大 D.当x＞2时，y随x的增大减小 5.（2020?河南模拟）如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A 出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）之间的函数图象大致是（）

第3题图 第4题图 第5题图 A B C D 6.若点A （n ，m ）在第四象限，则点B （m 2，-n ）在（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第可以象限 二填空题 7.点P （m ，2）在第二象限内，则m 的值可以是__________.（写出一个即可） 8.已知点P （x ，y ）位于第四象限，并且x ≤y+4（x ，y 为整数），写出一个符合条件的点P 的坐标：__________. 9.函数13 x y x -=-的自变量x 的取值范围是__________. 10中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“炮”位于点 __________. 11.如图，已知点A 1（1，1），将点A 1向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得 到点A 2；将点A 2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A 3；将点A 3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A 4，…按这个规律平移下去得到点A n （n 为正整数），则点A n 的坐标是__________.

作业4-回归模型的函数形式 (1)

习题4 回归模型的函数形式 姓名：____万瑜________；学号：______1157120_________ 9.下面的模型是参数线性的吗？如果不是用什么方法可以使他们成为参数线性模型？ A ．i i X B B Y 211 += b ．221i i i X B B X Y += 14表5-13给出了德国1971年~1980年消费者价格指数Y （1980年=100）及货币供给X （10亿德国马克）的数据。 A 做如下回归： 1.Y 对X 2.lnY 对lnX 3。lnY 对X 4.Y 对lnX 解： 1.Y 对 X 2.lnY 对 lnX

3. lnY 对X 4.Y 对lnX 解：1.X Y ??=1 ?β斜率说明X 每变动一个单位，Y 的绝对变动量；

2. E X X Y Y =??=//?1 β斜率便是弹性系数； 3. X Y Y ??=/?1 β斜率表示X 每变动一个单位，Y 的均值的瞬时增长率； 4,. X X Y /?1 ??=β斜率表示X 的相对变化对Y 的绝对量的影响。 C 对每一个模型求Y 对X 的变化率 解：1. 2609.0?1=??=X Y β； 2. X Y X Y X Y 5890.0?1=?=??β； 3. Y Y X Y 0028.0?1=?=??β; 4. X X X Y /2126.54/?1==??β. D 对每一个模型求Y 对X 的弹性，对其中的一些模型，求Y 对X 的均值弹性。 解：1. Y X Y X X X Y Y E 2609.0?//1 =?=??= β; 均值弹性=5959.096.41176 220.19 2609.02609.0=?=?Y X 2. 5890.0?//1 ==??= βX X Y Y E ; 3. X X X X Y Y E 0028.0?//1=?=??=β; 均值弹性=6165.0220.190028.00028.0=?=?X 4. Y Y X X Y Y E /2126.54/?//1==??= β. 均值弹性=5623.096.41176 1 2126.5412609.0=?=?Y . E 根据这些回归结果，你将选择那个模型？为什么？ 解：无法判断，因为只有当模型的解释变量的类型相同时，才可比较拟合优度检验数2 R ，对模型的选择还取决于模型的用途。 25表5-16给出了1995~2000年间Qualcom 公司（数字无线电信设计和制造公司）每周股票价格的数据。 a 做收盘价格对时间的散点图。散点图呈现出什么样的模式？

函数坐标系(修改)

课题：函数的定义、平面直角坐标系 主备：朱贝课型：复习审核：九年级数学组 班级姓名学号 【学习目标】 1. 函数的相关概念及表示方法 2. 平面直角坐标系中，点坐标的表示和相关应用 【重点难点】 重点：函数的相关概念及表示方法，平面直角坐标系的应用难点：函数和坐标系的应用【知识梳理】 一、函数的概念及表示方法 1．在某一过程中可以取不同数值的量叫做___ _____ ，保持同一数值的量叫做。2．如果那么， y叫做x的函数，x叫做。 3．函数的三种表示方法是：、、。二、平面直角坐标系 1．点P（a，b），关于x轴对称点的坐标为 ________，关于y轴对称点的坐标为_________，关于原点的坐标为___ __；点P（a，b），到x轴的距离为；到y轴的距离为，到原点的距离为。x轴上的点A坐标为（a, ）,y轴上的点B坐标为（，b）。 2.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，A（a,b）,B (c,d),则AB= ,b d；线段CD‖y轴，C（e,f）B (g,h),则CD= ,e g。 【课前练习】 1．已知点P（-2m,m-6） （1）当m=-1时，点P在第象限； （2）当点P在x轴上时，m= ； （3）当点P在第三象限时，m的取值范围是。 2．点M(4,0)到点(-1,0)距离是；点P（-5，12）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是。 3.在平面直角坐标系中，线段AB‖x轴，点A（2,3），AB=5，则点B的坐标为。4．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4， 5．边长为a的等边三角形，其面积S= ，其中常量是，变量是，

三角函数图像变换顺序详解

《图象变换的顺序寻根》 题根研究？ 一、图象变换的四种类型 从函数y二f (x)到函数y二A f ( ： "「)+m其间经过4种变换： 1. 纵向平移——m变换 2. 纵向伸缩——A变换 3.横向平移一一变换 4. 横向伸缩一一总变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y二sin x到y二A sin ( ' ：」)+m为例，讨论4种变换的顺序问题 V：= / (x)= 1+ 3sin( 2x- ［例1】函数 ' -的图象可由y二sin x的图象经过怎 样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移: 将y二sin x向右平移：，得 第2步，横向伸缩: L-1—A ——J — 将. 二的横坐标缩短二倍, 第3步：纵向伸缩: v 二s￡n( 2x——''i 将. -的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移: v = 3sin(2x——) v = 1 + —— 将二向上平移1,得

【解法2】第1步，横向伸缩:

2 将y 二sin x 的横坐标缩短二倍，得 y 二sin 2 x 第2步，横向平移: 第3步，纵向平移: y — sinC2x ——） 将， -向上平移】；，得 第4步，纵向伸缩: v = — 4- sinf 2x — 将1 1的纵坐标扩大 71 【说明】 解法1的“变换量”（如右移：）与参数值（「对应，而解法2 71 71 中有的变换量（如右移1）与参数值（一）不对应，因此解法1的“可靠性” 大, 而解法2的“风险性”大. 【质疑】 对以上变换，提出如下疑问： （1） 在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有 变 （2） 在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反一一 如当匚<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向） （3） 在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反一一 如1^1 > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” 【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式 y 二A f （-八i ）+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方 程式 -r （y^' ） = f （一」），则x 、y 在形式上就“地位平等”了 v = 1 + 2x- — （v — 1） = sinf 2x -—） 71 将y 二sin 2 x 向右平移；一：，得 尸二 sin （ 2孟一— .-I + 3sin( 2x —— 3倍，得. - 71