【精品】2017年湖南省长沙一中高一上学期期末数学试卷
2016-2017学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则?U A=（）A．?B．{1，3，6，7}C．{2，4，6}D．{1，3，5，7}
2．（5.00分）幂函数y=x a（α是常数）的图象（）
A．一定经过点（0，0）B．一定经过点（1，1）
C．一定经过点（﹣1，1）D．一定经过点（1，﹣1）
3．（5.00分）若直线l1：2x﹣ay﹣1=0过点（1，1），则直线l1与l2：x+2y=0（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．相交于点（2，﹣1）
4．（5.00分）阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是20、32、77，则输出的a、b、c分别是（）
A．20、32、77 B．77、20、32 C．32、20、77 D．77、32、20
5．（5.00分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
6．（5.00分）已知函数f（x）=x2+x+a在区间（0，1）上有零点，则实数a的取值范围为（）
A．B．C．（﹣2，0）D．[﹣2，0]
7．（5.00分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5.00分）已知圆（x+a）2+y2=4截直线x﹣y﹣4=0所得的弦的长度为，则a等于（）
A．B．6 C．2或6 D．﹣2或﹣6
9．（5.00分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
10．（5.00分）函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）
A． B． C．
D．
11．（5.00分）一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长
为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）
A．B．C．D．
12．（5.00分）点P（x，y）是直线kx+y+3=0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣4y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为（）
A．B．C．2 D．±2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5.00分）若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=的定义域是．
14．（5.00分）若点P在圆上，点Q在圆
上，则|PQ|的最小值是．
15．（5.00分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是．
16．（5.00分）已知函数f K（x）的定义域为实数集R，满足（K 是R的非空真子集），若在R上有两个非空真子集M，N，且M∩N=?，则
的值域为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10.00分）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2a﹣1＜x＜2a+3}．
（1）若A?B，求a的取值范围；
（2）若A∩B=?，求a的取值范围．
18．（12.00分）已知函数f（x）=kx2﹣2x+4k．
（1）若函数f（x）在R上恒小于零，求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，求实数k的取值范围．19．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PE=2EB，求二面角E﹣AC﹣B的大小．
20．（12.00分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣4，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程．
21．（12.00分）已知函数f（x）的定义域为R，若对于任意的实数x，y，都有f （x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）设f（1）=1，若f（x）＜m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12.00分）已知圆O：x2+y2=2，直线l过点，且OM⊥l，P（x0，y0）是直线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．
（1）求直线l的方程；
（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x0的取值范围；
（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB的斜率为定值．
2016-2017学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则?U A=（）A．?B．{1，3，6，7}C．{2，4，6}D．{1，3，5，7}
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则由集合的补集的定义可得C U A={1，3，6，7}，
故选：B．
2．（5.00分）幂函数y=x a（α是常数）的图象（）
A．一定经过点（0，0）B．一定经过点（1，1）
C．一定经过点（﹣1，1）D．一定经过点（1，﹣1）
【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．
故选：B．
3．（5.00分）若直线l1：2x﹣ay﹣1=0过点（1，1），则直线l1与l2：x+2y=0（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．相交于点（2，﹣1）
【解答】解：∵直线l1：2x﹣ay﹣1=0过点（1，1），
∴2﹣a﹣1=0，
∴a=1，
∴直线l1：2x﹣y﹣1=0的斜率为2，
∵l2：x+2y=0的斜率为﹣，
∴直线l1与l2：x+2y=0互相垂直．
故选：C．
4．（5.00分）阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是20、32、77，则
输出的a、b、c分别是（）
A．20、32、77 B．77、20、32 C．32、20、77 D．77、32、20
【解答】解：模拟程序的执行过程，如下：x=20，a=77，c=32，b=20，
故选：B．
5．（5.00分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【解答】解：∵＞1，∈（0，1），c=log0.43＜0，
∴a＞b＞c．
故选：B．
6．（5.00分）已知函数f（x）=x2+x+a在区间（0，1）上有零点，则实数a的取值范围为（）
A．B．C．（﹣2，0）D．[﹣2，0]
【解答】解：函数f（x）=x2+x+a的图象的对称轴方程为x=﹣，故函数在区间（0，1）上单调递增，
再根据函数f（x）在（0，1）上有零点，可得，求得﹣2＜a＜0．故选：C．
7．（5.00分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．
8．（5.00分）已知圆（x+a）2+y2=4截直线x﹣y﹣4=0所得的弦的长度为，则a等于（）
A．B．6 C．2或6 D．﹣2或﹣6
【解答】解：易知圆的圆心为（﹣a，0），半径为2，又圆截直线x﹣y﹣4=0所得的弦的长度为，
则圆心到直线的距离为，则，解得a=﹣2或﹣6．
故选：D．
9．（5.00分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；
若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；
若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故C错误；
若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故D正确；
故选：D．
10．（5.00分）函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）
A． B． C．
D．
【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），
f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D，
又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，排除B，
故选：A．
11．（5.00分）一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长
为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：此几何体为组合体，下面是正方体的一半，上面是球的，
且球的半径为1，
所以体积．
故选：A．
12．（5.00分）点P（x，y）是直线kx+y+3=0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣4y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为（）
A．B．C．2 D．±2
【解答】解：如图，
，
∴当|PC|最小时，面积取最小值，而|PC|最小即为点C到直线l的距离d，
又，
∴．
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5.00分）若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=的定义域是[0，1）．
【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域[0，3]，
∴函数g（x）=应满足：
0≤x＜1
∴g（x）的定义域是[0，1）．
故答案为：[0，1）．
14．（5.00分）若点P在圆上，点Q在圆
上，则|PQ|的最小值是2．
【解答】解：据题意易求，又两圆的半径分别为1和2，
故|PQ|的最小值为：|C1C2|﹣2﹣1=2．
故答案为2．
15．（5.00分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是60°．
【解答】解：由题意可得，三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，
设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，
∴∠ADE=60°，
故答案为60°．
16．（5.00分）已知函数f K（x）的定义域为实数集R，满足（K 是R的非空真子集），若在R上有两个非空真子集M，N，且M∩N=?，则
的值域为{1} ．
【解答】解：当x∈（M∪N）时，f M∪N（x）=1，而由于M∩N=φ，所以f M（x）+f N（x）=1，此时F（x）=1；
当x?（M∪N）时，f M∪N（x）=0，f M（x）=f N（x）=0，此时F（x）=1，
∴函数F（x）的值域为{1}．
故答案为{1}．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10.00分）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2a﹣1＜x＜2a+3}．
（1）若A?B，求a的取值范围；
（2）若A∩B=?，求a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2a﹣1＜x＜2a+3}．
∵A?B，
∴，
解得：．
故得实数a的取值范围是[，0]
（2）∵A∩B=φ，
∴2a﹣1≥2或2a+3≤﹣1，
解得：或a≤﹣2．
故得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
18．（12.00分）已知函数f（x）=kx2﹣2x+4k．
（1）若函数f（x）在R上恒小于零，求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）在R上恒小于零得：，即，
解得．
（2）因为函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
①若k＞0，则只需函数f（x）的对称轴，解得；
②若k=0，f（x）=﹣2x在区间[2，4]上单调递减；
③若k＜0，则只需函数f（x）的对称轴，显然成立．
综上可知实数k的取值范围是：．
19．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PE=2EB，求二面角E﹣AC﹣B的大小．
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵AD=BD，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）如图，连接OE，又（1）可知EO⊥AC，又AC⊥BD，
∴∠EOB即为二面角E﹣AC﹣B的平面角，
过E作EH∥PD，交BD于点H，则EH⊥BD，
又，
在RT△EHO中，，∴∠EOH=60°，
即二面角E﹣AC﹣B的大小为60°．
20．（12.00分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣4，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，
∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20．
（2）当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=﹣4，
此时，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，
设MN的中点为Q，则AQ⊥MN，
∴，又，，
∴，又，∴，
则直线l的方程为：，即5x+12y+20=0，
综上可知直线l的方程为：x=﹣4或5x+12y+20=0．
21．（12.00分）已知函数f（x）的定义域为R，若对于任意的实数x，y，都有f （x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）设f（1）=1，若f（x）＜m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）为单调递增函数，证明如下：
先证明f（x）是定义在R上的奇函数，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）?f（0）=0，
令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是定义在R上的奇函数．
设x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1），
当x＞0时，有f（x）＞0，所以f（x2）＞f（x1），
故f（x）在R上为单调递增函数．
（2）由（1）知f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，
所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）＜m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，
只要m2﹣2am+1＞1，即m2﹣2am＞0恒成立，
令g（a）=m2﹣2am=﹣2am+m2，则即
解得m＞4或m＜﹣4．
故实数m的取值范围是m＞4或m＜﹣4．
22．（12.00分）已知圆O：x2+y2=2，直线l过点，且OM⊥l，P（x0，y0）是直线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．
（1）求直线l的方程；
（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x0的取值范围；
（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB的斜率为定值．
【解答】解：（1）∵OM⊥l，∴直线l上的斜率为﹣1，
∴直线l上的方程为：，即x+y﹣3=0．
（2）如图可知，对每个给定的点P，当PQ为圆O的切线时，∠OPQ最大，此时OQ⊥PQ，
若此时∠OPQ=30°，则，故只需即可，即，又x0+y0﹣3=0?y0=3﹣x0，代入得：
．
（3）证明：据题意可求N（1，1），
∵N'是N关于x轴的对称点，∠ANN'=∠BNN'，∴k AN=﹣k BN，设k AN=k，则k BN=﹣k，
则直线AN的方程为：y﹣1=k（x﹣1），直线BN的方程为：y﹣1=﹣k（x﹣1），联立，消去y得：（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+k2﹣2k﹣1=0，
∵，∴，同理可求，
，
故直线AB 的斜率为定值1．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】几何最值模型：图形特征：
l
P
A'
A
B
l
C
P
A
B
D
运用举例：
1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为
AP 的中点，则MF 的最小值为
M
F
E
A
C
B
P
2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则
EF +BF 的最小值为_________。
E
C
D
A
B
F
3.在Rt △POQ 中，OP=OQ=4．M 是PQ 中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点
A 、
B 。
（1）求证：MA =MB ；
（2）连接AB ．探究：在旋转三角尺的过程中．
△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，
求出最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
M
P
O Q
4.如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分
别是AD ，AB 上的动点，则
BM+MN 的最小值是
.
D
A
B
C
M
N
5.如图，△ABC 中，60BAC ，45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动
点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为
。
F
E
O
C
A
B
D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的
正半轴上，3OA
，4OB
，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、
F 的坐标.
x
y x
y
D
C
B
A O
D
C
B
A
O
E